장음표시 사용
61쪽
anguli HBI, BHI sunt aequales ex constructione.erunt, rectat IH IB aequales, ted indiffert ab I per AB, ergo S IH d Feret ab pia I per eandena AB.Consti uuus est situr romb. IAHL,
ut facere Oportebar. At vero rectas AH, BH conuenire sic demonstrabitur. Anguliis CD E in prima figura, hoc est in H maior est dimidio anguli CD G. hoc est angulo M TH, sed angulus M A H in acum angulo H A B duobus rectis sunt aequales , ergo angulus Hassi una cum angulo HI A duobus rectis erunt minores,ac ideo conuenient AH, B H, quod erat demonstrandum. In secunda figura angulus CD E hoc est M AH nainor est dimidio anguli DG hoc est angulo BH, cd a ligulus HBA, una cum angulo HI M aequales sunt duobus Lectis, ergo angulus HBA, una cum angulo HARQui biis recti erunt nianores, quocunque igitur casu conueniunt AH BH, quod erat demonstrandum S: Ai data recta linea secanda
In duas partes, ita ut rectangulum subpartibus comprehenium,ςqita le sit quadrato differentiς partium. Producatur AB in C, ut ipsa AB si
B educatur perpendicularis BD,cui aequalis ponat uti ccc i in bifariam in F, differentia igitur partium AJ FB erit EB,S Quoniam ABquinius laesi ipsius BQquini optuni rectanguli ABC, hoc est qui D Upiti quadrati BD aequas erat quadiai O AB, sed quadra uia AB quale R est cli adras OEB una cum quadruplo ieci anguli EF B, hoc est AI B ergo quintuplum quadrati BD, hoc stat aequale erit qua di aio Em vi a curo quadruplo rectanguli A PB aufeicitur commune qua diatuni FB quadruplum igitur rectanguli APB quadruplo quadi aussaequalacra, . consequemersia plum smario
62쪽
simplo secta est igitur AB in F. R ita ut rectangulum AFB
sub partibiis aequale siu'ii adrato DB, differentiae videlicet pat-tium AI, FI, quod erat iaciendum.
I 'CU LI portioue data, inuenire punflum in eius
circumferentia, a quo cum ducentur duae restae lineae,
ad extrema basis portionis puncti, rectangillum sub ipsis comprehensum aequale erit disserentiae Esarum quadrato.
Sit data circuli portio ABC cuius basiis AC Oportet inuenire punctuin in circumstrentia Alca quo cum ducentur dux timeae rect ea diuncta A, C rectangulum lub ipsiis comprehen sum aequale sit quadrato differentiae ipsarum. Compleatur cir culus ABCD, SI circumseientia ADC secetur bifariam in D, M secetur quoque A in F, ita ut rectangulum AEC, siri aequale Exa, jὸ quadrato differentiae ipsarum. AT, E 4 iuncta Di producatur in B, S iungantur quoque AB. BC, Se sumantur B F, EG a quales pilis BA, AE, utraque trique differentia igitur rectarii AB, BQ erit Fc ipsarum quoque AEEC differentia erit CC Et quoniam aequales sunt anguli ABD, DBC aequalibus circumserenti sin sillantes, erit AE ad E sicut AB, ad BC sed AE, AB equales sunt ipsis EG, BF, utraque trique ex cO- structione, ergo ut EC ad PQ ita erit B F, ad B ac per conuersionerationis ut EC ad C, ita erit B F, ad FC, iuncta igitur Fc ἰ parallela s.Sexti.
erit ipsi BE. Et quoniam rectangulum AE hoc est EC aequale est quadrato GC ex constructione erit EG, ad C, sicut CC, adita sed ostensum est ut LG, ad C, ita esse BF ad FC, ergo ut BE ad FQita erit C, ad EC, sed ratione parallelarum FG, BE, est ut Gad E sicut FG ad BC ergo ut BF, hoc est BA, ad F ita erit FG ad BC rectangulum igitur ABC sub extremis aequale erit quadrato mediae PQ Inuentum est igitur punctum B in circumferentia, a quo cum ducentur duae rectae lineae B A,
63쪽
B C, ad exciem basis puncta A, C rectangulum ABC, aeouale erit quadratos C distrarentia videlicet ipsarum AB, BC, ouod
DATAM restam lineam irascare, et trectangulum,
quodiota, altera parte continetur ad quadtatu partis reliquae, datam habeat rationem. Euclides Propositione undecima libri secundi,Elementoruclocet lineam rectam secare, ut rectangulum sub tota S altera parte sit aequale quadrato partis reliquae, at vero ut habeat eam quae ponitur rationem, sic erit secanda Sit data recta linea AB,
tangulum sub tota, Scal . tera parte ad quadratum partis reliquae ratione habeat ut R, ad S. Exponatur aliquod quadratum CDE, A &fiat vi R. ad S, ta qua dratum D E ad quadratum FGH deinde inueniatur triangulum rectangulum habens unum ex lateribus angulum rectum ambientibus, aequale ipsi CD, S segme- tum basis alternum aequale ipsi FG, id enim iam docuit Problema decimum nonum Sit igitur illud triangulum IR I rectangulum in I, in quo per piendicularis IM, sit autem latus I L aequale ipsi CD segmentum K M alternum aequale ipsi FG S super datam AB, triangulo K I simile similiterque positum constituatur triagulum AB, a cuius angulo recto AN B demittatur Perpendiculatis No. Quoniam igitur similia sunt triangula NAB, kL similiterque posita erit angulus A aequalis angulo k dc angulus B aequalis angulo L. anguli ad , ra sunt recti, S ideo aequales erit triangulum OA simile triangulo MN, Z triangulum NOA simile ita angulo IM L. ob id ut B ad NO, ita erit IL, ad IM, S ut O ad OA , ita IM, ad K, quare ex
64쪽
Et quoniam est ut CD, ad IL, ita FG, ad kM, aequalis videlicet ad aequalem erit permutando ut CD, ad FG, ita L. ad M, sed QNI. ad AO. est sit cui I L. ad k ut eli demo miratum .ergo ut CD , ad FG. ita erit B ad AO , S consequenter ut dratum D ad'iradratum FG , ita iii ad ratum B ad quadratum A O . ed quadratum NI ' aequale est rect iugulo ASG
est enim ' B ni edia proportionalis inter AB, BO, ergo ut qua 1 I xii.
dratum CD ad quadratum FG hoc est vim, ad , ita erit rectan- gulii ira ABO ad quadratum AO, secta est igitur AB, mo, ut i a , L.
Problema ablbluc mu S. Sit AB data recta linea secanda ratio autem recta guli sub tota , N altera parte ad quadratum partis reliquae sit ut ED, ad DC. PO-nantur in directu ED, DC,
S in EC describatur semicirculus E FC, ipsi l EG ducatur perpendiculam DF dc secetur FD bifariam M S iungatur EM,Sc centro H, interuallo H describatur circulus, secans FDir ductam in punctis G. I, fiat ut GD ad DE, ita AB, ad Bh describatur autem in AB semicirculus ALBAn quo accommode tu ipsi Bk, aequalis BL de demittat ad AB perpudicularis LM. au niam igitur aequales sunt GH. Hi de aequales quoque FH, H D, erunt di reliqua: F, DI aequales. Et quoniam est ut G D. ,1 DE , ita AB, ad Bh, hoc est ad BL erit ut quadratum GD ad ova diatum DF, ita quadratum AB ad quadratum B L, sed quadratum GD ad quadratum D E, est sit cut CD , ad Di,5 qua diatum AB ad quadratum B L, i ut AB ad B M. est nim 'quadratum prima trium proportionat m ad quadraralia secundae, si E e, .st.
cui prima ad tertiam ergo ut CD, ad D I hoc est ad FG, ita erit ρ ορ. AR. ad B M per conuersionem rationis, ut GD ad FD. ita AB ad
AM, J. permutando ut CD ad AB, ita erit FD ad A M. Rursus quoniam est ut GD ad DE, ita AB ad P L, erit permutando Vt GD ad AB, ita DE ad B Laesostelum est ut GD a d AB, ita esse FD ad AM ergo ut DE ad B L, ita erat FD ad Abi, is permutando, ut DE ad FD , ita DL ad AM , t qud. dratum D E ad
quadratum D, ita qua diatum B L ad A Mi quadratum ac d qua i .ae i. dratum B L aequatur rectangulo AIM , est 'enim BL media G. o. ρηιν.
65쪽
dratum pD,hoc est uti ad DC prima nempe ad tertia trium proportionalnim, ita erit rectangulum ABMad quadratu AMSecta est igitur AB data in M, ut secanda proponebatur.
L, TAM rectam eamsecare, et rectangulum sub tota maltera parte ad quadratum dissere1itia
Partium, rationem habeat datan . Hoc Problema duos casus habet,vel enim secanda propon,
tu data recta linea, trectangulum sub tota, sarte maiori, vel 5 parte mori ad quadratum differentia partium rationChabeat datam : primo casu oportebit terminum datae rationis Primum, maiorem esse secundo rectangulum enim sub tota, parte maiori maius cst quadrato differentiae partium, cum Vtraque, tota videlicet, & pars maior maiores sint quam partium differentia. Secundus casus nulla indiget determinatione rectangulum enim sub tora, palle minori potest esse maius praedicto quadrato,
Si igit data recta linea DA B secada in duas partes, ut rectangulum sub tota,&altera parte ad quadratum differentiae partium,ratio nem habeati R, ad s. Ex-Ponatur aliquod quadratum k, de fiat vim ad S, ita quadratum, ad aliud quadratum quod sit status aut quadrati' intelligatur
unum ex lateribus tri aguli angulum rectum ambiei bus , maius videlicet in
prim figura, qdae ad primum catu ' Ἐς 40ςxi nnu in secunda, tertia,quae pertinet ad
66쪽
ad secundum cauma, latus vero ouadrati Vintelligatur differetia legimentorum basis. Itaque dato uno ex lateribus trianguli angulum rectum ambientibus d differentia segmentorum halis, inueniatur triangulum, id enim iam docuit Problenia decimuinoctauum. Si igitur illud triangula CDE, in quo per- pedicularis CG ab angulo recto demissa secet basin in duo segmenta D G, GE, quorum differentia E si sit aequalis lateri quadrati F de latus E aequale lateri quadrati K denique dei cribatur in AB triangulum I A Bita angulo CDE simile similiterque rositum , a cuius angulo recto demissam basim perpendicularis I iecet eam in duo seg
lus B L aequalis angulo C EG, atque anguli ad L,
les, ergo triangulum I LIsimile erit triangulo CGE S tria ulum L A triangulo CD, propter similitudinem erit ut DL ad LI, ita EG ad GC, S ut L Padi A. ita GC ad GD, ergo ex aequali eriti BL ad LA: hoc est ad LM ita FG ad GD, id ei ad GH, dcrer conuersionem rationis ut DL ad B M ita erat FG ad YH. Et quoniam propter triangulorum similitudinem est v I Bad B L, ita E ad EG, vim ad B l, ita EG ad FH. x felt demostiatum, erit ex aequali ta B ad PM, ita E ad EH lioc est ita latatus quadratia ad quadrati laetus, ut igitur quadratum Issi ad quadratum M B, ii aerii K quadratum ad F quadratum, sed quadratum ad F quadratum est, Vt Radri ergo ut Rad S, ita erit quadratum IB ad B quadratum , sed qua diatum IIJ aequale est rectangulo AB L est enim I ' media proportionalis inter AB, LB, ergo ut Rad , ita erri rectangulu AB L ad quadratum MB. Secta est iguur AB in I , Ut facere Oportebat.
AT AM rectam lineam, itasecare, et trectan ultim sub tota, disserentia 'artii ad quadratum di se-
67쪽
rent rationem habeat datam oportet autem datae rationis terminumprimum maiorem essesecundo: re Iagulum enim
se tota, o disserentia partium maius esi Odrato praedia
taedisserentia. Sit AB data recta linea secada, ita ut rectaghilum sub ipsa AB SC, differentia partium ad minora si
ipsius differenti. e rationem ha beat, R ad S,cuius rationis terminus Rit maior quam 5.Sece- Ο.Sexti. tur ABm C,ut sit AB ad AC si C pςR Rad S, ipsa vero CB secetur bifariam in D, itaque differentia partiti AD,DB erit A Orioniam igitur rectangulum BAC,S quadratum AC eanden habent altitudmem AC erit 'it AB ad AC ita rectangulu BAC
ad AC quadratum, .d AB ad AC, est sicut Rad S, erio ut Mad
IDAT AH recitam lineam irascare, Ut reclangusum sub tota, disserentia partium H quadratum totius,
rationem habeat datam oportet autem datam rationem esse 1ninoris ad maius rectanguiam enim sub tota, ct disseren-riapartium minus es totius lineae quadrato. Si data recta linea Am qua oportet secare, ut rectagulum sub tota, V differetia partium ad quadratum totius AB ratione labeatv R ad S,cuius rationis terminus R sit minor quam S. Fiat ut SadR,ita AB ad AC,&secetur CBbi sariam in D. Q aoniam igitur ut
AB, sed ut AC ad AB, ita est rectangulum B AC ad quadrat una
68쪽
AB, eandem enim habent altitudinem AB, ut igitur R ad S, tae ii rectangulum BAC ad AB quadratum sellautem rectangulum B Ac illud quod tota Assi, differentia partium AD, DR continetur,quia ipsarum partium differenti aesta sunt enim CD,DB aequales Secta est igitur AB D, ut facere oportebat.
rectam lineam ita care rediangulum
sub rota ferentia partium ad recitangulumsub
Iartibus, datam habeat ratIonem. Sit data linea recta AI quam A oportet secare, ut rectangulum
sub tota, S differentia partium ad rectangulum ut, partibus rationem habeat vim ad S. Sece, tur AB bifariam Ha C,S fiat ut
R ad L, ita AB ad aliam quae sit FG ipsi autem FG ducatur perpendiculari S G D. ipsi vero AC
aequalis, S concctatur FD, dice- troa, interuallo FG describatur circulus quem secet DF continuata in puncti E H dc ponantur ipsi H D aequales CK, CI. Q rei ni igitur quales sunt AC, CB, V aequales quoque IC Ck, fiuiti aequales de reliquae AI. k3,5c ideo differentia inter Ak KBerit k. Et quoniam AB secta est in partes aequales in C S inaequalesua'. rectangulam AkRvna cum quadrato CK.equale erit quadrato AC:bGc est D G, aut seu quod idena est rectangillo FDH, recta enim DG tangit cir culum in G, te rectangului Didaequales est rectangulOTH a Seruili. una cum quadrato HD, ergo rectangulum AKB una cum quadrato Ck aequale erit rectagulo EI D una cum quadrato H D: auserantur aequalia quadrata CK. D rc liquum igitur rectan.
gulum AkA reliquo rectangulo FH D aequale erit. Et quoniam ellit Radri, ita AB ad FG, hoc est ad FH. v autem AB ad FH a rectangulum AB CK ad rectangulum PH D: aequales enim liabent altitudine Ck MD, erit ut I ad S, ita re- ctangulum
69쪽
ctangulum AB, C ad rectangulum FHD, consequenter ita duplum rectanguli AB Ckad duplum rectanguli FHD hoc est ita rectangulum AB akad rectangulum FHI, ted rectanguluFH ostensum est aequale rectangulo AkB. ergo ut R ad S, ita erit rectangulum AB, tk ad rectangulum AKB. Secta est igitur AB in nut facere oportebat.
DAT A M rectam lineam itasecare,et rectangulum sub ora, o altera parte adrectangulumsub partibus,
rationem habeat datam oportet autem datae rationis termianum primum maiorem esse secundo recitaugulum enim sub tota alterasarte maius si rectangulo subfartibus
Sit data recta linea AB secada in duas partes, ut rectanguluill I tota, S una parte ad rectagulum subpartibus, ratione na habeat ut Rad S,cuius rationis terminus o Maeti ii maior qua S. Secetur a B in
Q visiit AB ad A sicut Rad S, Aergo factum erit quod proponitur est enim ut AB ad AC ita rectangulum ABC ad rectangula ACB propter eandem altitudinem CB, sed AB ad AC est sicut costructione ergo ut Rad , ita erit rectangulu ABC ad ACB rectangului. Secta est igitur AB in ut faciendum erat.
IJ T AM eLiam lineam ita care,et rectanguli sub tota naparte adrefctangulum sub tota,
aftera parte, rationem habeat datam. Sit AB data recta linea secanda in duas partes, ita ut rectaRulum sub tota,S una parte ad rectangulti sub tota, Maltera parte rationem habeati Mad S. Hoc autem nihil aliud est nisi ipsam A secare in duas partes, ii ait partium ratio sit eade quae Rad S,
70쪽
R ad S, secetui enim in ut sit AC ad CB. sictu Mad s. Quo inia igitur rectangula B AC, ABCD eandem habent altitudinem AB, erit ut AC ad CR, ita rectaguluna , . AC ad rectangulti ABCied AC ad CB est sicut R ad S,ex constructiones, ergo vin ad S, ita erit re-A B angulum BAC ad ABC, rectangulum. Pui tum guur CProblama eruit, quare iactum est quod oportebat.
Γ AT AM rectam lineam itasecare, Ut quadratum aD M teriuspartis ad recta,igidum subfartilus, rationem habeat datam.
Sit AB secanda in duas parteS, ita ut quadratu alterius partis,ad ν--- rectagulum sub partib ratione habeat ut Mad S.Constructio hu- ' ius problematis eadem est' prς- cedetis vi enim AB iecetur m C, ita V AC ad CB, ratione habeatv I ad S, punctum C problemati satisfaciet erit enim ut AC ad CB. ita quadi ais A ad rectan illum ACB propter eandem altitudinem Aa, sed AC ad CB, est sicut Madri ex constructione, ergo ad , ita erri quadratum A C adiectangulum A CT, punctum igitur C problemati satisfacit, quare factum est quod oportebat.
I AT AM rectam lineam irascare, et quadrattit alteriuspartis ad quadratum disserentiae partium, rationem habeat datam .
Hoc Pooblcm a duos casus habet vel enim datam rectam lineam secare oportet,Vt quadratu parti maioris, vel partis minoris ad quadratum differentia partium, rationem habeat da- tama