Marini Ghetaldi patritii Ragusini, Variorum problematum collectio

51쪽

ὸς VARIORVM PROBLEM.

DAT O uno exiteribus trianguli angulum recturata ambientibus , dato ue alterno basiis segmento , inuenia

re trianssulum . sit datum unum ex lateritus trianguli angulum rectum ambientibus AB, segmentum autem basis alternum BC. Oportet inuenire triangulum . Inclinentur ad angulos rectos AB, BC, dc ecetur B bifariam in E N iungatur AE cui aequalis pona' tu EF, m FC describatur semicirculus, quem AB secet in G, S iungantur FG, GC. Quoniam igitur secta est BC bifariam naE SCilli adiecta FB, rectangulum B FC

c.Secudi una cum qua adrato BE aequale erit

quadrato PE, hoc est rim, sed drat si AE aequale est quadratis AB, BE, ergo rectangulum FCuna cum quadrato BE aequale erit quadratis AB, BE. Commune auferatur quadratum BE, reliquum gae eo=.2 igitur rectangulum BF hoc est quadrat una GJ est enim Sexti GF media proportionalis inter BF, FC reliquo quadratori Baequale erit, qua rem recta GF aequalis erit rectae A B. Constructum est igitur triangulum GFCrectangulum m cuius latus CF aequale est ipsi Am S segmentum basis alternum BC est ipsum datum, quod facere oportebat

NSECTARII M.

Itaque recta quae potest quadrata, lateris videlicet dati,idimidi j legmenti, aucta dimidio segmento, a qualis est basii trianguli diminuta vero aequalis alteri segmento Recta enim quae potest quadrata lateris dati, R dimidi segmenti est AE hoc est FE, dimidium vero se amentum E , vel FB basis igitur FCaequalis est FE aucta ipsa EC segmentum vero FB aequale eidem Fili minutae ipsa L B. Sit latus trianguli GF is alternum basis segmentum BC 16 cius dimidium , erit basi FCaue FB alterum se mentum unde latus GCaO Radix enim quadrati 289, quod constat

52쪽

qiradratis ex ue S 8, est i , cui si addatura , set et V probas e

C, ii vero auferatur, relinquetur 9, pio legmento FB. I R idem Pioblema incratione absoluetur. Si datum unum ex lateribus trianguli anguliam rectum ambientibus AB, segmentum basiis aliernum L. Oporteat face' re quod imperat iam est. Dei cribatur in AB semicirculus, S ducatur perpendiculatas BC in desinita, in pl a autem BC pG natur AC iccan Si emicirculum O, ita ut DC sit aequalis ipsi Z hoc autem' o modo fieri postit de moniti attinuis in Apollonio redi uiuo,catu quinto problematis ecundi, si igitur iungatur Di, triangulum ABC, erit illud de quo quaeritur, est enim rectangulum in B ex construction S latus B pthmdatum , a tone legmentima basis al- ternum DC aequale ipsi Lex constructione basis enim egnaeia lunt

A D. D quia BD perpendicularis eii basi Ac propter angulum ADB in emicticulo rectum, quare factum eil quod oportebat.

Magni momenti essent duo problemata proxime praecedentia, i in omni triangulo non in rc tangialolantum construere tur, primum enim opportunum esset ad lectionem cuiuslibet anguli rccli linei, vel circumferentiae in rics partes aequales, h-cundum vero ad daplicationem cubi Pio pone lentur illa duo problemata hiic modo. Piimum malo uno ex lateribus trianguli dat tam . est nverticis amb: enlibus, dataque lilc sciat latcgmento laeta i , inuenire triangulum. Secundum Dato uno ex lateribus trianguli datum angulum verticis ambientabris, datoque alicii a b ii, legi Dento, inuenire triangulum . Si haeci ibi cmata coniti iaciuntur, e caietur H diximus quilii, i a nataliis icci linc US,Vel circumierenta a tri-sariam, duplicaretur cubus, atque Geometria dcscctu supplerentur.

s uadratum Isserentiae duorum laterum equale est quadratis laterum, minus dui ou ibi rectangulo.

Sint

53쪽

VARIORVM PROBLEM.

Sint duo latera AB, CD quorum differentia AC. Dico quadratum AC aequale esse quadratis AB, BC, minus duplo rectangulo A BC. Quoniam enim quadratum AC una cum duplo rectangulo AB 'aequale est quadratis AB, CB, ablato utrinque duplo rectangulo ABC, quadratum A Caequale erit quadratis A B, C B, minus duplo rectangulo A DC, quod erat demonstrandum.

Problema XX.

T AT A disserentia laterum trianguli angulum rectum

ambientibus data ueperpend culari, inuenire trangulum . Sit data differentia laterum trianguli angulum rectum m bientibus Assi data quoque perpendiculatas B C. Oportet in uenire triangulum. Inclinentur ad angulos rectos AB, BC, MConectatur Ac vi centro C, interuallo C B describatur circulus, secans Ac continuatam in punctis E, D, is igitur circulus tanget ipsam AB in B deinde fiat KD diameter alterius circuli A GD, ex cuius centro F ducatur perpendicularis FG, &sumatur FH aequali, CD, vel CB, ipsi AD parallela agatur HI secans circulum AGD in I,Ss conectantur AI, ID &ipsi AD ducatur perpendicularis IL,4 sumatur Im aequalis I D. Quoniam igitur parallelograminum est HIL F, erit II perpendicularis trianguli AP,aequalis HF: hoc est ipsi CB, est autem, angulus Ad D in semicirculo rectus superesst igitur ut A K disserentia laterum IA, ID aequetur ipsi Assi, id autem ita fit mani

festum.

Quoniam enim laterum IA, ID differentia est A K, quadratum Akex antecedente Lemmate aequale erit quadrati AI,

ID, minus duplo rectangulo AID, sed quadrata AI, ID aequalia sunt

54쪽

duplo rectangulo AD. est enim propter similitudine in riangulorum I AD , DLD. v AI ad Amita P ad PD V ideo recta ligulum Ad D sub extremis aequale rectangulo AD lisub mediis mi ad ratum igitur Al aequale erit qua diat , A D. mmus duplo rectangulo A D, P . hoc est minus rei tangulo ADE: est enim DE dupla ipsitus II . sed quadratum A D minus

rectangulo AD E idem est quod rect.anaulum D AE eigo quadratum l. aequale erit rectangulo D ME , hoc cliuit adrato c.Tιrti AB inde S recta Al aequalis recta AB, quod Ostendis Sopor. tuit. Constructum est igitur triangulum I A rectanguluinin I, cuius laterum I A ID d: is frentia A K aequalis est ipsi AB,&perpendicularis L aequalis BC, quod iaciendum erat.

Itaque composita ex perpendiculari,&e cuius quadratum aequale est quadratis differentiae laterum, S perpendicularis aequalis est basi trianguli quaesiti. Recta enim cuius quadratum aequale est quadratis Al. IL hoc est A B C est AC composita vero ex IL, hoc ei ex CD, ex ipsa AC est AD, b.asi mi anguli IA D. Sit AK A ia. erat AD as, unde IA 2O, ID I s. Radix en iniquadrari 69 quod conita mi ad ratis e Ia,csta 3, cui si addatur Ia,ri. 2 3, probat A D.

uadratum aggregati laterum trianguli angulum re-LIum ambientium, non es monus octuplo eius quo laserpe odicularas quadrati.

Sit triangulum ABC, in quo perpendicularis A cadat in basim BC ab angulo recto BAC Dico quadratu compositae ex Bri A Ciamri esse minus , cluplo quadrati AD aut enuia aequalia lunt i uera AB AC, aut a Qualia,sinti ramum aequatia, ergo&BD. DA DC erunt

55쪽

j VARIORVM PRO BLEM.

quadrati A B quadruplum est quadratum compositae BAC, eringo quadratum ipsi us BAC compositae octuplum erit quadrati

AD, non autem minu S. .

Sed tinto latera A B ac inaequalia ergo S ID, D C erunt inaequales, describatur autem in BC semicirculus B AC, eius circumferentia transibit per x propter angulu BAC rectum. Quoniam igitur inaequales sunt BD, D C, pia D non erit ex centro circuli, & ideo BC maior erit quam AD dupla, S consequenter quadratum B C maius qua di pio quadrati AD, eadem ratione, directangulum BC, AD maius erit duplo quadrati AD, S consequenter duplum rectanguli BC, A D majus quadruplo quadrati AD; ergo quadratum BC, una cum duplo rectanguli BC AD maiora erunt octu plo quadrati AD, sed quadratum BC aequale est quadratis AT, A C, SI duplu rectanguli BC, AD aequale duplo rectanguli B AC est enim propter similitudinem triangulorum ABC, DA ut BC ad BA, ita AC ad AD N ideo rectangulum sub extremi B C. D aequale rectangulo' BAC sub medijs quadrata igitur BA, AC, una cum dapio rectanguli BAC . hoc est quadratum compositat B AC mam serit octu plo quadra i AD, non autem minus. Quare co stat propositum

Problema XXI

T, UT O aggregato laterum trianguli angulum rectum

Sit datum aggregatum laterum trianguli, angulum rectum ambientium A B, data quoque perpendicularis BC. Oportet inuenire triangulum . Inclinentur ad angulos rectos ΑΒ BC, 6 conectatur AM S centro C, interuallo CB describatur circulus, secans Ac continuatam in punctis E, D, is igitur circulus tanget ipsam ABna B. ne inde sat AD diameter alterius circuli A G D ex cuius cendi F ducatur perpendicularis FG, 6 sumatur PH aequalis CD , vel vi miserius demonstrabitur

ipsana FG non esse minorem quam B C, acta denique ipsi AD Parallela

56쪽

uarallela HI, secans circulium A G D in I, conectantur AI, ID, L ipsi AD ducatur perpendicularis IL, ea erit aequali hi h nocest Rc, angulas AID in semicirculo rectus reliquum igitur est ut composita ex lateribus AI, ID ostendatur aequalis

ipsi AB, id autem ita fiet. Quonia enim

quadratum com

positae AIDςquale est quadratis AI, ID,Vna cum duplo recta gialo AI , quadiata autem Ad, IDaequalia sunt quadrato AD,&du-

Ilum rectangulum AID aequale duplo rectangulo AD, L est

enim propter similitudinem triangulorum I AD ILD, ut A , ad AD, ita IL, ad D 4 ideo rectangulum At tu extremis aequale rectangulo sub med ijs AD, IL quadratum igitur cona' positae AtD aequale erit quadrato A D. una cum duplo rectangulo AD IL. hoc est una cum rectangulo ADE, est enua D Edupla ipsius IL, sed quadratu AD, una cum rectangulo ADE, aequale est rectangulo DAE, ergo quadratum composita: AID aequale erit rectangulo Dina hoc est ii adrato A B, undem Tm; ipsa composita aequalis ipsi AB, quod Ostendiis oportuit Constructum est igitur ita angulum I AD rectangulum ' cuius lateram AI, ID aggregatum aequale est ipsi Ara S perpen-d cularis II aequalis ipsi BC, quod crat iaciendi tria. At vero ipsam FG non esse minorem quam BC, ita demonstrabitur. Oniam enim quadratum AB ex antecedet Lemmate non et mmus Octuplo quadrati BC quadrata Am BC, hoc est quadratum AC non erit minus non ut loqua diali AC; ergo S recta AC non erit minor quam tripla BC, auseratur ex

AC recta DC, quae aequalis est ipsi BC, reliqua igitur AD , non erit m mor quam dupla BC, neque dimidia AD, hoc esti pia FG minor erit,quam pia BC, ouod erat demonstrandum.

CONSECTARIUM.

Itaque disserenti a inter perpendicularem S eam cu ius bla- et dratum

57쪽

j, VARIORVM PROBLEM

dratum aequale est quadratis compositae ex lateribus, mper pendicularis, aequalis est basi trianguli quaesiti. Disserentia enim inter perpendicularem BC, hoc est CD Mipsam AC rectam videlicet cuius quadratum aequale est quadratis AB. BC, est AD, basis trianguli IA D. Sit composita ex AL ID. hoc est ipsa Ag I, II seu Baia.

Erit AD as inde IAao, Iinis, differentia enim intercia,&37, radicem videlicet quadrati 369, quod constat quadratis ex 33, S ua est a 3,qhiae indicat basim trianguli quaesiti.

Problema X X II

T ATIS duabus restis lineis inaequalitus quam maior non excedat diametrum quadrati ex minore descripti, maiorem ita care, quipartium quadrata simul aequa a sint

Padrato minoris sint datae duae rectae lineae: Zquidem maior, AB minor Oportet ipsam L, H duas partes secate , ita ut partium quadrata simul aequalia sint quadrato

AB. Ducatur ipsi AR perpendicularis, S aequalis AC, ωiacta B, fiat diameter circuli C AB, in quo accommodetur BD aequalis ipsi Z ex de te minatione enim Problematis ipsa Z non est maior quam CH, deinde iungat ut CD, cui aequalis ponatur DE desecetur bifariani ΕΒ in F in aniam igitur ΠEsecta est bifariam in F, dc illi adiecta ED, quadrata DI, DE dupla ' erunt quadratorum D F, PB, sed quadrata Di, DI hoc est D B, D aequalia sunt quadrato CB propter angulum DB in emicirculo tectum ergo&quadiatum C B duplum erit quadratorum D F, FI, sed durium est is quadrati AB, ergo quadrata DF, B quadrato AB aeqsi alia erunt. Secta est igitur Di, cui aequalis estet data ini,

ita ut quadrata partium DF, PB squalia sint quadrato AB,quod sacere oro ' bδr.

58쪽

co LLECTI 0. CONSECTA RIVM.

Itaque excessus, quo dii plum quadrati a linea minore sup rat quadratum a maiore, aequalis quadrato disterentiae par

ti trita maioris.

Sit Z vel DIJ, i Asierit DF 12 FB s. Excessus enim quo duplum quadrati ex , quod elixas superat quadra si ex II. item p 280 es, o, quadratum videlicet ipsius D Edisserentiae partium D F, FI, via decipia DE erit 7, reliqua cro EBIO, eius dimidia FBb, DFIa.

Pioblema XXIII.

I S luobus excenus qui&ι diameter parant Q grammi recita, uti et unpιelatus Fuferat, inuenire

parastelogrammum . sint dati dii excessus A BC, quibias diameter parallelagrammi rectanguli excedit latera. Oportet inuenire parallelogrammu PO natur in direc una A B,

BC. fa duplo rectanguli A B C aequale quadratum CD. N ponatur DF aequalis BQS ipsi AD duc, ur perpendicularis FG ipsi veroBD aequalis , S compleatur parallelogramma FGH, cuius diame te A G centro A, interuallo AF describam cireulus quem secet AG in F ipsa vero prodi acta in I. Qnoniam igitur duplum rei tangitii ABC aequale est quadrato De construistione, addito communi quadrat OBC, vita cum du

culn

59쪽

una cum duplo rectanguli F BC, hoc est B CD sunt enim DF, CD aequales, quia B C aequalis est FO S CI Vtrique ci, iramu-nis, sed dupjum rectangulorum ABC FBC aequale est rectangulo sub B Choc est PD,4 composita ex duplis A B, BF, hoc est rectangulo FD ergo re angulum PD una cum quadra-3.3ιendi. ΟFD, hoc 'est rectangulum PDF aequale erit quadratis BC, Mςμ i CD, una cum duplo rectanguli BCD, hoc est 'aequale erit quadrato BD, vel FG, addatur communeqsa adratum AF, rectan- . ecudi gulum igitur IDF, una cum quadrato AF, hoc ' est quadratum

AD aequale erit quadratis AF, FG, hoc est quadrato A G, quare iecta AD aequalis erit rectae A G ablatis igitur aequalibus AF, AF, reliqua FD, hoc est BC reliqua: EG aequalis erit Parallelogrammi igitur A FGH diameter AG excedit latus AF excessu EG aequali ipsi BC, excedit autem Malterum latus PGexcessu aequalia in ipsa enim AD , cui aequalis est diameter AG, excedit ipsam BD, hoc est latus FG excessu AB Constructum est igitur parallelograminum rectangulum A FGH, ut Itaque, recta cuius quadratum, duplum est rectanguli sub excessibus datis aucta excessu maiori, emcit latus maius paralle, logrammi quaesiti, aucta vero minori excesila , latus minus ese ficit, aucta denique utroque excessu efficit diametrum Recta enim DC aucta excessu CB aequalis est lateri FG, aucta vero utroque excessii CB, B A, aequalis diametro G A, ac

denique recta C, hoc est PB aucta excessum A, est ipsum ia-

Sit minor excessiaca, maiori, erit latus maius parallelograna quaesit is datus minusa diameter I 7, duplum enim ii tanguli sub excellibus et , dc in est 3 6 , radix vero quadrata numeri 6 est 6 quae aucta excessui, fit Is pro latere maiori, aucta vero excelsu a, sita, prolatere minori, aucta denique utroquς excessis a,S i sit 17 pro diametro . facere oportebat.

60쪽

sit datus unus ex angulis rombi. aequalis angulo CDE, differentia autem inter eius latus. S di amerium AB. Opollet inuenire rombum. Si angulus datus sit is quem diameter secat, reliquus e duobus rectis erit angulus quem diameter ubi edit. Itaque dato uno dabitur alter . Sit igitur datus angulus D Ea qualis ci quem diameter subtendit, ii Oducatur CD in F, S secetur bifariam angulus D E recta mea D G , si guta angula CDE maior sit dimidio anguli ClJG p caducatur Am ad

partes Acii vero sit mor, producatur ad parte Bia qualis autem dimidio nopotest esse, quia nulluc flet excestas ter latus Obi,S diametrum quod noponitur. Prodacia igitur

AB,ut dicturia eli in M. fiat dimidio anguli CD G, aequalis anguli is AH, Mangulo CD E aequalis angulus M AH, conueniant AH, B H in H conuenient enim , ut inferius demonstrabitur. Rursus angulo BH equalis constituatur angulus B H l. cu compi atur parallelogrammum IAHL, cuius illa naetera H. ruoniam igitur angulus is externus tranguli HlR,. equalis et duobus ternis angulis IHA, IBId quibus etiam aequalis est angulus CDG uterque enim est eius ima id ius ex constriactione, erit

angulus I N angulo CD G aequalis, qua rem angulus HIBangulo GDF 'niam igitur angulus IH i, stentu es aequalis angulo Ciu de est quoque aequalis duobus interni Sangulis M AH. H A angulus CD , hoc est duo anguli CDE, EDG

duobus AH, H A erunt eqtiales, dempti Mucialibus angulis

CDE MAH reliquias FDG hoc est DF cI quo H aequalis eri sed ostensus est angulus GDFaeuualis angulo Hl B, hoc est HIA, ei'OS angulus IH A angulo HIA, erit aequalis; quare ε latus AH lateri AH, sed la era H io ale est iiii lateri AI aeqtiale H L mma parallelogra in mum et xl LM , ergo latera Al. L H HAerunt micile aqualia pa allat grammiam igitur Ari L H rombus est, S angulus LAM quem subiendit dianaeter, a qualis est angulo GD E ex consti uctione. Et quoniam anguli