장음표시 사용
41쪽
culi insisterint, duplus autem, erit ad centrum, alter ad
circumferentiam erit Insistant duo anguli GDF,
CBF eidem circuli circumferentiae GF,&su angulus GDF ad centrum circuli, atquedu plus anguli GBF Dico angulum G BF ad circu inferetiam esse. Si enim non est ad circu- ferentiam, erit intra circulu, Vel extra Sit primum si sieri Potest in acticulum,i producatur GR usque ad circumferentiam in C, 5 iungatur
FG, erit igitur angulus GDF ad centrum, duplus anguli GCF ad circumserentiam , sed duplus est vi anguli BF ex hypot laesi , ergo angulus BF angulo GCF aequalis erit, externus interno, quod citabitardum angulus igitur GBF non est intra circulum. Deinde sit angulus aB F ex tra circulum, ipsum igitur c Vulum secabit, vel utraque rectaruGR FB vel saltem una secet psa B in puncto C, Sciangatur FC, erit igitur angulus GDF ad centrum, duplus anguli GCF ad Circumferentiam; sed duplus est & anguli B ex hypothesi ergo angulus GCF angulo B aequalis erit, externus inferno, quod est absurdum angulus igitur BF non est extra circulum, sed neque intra circulum testistensum ergo ad circumferentiam erit, quod erat demonstrandum.
disserentia se timentorum basiis trian illi, P
42쪽
sit data disserentia segmentoriam basis trianguli A aggregatum laterum di angulus ad verticem aequalis angulo C. O
Inuentum iam sit, mi illud triangulum D Aam quo perpendicularis DE 4 centro interuallo Da, quod lit mus
latus. describatur circulus secans latus AD productum in F basim vero A in B. erunt igitur BE FG aequales, unde diise a. T rtit. rentia segmentorum AE, EG erit A Biello igituri pla A positione ac magnitudine data, composita ver ex lateribus AD,
DG hoc est ipsa AF, esto aequalla Z angulus ADG ad verticem aequalis angulo C, bc iungantili BF, FG. Quoniam igitur datur an 'illus ADG dabitur Mangulus DG ut reliquus e duobus rectis, S dabitur quoque an gratius FBG, ut dimiduis anguli FDG angulus enim DG ad centrum, duplus est anguli FBGad circumierentiam, positione igitur ' erit DF, quia positione a. Da f.
et S AB N quoniam damna eii punctum , a quo in BF ducta
est AF magnitudine data dabitur pla A positione quoque, ρι Dat undela ibitur ' de punis tum R, SI quoniam datus est angulus s. δέ ADG ad centrum, datus erit S angulus A FG ad circumierentiam, ut eius dimidius, atque data ' erit positione FG, unde Dar. datum eri r&punctum S data ' quoque positione GD quia datus est angulus DG F etenim aequalis est dato angulo DFG, ratione aequalium laterum DG DF, quare datum erit . . D f. de punctum in ore salam igitur datae lunt extremitates A. D,
C datarum positione, AD Da, AG ipia quoque magnitudi
Componetur autem hoc modo Producatur AB in G, Λ fiat angulus G BF aequalis dimidio eius, quem relinquit e duo b rectis angulus C. hoc est dimidio anguli H S in BF ponatura Faequalis L. fiat an ilus A FG aequalis dimidio anguli C, angulus vero GD aequalis angulo A FG, erunt igitur aequales DG. DF add a communi AD composita ex lateribus AD, DG trianguli DAG aequalis erit ipsi AF, hoc est Z datae. Deinde centro D, interuallo DG x e DF deici ibatur circu-
Ius FE inoniam igitur angu is C duplute languti A FG ex construction sinutii di augulus ADG ad centrum duplus eiusdem
43쪽
eiusdem anguli A FG ad circumserentiam, erit angulus ADGaduerticem dato angulo equalis, quare&angulus DG angulo H, sed angulus H duplus est anguli FBG ex constructione ergo S anguliis FDG eiusdem anguli FBG duplus erit, sed angulus FDG est ad celatrum, &insistit circuna ferentiae FG, cui etiam&angialusa BG insistit, ergo ex antecedente Lemmate angulus FBGad circumferentiam erit. Iam agatur ipsis. Teri'. AG perpendicula iis DE, erunt igitur aequales BE, EG,&ideo differentia segmentorum AE, FG erit ipsa AB data Con' structum est igitur triangulum DAG, ut facere oportebat.
angulus trianguliserit centrum circuli disserentia mero laterumsemidiameteris ducatur linea re ta non ex centro circuli sed ab altera extremitate . erentiae Agmentorum basiis, confiituens cum ea angulum equιalem dimidio; qui eri adverticem trianguli, angulo ista redia linea circuIumsecabit.
Sit triangulum Aacin quo perpendicularis D secet basim AG in Ε,¢ro D, interuallo DG quod sit minus latus, describatur circulus secanslatus AD productum in pun'ctis H, F, basimvero AG in B laterum igitur DA DG differentia erit AH, differentia vero segmentorum Aa, Gerit AB, iungantur autem BH, FG. Quoniam igitur quadrilaterum FG B H est in circulo, anguli HBG, H FG exaduerso, duobus rectis sunt aequales sed languli HBG. HBA aequales sunt duobus rectis, ergo anguli HBG,HFG angulis HBG, HBA4-
commianiatagulo HRG, reliquus EFG, reliquo HB aequalis erit sed angulus H FG ad circumferentiam dimidius est anguli H DG ad centrum , ergo S angulus Hia eiusdem anguli ADG dimidius erit, Dico igitur circulum Iuba centro, interuallo
44쪽
uallo AH dei criptum Aecari a B H manifesthim est autem ipsam BH in eum incidere , quoniam planctum H est in circumferentia, i igitur eum non secat, tangit, tangat ii fieri potest, contactus epit in H in iungatur BF ergo rectus erit angulus i/.τὸ ιν AH R. ideo aequalis recto HBF, qui eii semicirculo quare parallelae ' erunt AF DF, quod est abuirdum, conueniunt e /ZAE nim in F. Non igitur BH tangit circulum, cuius centrum A, s.fflecat, quod erat demonstrandum.
F ducatur altera redia AHI. Dico angulum I Hi minorem esse recito.
Diuidatur enim HL bifariam in E.5 45-gatur AE, rectus igitur erit angulus ΑΕΗ, ac prom de angulus EHA recto minor tres enim interni anguli trianguli AE H dum bus rectis sunt aequale sed angulus EM A, aequalis est angulo IH T sunt enim ad verticem, ergo S angulus IH B erit recto minor, quod erat demon lirandum.
AT A disserentiasigmentorum basiis trianguli, disi Grentia laterum c angulo verticis, inuenire triangu-gulum sit data disserentia segmentorum basis trianguli AB, disserentia laterum Ζ, angu Lis ad verticem aequalis angulo C.
Factum iam siit, demit illud triangulum DAG. in quo perpendicularis D E. d. centro D, interuallo DG quod sum raria latus, describatur circulus secans latus D A ines basim vetoriam B, disseremia is tu segmento tum AE, EG eruam, differentia vero
45쪽
vero laterum DA DG erit AH. Esto igitur AB positione adique magnitudine data, ipsa vero AH esto aequalis data Z, anguluε ADG ad verticem aequalis angulo C, producaturADisque ad circumserentiam in F, S iungantur HB, BF, FG. Quoniam igitur quadrilaterum FGBH est in circulo anguli HBG FG ex aduerso, duobus rectis erunt aequales sed, anguli HBG, HRA duobus rectis sunt aequales, ergo anguli HBG, H FG angulis HBG, HI A aequales erunt auferatur utrinque angulus HBG, reliquus igitur HFG reliquo HBA aequalis erit, sed angulus ADG ad centrum duplus est anguli A FG ad circu- ferentiam ergo canguli HBA duplus erit angulus ADG, sedas. Dat datur angulus AD G, dabitur ergo S HBa, quare dabitur 'BH possitione, Muomari a dato puncto A in ipsam BH ducta est A H magnitu-31. Dat dii data, dab L AH positione quoque, pi plerdatum angulum HII est
enim rectus in semicircu-r ah lo data erit BF positio-as. Dat. ne, dc dalia quoque pun-na ctum F, 5 ideo data ' magnitudine H P.S quoniam aequa- es sunt H D DF dabitur punctum D, sed datur iunctum G, ac Dat ergo dabitur DG ' positione S is agnitudine, sed datur δίasi Dat punctum A, ergo S AD AE possitione 'i magnitudine da
Componetur autem sic. Centro A, interuallo rccstae Z quali describatur circulus, S fiat angulus ABH4- qualis dimidio anguli ex antecedente igitur, quod Primo loco praemissum est Lemate,BH iccabit ipsum Circulum, secet in punctis
Hi, Si per punctum H, T suproprius ad B ducatur recta linea A HI, ipsi autem pH ducatur perpendicularis BF. Quoniam igitur ex antecedente, quod secundo loco praemissium est Lemmate. angulus HB minor est recto, S angulus FBH rectus erunt ambo simul duobus tectis minoies, & ideo coibunt rectae lineae AI,BF,coeant in F,
46쪽
vsecetur H bifariam in D,vi centro D, interuallo D H , vel
propter angulum H BF rectum dii
catur Per Dendicularis DE, ei unt igitur aequale BE, EG S deo rarentia segmentorum AE EG, erit pia AB data Similiter
CAG aequetur angulo C, id autem ita fit mamieltiim Quo amenim quadci laterum FGB H eit in cnc illo a tigilli H A G. Hi ex aduecto duobus recti seruiit aequales, sed Maii liHB HBA sunt aequales duobusrectis, ergo anguli H BG, H neulis, BG, HI A aequales erunt: dorapto communi ligulo HRG. reliquus H FG reliquo HBA aequalis e it ted an Euli H FG ad circumferentiam duplus est angulus DG ad atrum ergo M anguli H B A duplus erit angillus ADG sed
Titi' duplu, s liguli, in exconiloicti O ergo uiu, ADP gulo C aequalis erit, quod ollata disse opor- it 'Cotis ructum est igitur triangulum quale con
DATO etno extiteribus trianguli datum merticis auia gulum ambientibus disserentia inter reliquum larus, O bassim inuenire triangulun .
Sit datum unum ex lateribus trianguli angulum verticis ambientibus, AB differe talia inter latri, reliqiluin Sc basim, Z.angulus ad verticem aequali angulo C. Oportet inuenire trian-
y 'ra uiri imit, It illud triangulum ABD, cuius latus AB
esto positione ac magnitudine datum , differentia ei inter reliquum latus AD, basim DB esto aeqtialis ipsi L.& an ilus D AR ad verticem aequalis angulo Q. Ponatur autem D G quatis A, differentia igitur piarum AD, B erit AG iungatur GR. intoniam igitur datus est angulas DAR, datus erit de angulus GA B, ut reliquus e duobus rectis, hic autem in prisma figura adptimum calum Pestanen im secunda vero figura,
47쪽
qtae ad secundum casum pertinet, angulus D AB idem est quod angulus GAB, quocunque igitur casu datur angulus Gam esta Dat autem posita One AB, ergo 'positione est & AG, sed S magnia Dai tudine, ponitureia in aequalis ipsi Z ergo punctum G datum asi Dat erit, sed datum est T. eigo GBpositione erit,i magnito duae, atque a deo dabitur angulus AGR, quia danis, i 'r' triangulum AGB specie,&inse-chida figura dabitur quoque u D aB, ut cliquus e duobus rectis, itaque mutraque figura dabitur angulus DBG, est enim aequalis ipsi DG B, aequalibus
9 Das existcntibu DG DB, quare BD po-as. Dat sitione erit m ideo positione quo que, punctum D, ac propterea sp sae BD, AD magnitudine quoque da
Componetur aut hoc modo. Cori stimatur angulo C aequalis angulus
BAD, d ponaturis siet aequalis A G S iungatur GI, angulo D Gm aequalis constituatur angulus aB D, SI BD occurrat ipsi AD in D, erunt igitur D Gil aequales , S ideo differentia inter latus AD, S: basim DB trianguli ABD, erit AG hoc est Z dati est autem S angulus D AB ad verticem,aequalis angulo C ex constructione, S latus Am ipsum dat iam . Constructum est igitur triangulum ABD, ut facere Oportcbat.
AT O no ex lateribus tranguli datum eterticis gulum ambientibus datoque aggregato reliqui lateris basis inuenire trianguluλλ .
Si datum unum ex lateribus trianguli angulum verticis ambientibus Assi, composita veto ex reliqIo latere, S baseri, Mangulus ad verticem aequalis angulo C. Oportet inuenire trian
Ponatur iam factum S sit it histriangulum ApD. cuius latus AB esto positione ac magnitudine datum , composita vel O ex reliquo latere A D, S tale DB csto aequalis ipsi L, S angulus
48쪽
aduerticem Aa qiralis angulo Q Producaturata tem A in G, ut sitim G aequalis D A erit igitura aequalis compos ita ex AD, DB, iungam rGA. T ira uia igitur positione est A B, Ma tus est vi ulus A, erit AG 'iosi ione data, sed data ei A ma gna udine, ergo S 'punctui a cadatum erit, datur autem S B, Da, dabitur, 'e 'o CR positione S magnitu duae, atque adeo da ac Darbituri an salus G. quia triangulum ' ABG datur pecie est autem angulo G aequalis angulus BD, ratione aequaliu DB DG, quare se ple GAD datus ecit, positione igitur ' erit BD, quare is Dat punctum D 'Oniam gi tu positione data tu D B, D Adati sunt termini A. D. B, ipsae magnitudine quoque data: ς-
Componetur autem sita angulo C collit uatur aeqnalis angulus B AG, ponati: AGa: qualis ipsi Z L iuncta GR. conssit statur quoque angulus BD aequalis angulo G , erunt igitur Di DG aequales, addita communi DA composita ex latere AD, Λ bale DB trianguli ABD, aequalis erit ipsi AG hoc ellet datae est autem de angulus aduerticem A aequalis angulo C ex coni ructione, de latus AB ipsum daturi monilructuna est igitur triangulum ABD, quod cere oportebat.
T O no ex Ateribus trianguli angultim rectu=m ah ab tantibus datatu differenti egmentoriim basiis,inu a re triangulum .
Hoc Problema duos casus habet propter duplicem lateris
dati cone: ticinem latus eniim datum irael igitur terdum minus duorum , interdum malus, ad primum igitur calum prima figura pertinet, adlecundum secunda Si datum unum ex lateribus trianguli angulum rectum ambientit, bis Al , data quoque diis rentia legmentorum basis Z. O. Ort. inucia: re tria: gul atra . Inclinentur ad angulos rectos AB AC aequale s S concctatur B cui pei pendicularis duca-
49쪽
centro D, interuallo DB describatur circulus CBH, secans CD productam in punctis G, H, is igitur circulus tanget rectam CB in B. Deinde circa diametrum CH describatur alius circu-1us, cui inscribatur CF aequalis AB, 6 iungatur F H, ipsi CH ducatur perpendicularis FI QMPniam igitur CB tangit circulum G BH in B, rectangulum G GH aequale erit quadrato B, sed quadratu CB du-ptu est quadiat AB, nocest quadrati F, ergo .rectangulta ira GCH quadrari CF duplum erit, sed quadrato C aequale est rectangulum I CH, est
enini CF media proportionalis inter IC,
CH rectangulum igitur CH dupluerit rectanguli 1 CH, atque adeo CG dupla erit ipsius C I, unde
CLI Gerunt aequaleS, itaque disseientia segmentoruC I l Herit CH, hoc est data, est autem& latus FCaequale ipsi AB exco- structione Gangulus CFH in se inicirculo
rectus, Triangulum igitur CH problemati satisfacit, quare factum est quod oportebat. At vero diametrum GH maiorem esse quam ΑΠ in prima figura minisestum est, in secunda vero sic demonstrabitur Sit si fieri potest diameter CH non maior ouam ΑΗ ergo Camilior erit quam AB dupla est enim H G, hoc est Zminor quam AB, quia disserentia segmentorum basis trianguli minor est latere maiori, quare rectangulum H CG minus erit
rectangulo sub A B, b altera ipsius dupla, hoc est duplo quadrati AB, sed duplum quadrati AB aequale est quadrato CB er
go retanguiuna HV G minus erit quadrato Ca, quod est ab
50쪽
udum, ostensum enim est in elementis ipsi aeqiaale Di ameter guur CH maior est quam AB, quod erat demonstrandum.
Primo igitur casu composita ex dimidia disserentia segmentorum basis,c ea quae potest dii plum quadrati lateris dati, plus Quadrato drividiae disse icti ae aqualis est basi trianguli quaesiti. Secundo casu, excessus quopia dicta polen S superat dimI diam legmentorum differentiam, aequalis est quaestitae bala. Recta enim quae potest duplum quadrati lateras dati, plus Quadrato dimidiae differentiae segmen lorum basi Sest CD, Uimidia vero disserentia D H, basis autem Hirianguli FGH in prima figura est composita ex CD DH. in eo: nda vero figura basis CF est exces iis, quo CD uperat ipsam DH. Si FC in prima figura o GH i , vel DI erit CH o vnde FH o radix enim quadrati i849, quod constat duplo quadrati ex O, quadrato ex , est a Coi Gadaatur 7, et1o,
unde FH o, radix enim quadrati a se, quod constat duplo quadrati ex o S quadrato ex , est , 7 exccisus igitur quo 7, superat , erit 'SO,Px baiς CH isti I Q T E I idem Pioblema hoc modo absoluetur. Iudem datis quae prius. Dii plicetur AB in Ε, S in AEdescri- batur semicirculus,&duc Ur pinAE perpendicularis BC indefinita, in pia autem BC ponatur A e-cans emicirculom in D, ita ut CD fiat aequalis ipsi Z h 3c enim fieri posse demonstrauimus in Apollo
nica redin tuo casu quarto,ac tertio
secundi Problematis. Denique ipsi AC ducatur perpendiculari, BF c-runt igitur AF FDae vitales V ideo differetrii segmentorum AT, FCerit CD. hoc est ZdMa. Constru-cthun est igitur tria gulii ni Alciae ctangi illi ira in B cuius latus Am est
ipsum datum, S CD differentia legmentorum AF,F aequalis et datae, quod erat 4ςi R Vm' pioblema