Solutio problematis a R.P. Marino Mersenno minimo propositi, datistribus quibuscumque magnitudinibus, rationibus vel irrationalibus, datisque duarum ex illis logarithmis, tertiae logarithmum geometricè inuenire. Duo a proponente de hac propositione p

1쪽

SOLUTIO PROBLEMATIS

R. P. MARINO MERSENNO MINIMO

PROPOSITI. Datis tribus quibuscumq- magnitudinibus,rationalibus vel irrationalibus,datisque duarum ex illis Logarithmis,tertiae Logarithmum Geometrice inuenire.

tionem requirat:

Quod Quadratura Circuli a R. P. GREoostio HS . UiNCENTio exhibita, abeat in illud necdum solutum Problema.

Quibus videtur indicare, lutionem Problematis de Quadratura Circuli,expeditamsore si desectus suppleatur,quem in soritione Problematis a se propositiconsistere iudicauit.

Apud IOANNEM, IACOBUM ME URSIO S.

ANNO M. C. XLIX.

3쪽

MNcidi nuper in Censuram quandam, quam R.PLMA I. iruus MεκsENNus , libro quem de Reflexionibus Phy- εἰ ta sic mathematicis inscribit qua, de subtilissimo opere

R. P.GREGORII AI ' VINcENTio e Societate IEsu, quo inuper summa omnium admiratione applausuque prodiit, quid sentiret, palam euulgauit Scripto eam amicus quidam comprehensam, huc transmiserat, cum librum ipsum aeque Commode non posset quam cum quasi temere abiectam. Veluti neglectam forte inspicerem,simamque interim incomparabilis in Geometria viri viderem si non obteri,saltem apud Geometriae non adebperitos aliquousque obscurari, certe non negligenda penitus res visa tum est , sed digna omnino quam scripto refellerem ego, cum eam non magni se facere RP. GREGORIus satis ottenderet; ut omnibus in eam qui inciderent, fieret manifestum niuria minime serenda, hominis tam bene de Geometria meriti incomparabiles labores, tam indignis modis contemni, a veluti dilace

rari.

Illud tar en vacillantem me, dubitantemque an responsione digna res esset, plane a sententia reuocauit, quod cum Geometricae cuiusdam Propositionis mentionem faceret, a qua tamen stabilimentum omne,qualiscumque Censura illa petere videbatur, satis officio meo facturus mihi viderer in caussa Geometriis ea, si illa ipsa tantummodo, prout expetitur, solueretur stare

snim sic suum honorem videbam Quadraturae Circuli, quartit. RGREGORIUDAS .VINcENTio, publici iuris fecit cum aliam nullam dissicultatem ad rem quae saceret,hoc est Geometricam, in ea recte percipienda,sibi Mersennus conqueratur obuolutam.

Operae pretium tamen erit Censoris verba his attexere, Ut quam parum Geometrice concepta sitia expressa, in ipso vestiabulo, aequus Lector intelligat.

4쪽

Quam libro Reflexionum Physico-masthematicarum inseruit Pag.72

rco Zm autem Phaenomenti editis, conatu ingens in inuenienda Circulia uadratura, labore improbo impensius est usdecem libris explicatus,quo Proportionalitates nouo modod cuntur quippenonsolum rationessimiles id etiam disi miles interse comparat. At vero cum neque dedent stuadraturam eo modo

quopolet a Geometris expectari, cum in ea exhibenda, longe quam ipsa gruadratura H cibo supponat, e os let; neque meminerit τί arenin Geometriar Indiuisibilia Eruditissimi Bonaventura Caua oris quanaoquidemprimus Hamper Indiuisibita methodum eddit, qui tamen il praeluxisse videtur, nostris Geometris dis lituit sitii praeterea nonnihilinisi opere requirunt, vel arguunt ut prasinum quod cum Opussuum euadratura Circulis eciso, sive os titulo insignierit, nihiltamen quodiat remfaciat, praeteridquod in re hactenus inuentum est,protulerit. Quippe in Hud abit necdumρLiuia Problema, quodsforsitan longedi ciliorem quam ipsas uadraturassolutionem requiris i Dato tribus qui gums magnitudinibus, Milonalibus, velimationalibus dati duarum ex illis L artihmo

tertia Logarithmum Geometricemuenire. I CR .P.M-iNI MERsENNI sententia,totidem expressa verbis, hoc est singulis, omnibus. Contemni quidem poterant omnia, quae tota Censura continentur, imb&contemnuntura peritis: silere tamen omnino, non videbatur consultum; saltem

ad Geometrica responsum oportuiticum inter multos versem urhodie, quibus silentium ipsum, erroris deprehens videtur esse, tacita quidem, sed indubitata corisessio. Conabimur igitur ad Problema propositum respondere, illudque supplere quod ad absolutam circuli dimensionem Mersennus deesse suspicabatur:&hac occasione quorundam dubiis taciemus satis, quibus aliquae propositiones Quadraturam spectantes, obscuriores visae sunt.

5쪽

Expenssitur eminatur molium legitimedeterminatum

Atis tribus quibuscum magnitudinibus rationalibus ef

irrationalibus, datisque duarum ex illis Logarithmis, tertiae Logarithmum Geometrice inuenire. Ogarit-brum ea conditio elim sim non nisi seriei magnitudinum continuo

proportio lium rite assigantur, proinde postulat Problema praesens, ut, si exposita lit quaevis series continuo proportionalium A Is C DA,B, C, D,&C in eaque a ------- sumantur quaevis magnitu dines Ad C, quarum L, garithmi sint dati, assumatur auteti qu a ui, magnitudo L, Geometrice determinetur, quota sit L magnitudo in ca serie quantitatum in continua ratione constitutarum, in sua sunt magnitudines A, C determinetmque praeterea quota in illa sint in eadem serie. Hoc certe si praestrierimus solutum erat quod proponebaturi Verum illud expendendum est imprimis . an problema prout propositum est inlut rlimi millimitate, recte problematis nomine indigitari possit. nam si αδδεaro esse quodam in casu demonstrauero iniicero certe, non recte nequa GCDmctrice fuisse Hopositum.

Vt igitur clare procedamus percipiamurque, ponatur series aliqua emtatum 4uae si meadem analogia A, B, C suppo amu que eam progreuior utrimque promoueri. scilicet per diminutionem quantitatum in terministi.&e.&petinerementumeiusdem seriei pere Hunos EG,&c exponaturqι quae-uis quantitas L. De hac magnitudine L plura quaeripossunt, ae illud imprimis. Primb. An illa sit una e numero magnitudinumquae sunt in progressione seriei exposita rationis G ad F siue an atm G adi sit aliquoties multiplicata. V. triplicata, quintuplirata, ecta sicata rationis G ad F aut Fad G, si L

Secundo. An alia series magnitudinum possint exhiberi quae singulas harum quantitatii quae sunt in serie A, B, ci aut a,RA,8 c. contineant, sic vi ratio Aad B. item B ad C,ace sit duplicata, quintuplicata complicata, &c rationis quam habet prima ad secundam altermsseriei intermediae. Tertio. An posito quod quantitas L non centineatur in serie A B C, possit ea reperiri in alia quadam serierogressionum uae totam A, B, C, D seriem dristol

i do complectatur.3 Quarto.An posito quod cmanti as L in una serie progressionum narem exu

beri possit, in omni serie Proposita possit reperiri, fi ita multiplaeetur numeras..posterior temper includat superiores.

6쪽

Ex quibus omnibus fiet manifestumi qubcui clatae si iri antitates Earumque Logarithmi, Sestertia item data siti,quae in serie nulli di possit in qua sunt At C quantitates,quantumcumque series illa extendatur aut diuidatur aut multiplicetur quod fieri posse demonstrabitur non posse in hoc casu inueniri Logarithmum quantitatis L,ac propterea male propositum esse Problema.Atque ex hoc ipso limitationem inueniemus, qua constringi Problema debuerat, sicque in ordinem redactum ad Geometricam constructionem reuocabimus, quod nullis videbatur legibus posse coinceri. vi autem hisce quaesitis Geometrico rigore faceremus satis, potissima doctrina Partis quartae L7.de Hyperbola ex opere Geometrico R. P Gregorij repetenda h1c seret fundamenta enim doctrinae que: Logarithmos complectitur inres continentur. Sed qtria nimis longum id foret,statui tres quatuorve Propositiones hisce inserere, quae instituto nostro faciantratis Demonstrationem ipsam non apponimus breuitatis gratia, propositioncm ipsam exposuisse contenti;ut quibus ipsum opus Geometricum R. P Gregorij ad manum n fuerit, intelligant nihilominus quaenam isthic veritas proponatur sicciue demonstrationes nostrae, in quibus illae citabuntur, clariores euadent, manifestiorque fiat verita,

PROPOSITIO PRIMA.DAta quavis serie linearu AB, AC, D, AE,AF, AG,&c. qu eande

DAtet exasg. lib. de Hyperbola omnia enim rectangula ΑΗ: AI, A ΚιΑLa- AM, AN aequalia sunt.

7쪽

oroilarium.. Aia igitur serie contunde proportionalium linearum O,P.Q,R,S,T,&c datisque lineis ΑΝ, Α anguluin quemcumque c ni Maeliti hus facile in linea AG inuenientur puncta B. C, D, E, F, G, dcc e quibus e tae B H, CI, D,K. EL &α aequales quidem lineis O,P,ui&c singulae singulis, Grallelae autem ad ΑV, terminentur ad eandem Hyperbolam, cuius asymptotiunt xU,AG. nam si sumantur e linea A; rectae , quae sint aequales, T,S,R,Q, O scilicet Ara. γ, Aa, Aa, As, c. Deinde linea qua uis AG assumatur quae diuisa sit secundum eandem rationem, secundum qumn diuita est A; β, γ,λλ, ῶ, ex punctis autem β γ,υ,ῶ,θponantur atquidistantes recte: A G, similiter ex punctis B.C.D. E, F, G erigantur lineae quae equidistentas, concursus harum parallelarum assignabunt puncta Hyperbolicam, , Κi LiΜ,N eruntque HRI ΚDi LE,NRNG, aequales rectis P, P, Q, R, S, T.

PROPOSITIO 1. Adem figurst assumpt2 sint rursis ΑΝ, AG asymptoti typerbolae HIAEN:&ponantur H CI, G parallelae asymptoto A Rauferentes quaedam segmenta hyperbolica H RCI lGG N. Dicti quod ratio HBadl C toties multiplicet rationem IC ad N G, quoties superficies HBCl. quam commoditatis gratia deinceps voc bimul superseiem H Cycontinet superficiem PG; aut contra siue quod idem est. Uico quod ratio HS ad I C toties multiplicata sit rationis I Cad N G quoties superficie H Ccominet superficiem PG,aut contra.

udem positis: si lineae H B, C, D,LiόMI, G, &e siue quod in idem recudit si lineae AB, A GAD, E, AF, Ac, dcc continue proportionales

fuerint.

Dico superficies omnes niperbolicas tu CK, E,E MMG, e. aquales esse. Et si superficies hyperbolicae per lineas A B, C, Κ D, c.

8쪽

9 CONFIRMATIONES asymptoto A V parallelas determinatae, aequales fuerint inter se, dico omnes lineas H B, C, D, E,&c item & omnes lineas AB, AC, AD,

RE, &α continue proportionales esse. I Emonstrationem habes L7.de Hyperb Prop. I3osequiturque ex praecedente

Sebobon. Sta quorsum haec inquiest ambages non quaero, ad Logarithmos te duco, licet valde disparata videantur haec a scopo nostro, breuiter igitur eam doctrinam, Logarissimos comprehendere, sic ostendo. Assiimatur rursus cadem figura Sitque series aliqua magnitudinum , P, Q. S, in continua analogia existentium, quarum Logarithmi sint , ,8, 9,Io. C. qui quidem numeri codem semper sese superent excessu, seo indum doctrinam garithmicam Assumpta igitur quadam hyperbola HIN, cuius asymptoti sint A V, AG constituantiir ad eam lineae H B, IC, KD, UC,MF, G, e parallelae quidem ad asymptoton As, aequales vero lineis O,P,Q,R,S,Vsingulae singulis, quod quidemper Corr. prima huius facile fiet. Erunt igitur per tertiam hilius omnes superficies, C,CΚ,KE,EM, M aequales inter se. Unde si continuetur ratio Ica ad HB,fiatque eidem proportionalis Z, eaque per Corr.primae huius ad ean/em hyperbolam constituatur, erit superficies X aequalis superficiebus Η C,CAE,&c unde rota superficies hyperbolica X G eodem excecsu excedit superficiem hyperbolicam H G, quo superficies hyperbolicam G superat superficiem I G: rursus superficies hyperbo a I G eodem excessit perat superficiem LG,, sic deinceps. Vnde loco numerorumε,ν,8, 9, Io, I,&α qui crant Logarithmi magnitudinum O,P,Q R, S,T, assumerem terimus quantitates hyperbolicas G, H G,IG, G, LG,M G,aut potius M G,LG, KG,PG, H G, G. aut si hyperbolae mentionem fieri non vis rationes, F ad N G, L Ead N G, KD ad N G, IC ad N G, H ad N G. X ad N G, cum hae quantitates, consequenter rationes, non minus aequali sese inuicem superent excensu, quam numeri Logarithmici qui assiampti fuerunt. Quare natu am Logarithmicam cum sua terminorum continuatione, execssu,videsHyperbolς ad amunsim accommodatam; ut iam loco numerorum, liceat has partes hyperbolicas,aut rationes dictas linearum assumere. Vt igitur nos accingamus tandem ad solutionem illarum dissicultatum, quae

initio fuere propositae, sequetes sormo propositiones Ac Primam quidem,inmAexisua est dissicultas, etiam hἱc solliere placuit, ut rota materia per hyperbolicas hasce proprietates, quas iam proposui, quasque deinceps persequimur, absel

tura

9쪽

DAta sit series linearum Α,B,C. E.&c continuata secundum rationem A ad B. Data sit insuper quaevis F. oporteat ostedere an F exhiberi postit in serie rationis AB Citrimque si opus suerit producta, secundum rationem maioris inaequalitatis,ad B, vel minoris B ad C.

construm in mons io.

Cla series M G,MH,MI, M similis seriei Ε, D,C,B,A: sumptisque Mλ, ΜΣ. O,ΜN,quae sint aequales EM,C, B,A,erigantur GP, H v,IX,Κβ,Lδparatrielae rectae M N, quae concurrant cum rem, P, V, X, Zβ, quae equidistant M L,in punctis P,v,X,is,1 erunt haec puncta ut dictum est ad hyperbolam: cuius asymptoti sunt Μ N, Mit ostendere igitur oportet an F sit in serie A,B,C, D, E,&α hoc est in serie MN,M MY,Μ2,Mλ. Fiat rectangulum super Iposito quod NM Langulus sit rectus), aliare Q, aequalem P rectangulo: sumpta deinde M S quae sit aequalis Q,erigatur Sin aequalis' parallela MN,erit punctum Mad hyperbolam Psa, cum, Riectangulum aequale sit, v rectangulo. vel igitur punctum Rest inter puncta P, Qv vel est ipsum punctum P, aut Uiquod antem dico de P,aut v intellige de quibusvis duobus punctis X vel ινλ&αὶ Quod si medium est punctum Minter R& ,igitur recta Ra,hoc est F, non

est assignabilis in tota serie progressionis B, C, D, E hoc est in letae M o,MY,MZ,Nλ,4 c. nam omnes quae sequuntur H sunt semper minores quam sit, H, cumque R S media ponatur inter P G, WH hinc maior est Ra quam UM,& consequenter maior quavis linc quae minor est qua sit UM, quales sunt omnes XI, sti L.&c. si autem continuetur ratio Had G ut sint proportionales H, P G. .,tunc fiet processus a minore ad maiorem quare inim recta R S minor sit quam PG multo minor erit quam sit x.,&c unde neque rect Ra hoc est Festin serie rationis V Η ad PG,ωFG ad A., c. manifestum igitur est quod noli contineatur Fin serie rationisini B, C, D,E, c. nisi rem . hoc est M S aequa-l is sit uni linearum progressionis G ad M.

10쪽

It rursus data series continuc proportionalium A, B,C,D,dic. Dico infinitas exhiberi posIeseries, quarum partes sint lineae A, B, C, D,&c. sicut ratiori ad B lit duplicata vel triplicata vel quintuplicata, vel centuplicata, &c rationis quam habet prima ad secundam alterius seriei exhibit . Demonstratio.

Sint lineae RH Τ, mediae inter A,B,C,D. fiant L,M,N,O, aequales rectis A,B,C, D,E erunt igitur ad M,M MN,Nado,hoc estri ad B, B ad C. Cad in duplicata ratione Gad F, ac propterea Α, Β,C,D,& erunt partos serie rationis L ad F. Sed eodem modo si ponantur mediae inter terminos huius seriei L.F,M M,N,8cc. series haec secunda parseris seriei illius tertiae, ac propterea 3 1eries A,B C, pars erit seriei tertiae, cum Ostensa sit esse pars secundae cum autem infinitae medietates possint assignari inter duos rerminos, imb, infinita binari mediae, ternariae quarernario, Scc patet seriem Α,B,C in infinities infinitis seriebus assignari posse cuius sint pars,prout propositum erat demonstrare.

PROPOSITI VI. SInt A B, AC asymptoti hyperbolae Di H ωposita sint tres lineae Da FG, HV quae equid istent symptoto Ai auferantque superficies hyperbolicas DG&GH, ita tamen ut ratio superficiei in ad G ,eam obtineat rationem quam latus quadrati ad suam diametrum, siue ut superficies illae sint in commensurabiles. Dico lineam H Cnon esse in ulla omnino serie in qua reperiuntur lineae DE&FG.

I enim in aliqua serie rationum continue proportionalium sint tres illae lineae, ponantur esse in serie rationis Diad IR,&I ad FG FG ad LM: LM ad Uim Graia H C. Itaque cum continue proportionales sint D E IS, FG, L M. Nos Digitias by Ooste