장음표시 사용
71쪽
tam primo casu oportebit datam ratione escteinaioris nempe ad minus pars enim maior,maior est quam partiu disserentia. Secundus casu non indiget determination pars enim minor potest esse maior praedicta differentia. etiam minor Sit igitur data recta linea Ages oportet ita secare,ut quadrata alterius partis,ad quadratum disserentia partium ratione habeat
via ad S. Exponat aliquod quadratum CDE, S: fiat vin ad S,ita quadratu CDE,ad aliud quadra tum quod sit FGI, SI ED duplicetur in H, ipsa auterim secetur bifaria in I S diat vi H G ad GE, ita Arad IK ergo in prima figura quae ad primi' casum perti
net,etit componendo, in secuda Vero & tertia, uae pertinent ad secundum casum,erit diuid edo,
ut HEad GE, ita Ak ad I k S du-Platis consequenti b. ut HE ad duria GE, seu quod idem est ut DE, quae est dimidia ipsius HE ad GE
Lmpla est. n. eaderatio tot iu Sad
totum quae dimidi ad dimidiu, ita erit A ad duplam IK quae sit LK: quare ut quadratum DBad quadratum aE, ita erit quadratum AhasLk quadratu,sed quadratum DF ad quadratu GE, est
scuta ad S,exco structione, e go vi R ad S, ita erit quadratum
AK ad quadratum L k, differetis videlicet partium Kk, kB, cum enim A 1 IB sint aequales, &quales quoque L I, IK, fiunt AL, KB aequales, S ideo differetia inter AK, B, est Lk. Secta est igitur AB in k,S impleta Problematis conditio. R I LAAB problema
72쪽
drata datam teneant rationem . Sit data recta linea Amsecada
in duas partes, ita ut parturna qua . rata ratione teneant v I ad S.
Et ponatur aliquod quadrat ut, A et B fiat vi I ad S, tal quadratum ad aliud quadratu quod sit F. De-
inde secet AB in C, ut sit AC adi CB seu latus quadratia ad quadratia latus. Quoniam igitur est ut AC ad CB, ita latus quadrati K ad qu ad rati Platus,erit ut quadratum AC ad quadratu CB, ital quadratum ad F quadratu i edi quadratum ad F quadratum est sicut R ad S. ex constructiones, ergo via ad , ita erit quadratum AC ad CB quadratum . Secta esti guta AB in C, ut facere oportebat
AT AM rectam lineam ita sicare, ' partium quadratas imulsumpta ad rectangulum se partibus, rationem habeant datam. Oportet autem datae rationis terminum primum non esse minorem duplo secundi minimu enim
aggregatisn ita ratorum duphim est recit uti sub partib. maxima, hoc ai; accidit quando data inea siecta en bifaria
Sit data recta mea AB quam oportet, ita secare, ut partium quadrata simul limpia ad rectangulum sub partibus rationem habeant ut CD ad DE cuius rationis terminus Dion sit minor dbi pila ipsius DE. Secetur AB bitaria in H. Min ea describatur semicirculus AGB ipsiq; AB ducatur perpendicularis HG, S DE duplicetur in F, o fiat ut CF ad EF, ita quadratum AB ad aliud quadratum cuius latus sit Z quadratum igitur AB no erit minus qua rupto,quadrati Z qui ad CF non ellis mor quam EF quadrupla ergo ipsa AB non erit minor duplo lateri set, Seconsequenter HG, dimidia videlicet ipsius AB non mores L. I a Sumatur
73쪽
Sumatur ergo in Haipsiet, aequalis HI, per Lagatur ipsi AB parallela IL,S ad AB demittatur perpendiculari Lk, erit igitur L aequalis IH hoc est ipsi Z. Et Quoniam est ut CF ad EF, ita quadratum AB ad quadicitumet, hoc est ad quadratum L h: seu quod idem est ad rectanguluAKB, duplatis cosequentib. erit
ut CF ad DF, ita quadratum AB, o.Secui hoc est 'aggregatum quadrato rum Al, Bina cum duplo rectanguli AkB ad duplum rectanguli AMI, S: diuidendo erit ut CD ad DF, ita aggregatum qua dratorum A KB ad duplum rectanguli AKB., subduplatis co- sequentib. erit ut CD ad DE, ita aggregatum quadratorti AK, kBadiectaguluakB.Secta est igitur AB in K,ut sacere oportebat.
Ductangulum sub aggregato,d disserentia duorum titerum aequale est excessu quadratorum a lateribus
Sint duo latera, AG maius, G Baninus ipsa aute B ponatur aequa
CB erit AH. Dico rectagulii BAH aequale esse excessui quadratorum AG. B. Quoniam enim HB secta est bifariam in G, SDei adie-σ.s, adi iaHA, rectangulu BAH, Una cum quadrato GB aequale erit quadrato AG,auferatur trinque quadratum Baaeliquum igitur rectanguli im B AM aequale erit excessui quadratorum AG, B, quod erat demonstrandum.
AT AM re tam lineam irascare, Ut partium qu dratas mulsumpta ad rectangulumsub tota, ct disse
entia partium,rationem habeant datam. Oportet autem da ram rationchus maioris ad minus Iuadrata enimIartium
74쪽
c OLLECTIO. si mulsumpta maiora sunt rectangulos tota, s disseren-
ἔia partium, quant quidem istud rediangulum ex anteced. Lem.aequale est excessu quadratorum.
Si igitur data recta linea ABC qua oportet secare ita duas par '
sumpta ad rectangulum lubio' a, b differentia partium ratio'nem trabeat ut CD ad DE, quorum terminorum rationis CD sit maior quam Di Sumatur in D ipsi DE aeqtialis DF, secetur Atam a vi quadratum a s IIu- AG ad quadratum B rationem ha .reat eande,quam habet CEad F, ipsi autem G ponatur aequalis CH, erit igitur per conuersionem rata Onis,ut quadratum A G ad excessum quadratorum AG GB, hoc est ad ' rectangulum B AH, ita CE ad FE, duplatis antecedentibus ut duplum quadrata Aa, hoc est ut aegregatum quadratorum AG GD una cum rectangulo BAH, ad rectangulum B AH, ita erit dupla CE ad FE, hoc ei ad dupla DE S ideo ita CE impla ad simplam DE est enim eadem ratio dupli ad duplum' i simpli ad simplu,ergo diuidendo erit agaregatum quadratorum AG GBad rectangulum BAH, sicut CD ad DE Secta eli igitur AB in duas partes AG CB quarum partium quadrata simul sumpta ad rectangulum sub tota AB, ω differentia partium AG,GB, rationem habent ut CD ad DE, quod iacere Oportebat. At velo duplum quadrati Aaequale esse aggregato quadra torum AG GB, una cum rectangulo BAH sic demonstrabitur. Quoniam enim quadratum AG aequales cit rectangulo BAH, e . una cum quadrato B, addito communi quadrato AG, dupluquadrata AG aequale erit aggregato quadratorum AG CB,una cum Iectangulo BAH,quod erat de monitiandum.
, AT Moestam meam ita care, tpartium quadratasimul sumpta ad totius lineae quadratum, rationem habeant datam oportet autem datae rationis terminum fecundum,maiorem esse primo, non autem duplo Irami: tra-
75쪽
fatum enim totius lineae maeius est quadratis partium da pio autem Eserum quadratorum non es maius.
Sit AB data recta linea secada in duas partes ut partiti qua
drata simul sumpta,ad quadratum totius AB ratione habeant Aut EF ad FG, cuius rationis ter minus Pasiit maior quam EF, non autem quam duplum ipsius EF. Duplicetur FE in H; A secetur AB bifariam in C,S fiat ut FG ad GH,ita quadratum AC ad quadratum D ergo conuertendo erit ut HG ad GF, ita quadratum CD ad A C quadratum, S componendo vi HF ad GF, ita aggregatum quadratorum A C, CD ad AC quadratum, S duplatis consequentib. ut HF ad GF dupla, hoc est v EF ad GF, est enim eade ratio dimidi ad dimidium quae totius ad Otta,)ita erit aggregatum quadratorum A CD ad duplum quadrati AC, S ita duplum quadratorum AC, CD ad quadruplu qua dratia hoc est ad quadratum AB, sed duplum quadrator uni .sberidi AC, CD aequales est quadratis in D, DB, ut igitur EF ad FG, ita erit aggregatum quadratorum AD, DB ad AB,quadratu Secta est igitur AB in duas partes AD, DB, quarum quadrata simul sumpta ad quadratum totius AB, ratione habent ut DF ad FG. quod erat faciendum.
AT A Id refctam Iineam ita care, quipartium lia'
drata si uisiumpta,ad suadratum differentiae partia
datam labeant rationem. Fortet autem datam rationem esse maioris ad minus.
Si data recta linea AB secanda in duas partes, ut partiti qua P drata simul sumpta ad quadratu differetiae partium rationem 1 en
habeant ut EF ad F quaerati Ο -----
sit maioris ad in is D tiplicet
76쪽
Quoniam igittar ACCRhint aeqtiales deaeq:: ales quoqtie IC, CD fiunt&reliqta AI, DB aequales, qtrare differentia partitam AD, DB erit lD Et in est ut HG ad GF, ita quadratum A ad CD quadratum, erit componendo vi H F ad GF, ita aggregata quadratorum AC CD ad quadratu CD ac duplatis conseque tibia sit Rad duplam GF, hoc est v EF ad GF, est enim eaderatio dimidii ad dimiduli quae totius ad totu ita erit aggregatuquadratorii AC, CD ad dupliam quadrati CD, S ita dupli quadrator u AC, CD ad quadruplici quadrati CD, hoc est ad quadratu ID, sed dupla quadratoiu AC,CDequale est quadratis AD, DB, ut igitur EF ad FG, ita erit aggregatu quadrator hi AD, DB ad quadratum ID.Secta est igitur AB in D, ut facere oportebat
rationem. Oportet autem datae rationis, terminumsecundiim
non esse minorem quadruplo primi quadrati m enim totius lineae quadrisbιm est recta liguli stib partibus maximi, hoc autem accidit quando linea datasecta est bifariam.
sit igitur AB data recta linea se-ν-- canda in duas partes, Ut rectangulusu partib ad quadratu totius Alratione habeat vim ad S, culta rationis terminus S. non sit minor quadruplo ipsiuS R. Secetur AB bifaria in G, in ea describat semicirculus ADB, a pucto aut ducatur ipsi A perpendicularis CD SIM fiat ut Sad R, ita quadratum AB ad aliud quadratum cuius latus silet Q in igitur Sio est minor quadruplo ipsius R, quadratu AB non erit minus quadruplo quadrati Z, neque ideo recta AB in in Or,erit duplo lateris L nec denique CD hoc est dimidia AB minor erit qZ uimat e ro m CD ipsi
Zςqualis CE, S ipsis AB, DG parallelae agantur FFac erit igitur FC, aequalis LG, hoc est is siet, Et quoniam est viri ad , ita
77쪽
quadratum AB ad quadratum Z ho ad FC quadratum,seu quod idem est ad rectangulu ACB, erit conuertendo, Rad S, ita rectangulum ACB ad AB quadratum Secta est igitur AB in G, ut facere oportebat,
AT AM rectam lineam ita scare, ut rectangulum ratum disserenti partium, ain
Si data recta linea Al secanda in duas partes, ut rectangulum subpartib. ad quadratu differentiae partium ratione habeat ut FG ad GH.Secetur AB bifariam in C,& duplicetur H in K, ipsa vero GF quadruplicetur in I, S in Ik describat semicirculias II k, a puncto asin Hexcitet ad IK perpendicularis HL, ωfiat ut IH ad HL ita AC ad CD, ipsitq; CD ponaturaequalis C E. Q aoniam igitur aequales sunt AC,CB, S aequales quoque EQCD. fiunt, reliquae AF, DBaequales quare differentia ipsarum AD, DB erit FD. Et qm est ut IH ad HL, ita AC ad CD, crit ut quadratum IH ad quadratiana HL ita quadratum AC ad CD quadratum, sed quadratu IH ad Co oli. a. quadratum L,estit IH ad Hk: est enim it quadratum prim q
ao.Sexti trium proportionalium ad quadratu secundae, ita prima ad ter
tiam,vt igitur IH ad HK hoc est ad HG. ita erit' hi adratum AC ad quadratum CD, diuid edo erit ut G hoc est ut quadrupla FG ad GH, ita excessus quadratorum AC,CD ad quadratu CD, &quadruplatis consequenti b. ut FG quadrupla ad GH qua diu plam seu quod idem est ut FG siimpla ad simplam GH est enini eadem ratio utrobique, ita erit excessus quadrato cum AC CD ad quadruplum quadrati CD, hoc est ad quadratum ED sed excessius quadratorum ACCD aequalis est recta naulo DAE, hoc est AD B ex Lemmate in Prob. ergo ut FG ad GH, ita erit rectangulum ADB ad quadratu ED. Secta est igitur AB in duas partes AD, DB sub quibus rectangulum ADB ad'nadratu differentiae ipsarum rationem habet ut FG ad GH, quod erat fa,