장음표시 사용
81쪽
primum FA 2 in AC r, ev dignitate ipsius FA, disserentiae segmentorum, ducta in dignitatem minoris segmenti A C. Sccundum A C I in C B s ,
ortum ex eadem dignitate minoris segmenti ducta in 6 ignitatem maioris. Prima dignitas F A a habet pro cxponente, a , disserentiam datorum rer- minorum, reliqua habent 3 & s, terminos positos, ut imperabatur.Dico, si productum primum est maximum omnium similium ex binis segmentis rectae FC esse autem eiusmodi supponamus J, etiam secundum sore productum maximum omnium similium ex binis segmentis rectae positae AB. Sumatur in AB alius punctus praeter punctum C, & esto, D; qui accipi a nobis potest infra punctum C, vcl supra. In utroque casu FA, nequit habere eam rationem ad AC,quam habet ad AD, sed maiorem aut minorem
habebit, atque adeo F D non est secta in puncto A secundum rationem ipsius p A ad A C fiat porro FE ad ED, ut FA ad AC, & productum PE a in E D 3, per secundum Lemma, erit maximum s aequd ac productum FA et in AC 3 J dc consequenter maius simili producto FA di in AD 3, facto ex segmentis eiusdem rectae F D. Quod maximum FE 1 in ED 3 ha bet eandem rationem ad FD 3 , dignitatem sibi homogenzam, quam F A a in AC a ad FC ue, ut ex duobus primis Lemmatibus colligitur ; igitur FA a in AD 3 s quod dies imit, es se minus producto FE et in ED 3 J minorem rarionem habet ad FD s , quam bE 1 in L D'aad idem FD ue, seu minorem, quam FA et in AC 3 ad FC ; & permutando, F A 1 in A D 3
minorem habet rationem ad FA a in AC 3 seit,per Lemma quartum, AD et minorem habet rationem ad AC 3 3 quam FD s ad FC s , & longc minorem, quam C B 1 ad B D s.
Quippe sciat rectae DB, CB, PC, & FD, Arithmetice proportionales cum excessu D C; ac piopterea in primo casu FD, maxima, in secundo casu FD,minima est ad PC in minori ri
tione quam CB ad DB,&quintuplicata ratio FD ad FC, nempe ratio ipsius FD ue ad FC ue, est minor quintuplicata ratione CB ad DB, seu CB s ad D B s . Igitur cum quatuor quantitatum, AD 3, AC I , CB S, & DB s , prima ad secundam habeat minorem rationem, quam tertia ad quartam, pCr quintum Lemma, productum AD 3in DB s factum ex duabus cxtremis,erit minus producto AC 3 in CB s ex med ijs. Similiter ostendes, aliud quodcumquc productum simile minus ese producto AC s in Cn ue, quia punctus D ad libitum sumitur. Ergo ACI in C BI productum est maximum omnium. Quod&c. Hactenus de recta linea AB inaequaliter secta, quum est segmentum maius ad minus,uti numerus ad numerum. Restaret altera pars Theorematis, quum est quemadmodum maius segmentum ad minus, sic numerus ad unitatem. FIOc tamen constructione ac ratione tam similibus modo factis concluditur, ut id sibi quisque inuenire, explicare ac dilatare facillime possit. Lectoribus autein scribimus a Geometria &ab AIgebra instructioribus, quos huiuscemodi rerum inteli bii facilium explicatione frustra defatigaremus:Ouare perigimus ad reliqua usum praestantissimum habentia ad inueniendas plurium linearum tam
gentes , figurarum centra grauitatis & quadraturas, & ad alia, i em multa , quae iusto seruamus operi; ubi dabimus nouam solidorum Conicorum seriem, qui scisti exhibent infinitas, uti vocant,hyperbolas, infinitas parabolas, infinitas ellipses, &, analogiam seruando. circulos etiam infinitos. Vnde Lectoribus manifesta apparebit, de Conicis me plus multo ad inuenisse, quam caeteros, eosque ingeniosissimos Viros, qui communem tantum hyper. bolon , parabolen, cilipsin, & circulum figuras Conici in nostra noua serie praedicta, secundi gradus J agnouerunt alias tertij & quarti & caeterorum non item; nisi quod de parabolis infinitis per puncta in plano descriptis pauca, licet cognitione dignissima, tradidei enonnulli, quos inter, duo praecellentes ingenio viri, Fermatius. ac Tortacellius, praeceptor meus, inuentorum praestantia & numero commendabiles, ac Veteribus proximi; qui nouuin super excogitarunt hyperbolarum infinitarum genus. Neque praetercluidum puto,qua- plures Apollonij propositiones, atque demostrationes aptari sectionibus nostris re per Cmnia congruere, affectasque multipliciter aequationes harum sectionum ope resolui sacillime , & determinari posse. Nunc reuertor ad rem.
pala in me', Q duobur terminis, secundum quos fiat in linea dara preductismo hoc exut
82쪽
maxim. m omnium similium productorum, quaesturi possunt ex binis eiusdem rectaesegmentic
Propositionem seco in partes duas. Primum dico, productum, quale descripsimus, esse omnium similium maximum, quum dantur termini aequales; quod'in primo Theoremate
demonstrauimus. Deinde si dantur termini inaequales, sic rem ostendo.
Esto AB, recta data, & termini dati s &z. . ' C , A FSecetur recta in puncto C, sitque BC ad CA, B --- --, a
ctum in linea data secundum torminos datos i T csse maximum. Producatur BA in F, ut AF sit udisserentia segmentorum,& diuidendo primam porportionalitatem, nempe B C ad CA, ut 1 ad 2 sicut in tertio Lemmate praescribitur dycreamus usque dum incidamus in porportionem aequalitatis. In nostra hypothesi, primum erit, diuidendo 3, ad a, vi F A ditarentia segmentorum ad AC minus segmentum ., quam secundam porportionalitatem exhibet secunda figura,in qua stat CE disi irentia segmentorum CA, FAi per consequens erit, diuidendo 1, ad a,vi CE ad AC; quamquidem proportionalitatem seorsim exhibet tertia figura. Fiat E H disserentia segmentorum C E,& AC, diuidendo erit 1 ad 1, ut EH ad EC: quae est demum proportio aequalitatis;semper
autem minus lagmentum producimus ut aequemus maiori, & segmentorum diistrentiam constituamus. At retrorsum vicissim,incipiendo a recta EA tertiae figurae, cuius maius segna. AC cst et,
minus segm. CE est i ,& illorum dictrentia H E itidem i. Quoniam productum HE iin CE i est maximum in linea C H, per primum Theorema nostrum, erit proinde, per secundum Theorema, ECi in C A a maximum in recta E A. Deinde in recta FC secundae figurae, maius seg. AF est 3, minus AC cst a, & segmentorum disserentia EC est I; porro cum EC I in CA a sit maximnm,erit per secundum The rema, etiam maximum in recta FC productum AF 3 in AC a. Postrem5 in linea AB primae figurae,productum AF 3 in AC a est maximum, ut modo ostendimus, ergo per secundum Theorema est etiam maximum AC et in B C s . Quod ii
Si loco duoru numerora detur numerus,& unitas,fit similis co structio,&demonstratios CHOLIO N. Id quod in secundo Theoremate supponebamus; data recta linea, dc datis, numeris 3 ἰ& a, maximum sere productum in ea linea factum secundum numeros illos datos; nunc demonstrauimus in Theoremate hoc. Erat porro illius Thoorematis Propositio conditi palis, ex posita illa hypothesi, non absoluta, ut patebit consideranti. COROLLARIVM. Si productum genitum ex dignitate ducta indignitatem quamcumq; maximu fuerit, il- Iarum dignitatum radices & exponentes erunt Geometrice proportionales. Quippei Theoremate ostendimus, productum in linea factum secundum terminos datos esse omnium maximu ; at productum eiusmodi, ex I, definitione nostra, gignitur ex duabus di snitatibus , quarum eXponentes rationem eam habet, quam dignitatum earunde radices. PROBLEMA I. Datam lineam rectam ita sicare, τι productum ex dignitatibus rimentorum sit omnis
Sumantur exponentes duaru illaru dignitatum, rectaq; dividatur in ratione horu exponentium , & factum erit quod imperatur; quia productu erit in linea data factu secundum terminos positos,nimiru secundu exponetes ac proinde erit maximu per Theorema terti αPROBLEMA II. Amtionem determinare, in qua potenas quaesita radicis urgatur de homogeneo sub radice L a data,
83쪽
Eata, o Zygnitate sua paradica, ut B in Α - A a li Z et : vel B in A ; - η li Z ς ε . Oritur huiusmodi aequatio ex dicta parodica dignitate potestatis negatae ducta in m A Idisterentiam datae & quaesitae radicis . Rem probo. Illa parodica dignitas assirmata ,si primum ducatur in A, radicem quaesitam negatam, gignet potestatem negatam uno gradu altiorem . quam sit ca parodica dignitas ut patet ex natura multiplicationis J deinde in t B radicem datam affirmatam ducta, gignet homogeneum affirmatum, sub eadem digni. late parodica & radice data i Quae duo producta sunt ipsa pars aequationis, de qua in Problemate . Pars altera est homogeneum comparationis. Rursus, per Lemma quartum,ratio homogenei ad potestatem negatam est eadem, ac ra.
dicis datae ad quaesitam: sed minor est potestas homogeneo, de quo ipsa negatur & demitur . Ergo etiam radix quaesita minor est data; Iii qua proinde radice data nos recte sumiamus segmentum aequale radici quaesitae A, ut alterum segmentum sit B-A, differentia datae ac quaesitae radicis. Quoniam igitur prima pars aequationis oritur ev NA uno radicis datae segmento, ducto in alterum seg. A, vel in huius potestatem,essicitur per tertium Theorema J ut inde resultans productum sit maximum omnium similium, quotiescunque A, de B-A, segmenta rationem habent eam, quam exponentes suarum dignitatum. Sic in aequatione B in A 3-A ii Z isi A, & B-A suerint ut 3 ad 1, cubus legmenti A in B-A ductus gignet partem aequationis B in AI - A i quae est productum in linea data B, omnium similium maximum; cuius proinde magnitudinem non potest unquam excedere homogeneum comparationis, quod semper aequari necesse est illi alteri aequationis parti . Vnde canon pro detcrminanda
Problematis aequatione conficitur. Fiat in radice maximum producIum secundum terminos, qui sunt exponentes eiusdem rad cis or parodicae dignitatis , sub quibus es homogeneum. Illius producti magnitudinem excedere non potes homogeneum comparationis.
Idem procedit in alia aequatione orta ex multiplicatione ipsius, A, in NA, vel in huius potestatem ; semper enim est idem casus tertii Theorematis nostri, in quo productum facta in linea D seu data radice BJ secundum terminos datos est maximum: termini vero sunt exponentes dignitatum segmenti A & alterius B-A. Sed uno vel altero exemplo de Geometricis nostris opusculis deprompto methodi sacrulitatem comprobemus.
E singulis punctis datae rectae AB ducatur rectae CD EF,&c Arectae inter se parallelae, cu data AB angulum quemcumq; cri- cientes. Sint autem harum parallelarum dignitates, & digni- Ctates abscissarum AC, AE &c. Geometrice proportionales id P quod tripliciter contingere posse mox patebit) Transbit per nextrema paralle Iarum puncta D, F, &C. pcrimeter figurae , cu--Fius diamcter aut axis erit AB, vertex Α, ordinatim vero ad diametrum applicatae erunt ipsae parallelae. BNam parallelaru abscissarumq;dignitates si fuerint eiusdegradus, e. g. FE I ad DCi, ut AE i ad CA ij vel cubi parallelaru ut cubi abscissarum, figura erit triangulum, cuius proprietas notissima est,non parallelas modo & abscissas esse Geometrice proportionales, sed parallelaru & abscissaruearumdein potestates omnes homogeneas; quarum ratio aeque multiplex est rationis linearii seu radicum; ita ut cubi,& quadrato quadrata,&c. abscissarii sint ut cubi, & quadrato quadrata &c. parallelarum i & illorum quoque radice Geometrich proportionales. Sin autem diuersorum graduum fuerint dignitates parallelarum & abscistatu, linea cis
s quae cui uam in vertice contingit J sumptam pro axe, gradu interior est diu nitate abscis-0 VP δηSζnxi De quo alibi latius dicisti. - . 'V V. Hor Cit ciSnitate abIcil-
84쪽
Esto igitur Α DB, una ex praefatis figuris, eiusque axis AB , & vertex A; in qua quidem Iradus dignitatis parallelarum sit altior gradu dignitatis abscissarum; quaeratur autem linea recta contingens figuram in puncto dato C. Ducatur ex hoc puncto linea ad axem ordinatim applicata, ut CD, & ponamur exponentes dignitatum, 3 ,& a. Erunt consequenter in figura parallelarum cubi ut quadrata abscissarum. Fiat abscissa AD, inter verticem & ordinatim applicatam, ad A F, axem productnm, Vt minor numerus et ad, I, differentiam exponentium, ductaque F C ; Dico hanc esse tangentem qt sitam. Productum enim FA i in AD a in linea D F, factum secundum terminos positos i & et, est maximum, per Theorema tertium; temperque homogeneum dignitati parallelarum; cum parallelarum dignitate exponat maior datorum numerorum, maximum vero productum illud oriatur ex dignitatibus quas exponunt minor numerus & di sirentia numeroru,
quae duo simul efficiunt numerum maiorem ). Ergo si accipiamus alium punctum G in axe supra D, aut infra, & ducamus ordinatim opplicatam G H, quae secet in E rediam F ubi opus fuerit productam ); productum FA I in AG a non erit maximum in linea FG, quale est FA t in AD 2 in recta FD; propterea quod maior est vel minor ratio ipsius FAad AG, quam ad AD, & consequenter FG, FD non sunt porportionaliter diuisae. Ergo maiorem rationem habet FA t in AD a ad FD I sibi homogeneum, quam FA i in AG a ad FG I, R permutando, maiorem rationem habet FA r in AD 2 ad FA 1 in AG a,vel ex Lemma
te quarto AD 2 ad AG et quam FD 3 ὀd FG 3 . Sed AD 2 ad AG a ponitur in figura; ut CD 3 ad HG 3: FD 3 ad FG 3, ob similitudinem triangulorum, ut CD 3 ad EG 3 . Ergo maiorem rationem habet CD i ad HG 3 , quam CD 3 ad EG 3; & consequenter CD maiorem rationem habet ad HG, quam ad EG, ac proinde HG recta est minor quam EG, &punctus E cadit extra datam curvam AHCH . Eodem pacto de singulis punctis ductae lineae FC demonstratur illos cadere semper extra curua. Ergo FC est illius lagens.Quod &c. Hae sunt parabolae, ut vocant, infinitar, quarum contingentes lineae, quomodo ad datupunctum duc i possint, ostendimus. Nunc candem methodum in hyperbolis quoque libet experiri. Praemittimu3 autem h9c necessarium Lemma. Lemma sextum. Dato angulo A B C, utcumque secto perrectam B D , & puncto E in alterutro laterum
comprehcndentium angulum datum; ex eo Brundio ducere lineam rectam quae angulum ABC subtendat & a recta B D, secetur in data ratione R ad S. Fiat H G F segmentum circuli capiens angulum aequalem dato, & compleatur circulus;
deinde vi R ad S, ita fiat F L ad L H; ut angulus A B D ad E B D, sic arcus FI ad I Hi ductaque I L producatur usque dum pertingat ad K in circumserentia circuli, & connectantur puncta F, Κ, H. Ad datum punctum Efiat angulus B E A aequalis K H L, & E A secet BD in M & B A in puncto A. Dico rectam E A esse quaesitam, quae a B D in M diuiditur in ratione data. Siquidem anguli H & E: k & B sunt aequales, & hi secti proportionaliter L per trigesimam tertiam sexti Elementorum J a kLI,&BD. Ergo triangula FHK, RAE sunt ae quiangula, & AE ad EB, ut H F ad Id h. Rursus aequi angula secimus triangula MAE, LxH, di consequenter EB est ad EM, ut HK ad HL, & ex aequalitate ordinata AE ad EM, ut FG ad HL, & diuidendo FL ad LH s seu R ad S J ut AM ad ME. Quod &c. Quod si punctus datus sit extra, ut in O, ducemus BO rectam punctus aute O sic detur oportet,vi OB recta cum AB angulum faciat, nec sit ad lineam posita J & faciemus angulu L aequalem disserentiae angulorum El O, ct ii, & OL producta satisfaciet Problemati.
85쪽
Sit hyperbole A C L, cuius diameter AB, vertex A, & dignitates ordinatim applicatarum habentes eam proportionem quam producta illis dignitatibus homogenea, orta ex dignitate abscissae ducta in dignitatem, abscisse & diametri, cx quibus una recta conssata intelligatur. Exempli gratia, quadrato cubi ordinat
rum, hoc est LIs ad CD s , sint, ut producta BI; in AIa ad BD
3 in AD a , genita ex quadratis abscissarum AI, AD , & cubis rearum BI, BD, quippe quas cffciunt eaedem abscisis & diameter. Detur punctus C, ad quem ducenda sit tangens, & ordinatim applicetur CD. Porro ducatur BC,producta ad partes C, quoad oportuerit, & ex Lemmate praecedenti AE secans CD in F,& in F item secta pro ratione a ad 3 , qui numeri exponunt dignitates
signentes producta BI 3 in AI et, & BD 3 in AD a , sub endens angulum ECA J, & tandem GC, parallela rectar AE, occurrens ipsi AB in G. Dico tangentem quaesitam esseCG. Sumatur in CG alius punctus Ic supra & insta C, &, ordinatim opplicatis Κ I secantibus hyperbolen in L, ab I puncto ducatur IC incidens in rectam HB in puncto M, & secans AE in N; quae rid ipsi AE parallela occuserit DC productae in H. Quoniam vero AE secatur in F in ratione a ad 3, FA 2 in FEI, per tertium Theorema est productum maximum, & ratio FE 3 ad NE 3, seu HBI ad M B I propter similitudinem triangulorum HCB, ECF: MBC, CEN J maior est ratione NA a ad AF a . Eroo per Lemma quintum maius est H3 3 in AF a ipso MB 3 in NA a ; quae duo producta si comparentur cum CG s , primum habebit maiorem rationcm ad CG s , quam secundum. Sed
ratio primi, quod est HB 3 in AF et, ad CG s eadem est ac ratio BD 3 in AD , ad GD ss eum HB ad CG sit ut BD ad GD, ob similitudinem triangulorum H BD, CGD; eanisdemque proportionem habeant earum linearum cubi: tum C G a ad A F a , ut G D E
ad A D a J: ratio secundi, seu M B 3 in N A a, ad C G s est eadem ac ratio BI; in AIα ad I G s squia similia sunt triangula MBI, CGI; &MB, CG, BI, I G, rectaec rumque cubi proportionales: rursus ut G Ia ad IA a , sic C G a ad A N a J Ergo maiorem rationem habet BD 3 in A D a ad G D s , quam BI3 in I Aa ad GIs, & perm tando B D a in A D a ad BI; in AI a s seu eae natura hyperboles CD sad LIs J mai rem rationem habet, quam D G 3 ad GIs , seu s ob similitudinem triangulorum Κ GI.C G D J C D s ad IK s , & per decimam quinti Elementum dignitas L Is , minor est.
qnam KIs , & sua radix, LI recta, minor recta ΚI; quare punctus Κ cst extra curuam . Sic de caeteris punctis ostendetur cadere extra curuam, atque adeo CG, hyperbole tangere in solo C puncto. Quod dcc. Haec porro demonstratio etiam ad ellipses, & circulos accommodari potest.
Iam vero quam lath pateat usus nostri Theorematis tertii , ex propositis e&emplis licet intelligere; nec ita multum dissimili aut dissiciliori via centra grauitatis, & quadraturas. quorum problematum paulo ante meminimus, inuenimus. Interim, si quis Apollonii constructioncm atque demonstrationem trigesimae quartae propositionis primi Conicorum libri cum nostris comparabit, nonnihil fortasse proficiet in Arte dilatandi propositio nes&demonstrationes. Nam id quod ille de quadratica tantum hyperbole, ellipsi, de circulo statuit, nos ad omnes porrigimus hyperbolas, ellipses, circulosque infinitos. Quam viam placuit indicare, & supradicto exemplo confirmare.
86쪽
Franciso Mariae Naidinio S. Stephani Equiti, atque Discipulo suo eruditissimo carolus Renes inivs F. P Aiacis ab hinc annis, cum apud te Ruri quam humanissime essem hospitio susceptus Theolema iod
dam adinveni, magni sane momenti,& a nemine, quod sciam animaduers: m. Illud porro tune Arithmeticd primo quidem exhibui,mox animum ad illud idem Geometrice tractanda appuli Utroue ou do tibi ii ul- mittendum operae pret iam duxi, apud te enim ortum al: quo modo tuum este non imer: to dixerim; eoque libentius id a me factum existimes, velim, quod te quotidie maxis rerum nouarum in Mathematicis stubliis ardere desiderio satis intelligo; nulla tamen animum admiratione Iubeunte, cum ingenuitas indolis, filia in natura donauit ,ad prorsus exposcat. Quod attinet ad obseruationem Lunaris Eclipseos celebratae anno labente i o; mense Septembris D. 18. Caelum serὰ semper nubibus obuolutum cum fuerit initium, & finem occultauit; quatenus tamen cadum oculis usu nare licuit, stellatque fixas intueri, ut earum altitudin: bus deprehensis , temporis.momenta calcit. lo altequeremur, breui ut spero inter nos communicabimus. caeterum in huiusmodi obteritationibus v si iu-mus Tubo cum graticula ongitudinis quatuor ferὰ brachiorum Quadrans erat Iuliae magnitudinis, cum eius costa foret duorum brachiorum, 'aderat doctissimus Geinuuanus Montanarius, in obseruando tuam adhibens industriam, qui huc ob negotia quaedam luetaria se contulit. Tu interim de tuo statu; in i ximeque de conatibus egregis ad excolendam virtutem, si quid mihi significauerisi argumentum erit amoris in m tui, quo vehementer delector; D. Doni. Andream fratrem tuum saluere luseas velim. Tu interim Val
scribebam Patauii: Anno 1 Virginis partu M. Dc LXX.
Si sit cinctilis, culat diametero D, in quo pentagossi S c D E F ; latus D c; ductaque Dieo ipsa, A C ; longitudine esse bexagoni, o de goni lanis. In eo videtur Theotema intrandum, quod C D, pentagoni latus x Vt Euclid. ostendit lib. XlII. Prop. 1 o. potest hexagoni, atque de goni latus; at vero Ac, eadem lateta longitudine. Si numeris illud tiactare hiabet ,ex hypothesi, quod diameter sit i2. latus pentagoni erit ly 'O i62οὶ at si ex i . quadrato diametti
auferamus so - N isto, nempe quadratum ipsius iv '' ayi ολο remanebit Sa-lx toto, pro quadrato ipsius A C, ex ψ . primi Elementorum Vnde pro ipsa A c,rei debit F ψιμ 162οὶ hoc est 3 q. iv s. binomium enim illud ue FN i6io, quadratum eii, cuius latus est Fha F. At vero hexagoni latus est si
quo addito ad N 3. Decagoni latus est enim N -- , , latus dccagoni in circulo, cuius diameter eli GeometricE tamen haec eadem hunc in modum Aria tutice prael labimus.
Quoniam A C, est longitudine latus hexagoni, una cum latere decagoni, ergo quadratum A C, aequabitur quadrato lateris hexagoni, plus quadrato late- ris decagoni, plus duplo rectangulo, sub iisdem lateribus; sed quadratum DC, 1 aequale est a , quadrato lateris hexagoni, pluS quadrato lateris decagoni. AEqua. libus v trinque ad ditis, quadratum A C, plus quadrato C D, aequabitur quadra. . to lateris hexagoni, plus quadrato lateris de goni plus duplo restingulo sub Liisdem lateribus, una cum quadrato lateris hexagoni, plus quadrato lateris de-
cagoni, ergo quad. Ac , plus quadrato CD, aequabitur duplo quadrato lateris hexagoni,plus duplo quadrato lateris decagoni, plus duplo rectangulo sub iisdem lateribus, sed quadratum A D, aequale est, quadratis A C, C D, ergo quadr. A
r Quoniam quad.lateris hexagoni, aequale est quadrato lateris decagoni, plus rectangulo sub iisdem lateri bus , ergo duplum quadratum lateris hexagoni, aequabitur quadrato lateris hexagoni, plus quadrato lateri decagoni, plus reclangulo sub iilde lateribusi ergo quadrupla quad. lateris baxagoni,aequabitur duplo qua trato lateris hexagoni, plus duplo quadrato lateris decagony, Plus duplo rectangulo sub iisdem lateribus; hoe quadlatum A D, aequabitur duplo quaci Io lateri. hς1U0ni, Plu duplo quadrato latet is de goni, plus
87쪽
duplo rectangulo sub iisdem: lateribiis, Sed quadratum A D, aequale est quadratis A G, C D, ergo quadrati A C, C D, aequalia erunt quadrato duplo lateris hexagoni, plus duplo ouadrato lateris decagoni, pluς duplo 'rectangulo iub iisdem lateribus. Sed quadratum C D, aequale est quadrato lateris hexagoni, plus quadrato lateris decagoni, ergo aequalibus utrunque sublatis, quadratum A C, aequabitur quadrato lateria hexagoni, plus quadrato lateris decagoni, plus duplo rectangulo sub iisdem lateribus, ergo AG, erit longitudine latus hexagoni , plus latere decagoni. Ad Problema illud quod attinet de diuisione trianguli per rectam a puncto extra, vel intra triangulum,multa mihi dicenda occulunt , de quibus aliquando coram. Interim adnotabo, ad illud resoluenduin, cum pu ctum primo fuerit extra. in neutro tamen e lateribus producto, facere haec; nempe. dato anguis 'tr elatum m latere punctum, triangulum abscindere aquale triangulo dato. Item. nata sit e. g. recta A L, infinita secta quidem inc B. Oportet iterum G B Dillam diuidere in D, H AB, CD , A D ,smi proportiorales, Item Α - --- LData sit recta A L , diuisa quidem iu B , oporteat iterum illam diuidere ista B DD, ut AB, BD, AD ,sint proportionales. Tandem A . -- -- LEx dato angulo triangulum abscindere aequale spatio per lineam ductam ex dato extra trian ulum puncto. Hotum praesidio Problemati fiet satis, sic etiam suo modo cum punctum fuerit intra, &c. de quibus coram ut dixi. Vale.
Noi Reformatori dello Studio di
HAuendo vedulo per sede deI Padre Vicario Generale det Sant' ossa
cio di Padoa, ne i Libro intito lato Caroli Re Mini Tractatus de Ahrebra Speciosa, &c. non esserui cosa alc una contro la Santa sede Cattoli ca, e pari mente per attestato dei Segretario nostro, niente contro Prencipi, obuoni costumi, concedi amoli ceneta agi'Heredi di Paolo Fram bottodi poterio stampare osse ruando gli Ordini &c.
88쪽
Torum, qu e in hoc Tractatu continentur. D E Vsu Vnitati; in Gemersia agenis
dum proponitur pag. 3Mapna istius usus it j i. a: a ibidem Duo lum de quibus oportet Analystam esse sollicitum. ib. olim impossibile eredebatne Proble. maribus satis facere, ρος Auctor resoluen, da suscipit. ibi l. Quando non sit aseensius supra plana nullius laboris est Problemma resoluere.
Tracti otiis argumentum, pag. 4 Auctoris Methodus magnam ha tutilitatem adiunctam. Tractandorum ordo.
Appendix de Maaimis, Se Minimi Vbi
Reeentiorum Metti Dilus pro Maximis,& Minimis iudagandis, maxime e . mendabilis.
Huius Methodi exeelletia. ae dignit .
De Geometricis uectibus. pag. 3.
Effectio quid sit in Analytieis. ib.
Quo sensu Mathematicae de te opera tabili dici possent,&qua ratione practicς. Omne linearum genus in esseetionibas
adhiberi potest. In quo potistimunt Artificis solertia posita sit. Primus considerandus modus , quo Problemata solida eoustrii ierunt Modum quo Problemata solida ad aequationes trium, ves quaruor dimensi num reuocata Cartesius, construxerit.p.6. Liu ex Medieeae quas Auctor ad gene. talem effectionem Problematum excogi. tauit , explicantur. pag. I 2. Primum genus Linearum Mediceatu .&ad hoc ptimum genus Pertinentium prima. Pro emctione Geometrica , cum aequatio fuerit a Q. bara PAd primum genus pertinentium Linearum Medicorum secunda- νοῦ. Pro eis: hicine Geometriea, cum ae quatio suetita se b a m b. d. Ad primum genus, pertinentium Li.
nearum Medic tum te. tia. Pag. 14 Pio essectione Geometrica, cum ae .
nearum Medicearum quarta. pag. Is Pto emctione Geometrica, cum ae quatio fuerit a. Φ b a m byd. Ad primum genus perta uetulum Linearum Medictatum quinta. pag. 16 Pro eisectione Geometrica a cum ae .
quatio fuerit a Φ b a3 m b3 u. Ad ptimum genus pertinentium Li. nearum Medictatum sexta . pag. 17 Pro essectione Geometrica, eum aequa- tio fuerit o ob a m L d. Ad primum genus pertinentium Lineatum Medietarum serti . pag. ryPici essectione Grumetrica,cum aequa tio sierit a Qi b'a α b d . Ad primum geuus pertinentium Li. nearum Medicta cum octaua. pag. xo Pro ei sectione Geometrica, in aequa. tio fuerit a3 Φ b3 a α b3 d .
Ad primum genus periinentium Linearum Mςdic cum nona. PH, a IProe sectione Grometrica eum aequa. tio sue in ab H a b d . Ad primum genus pertinentium Linearum Medieearum decima. pro effectione Geometrica,cum aequam tio suetit a Ο ba b d. pag. xx Seeundum genus L meatum Medicea. i um , & ad huiusmodi genus pertinen. trorum Prima . Pro emetione Geomettiea,eum a qua tio suem P b a za 2 . pag. 23
Ad secundum genus pertinentium Li
neatum Medicearum secunda. Pio ei lactione Geometrica.cum aequa
tio suetit a - , α α by d . pag. 24 Ad secundum genus peltinentium Li.
Pro et lictione Geometricasum aequa tio fuerit a .-b a P d. pag xs Ad secundum genus pertinentiam Lineatum Medicearum quarta. Plo ei lactione Geomitrica,eum aequa iiosuerit a -- b a la d. pag. 16Ad seeundum genus pertinentium Lineatum Medieeatum qu inta . Pio effectione Geometrica, cum aequa
tio suetita -ba α is d . pag. 17 Ad seeundum genus pertinentium Linearnm Medicarum sexta. Pio essectione Geometri .eum aequa tio fuerit a b a b d. pag. 19 Ad secundum genus pertinentium Linearum Mediceatum septima . Pio essectione Geometalca,cum aequam tio suetit a a d. pag. 3o Ad seeundum genus pertinentium Linearum Medicearum octaua. Pro essectione Geometrica,eum aequa.
tio suetita ob a b d . pag. 3IAd seeundum genus pertineturum Linearum Medicearum noua .
Pro effectione Geometrica cum aequatio fueritas b a m b d . pag. 3IΑd lecundum genus pertinentium Li. nearum Medicearum decima. Plo effectione Geometrica,eum aequa. tio fuerit a -. b bs d. P g. 3 3Tettium genus Linearum Mediceatu. ae ad huiusmodi genus pertinentium prima . Pio effectione Geometrica quin aequa. tio fuerit b a se afl α 2 . pag. I Ad tertium genus pertinentium Linearum Medic tum feeunda. Pio essectio Geometrica, cum aequa tio suetit ba -a b d. pag. 31 Ad tertium genus pertinentium Linearum Medicearum tertia.
Pro essectione ceometri Aum a qua tio fuerit b a - a m Nd. Ad tertium genus pertinentium Li.ntatum Medicearum quarta. Pio essectione Geometri dum aequa tio suetuba - as b d. pag. 33 Ad tertium genus pertinentium Lineatum Mediceatum quinta. Plo essectione Geometrica,cum aequa intio fuerit by a aε b d. pag. 39 Ad tertium senus pertinentium Linearum Medicetatum sexta. Pro essectione Geometrica. eum aequa
tio si ierit b a-a hi d. pag. ibid. Ad. tertium genus Pertinentium L, neatum Medicearum septima Pici essectione Geometrica, eum aequatio sierit L a' - a rab3d,. pag. 4o Aliud quoddam genus Mediteatum
Linearum. Pro effectionibus Geometris,eu aequatio Retit multipli. is assectionis. N. tDefinitiones. Pag ε De unitatis usu in Geometria. ra. 4s Propositio prima. Quo pacto pia
num unitaris praesidio in simplicem lov. gitudinem transututetur. Pag. 4
Propositio secunda. Quo pacto solidum viviatis praesidio in simplicem toti
gitudinem transmittetur. pag. Propositio tertia. Plano planum msimplicem longitudinem transmutare. Quae hacteum tradita sunt eremptis illustrantur. Problema. Datum sit latus I x. diuidendum in duas partes. ut rectangulum asib partibus aeqtiale sit dato plano. Potisma . Sume dimidium numeri radicum, Sc ab eius quadrato, auset comparationis limogeneum, siue num merum absolutum, residui latus quadratum subtratie ex dimidio iam dicto, quod remanet erit pars maior. Speciebus idem absoluitur. pag. 46 Porisma: Sumatar dimidium emissiciemis longitudinis sublateralis, de ab eius quadrato auferatur homogeneum comparationis. residui aute latus qua.dratum auferat ut ex praedicto dimidio ;quod enim superest erit pars minoz quaesita. Problema. Datum latus ita diuidem, ut quadratum vilius partis ad ted an pulum sub toto. de alitia patre dat an ,
habeat rationem . p g 43 Potisma. Quadrato dimidiae coe sit. eientis subi teratis addatur rectagulum factum a latere diuidendo in illud, ad quod latus di itidendum in eadem est tatione in qua est terminus eoia sequens ra tionis datae ad tet mutum antecedetem ;aggregati vero sumatut latus, de ei subis ducatui eoesseiemis dimidium a residuum enim erit radicis preciun , de patistem unam quaesitain diuidendi. Iateris exhibebit; reliqua veris non Iatebit. Genetalis ratio rcloluendi, quam Auctor ad inuenit. pag. 49 Seholion in quo definitiones explis cantur. P g. st
Problema. Datis base. & perpendi.
culo, dataque ratione a regali ex vito latere, de perpendiculo. ad aggregatum ex alio latere , & perpendiculo repetite
Hoc idem Problema generali ratione ab Austore ad inuenta , iacilius resolui
potest. pag. DHeleiue Corneliae laudes. pag. Iν Ratio applicandi rectam uitet eon uexum periplieriae, & diamettum pro ductam . pag. 6o Dato uno ex lateribus trianguli rectanguli, dataque differentia legareu
torum bascos, reperire triangulum. Potisma. Ad quadratum e quarta pane disterentiae legmentorum Dase ,
addatur dimidium quadrati lateris dati, hi circa
89쪽
citra rectum, aggregari latur multatum eadem qua ita parte disierentiae segmen totum baseos . exhibebit segmentum minus baseos, unde segmentum maiux non larebit, quare triangulum quoq; constabit. Pioblema . Sit circulus A B E, cuius
diameter ΑΕ, protracti sit in infinitum ad patres E, datumque sit in peripheria punctum C; aptanda sit quaedam iecia, ut B F. quae transeundo per C; ipsa lis vra da: a B F, sit intercepta inter periph
riam , hoc est, inter Peripheriae eon. cauum , dc protractam diamet tum A E. Potasma. Beneficio igitur Lineae ad postremit in genus Mediccatum perimen. tium, si fiat consscutit S c. pag. 6t Pi obteina . Sit circulus A B E . euius diameter A Ε, protracta sit in insultum a s petites L.daiumque ii: in peti pheria . punctum B. aptanda sit inter diametrum productum. & conii erum Pelipheriae da. talluaedam C F , qux ptutiam ad pae. tes C . perueniat ad datum punctum B. Pota lina. Beneficio igitur linea: ad rostremum genus pertur zntium. pag. 62 v nix de Maximis , O,
Noe argumentum ae cutε tractatum fuit ab Apollonio, d a Fiancisco Maut lyco. pag. 6IHopositio I. Maximum rectangulumeontentum sub duabus segmen: s proposita latetis, repe III epotasma . Rectangulum maximum est
ctus, sit quadrato quadratum . Potasma Maximum plano- planum, quod applicatui dato subd ti di sie iens quadra. to- tu diato, est illii l, quos a pii Mur tribus ex quatuor partib .et dati sol. si, ut quadrato quadratum deceiens teliquam
Propositio VII. Reperire maximum
plauo solidum, quod applieari pollit da
in lineae deficiens quadrato cub. . Porisma Maximum plano solidum. ii os applicatur datae lineae desie ieiis quarato cubo,est id, quod applicatur quia tae parti datae lineae, Ze quadrato cubus, qui dicit . Occupat reliquas quatuor ex
extrema ii hianis re,' at ignimn sub me. dia, se disserentia exit ema: uni est omnia
P opositio XV. Datum latus diuidere
in duo segmenta . ut e et iis quγdiatorum aggregatum . sit o Mium in m mu pag.7s Poti in . Latus diuidentium est duplupa: tis 'in xiitae quocirea & e.
tollarium. kt his laeile intellegit,
minimum aggregatum quadratorum assumque partibus proposi: ae lineae. p. 67 partibus lineae diuisae duplum elli maxirroni ii: io Vlli. Renerate marimum mi temgilli sub patrio is eiusdem line e . plano solidum quod pol si a plicati dato plano dentiens quadrato cubo . Porisma. Maximum plan solidunia , quod applicatur dato plano disiciens quadratin cubo , est id, quod appli Murdua' bus ex quinque partibus data plani .d qua drato cubus. q io applicatum detficit, oe cupat tres reliquas patres eiusdem plani. Propositio iX. Repetite maximum pia ninsolidum.'a toti possit applicari dato solido, deficiens quadrato cubo. Potisma. M irimu plano solidit,quod applicatur datu Mi lodesteiens quadra in cubo est :d . quod applicatur trabus ex quinque pauibus dati solidi. & quadra. to cubus, quo solidum applieatum defi
Propositio vi. Si parabolen tecta li.
ciant ingens csi ueniens cum diametro ex
tra sectionem. quae a tacti ad diam trum ordinatim applicatur, abs uidet ex diametro ad vettier m sectionis linea aequa lem ei. quae inter ipsam, N etintingentem interi jcitur, bc in locum, qui eli inter co. tingentem , dc iectronem, alia recta linea non cadet de e.
Piopolitio XVll. Si hyperbolen , vel
ellipsin,vel circuli circumsalem ram p III Orisma. In omni ei te illo. , ve est diis rentia segineu totum diametri. ad segmentum maius, ita duplum segmentum sub segmentis dati lateris, cuin segmenta sunt inter se aequalia. Propositioll. Reperire maximum so .
si dum . quod fieri pollit sub segmentisr: opoli:ae rectae lineae . Poti Di a Maximum solidum,quod applicatur lineae eubo deficietis, est illud, quod tertiae part propositae lineae applicat uri de exibus adiacet duabus teiiijs par tibus datae tectae lineae . Propositio tu. Reperire maximum , quod applicari possit dato plano defieiens solido simile dato,solidumq; datum . cui debet assimilari defectus, sit cubus. p. 6 Potisma . Maximum solidum , quod potest applicari dato plano desciens eu i. si illud , quod applicatur duabus tellus partibus dati plani Propositio iv. Reperire maximum plano, planum,quod possit applicati datae lineae deficiens plano- plano simili dato, atque datum , cui debeat alsi otiati de te eius, iiii quadrato quadratum. Potilina. Maximum plano planum , quod applicatui datae lineς deficiens qua .dtato quadrato est id. quod applicatui quartae parti datae lineae , Sc quadrato- quadratum, quud deficit, occupat tres quartas partes datae lineae . pag. Piopositio v. Repet ire maximum plano planum , quod roilit applieari datoriano, cum desectu plano plani simili x datae, de datum, cui debeat as limitari de . sectuti sit quadrato quadratum. Potisma. Maximum plano planum , quod applicatur dato plano , deficie usquadrato quadrato, est id, quod applica.tur duabus partibus ex quatuor, i ii quas diuiditur planum,ut quadrato quad.quod dcficit,occupat letiquas duas partes .p 66 Piopositio vi. Repes ire maχimum plano planum, quod rostit applicari darotolido cum deiectu plano plani , similis seio, R darum ui debet astumlati dese.
cit, reliquas duas occupat Paties. pag 63 minus, ad intcIceptam iniec cidinarum Propositio X. Repetite maximum pia' ductam a qua diametri segni eura ipsa de
no solidum, quod pollit applicari dato
plano plano deficiens quadrato cubo . Potisma. Maximum plano solidum, qu applicatur dato plano plano deficienῖ quadrat cubo, est id quod applica.riit quatuor ea quinque patribus, dato plano plani, de quia: atu cubus, quopia D planum applicatum deficit, reliquam quintam occupat patrem. Propositio X l. Maximum rectangulure petite, quod sub media de disseremia
trium proportionalium, compreheuditur.
Potisma . Quaesitum segmentum est quod potest dimidium quadrati. ipsus d c. pas Iriopositio X II. A data circuli peri
phetia arcum abscii risere, it aut rectangit
tu sub eius chorda iii lagguia ita maximuPorisma. Diuidat ut diametet in qua tuor partes Ide. ras. 7o Resolutio. r g Compositio . pag. 7 s quam ex radicibus . Lemma . Si duo triangula habuerint Theorema secundum signantur, dc punctum occurrens ipsius tangentis cum diametro producta.
Piop xvi Il. Ad ellipsin quod attinet&e.
Porisma. hi omni ellipti, ut est diste rentia segmentorum diametri. ad se e tum maius. ita duplum segmerum minus, ad interceptam, inret ordinatum ductam
a qua segmenta ipsa designatuur. I. puri cium arcuitus ipsius tangentis , cum dia metto producta. P g υ
Lemma primum. Lemma secundum, pag. DLemma tertium. Lemma quartum. Pag. si Lemma quintum. Theorema primum. Prodnctum in aliqua tecta linea factum secundum pos .
t tetminus aequales maximum est om
latus latcri aequale, alter autem adiacema lineae segmenta suerint, de angularum iii uno,sit aequalis alteri adiacentium in altero, teliquus adiacentium in primo, sit maior reliquo adiacentrum in lecundo, etiam latus maiori angula Op politum , marus erit latere, quod mi ιiorialinulo opponitur. PK. 7 Resolutio. Compositio. I'inpulitio XIII. Reperire maximum rectaugulum. eomprehensu in lub media, 5 maiori extrema trium proportis natium. Theorema tertium. Data recta linea.
8e duobus terminus, octa Pase a Scholion .
Problema ptimum. Datam lineam rectam ita iccare, ut productum ex divitii. talibus segmentocuatus: Onaia: uiri limilium maximum. Pag sproblema leeum um . AEquattiauem dc termitialem qua potestas uuaeri ra dicis negatur de homogeoeo sub radice Porisma. Maior extrema e tribus prinportionalibus, debet ella aequalis itibus quaitis partibus aggregati extrema ruin, si rectanguluio lub maiori excrenta, dc me dia , debet esse malimum . pag. 7
Pcopositio X l . Repetite maximum rectangulum coniri elicia Iulii iis media , Lemma iucundum. Pag. Ss Epistola ad Franci lcurra Matiam Nai. dimum. res Theorema. Si sit citculus cuius di metet A D. die. Resolutio. pag. γε data, dc dignitaic tua Paciadaea c. λιε.