장음표시 사용
71쪽
quia ita se res habet de 'alijs quibuscunque rectangulis, dummodo antecedent Ia reflana gula eiusdem sint altitudinis, item eiusdem etiam altitudinis sint consequentia rectangula Quae autem diximus de rectangulis a semiordinatim applicatis in sibi tespondentia diametri segmenta,eadcin quoque intelligenda sunt de rectangui s ab ordinatim applicatis in eadem diametri segmenta. Imo illud itidem accedct, quod rectangulum ab aggregato semiordinatarum,quarum , una ad circulum, alia ad ellipsim pertinet, in diametri segmentum est maximum ἰ unde rectangulum ab H D, in A E, omnium est maximum. Vt enim rectangulum A E H, ad quodlibet aliud in ellipsi proportionem habet maioris inaequalitatis, & rectangulum A ED, ad quodlibet aliud in circulo proportionem habet maioris inaequalitatis, ita rectangu-
Ium sub H D, & A E, ad quodlibet aliud in Figura A M H C D O, proportionem habebit
maioris inaequalitatis; unde est maximum.
Hinc etiam sequitur rectangulum sub H B, & A E, omnium esse maximum: non dissimili enim discursu concludetur; maximum, inquam, omnium, quae fieri pollunt sub diametri segmento, dc differentia inter ordinatim applicatas, quarum una ad circulum, ali ad ellipsim pertinet. Caeterum Geometrice, quod initio propositum suit, sic ostendemus prae- in ista Analysi. Sit rectangulum AEB, itaut EB, sit dimidium totius BD,
subtendentis arcum B C D, trientem totius peripheriae. Dico maius ess
alio quocunque A HI, vel A Κ L. Intelligatur ducta BM,ad angulos rectos ipsi H I, quae ducta intelligenda est parallela ipsi E B,atq; adco perpendicularis diametro A C,cum haec sit ad rectos
angulos cum BD & deinde aeta sit A B,item IB
Quoniam igitur rectangulum sub AE, &EB, maius est rectangulo sub A II, & ΗΙ ergo A E , ad A H, maiorem habebit rationem, quam HI, ad E B; hoc est B E, ad FI mscii H M, ad H N, maiorem habebit rationem, quam HI, ad E B, seu HI, ad II M. Quod
ita se habet. Sunt enim ircs rectae HI, H M, H N, ita ut maior sit excessus rectae H Μ , supra H N, quam HI, supra H M. Quod sic Ostcndetur. Intelligatur B M, protracta ado, erit quidem O B, subicia lens sextam partem totius peripheriae, cum B D, subtendat trientem; est enim O B, parallela ipsi A C, quae cum B D facit in E , angulos rectos;Quare arcus o B, est aequalis arcui A O; sed OI, est minor, quam O B; ergo minor, quam AO , quare angulus OBI, minor erit angulo A B O, seu angulus M BI, minor erit angulo M B N ; est autem angulus IM B, aequalis angulo N M B; est enim uterque rectus, de latus
M B. Vtrique triangulo commune; ergo, ut mox ostendemus, latus MI, crit minus latere M N. At vero, si latus B M, commune fuerit utrique triangulo, angulus B MI, suerit aequalis angulo B M N, & angulus M Bl, fuerit minor angulo M B N, latus MI, debero minus esse latcre M N, sic ostenditur. Ad punctum B, intelligatur factus angulus M B P, aequalis angulo M B N; & recta MI, protracta sit in P. Quoniam ergo in duobus triangulis P M B, N M B, duo anguli PMu, P B M, aequales sunt duobus N M B, N B M, uterque utrique, & adiacent aequalibus lateribus, imo uni communi M B; ergo & reliqua latera reliquis lateribus aequalia erunt;
72쪽
Quoniam igitur H M, ad H N, maiorem habet rationem, quam H I. ad H M, ergo BE, ad H N, maiorem habebit rationem, quam HI, ad FI M: sed ut E B, ad H N, ita AE , ad A H, ergo A E, ad A H, maiorem habebit rationem, quam HI, ad H M, seu ad EB, quare rectangnium sub A E, &EB, maius erit rectangulo sub AH, &HI. Quod oportebat ostendere. Non dissimiliter procedendum, cum punctum I, suerit in apice quadrantis ; at si fuerit inter quadrantis apicem ut punctum O,vcl inter A,& O, &c. manifestum est rectangulum semper esse minus, quam quod sub A G, & sub perpendiculari cκ G, ad quadrantis apicem ; ergo multo magis minus erit rectangulo sub A E, & E B. Quod si punctum I, caderet inter B, C, ut in L, sic procedendum.
Quoniam igitur maior est proportio rectae E B, ad rectam Κ L, quam A Κ, ad A Ee go rectangulum sub E B, & A E, maius erit rectangulo sub A Κ, & Κ L. Vel quia E B, ad K L, maiorem habet rationem, quam A Κ, ad A E; ergo A E, ad AK, maiorem habebit rationem, quam Κ L, ad E B; quare rectanguIum sub A E, & E B, 'ε.A Lmaius erit rectangulo sub A Κ, & Κ L. Quod erat operae pretium ostendere. Quod si rectangulum sub A E, EB, est maximum,etiam eius duplum,nempe sub A E,BD
Idem tamen paulo aliter, sprientissum sit, quod etiam supra adhibitum est.
73쪽
Si duo triangula habuerint latus lateri AEquale, alter autem adiacenIIum angulorum. in uno, sit aequalis alteri adiacentium in altero , reliquus adiacentium in primo,ssi maior reliquo adia centium in secundo, ratam latus maiori angulo 'positum, maius eris latere quod minori angulo opponitur.
Sed id clementare est. Hoc praemisso. Intelligatur ducta I B, quae ad partes B, protracta occurrat diametro productae occurret autem ut patet ex Elementis ad partes C , ncmpe in F ; & protrahatur IIJ, ad V.
- . , Quoniam igitur rectangulum sub A E, & E B., maius est rectangulo sub A H, H I ergo h ly.3isinit. A E, ad A H,maiorem habcbit a rationem quam H I,ad E B, sed ut HI, ad E B, ita H P, ad E F, ergo A E, ad A H, maiorem habebit rationem quam H F,ad EF, ergo ε diuidendo HE, ad A H, maiorem habcbit rationcm, quam H E, ad E F; unde E F, maior crit, quam AH. Quod ita se habet, angulus enim A B D, insistit arcui A D, trienti totius peripheriae at vero angulus V I B, insistit arcui V D B, qui maior est triente, utpote maior arcu D C B , esti;itur angulus A B D, seu A BE, minor angulo VI B, seu DB F, seu EB F. In duobus igia iur triangulis A B E, E B F, latus E B, utrique triangulo commune est: angulus autem A ED, aequalis est anguip F E B, uterque enim est rectus; angulus vero EB F, maior est angulo E B A, ergo ex eo, quod pi misimus Lemmatellatus E F,maius erit latere AE,ergo multo maius recta AH.
, , p. --,I. Quoniam igitur E F, maior est, quam A H, recta H E, ad A H, maiorem habebit ratio β ιε. 7 Pavi nem, quam ad EF; quare componendo AE, ad AH,maiorem habebit rationem quam HF. ad E F; hoc est HI, ad E B. Proinde rectangulum sub AE,& EB,maius erit a rectangi Iosub AH,&HI. Haec autem, cum punctum I, ceciderit inter B, X; vel in ipso puncto X, quadrantis apice . At vero si cadat in quadrante A X, inter A, X, manifestum est, ut superius in alia resolutione ostendimus, rectangulum factum a recta cadente ex a si umpto puncto perpendiculari ad diametrum, in segmentum diametri inter A, & punctum, ubi cadit perpendic laris, minus cise rectangulo sub A E, E B. Quod si punctum I, cadat inter B, C, ut in L , non disimili discursu, ac supra conclud tur rectangulum sub A E, E B, maius esse quocunque ex rectangulis factis, a perpendiculari, ex puncto assumpto in arcu textante B C, in diametrum, in diametri segmentum, inter A, & punctum, ubi perpendicularis cadit, &c. Punctum sit c. g. L, ex L, cadat perpendicularis in diametrum,& ex B, per L, intelli- satur ducta recta Occurres diametro productae, & procedatur non absimili modo ac prius
Reperire zaximum resi angulum, comprehensum Ab media, cin maiori extrema trium proportionalium .
74쪽
Sit AB, supra quam descriptus sit semicirculus A EB, at vero A B , laeta sit in D, itaut ex D, crocia si perpendicularis D E, crunt quidem A D, D E, D B, tres proportionales; quarum media D E. Supponamus aut cm rcctangulum A D E, eae maximum, nempe contentum sub maiori extrema AD, & mcdia DE. A o u . Sit A B, aequalis b, & A D, aequalis a, ergo D B, crit b - a rectangulum sub his est b a a', quare b a -- a', erit quadratue X DE, itaq; ipsa DE,erit R b a a' ducatur aute a,nempe A D, in ' b' a - a' scilicet D E. & proueniet R b a' .a tantum igitur erit rediimgulum sub A D, & D E. Nunc supponendum A D, esse a Fh e, itaque D B, crit l, - a c, rectangulum sub liis est ba,Fbe -a'-2ae ', itaque eius latus, putast bat be a' - 2 a e- e') aequabitur D E, si igitur vi b a b e - es e P ducatur in a 44 e prouenici id quod ae
Maior extrema e tribus proportionalibus, debet esse aequalis tribus quartis partibus aggregati extremarum , rectangulum 'b maiori extrema se media, debet esse maximum .
Caeterum ridiculum forci inquirere maximum rectangulum sub media, & minori cxtro. ma, e tribus proportionalibus; dum enim crescit minor extrema, crescit & mcdia, quoad fiant tres rectae aequales, unde nequit assignari rectangulum sub minori extrema, &mcdia, ita ut illud maximum sit omnium, quod cuique perspectum, ac manifestum ess potest.
Reperire maximum rectangulum comprehensum, sub media, o disserentia extremaru trium proportionalium.
Supponamus super A B, descriptum esse semicirculum AE B. Sit autem C, centrum, atque segmentum C D, aequale sit segmento C F a segmentorum vero A D, D B, disserentia est F D, at si ex D, erecta fuerit perpendicularis D E, erit ipsa D E, media proportionalis inter A D, D B.
Supponamus rectangulum F D E, cssc maximum; tur punctum D, seu quam relationem habeat A D ad
F D. ad D B, &c. Sit b, aequalis AC, vel C B, at vero a, sit aequalis C D, vel FC, igitur b f.a aequabitur AD,& b - a, aequabitur DB, 2 a a, aequabitur F D. Cum igitur AD aeque tur b Φ a, & DB, aequetur b - a, igitur ducatur b t a in b - a, ut fiat b' a , disserentia enim laterum ducta in corundem aggregatum facit ditarentiam quadratorum,itaque quadratum ex DE, erit b' - a', quare DE, aequabitur R b' - a' & quia F D,erat a a,ducatur di a in R b' - a & proueniet a a P b' - a' seu M a' - a seu quod idem est
75쪽
Dimidum disserentiae extremaram, aequatur ei, quo nes dimidium quadrati ex dimidio aggregati earundem extremarum; quando rectan tam Ab media, ct di eremia extrema umes omnium ma imum, sec.
Datum latus diuidere in duosegmenta, ut ex js quadratorum aggregatum it omniam re
Datum sit latus A B, & oporteat facere quod imperatum est. Latus propositum supponatur b, sint autem seginciata AC, CB, ita ut quadratorum aggregatum ex ipsis,sit omnium minimum. Oporteat reperire punctum C;segmentum AC, esto a, ergo segmentum B C, erit b - a; quadratum autem ipsius a, cst a', & quadratum ex b a est b' - a b a-a', quadratorum aggregatum est b - a bat 2 a',hoc autem seruandum est, utpote illud, cum quo instituenda est comparatio. Supponamus e, aequari οἱ atque A C, esse a-e; at vero G B, csse b - a - e, harum partium quadrata sunt ipsius quidem a-e, est a' et a c-e', & ipsius b - a - e, est ,
Laius diuidendum en dimidium partis quaesita quocirca, , latus bifariam diuidatur, adisregatum quadratorum ex ibis partibus, ea omnium minimum.
Ex his facile intelligis, minimum arare tam quadratorum a partibus trire ae diuis, da plum est maximi rectanguli inub partibus eiusdem lineae. Ostcnsum est enim supra rectangulum maximum sub segmentis dati latoris, illud csse. quod sub aequalibus lateribus continetur, atque adeo est quadratum a dimidio datae lateris, at vero nunc constat minimum aggregatum qύadratorum a segmentis dati lateris illud esse, quod constat a quadratis partium, seu partium quarum utraque est dimidium totius lateris diuidendi; hoc autem aggregatum est duplum quadrati a dimidio, seu rectanguli maximi, ergo minimum quadratorum aggregatum est duplum rectanguli maximi, &c. Extat iam in Conicis demonstratum.
Si parabolen recta linea contingat conueniens cum diametro extra sectionem, eruae 2 ramadiametrum ordinatim anticatur abscindet ex diametro adverticem jectioms lineam ouis
Data sit se imparabola C G, cuius diameter sit F G, ut in perimetro seu linea paraboliata CG, datum sit punctum C, sit autem recta C L K, recta , quae tangat parabolcia in Cpuncto: recta vero F G, sit protracta ad partes G. Propositum sit inquirere punetum nubi tangens occurrit productae diametro in K. Uportet i Situr inquirere G K, relat in D:
76쪽
Ducta sit C F, ordinatim ad diametrum F G, quae data erit, sum turque punctum L, in C , , arbitrarium, agaturque LIM, parallela ipsit C F, manifestum est LM, maiorem esse, quam IM, Triangulum CFI, simile est triangulo LM K, est autem I, punctum, intersectio lincar L M, cum linea parabolica CI G, crit igitur ob pat aboles naturam, ut F G,ad M G,ita quadratnm CF, ad quadratum IM, sed quadratum CF, ad quadratum IM,maiorem habet rationem,quam quadratum CF,ad quadratum LM,& quadratum CF,ad quad. LM,est ob similitudinem triangulorum, ut quadratum F Κ, ad quadratum M Κ, crgo FG, ad MG, maiorem habet rationcm, quam quadratum lin, ad quadratum M Κ. His praehabit s . Supponamus F G, esse b, at F Κ, csto a. Supponamus deinde e,aequari FM, seu o: erit quidem MG, idem quod b - c, & MI,erit a - e; vi autem F G, ad M G, ita quadratum F Κ, ad quadratum M K, proinde vi b ad b c, ita es ad a' - 2 a e t e', ergo b a' a b a e t l, e aequabitur b a e a', & per antithesin fiet b e -c a' a b a e instituto parabolisino, fiet aequatio b e t a' m aba; est autem b e, idem quod O; ob id fiet arquatio a' m a b a, & per Itypobibasmum erit a m a b. Itaque F K, quae ponebatur a , arquatur duple F G, quae ponebatur b, unde FG, GK, sunt inter se aequales; quod contendit Apollonius proposition supra citata. Hinc .
In omni parabola recta linea contingens conueniens cum diametro extra monem,quae a tactu ad diametrum ordinatim applicatur, abstindet ex diametro ad verticem sectionis lineam aequalem ei, qua inter ipsam, or contingentem interjcitur se in locum,qui est inter contingenum essectionem, Hia recta linea non cadet.
Demonstratio est in Conicis Elementis.
si perbolen, vel ellipsim, vel circuli circumferentiam contingat quedam rem linea conueniens cum transuerso figura latere, or a tactu recta linea ad diametrum ordinatim applicetur erit ut linea qua interdicitur inter contingentem, oe terminam trasuersi lateris ad interiectam inter eandem , se alterum lateris terminum, ita linea quae eis inter ordinatim a plicatam, σterminum lateris ad eam qua est ιnter eandem, or alterum teνminum; adeo ut continuata interse sint, quasi ipsis respondent: o in Dcum, qui inire contingentem, o sectionem interi
citur altera recta linea non cadet.
Methodo autem superiori hunc in modum coIligere Iicebit relationem rectae F L, ad alias quantitat S. Supponamus H G, esse rectam supra quam centro D,' descriptus sit semicirculus P CG, itaui diameter sit HG. Sit autem C, punctum in peripheria via recta C Κ, tangit circulum ipsum, occumrens diametro protractae in K. Quod au-zem quaeritur est punctum L. Ducta sit CF, ordinatim ad diametrum, at vero inrect Ck sit assumptum pro arbitrio punctum I, sitque ducta linea LIM,parallela ipsi CE; est autem LM, maior, quam IM, triangulum vero C F Κ, simile est triangulo L M I; sunt enim aequiangula. At vero, ut ostendit Apollonius in Conicis Elementis vi est rectangulum H F G, ad rectangulum H M G, ita quadratum CF, ad quadratum IM, at vero quadratum C F, ad quadratum IM, maiorem habet rationem,quam quadratum CF, ad quadratum LM, & ut quadratum CF, ad quadratum LM, ita est quadratum FK , ad
77쪽
quadratum M K, ergo rectangulum H F G, ad rectangulum H MG, maiorem habebit rationem , quam quadratum P Κ, ad quadratum M K. Supponamus b aequari F G, & d, aequari H F; at verb a aequari F h; sed e , aequari F lis Ist enim EM & o, seu nihilo; erit igitur H M ,idem quod d t c, at M G, erit b - e; sed M Κ, crit a c, q*-li φ quare ut rectangulum H FG, ad rectangulum H M G, ita quadratum F h, ad quadratum M K, itaque vi b d , ad - c d - c' t b d t b e, ita a', ad a' - 2 a e t e , proinde fiet aequatio b d a' - 2 a e b d e' b d α - c d a' - e' a't b d a' t b c a': & per antithesin fiet a ad b d c' b d c d a e' a' q. b e a', & per hypobibasimum a ab die bd d a e a' t b a' est autem e , aequalis o, seu nihilo, ex hypothesi, quare et a b d zz di Φb a', & per hypobibasinum fiet ab imiba da,& per antithesin da b a- 2 bd quare pcrparabolismum fieta Itaque Fh, erit et , nempe quantitas o tilia ex applicatione dupli rectanguli b d, ad differentiam inter d & b,hoc est dupli rectanguli H F G, ad differentiam inter H F, & F G . Itaque erit, ut d b, ad R et b d , ita hoc ad a, seu ut d b, ad d ita a b, ad a. Hinc .
In omni Circulo, ut es disserentia mentorum diametri ad sigmentum maius, ita duplum si mentum minus, ad interceptam inter ordinatim ductam a qua diametri segmenIa.i a d si antur, se punctum occurrens, Vsius tangmtis, cum Hametro protracta. In omni igitur circulo tangens occurrenS diametro protractae, ita se habet, ut si secetur
Adelli m quod attinet, non dissimili argumentatione proredendum. Data sit ellipsis circa diametrum H G, sit autem in H C G, punctum C,in quo recta CLΚ, tangit ellipsim occumrens diametro protractae in K. Quaesi. tum est punctum Κ, in quo HG x,cum C x , se mutuo intersecant. Ducta sit CF, ordinatim ad diam trum, at in CK, intelligatur acceptum
quod uis punctum L,ductaque sit Lm parallela ipsi CRest autem LM,maior ipsa I M; totum enim est sua parte maius i quoniam vero L M, parallela est rectae C F, erit triangulum CFΚ, simile trianguIo in x; est autem ex ijs quae deinonstrat Apollonius virectangulum HFG, ad rectangulum HM C, ita quadratum C F, ad quadratum IM; at quadratum C F, ad quadratum IM; maiorem habet rationem, quam quadratum CF,ad quadratum LM,ut vero quadratum CF, ad qua dratum LM, ita quadratum F K, ad quadratum M Κ propterea rectangulum H F G, ad rectangulum HMG, maiorem habebit rationem, quam quadri FΚ, ad quadribs L. Supponendum est autem FG, essie b, at HR esse da item FΚ, esse a. Sit autem e,aequalis Flis, atque o, seu nihilo erit quidem HM, aequalis d t e, & MG, erit b - e, ut MK, erit a
adeo, quare rectangulum H FG, ad rectangulum HMG, ut quadratum FS , ad qua M K, proinde, ut bd ad ed - c' tbdibo, ita es, ada' et acte'; atque b d e a' - 2 a e b d Τ c' b diaequab. - e d a' -e es t b d a' t b e a 3,&c.& per hypobiba sinu, fict- - ab die bd da' - e a' t b a'; cumque c, aequetur o, seu nihilo crit - 2 a b d
d est b a',& per hypobibasinum, fiet abd tba da, & per antithesin, fiet da bam a bd: Instituto parabolismo fiet ara Igitur fiet analogismus, ut in circulo dictum fuit, yt d -- b, ad d, ita a b, ad a. Itaque.
78쪽
In omni eliis , ut es disserentia sigmentorum diametri, adsigmentum maius, ita duplum segmentum minus , ad interceptam inter ordioarim ductam, a qua segmenta ina designantur,
G punctum occ ursus Usius tangentis cum diametro protracta.
Sequitur de Hyperbole: scd de hoc alibi.
Milii autem hactenus allata meditanti, fama retulit praeclarissimum Micii aci Angelum Ricciuin, omnigena virtute cumulatissimum, aetatisque nostrae splendorem, ac decus, Romae, ut caetera, ita haec summa cum laude tractasse, proprioque marte in his, quampluri- -ουμ ma reperijsse, adeo quidem eximia, ut nihil supra; quamobrem animum statim ad cum in-- 'iiisendum appuli, ratus, si cum alloquerer, multa,& quidem sublimia, non dum alijs perspecta me cognosciturum; Romam propterea scstinans petij, ac cum adiens, plenum humanitatis atque, ac doctrinae cognoui; post multa denique protuli, Auxitpraesentia mam; tanta siquidem est qua pollet ingenij uis, atque solertia, ut ad veritatis indagationem, Naturae non incolsulto diceres illum Interpretem. Cum autem & de rebus Physicis, & Mathematicis , plura inter loquendum attulisset in medium, denique Lucubrationcs praestan. rigi inas aperuit, ac inter caetera generalem rationem Essectionum Geometricarum .pro quocunque Problematum gelacre, una cum corum dem Problematum detcrminandi ratione. Haec cum eruditissimis uiris Anglis visa sint digna praelo, propterea annis proxime anteactis Typis commissa sunt, quorum imitatione , ad communem utilitatem ,hic tanti Ingenii nobilissimum istum subijciam; unde, ut ex vi Sue Leonem, eius perspicacitatem, ac ruditionem summam addisces.
I Potestatem quamlibet, eiusque radicem, voco dignitatem: Si Dignitas in Dignitatem ducatur, ut A et , in B 3 , fici productu A et in B 3; cui producto illud simile dicimus, quod gignitur ex dignitatibus graduum eorumdem. Ita, in facta hypothesi, productum E a in C 3 , ex quadrato & cubo, simile est producto A r in B 3 .s Homogenea producta sunt, quae ad eundem gradum pertinent ; ut duo rectangli lata, quippe quae ad secundum gradum pertinent; & duo solida, quae ad tertium.
Terminos cum dico, intelligi volo duos numeros, seu aequales, seu inaequales,vel numerum 2 unitatem, vel duas unitates. I crminos inaequales appello duos inaequales, vel numerum,& unitatem. Terminos autem aequales, tuos aequales numeros,vel duas unitate .s Productum in linea fieri secundum terminos datos, aut positos, dicimus , quum illud si eκ duabus dignitatibus,quarum exponentessunt ipsi termini dati, vel positi; radices vero segmenta illius rectae lineae sectae in proportione terminorum corum dem.
sit verbi causa, quaepiam recta linea, cuius maius segmentum ad minus sit in ratione a ad , i productum ex cubo segmenti maioriS in quadratum minoris erit factum in linea da ta secundum terminos positOS 3, & a; quia segmenta quae sunt dignitatum radices habent rationem numeri 3 ad 2 ,& exponentCS earumdem dignitatum sunt etiam 3, & a . Rursus esto quemadmodum segmentum maius ad minus cius icin lineae, hcs ad 1 ,pro ductum ex cubo maioris segmenti in segmentum ipsum minus, erit productum in linea fa ctum secundum terminOS positos, numerum & unitatem. Ita, A 3 in Bi s si A vocetur initus segmentum, B vero, minus J est productum factum in linea A t B secundum termi nos a , & unitarem, quia radices A & B sic sunt, ut est numerus 3 ad unitatem; & dignita iis A a exponens est, ὀ , numerra datus ir dignitatis B r exponens est, unitas, item data.
Si duae rectae in eadem ratione secentur, producta similia facta ex segmentis,tanquam . . ex radicibus, erunt proportionalia productis homogeneis,quae fient ex totis. Sint A B, DE, rectae, . C F
79쪽
ctar, ut quam rationem A C ad C B habet, eandem habeat D F ad F E, & fiant ex illarum segmentis producta AC ain CB3,&DFa in FE 3, quae sunt similia per secundam definitionem ; ijsque homogenea producta fiant ex totis A B, D E, nimirum A B s, D E s , per tertiana definitionem. Dico A C a in C B 3 candem rationem habere ad A B ue , ac DF , in FE 3 ad DE s . Quia rationes ex quibus ratio producti AC a in CB 3 ad AB s componitur, eaedem sunt ac componentes rationem producti DF a in FE 3 ad DE s; ob sectionem linearum proportionalem,& inde proportionales dignitates ex quibus producta illa
resultant. Quod,&c. . gemmasecundum
Ijsdem positis, Dico, si AC a in CB 3 fuerit maximum omnium similium productorum
ex binis segmentis rectae A B, etiam D F a in F E 3 sere maximum productorum similium ex binis segmentis rectar DE, tanqualia ex radicibus. Singulis enim productis ex segmentis recta: DE alia respondent orta ex segmentis recte AB in eadem proportione sectarin illa ad homogeneum suum DE s eandem rationem habent, atque ista ad latim AB 3,ex primo Lemmate . Ratio quidem AC et in CB 3 ad AB s, ex hypothesi, est eadem , ac ratio DF a .in FE 3 ad DE s : caeterorum vord productorum ex segmentis ipsius DE ad DE s, eadem est atque ratio productorum sibi respondentium, quae fiunt ex segmentis rectae AB, ad AB s. Cum igitur ratio AC a in CB 3 quod maximum esse poniturJad AB s sit maior,per Octauam quinti Element. ratione caeterorum productorum sibi similium ad AB s; maior etiam erit ratio DF a in FE 3 ad DE s , quam ratio caeterorum similium productorum ex segmentis rectar D E ad D E s ; ac proinde ipsum DF a in FE 3 per decimam quinti Elem. est maximum. Quod, &c.
Si data recta linea secetur in ratione terminorum inaequalium,& diuidendo, fiat segm eorum dii serentia ad minus segmentum, ut differentia terminorum ad minorem terminum: haec inuenta proportionalitas, vel ipsa erit proportionalitatis aequalitatis, vel alia, in quam incidemus, iterum diuidendo, & sic deinceps; & in ea terminorum differentia aequabitur minori termino, & differentia segmentorum segmento minori.
ad C B, vel ad segmentum sibi aequale, D C: Quoniam vord haec proportio non est proportio aequalitatis, fiat D Edifferentia segmentorum AD, & DC; 3, differentia numerorum 6 & 3: & diuidendo, erit,
ut 3 ad 3, sic DE ad AD, proportio aequalitatis. Rursus A C sit ad C B, ut 1 ad 3 ; & AD 3 segmentorum ditarentia ; diuidendo erit, D F E CAD ad CB, seu ad sibi aequale segmentum 6 . - BDC,ut et ad 3 . Et iterum diuidcodo Γ seg- ' , mentotum A D & D C, esto, differentia, E C, J i ad a ut EC ad A O seu UE; & tertio s facta FE terminorum D E & E C differentia Idiuidendo inueniemus, ut i ad I, ita F E ad E C. Quod, &α Ratio Lemmatis est, quod duorum quorumcumque numerorum differcntia, vel differentia numeri & unitatis, semper est numerus aut unitas, ut per se patet: & nos diuidendo, semel atque iterum, ac saepius, demimus semper minorem terminum diuis, proportionalitatis qui est numerus vcl unitas, de maiori termino seu numero, utimurquc deincepς residuo tantum D quod est eorum terminorum differentia J & comparamus illud cum minori termino proportionalitatis diuisae: at non possumus sic demendo progrodi in infinitum , quia unitates in terminis sunt finitar, sed exhauritur tandem omnis differentia, residuumq; maioris termini proportionalitatis diuisae aequatur termino minori. Ita fit proportio aequalitatis, in qua unitas ad viaitatem, vel numerus ad sibi aequalem numerum, cst ut seg.
80쪽
mentum ad aliud aequale segmentum. Quod ostendere oportebat. Quod si ab ea proportione aequalitatis, in qua desitu in est, rursus incipiamus, Dico nos componendo gradatim, venturos per vestigia diuisionis ad terminos primae proportionalitatis, in qua segmenta datae lineae crant in ratione inaequalimn terminorum. Cuius propositionis rationem sacile intelliget Geometra, quem latere non potest, in Geometria omnia quae diuidendo concluduntur, ex contrario conuerti posse, & componendo concludi illud ipsum, quod ponebatur ante diuisionem, ut in quinto Elem. ostenditur. Eqempli gratia, sit maius segmentum datae rectae ad minus, ut a ad i. Igitur diuidendo 1 ad 1 est ut differentia segmentorum ad minus segmentum. Ex hac porrό aequalitatis proportione componendo rcssimus ad primam proportionem, in qua segmenta erant in ratione et ad 1 . Quod, &c.
Si duo quaelibet producta orta sint ex duabus dignitatibus ductis in aliam conamunemΞ dignitatem; quam rationem trabent illae duae dignitates inter se, eandem hab ni duo pro ducta . Sic productum A B I in B C s vana rationem habet ad productum A B 3 in E Fue , quam habet dignitas BC s ad dignitatem EF s ; in quas duas dignitates ducta communis dignitas AB 3 illa producta essecit. Ex definitione multiplicationis probat ηr hoc Lemma, quod alii in numeris demonstra
Datis quatuor quatitatibus,quaru prima ad secunda habeat minore ratione,quam tertia ad quartam, productum quod gignitur eae duabus extremis est minus producto ex medijs. Augeatur prima donec fiant quatuor Geometrice proportionales; tunc prima iri quar tam ducta essiciet productum aequale producto ex medijs. Igitur productum quod ericiebat ante quam augeretur, erat productum minuS codem producto ex quantitatibus me dijs. Quod,&c.
prodam in aliqua retra tinea factsisecundu positos terminos aequales .maximum ea omniusmilium producrorum , quaesteri possunt ex binis linea dat mentis tanquam ex Oricitas.
Recta linea AB secetur squaliter in puncto C laC, & sit AC ad CB ut 3 ad 3 f termini aequa- A Bles positi J Dico productum AC 3 in C B 3 , quod fit in linea A B secundum positos terminos , esse omnium similium productorum maximum. Sumpto quolibet alio pilatio D, faciamus aliud simile productum A D 3, in D B a . Cum autem sint quatuor lineae Arithmettice proportionales cum excessu C D, nimirum AD, AC,CII, de BD, minor est ratio maYimae AD, ad AC. quam CB ad BD; & triplicata ratio ipsius A D ad A C L seu ratio AD had AC a J minor est, quam triplicata ipsius CB ad BD s seu CB 3 ad BD IJ& per quintum Lemma,productu ex medijs quantitatibus, AC 3,in CB 3,maius est producto A D s in BD s facto ex duabus extremis.Eodem pacto demonstratur ΑC 3 in CB 3 esse alio quocumque simili producto maius, 2 consequenter omnium similium maximum . Quod, &c.
Si duo rectae lineae figmenta fuerint in ratione terminorum inaequalium, se per consequens, diuidendo sit,disserentia sumeniorum ad minussegmentum, Ut disserentia terminorum adminorem terminum; quoties ex dignitate digerentiae segmensorum ducta in dignitatem minoris fumentisit productum maximum, toties sit etiam maximum ex eadem dignitate minoris ργmenti ducta indignitatem maioris;atque ita, si dignitates figmentorum pro exponentibus habeant terminos positos, ct dignitas differentiae, dusserentiam terminorum .
Sit AB recta linea inaequaliter sega in puncto C, & BC ad AC, ut 3 ad 3,qui sint termini positi. Producatur BA in F, donec aequetur F C ipsi CB,& AF erit disserentia segmen torum BC & AC. Quoniam vero segmentum maius AC sic est ad minus C A, vi s est ad 3, erit diuidendendo AF ad CA, ut est et ad 3 . Nunc fiant duo producta qualia diximus,