장음표시 사용
61쪽
Supponamus liametrum A E, esse b, at vero Cp, magnitudine data sit d, ex puncto B. cadat perpendicidaris BD, quae appolletur L segmentum vero D E, dicatur g, at vero segmentum EF, esto a Quoniam igitur est ut C F , ad E F ita AF, ad BF,&A F, cst bta, propterca fiat via, ad a, ita b t a, ad aliam, eaque erit tanta . A, itaque erit B F; huius quadratum
a quo si auferatur quadratum ex B D, nempe si, remanebit eritque quadratum
62쪽
APPEN DIXDE MAXIMIS, ET MINIMIS.
Α umentum hoc subtiliter, dc accurat admodum, a Praeclarissimo Geometra Apollonio Pergaeo suisse tractatiun Antiqua tamen Methodo, ex eius monumentis cuique perspectum, ac manifestum esse potest ; sed idem non minori cum laude fuisse praestitum a Francisco Maurolyco Abbate Messanense, compertum est ijs, qui duos hac de re libros ab illo conscriptos cuoluerunt; adeo enim eg regie se gessit, tantaque cum laudo prouinciam suscepit, ut Apollonij Libros dcfectum Iupplere contendens hi namque nondum tunc temporis in lucem prodierant testimonio Sapientum quas Apollonium ipsum, fere superauerit. Caeteritin haud mediocriter ad rem de qua agimus Recentiorum Analystarum industria conducit i haec enim speciosae Logistices beneficio, praeclara, & admiranda consequitur ;quainobrem non erit abs re si in hoc praesenti Capite de noua hac Methodo sermo in instituamus, quod per aliquas Propositiones perficiemus.
Maximum rectangulum contentum sub duobu Ammii propositi lateris reperiri. Supponamus datum latus esse E F, sintque segmenta EG, G F; sitque rectangulum quidem maximum, quod sub hu- Giusmodi segmentis continetur. Oporteat cognoscere ubi E-- Fnam G, punctum cadat. Latus E F, dicatur b; segmentum E G, sit altaque G F, erit b - a; quamobrem rectangulum E G F, erit b a - a'; Haec i*itur sit prima aequatio. Supponamus deinde o, aequari o ; cum ergo e nihil valeat, adhuc a-e aequabitur segmento EG,& b - a - e aequabitur segmento GF; Proinde rectang.EGF,aequabitur b a a - a a e t b c e', sed crat idem rectangulum E G F, aequale b a - a', ergo b a - - a' aequa bitur b a se a a a e t b e - c'; & per antithesin ba - a' t a a e t m b a - a' t b c ; & rur. sus a a e t e' ra b e; & per hypobibasmum fiet a a e b. Supponamus autem e aequari o ; seu nihilo, proinde a a aequabitur b; atque adeo a m et b. Vsde.
Rectangulum igitur maximum es siub sigmentis dati lateris cum sigmenta sunt inter se a
Hoc demonstrauit Euclides Lib. 6. Propositione 27.
Reperire maximum solidum, quo seripossitsub segmentoproposita recta linea. Data sit recta A B, quam oporteat ita secare, ut quod fit sub altero segmento in alterius segmenti quadratum, a nsit maximum omnium quae sub quacunque alia sectionesieri possint. a b a Proposita recta esto bi & segmentum unum dicatura, alterum vero b a, solidum autem quod fit ex b- a in a. ba'- a'; reliquum est ut determinemus punctum sectionis, atque adeo segmentum a , ita ut solidum praedictum stomnium maximum. Supponamus e o; atque segmentum unum propositae lineae, esto a H. e , alterum enim crit b -- a - c ι quadratum vero ex a Φ e erit a'-a a e-e', quod ductum in b. . a
63쪽
- a - e, sacit solidum b a a 2 baetbe'-- 3 a' c- 3a c'- e', quod aequabi. tur b a a'; & per antithesin a b a o Q b e' - 3 a' e - 3 a z' m o. Omnibus autem applicatis ad e, quod ost hypobibasinum fecisse; fiet a b a t b e - s a' - 3 a c- e m o Atque adeo, fiet etiam per ahtithesin aba 3a'm 3 acte' - bc. Quoniam autem e , aequaturo, proinde 3 acte' - b c , valebit o, quare per antithesin fiet a ba 3a'. Omnibus applicatis ad a, fiet a b a; omnibus etiam diuisis per 3 , fiet 4 bza a. Quamobrem segmentum positum a , erit aequale duabus tertijs partibus rectae propositae lindae.
Maximum sotidum, quod applicatur lineae cubo deficiens, ea illud, quod tertiae parti propostae uncae applicatur, o cubus adiacet duabus terti'spartibus datae rectae lineae.
Reperire holiri m maximum, quod applicari possit dato plana, deficiens solido simile dato δε- iidumque datum , cui ribet agim lari aefectus int cubus. Datum sit planum, illudque dicatur b pl. &oporteat illud ita secare: ut si segmento alteri applicetur solidum cubo deficiens, sit maximum omnium, quae applicari pol sunt; deficentium figura simili, similiterque posita. Quandoquidem deflectus cubus est; propterea oportet planum datum applicare lateri cubi deffectivi. Latus istud esto a; alterum erit', quod in duo segmenta diuidetur, quorum unum eritu, alterum ver5 erit a quae quidem pars ducta in a'. producet solidum applicatum, nempe b pl. a - a'. Superest; ut determinetur quantitas ipsius a ; itaui b pl. a - a', sit s lidum illud maximum, applicatum bpl. deficiens cubo. Supponamus e , aequari o. Atque latus unum critate, ad quod applicetur bpl. veconsurgat latus cuius segmentum unum crit a l ei alterum vero erit e - a c. Postremum hoc segmentum ductum in quadratum ipsius a Fe, hoc est ina Φ et aeq-e' erit soliduin applicatum, nimirum bpl. atbpl. e.-a -ῖ a e 3 ac' cyza b pl. a -a', &per antithesia sci b pl. c - 3 a' e - 3 a e e' α o. atque adeo rursiis fiet b pl. e za 3 a' Cy ac' t e . Omnibus applicatis ad e, erit bpl. m 3a' t 3 aete'. Quoniam vero C,sup ponitur aequale o : proinde totum illustfactum sub e, erit aequale o. Quamobrem b pl. α-quabitur 3 a', ac proinde tertia pars dati plani, erit quadrato ex a, aequale. Quapropter maximum solidum erit, quod ad duas tertias partes propositi plani applicatur et Sumatur itaque tertia pars propositi plani, & inquiratur latus, quod illam potest ad quod applicatum sit bpl. ut cinergat tripla longitudo lateris, cui faeta est applicatio, huius enim duae partcs ductae in Icliquae partis quadratum constituum maximum solidum applicatum deficiens cubo. Vnde.
Maesimum solidum , quodpotea applicari dato plano deficiens robo, ess Hud Dod appliciatur duabus tendis partibus dat: plani.
Reperire maximum planosianum, quodpossit applicari datae lineae deficiens plinossiano mili dato, atque aeatum, cui debeat assimilari defeci us ossi quadrato-quadratum. Data sit recta b; cui applicandum sit plano-planum, deficiens quadrato-quadrato,quod fit omnium maximum. ιSecanda crit rccta b; ut quod fit ex altero segmento in alterius segmenti cubum sit omnium maximum. VRectae quidem b ; segmentum unum sit a; alterum erit b a; at vero plano-planum ap plicatum ait b a' a Oportet proinde determinare rationcm partium a , di b -a, hauctioc
64쪽
hoc productum sit omnium maximum. Esto e , aequalis o, seu nihilo; sitque segmentum unum a t e aliud vero sit b a- e, cu- aε ebus aute ex a te est alca't 3 a et 3 ae' te quo ducto inb ae, sit productum, ut hic a latere cernis,&in stituta operation secundum Artis prς. cepta, adhibita congrui antithesi, denique peruenitur ad
adco rursus per antithesin fit aequatio illa aba et ab acytbe za ψ as e t 6 a e t a es t es; unde omnibus applicatis ad e, fiet a b a ' 3 b a e t b c ai t 6 a e t 4 a e t ei. Nunc autem reiectis omnibus ijs, quae non potuerunt ab e, liberari; quandoquidem caupponitur aequari nihilo, seu o; proinde fict 3 b a ai; omnibus autem applicatis ad a, fict3 b a. Quamobrema, unde efformatur quadrato-quadratum, erit aequale tribus ex quatuor partibus ipsius b; atque adeo reliqua quarta pars eiusdem b , erit illa , cui applicandum crit maximum plan planum. P O-R-I-S-M A . Maximum planosianum, quod applicatur aeatae linea deficiens quadrato-quadrato es id, quod applicatur quartae parti datae lineae, o quadrato-quadratum quia dessest, occupat tres
Reperire maximam planossianum, quodpossit applicari dato plano , cum defectu planoq&nisimilis dato, se datum, cui debeat absimilari desectus, sit quadrato-quadratum, Datum sit b planum, cui applicandum sit plano planum deficiens quadrato-quadrato sit autem huiusmodi plano-planum omnium maximum; est autem plano-plani segmentum suturum quadratuin;vnde componitur quadrat quadratum deificiens. Sit autem a , cui applicetur b plan. ex ipso autem quadratum est a- , quo subtracto ex praedicto b plano, fiet rcliquum b planum ai, quod ductum in a ,facit plano- planum b plan. a a'; quod erit plano planum applicatum cum desectu quadrato-quadrati. At vero in locum ipsius a, subrogetur a t e, atque e aequetur o, seu nihilo, fiat autem quadratum ex a te , quod est a i a a e t e , quod si detrahatur ex bpl.fiet reliquum bpl. - a a a e -- c , quod quidem ductum in a ta a e t e producet plano-planum; ex b I pl.
65쪽
Per antithesin autem fiet a pl. pl. ex bpl. ac)pl. pl. ex b pl. et aequale ai e a 'cytqae, t e ; Omnibus aurcm applicatis ad e, fiet a b pl. a r bpl. e a' t 6 a et ac ' te et omnibus autem reicctis, quae sunt sub e, cum c , aequetur o, crit a b pl. a ari Ommnibusque applicatis ad a, fici a b pl. za 6 a , ergo b pl. Σα 2 a , quaten b pl. aequatur a Itaque a , occupat dimidium dati plani; & plano- planum, quod applicatur dato plano, deficiens quadrat quadrato, est id, quod applicatur dimidio dati plani, seu duabus ex quatuor partibus dati plani, dec.
Maximvm plano lanum, quod applicatur dato plano, desciens quadrato-quadrato, est id, quod applicatur duabus panibus ex quatuor, in quas di uiditur planum, se quadrato-qVaria tum , quod deficit, occupat reliquas duas partes.
Reperire maximum planomianum , quo possis avocari dato solido, cam defcctu planoet ni similis dato, se datum , cui debet asimilari desectus, sit qua ros-quadratum . Sit datum b solid. cussit applicandum plano- planum deficiens quadrato-quadrato; ip sum autem plano- planum debeat esse omnium maximum . Cum autem solidi segmentum ex quo fieri debet quadrato-quadratum deficiens, necesse & sit, esse cubum. Esto igitur a , cui applicetur b sol. si autem ex a fiat cubus, proueniet a , quo subtractoa ex b solido fici reliquum b sol. - ari quo ducto in a proueniet pl. pl. ex b sol. a - a', quod erit plano- planum applicatum cum desectu quadrat quadrati ex a. A t vero rursus loco ipsius a, substituatyr a t e, at vero e , iuxta hanc resolutionis rati nem aequetur o, ve nihilo, erit quidem plan planum applicatum deficiens quadrat quadrato,plan planum ex b sol. at pl. pi ex b sol. e- a ase sa ac e. ex quo si demptoris superius iam factum,prosiliet pro differentia ph pl. ex bsol. c- a e 6 pl. pl. ae - ψ a e' - e , quae diilarentia aequabitur o, seu nihilo per antithcsin. ac omnibus applicatis ad e; fiet b sol. aequale Aa t 6 a et s. ae le' de medio sublatis ijs, quae sub e reperiuntur in aequatione, cum aequentur nihilo fiet b solidum aequale a , quare qa' b sol. unde a ' aequalem i bsol. ex huiusmodi igitur quantitate puta a, cuius valorem expressimus cilingi debet lquadrato-quadratum, atque adeo plano- planum d ficiens quadrato-quadrato applicabitur tribus ex quatuor partibus dati solidi c. Hinc .
Maximum planoetianum, quod anticatur aeno solido, deficiens quadrat quadraso , est miud, quod applicatur tribus ex quatuor panibus dati solidi, o quadrato-quadratum Hlficiem Gliquam quanam occupat partem.
Reperire maximum plano olidum, quod appliearip sit datae lineae,de sciens quadrat cuία Data sit recta b, cuius segmentum unum esto a , aliud quidem erit b - a, quod autem fit ex b - a in a' , erit b a' - a'; hoc erit autem plano- solidum quaesitum. Supponamus vero unum ipsius b segmentum esse a t e, alterum Crit b-R- C, qua dratO-quadratum exare est a't a e fi se' a 'tinae se', quod quidem ductum inba - e facit l, a' t b a' e t 6 b c a' b a et a t b c a s a' e 'io io a'e a e' - eL Ex quo si dempseris b a a , fici residuum b a' e t 6 b c' a' t b a e b
g tan 3ssiciuntur, si haec nihilo φqualia supponuntur, atque etiam dhibia
66쪽
a congrua antithesi fiet 4 b ai m s a', atque omnibus applicatis ad at; fiet 4 b m s a Vnde quatuor ex quinque partibus ipsius b, erunt aequales a. Itaque maximum plano- solidum, quod ipsi b, applicatur deffciens quadrat cubo, erit quod applicatur 'quartae parti ipsius b. Hinc .
Maximum plano olidum, quoa applicatur datae lineae deficiens quadrato-cubo , es id, quod applicatur quintae parti data lineae, O quadrato-cuus , qui deficit, occupa coquas quatuor ex quinque partibus propositae lineae.
Reperire maximum planosolidum,quodposit applicari dato plano deficiens quadrato-cuti Datum sit b planum, & ita sit institvcnda operatio, ut praeseribitur, erit autern opus itat, planum diueaere, ut si ex altero ipsius segmento fiat quadratum, & cx eodem latere fiat cubus quod fit ex reliquo plani in hunc cubum esectum, sit omnium maximum. Segmentum iam dictum sit ai; reliquum igitur plani, erit b pl. - a , quod ductusti in uas producat plan solidum applicatum, nempe b plan. a a F. Deinde, segmentum sit a a a e t e , supposito tamen quod e miretur o, scii nihilo; reliquum plani crit b pl. - a a a e- ei, quo ducto incubum ex a te, nempe in at t3 a et 3 ae t O , fici bpI. - a s a'e - io at e t 3 bpl. a et 3 bpl. c-at bpl.
er. Omnibus autem applicatis ad e, ijs tantum seruatis, quae ab e liberantur, & congrua adhialta antithesi fiet a b pl. a s a , facto autem parabolismo per applicationem ada Prosiliet a b pl. s a', unde ex quinque partibus in quas intelligitur b pl. ese diuisum . tres quidem aequales erunt ipsi a . At cum ex a , efformandus sit quadrato cubus, quo applicatum maximum plano- Iidum debet deficere; ipsum plano-solidum, quod applicatur dato plano, deificiens ut diximus erit id, qu94 applicatur reliquis duabus, ex quinque partibus, propositi plani. Hinta
minimum planasoudum, quod applicatur dato plano deficiens quadrato culo est id queo Vplicatur duabus ex quinque partibus Eati plani, o quadrato-cubus, quo applicatum descis, occupat tres reliquas partes eiu em plani.
Reperire maximum plano solidum, quodpossit applicari dato solido, demens quadrato-cubo. Datum sit hsolidum, & faciendum sit quod imperatur. Itaque blat. ita secandum . erit, ut si alterum segmentum ipsius eringatur in cubum, quod fit ex reliquo solidi in quadratum huius essiicti cubi, sit maximum omnium eorum, quae fieri possunt, si quomodo. Cunque, aliter, datum solidum secetur. Segmentum igitur sit at reliquum itaque erit bsol. - ai; quod ductum in a producit plan solidum applicatum b solido a as. Supponamus praedictum segmentum esse a 3 t 3 ai e t 3 a e tes; nempe cubum ex at e,
ro demendu est prius factum scilicet ex b sol. ai - as, reliquum vero applicetur ad e; rcie ctis ijs, quae cum e implicantur, & facta antithesi, prouenilat a b sol. a za a , omnibus autem applicatis ad 3 a fiet a 3 za - b lalidi. At vero ex as efformandus est as; ob id plano-solidum applicatum dato solido deficiens quadrato-cubo id,quod applicabitur reliqui tribus ex quinque partibus dati solidi. Hinc. . . dril
67쪽
Maximum plano olidum, quod applicatur dato solido de sciens quadrato-culo est M, quod applicatur tribus ex quinque partibus dati soliri, is quadrato-cubas , quo solidum applicatum deficii, reliquas duas occupat pauci,
Reperire zaximum plano olidum, quod possit anticari, isto plano-plano deficiens, qua
Datum sit bpl. pl.& oporteat sacere, quod est iniunctum, crit secandum bpl. pl. itaut si ex altero ipsius segmento essiciatur quadrato- quadratum, quod fit ex reliquo plano- plani in latus ipsius quadrato-quadrati sit maximum omnium corum, quae fieri possint; quocunque modo plano-planum sectum fuerit. Segmentum primo sit a ; reliquum igitur erit b pl.pl. - a , quod ductum in a, producet plano-solidum applicatum bpl.pl. a - a . Deinde segmentum sit a t as e t 6 ai e t a es t e , nemph quadrato-quadratum ex a s e, supposito tamen, quod e aequeturo, seu nihilo, reliquum igitur segmentum erit bPl.pl. - a - 6 aue e 6a e*- qae; - e , quod ductum in a te producit factum exbpl.pl. albpl. pl. -as a e- roa eΣ- Ioaxe - ae F. Ex hoc autem si detrahatur prius factum nempe bpl. pl. a as reliquum autem applicetur ad e reiectis ijs, quae remanent implicata cum e , & congrua adhibita antithesi, prouenior aequatio 1 a b pl.plano, si vero utraque pars diuidatur per s, fiet a za b plan plani. At cum ex a' effugi debeat quadrat cubus , erit plano-solidum applicatum dato plano plano deficiens quadrato-cubo, id quod applicatur reliquis quatuor ex quinque partibus,ti quas dictum iam plano-planum supponitur esse diuisum. Hinc .
Maximum plano solidum, quod applicisur dato Hano. plano, deficiens quadrato cubo est aequod applicatur quatuor ex quinque partibus Gripiano-Hani, ct quadrat cubus quo piauest planum applicatum deficit, reliquam quintam occupat partem.
MaVimum rectangulum reperire , quodsius media, ct disserentia trium proportionalium
Quandoquidem si suerit recta diuisa utcunque, & super ipsam descriptus sit semicirculus; ex puncto autem diuisionis, excitctur recta usque ad semicirculi peripheriam. Diinon stratum est in Elementis hanc excitatam esse in dio loco proportionalem inter illa segmenta. Deinde super datam A B, diuisam in D, intelligatur descriptus semicirculus ,&ex puncto D, excitata sit recta perpendicularis, quae ad ipsam peripheriam perueniat in E , nam A D, D E, D B, proportionales erunt. secetur autem FC, aequalis C D. Supponamus rectangulum maximum esse FDE. Oportet inquirere diuisionis punctum D. Supponamus A C, vcl C B, esse b, at vero C D, C F, esse a . Segmentum AD, erit b-a, & reliquum segmentum D B, erit b se a. Itaque a a, a quabitur P D; inioniam autem AD, aequalis est b a, & D B, aequalis est b - a, erit rectangulum A ta i , sdem quod h aα. Et quia rectangulum A D B, aequale est quadrato D E, siqui lam A D.
68쪽
autem b' a a' cum hoc enim instituenda erit comparatio, ut mox planum fiet . Supponamus c, aequari o, aequari CD, vel CF; itaque b.Fa Φ e, aequabitur segmento A D, quemadmodum b -e, a uabitur D B; ac proinde ipsadisserentia F D. erit a af r e; rectangulum vero sub A Dι dc D B, cstb' a' - 2 ae-D ; itaque ED , erit vi b'- a' - 2 ae e ) , quae si ducatur in et alae, nempe FD, proueni oectangulum sub FD, DE, nimirum P b'a' --a' 4 8 Na et qωc'-- a a'e' I 6 ac' - 4 e quod aequabitur ly b' a' - - 4 a atque adeo etiam 4 b' a a'-8 b' a e t
thesin 8 b a e- b' e'; aequabitur 16 a e a a' e' i iis a c e', & per hypobibasimum 8 b'at b'e, aequabitur 16 P q. 2 li' et Dya Cy - qc . Continuanda autem arquatio est in iis,quibus e , deest; ac proinde 8 bi a, aequabitur isa , factoque parabolismo, nimirum omnibus diuisis per 8, proueniet bi a m et aι, & per hypobibalmum b a ax,&rursus per parabolismum: b - a ; atque adeo P tb aequabitur a. Hinc .
A data circuli peripheria arcum Amadere ra ut e angulum sub eius eorri, iurantiam, si maximum.
Datus sit circulus ABC, cuius centrum G. diameter Ac. Oportet ab eius peripheria arcum abscindere, ita ut rectangulum sub eius corda in sagittam, sit omnium maximum. Supponamus arcum esse B C D, itaut corda cius ductu in sagittam AE, faciat rectangulum omnium maximum . Inquirendum est igitur pumetum E.
Supponamus A C , esse b, & A E,
69쪽
Tandem igitur 4 a3. aequabitur a b a , & per hypobibasmum fiet 4 ara ab. Institutdi
Diuidatur diameter in quatuor partes aequales, quarum rres constituent, partem unam rem liqua et ero e onstituet partem alteram; se hoc modo rectamulum subsis recto, stu semichorda . Hrsagitta, seu maiori pane diametri erit omnium rectamulorum maximum, quare duplum . nempe Iub auem maiori parte diametri, o chorda erit omnium maximum. Inseupradictorum
70쪽
Vt constat, ex utraque parte extat b aι - a ι; ob id, si fiat antithesis . transpositione, facta eorum, quae signo - assiciuntur, proueniet arquatio hunc in modum 3 b a e , t b e 3 b ax e a3 c t 6 ax e λ rq a es t et & instituto parabolismo, fiet aequatio I b a e b ei ta b a as t6ai e t aevi es ;& per antithesin fici abaetbeι qa; - 3hait 6 aici aeites, 2 rursus itidem per antithesin fiet a 3 - 3baim 3bae Bb Ci- 6 a1e- qae 1- e . Et quia e,supponitur aequari nihilo, & quod in nihilum ducitur facit nihil; ob id, fiat rursus antithesis, per additioncm - 3 b aa, cx utraque parte &proueniet as m 3 b a t 3 ba et be*- 6 a' e - a e cs ; nam ut diximus, nihilum ductum in aliquid, vel contra, nihil facit, atque adeδ 3 b a e t b c sae e a e' - e quae nihil propterea valent, proinde remanebit aequatio 4 as Σα 3 b ai; haec igitur simplex aquatio occurrit, atque adeo inde colligitur facto parabolismo ipsius a, valorem esse - b i & illud quod supra posuimus Porisma colligitur. Illud porro addendum est, quod non una est linea B E, quae ducta in A E,facit maximum rectangulum,Omnium eorum scilicet, quae fieri possunta segmento diametri A C, in semio dinatim applicatam; atque adch nec etiam unicam csse BD, quaeducta in praedictum segmetum, facit maximum rectangulum; sed si descripta sit ellipsis, circa AC, quemadmodum A FICI, a luc rectangulum sub HE, de A E, est omnium maximum, quae fi
ri possimi a semiordinatim applicata in segmentum eiusdem A C, atque adeo, & eius duplum , nempe sub HI, & A E, est omnium maximum, quae sub ordinatim applicata, &segmento ciuiam AC. Hoc autem hunc in modum ostendcmus; Quoniam rectangulum abs B E, in A E, ad quodcunque aliud, factum ex semiordinatim applicata in circulo, in diametri segmentum, proportionem habet maioris inaequalitatis, ut paulo antea demonstratum fuit ; eadem autem est proportio rectanguli sub H E, ct A E, ad quodlibet aliud saettim a semiordinatim applicata, in diametri segmentum; ergo etiam rectangulum sub H E, & A E, est omnium
Quod autem rectangulum sub HE, &AE, ad quodlibet aliud, sensu iam dicto, pr portionem habeat maioris inaequalitatis, sic ostendemus: Eadem est proportio rectangu-Ii sub B E, & A E, ad quod libet aliud a semiordinatim applicata circuli in segmentum dia metri , quae est rectanguli sub H E, & A E , ad quodlibet aliud a semiordinatim applieata ellipseos in idem segmentum diametri; sed in circulo proportio est maioris inaequalitatis; go etiam in ellipsi. Quod vero eadem sit proportio,sic ostenditur; sumatur quodvis punistum Κ, in diametro , di per illud agatur ordinatim applicata L K O, occurrens ellipsios perimetro in M N: Quoniam igitur est ut rectangulum A E C,ad rectangulum A Κ C, ita quadratum E H, ad quadratum K M ; ut vero rectangulum A E C, ad rectangulum A Κ C, ita quadratum EB, ad quadratum K L; ob id ut quadratum E B, ad quadratum KL, ita quadratum E H, ad quadratum K M; quare ut E H, ad Κ M, ita E B, ad Κ L permutando ut E H, ad E B, ita Κ M, ad K L, ergo ι ut rectangulum A E H, ad rectangulum A E B, ita re elangulum A K M, ad rectangulum A K L; quare permutando ut rectangulum A E H, ad rectangulum A K M, ita rectangulum A E B, ad rectangulum A Κ L. seu ut A E B, r
stantsulum, ad rectansulum A Κ L, ita rectansulum A E H, ad rectangulum AKM; α quia