장음표시 사용
31쪽
Quomodo ergo vocanda erit,inquies ,ratiori 1 ad 2 comparata cum ratione itia L fCerte non potest dici sextupla omparata cum tripla, si in minimis numeris eam comparationem exprimere vis inam ratio in. ad 2 ad rationem a. ad 4 est ut 4 ad L, vocandaque esset dupla comparata cum simpla. Aduerte tamen quod licet ratio 1 ad 2 comparata ad rationem ri ad A, vocetur rati' dupla comparata cum simpla, si ramen rationem a. ad Laddere vis rationici 2 ad 4 ac propterea rationem Ia. ad 2 reddere diminutam duabus tertijs non possis duplam rationem addere simplae,nam tunc sic stabit exemplum H dc ἱ- , antecedentesque erunt diuersae, consequens communeiadditisque antecedentibus augebitur ratbo.verum redigi debet prior ratio ad minimos terminos ut 11 ad 2 ad rationem, ad essecunda vero ad minimos terminos quos patitur idem antecedens. 6: sicque demum stabit exemplum sal addanturque consequentes, fient 3, 3 prodibit ratio εMι, qualis est ra. ad 6, quae diminuta est duabus tertij rationes rabida.
Echoc Patet 8.veritas Prop. s . Operis Geomet. l. i. qua dicitur, si dentur duae rationes Am ac D, S: EF ad G H. quarum tam antecedentes quam conseriquentes diuisae sint in quotcumque ΑI,l B; CK, KD; EL,LFιGM,MH: rationem Assi ad C D. esse ad rationem DF ad GH,ut rationes AI ad CR. AI ad KD, I Bad CK, I ad KD simul surriptae, sent ad rationes EL ad M, EL ad H, L Fad G M,LFad M H simu umptas Patet inquam, quia, rationes quatuor primae simul sumptae siue sibi inuicem additae eo modo quo dictum est in cotti . sunt ipsissima ratio siue constituunt ipsam rationem AP ad CD simiIiter ex rationibus,quatuor secundis sibi additis eodem modo constituitu ipsisma ratio Elad G H. Atque ex hoea'cortollarium eiusdem propositionis fit manifestum, quod sic se
Sitationum AB ad CD,&EF ad GA partes eaedem aut similes rationes fuerim in idem enim incidit rationes esse similes Measdem, patet ex l.8 de Proportionabin opere Geomytum totae rationes eaedem aut similes erunt. Hoe est siratio. g. AI ad Cue similis sit rationi Et ad G M, item ratio Adad x D similis rationi Ei ad M H: rursus ratio I B ad QK similis rationi LF ad G M densque, ratio I B ad K D, similis rationi LF ad MN, etiam tota ratio AB ad CD similis erit rationi EF ad GH, patet ex praecedenti. Atque se eomplanata est difficultas quae in a. 3, M. Quadratura posset oceurrete.
32쪽
Cora arium nonum. tam Prop. Ri. o. Oper. GEOm. explicata de intellecta prout eam intelligimus hic in Corrol. 7.Patet,.quomodointelligenda sit, &quomodo verum sensum habeat Propa a. lib. Io. Oper.
In hac ostenderat Auctor in casu quc proponit, quado scilicet sunt quatuor ordines continue proportionali ut AB CD V.
r communem habentes ultimam V, quod ratio A ad L, sit dii plicata rationis C ad N,& ratio ad N duplicata sit rationis D ad O item quod ratio A ad .du- licata sit rationis C ad S,& ratio Cada duplicata rationis D ad T. Item ostenerat quod ratio Fadi duplicata sit rationis H ad N ,, ratio H ad N duplicata rationis Iado denique quod ratio Faduduplicata sit rationis Hada , de ratio Had S duplicata rationis rada
His ita expositisac demonstratis, infert quod ratio tota AF ad Lutoties contineat rationem totam GH ad S, quoties ratio CH ad N S continet rationem DI ad O T. In primo cum non esset dissicultas , consequentia tamen haec ultima vita est difficilis, imbri falsa nonhullis, cum eam inariiseris per operationes varias CXaminare volunt.Uerum quid si non recte eae operationes adtabeantur' Nam cum ex Prop.8.lib.Io.demonstretur haec conloquentia, certe non alium sensum Prop. haec Ia,eiusque ultima consequentia quam modo posui habere potest, quam ipsa 8.Propositio requirit:alioquin frustra ea ad demonstrationem adhiberetur. Alium vero sensum illi si a fingas, quis miretur in falsas consequentias, ex caper peram intellecta quempiam deuolui mic igitur genuinus eius propositionis sensus est; aliis verbis in idem recedentibus expositus: Tota ratio quantitatum AF ad L. costituitur ex rationibus sibi additis iuxta sensum Prop.8.iam explicatum Corr.7.quae quidem rationes toties multiplicatae sunt rationum carum qui sibi additae iuxta sensum Propra constituunt totam rationem quantitatis GH ad N S,quoties rationes illae constituentcs rationem C Had S sunt multiplicatae rationum illarum, quae sibi additae iuxta sensum Prop.8. constituunt totam rationem quantitatis D I ad O T. Quod quidem verissimum esse demostratur ex eadem Prop. p. intellecta prout eam intelligendam diximus Corr. nostro 7 Nam ratjo totius AF ad L Q, constituitur ex rationibus A ad L, A ad , Fad L, Fadi item tota ratio CH ad N Sconstituitur ex rationibus Cad N, C ad S,Had N,Had S lacn uetora ratio D Iad T, constituitur ex rationibus ad O. Dadet, I ad O. Iada. Ostensum autem erat in casu iam posito rationem A ad L esse duplicatam rationis C ad Dra tionem vero C ad duplicatam esse rationis D ad O , item rationem A ad . duplicatam esse rationi Cada,&rationem Cadri duplicatam cita rationis D ad Te rursus ostensum rationem Fadae duplicaram esse rationis H ad N rationem verbH ad N duplicatam rationis Iado; denique rationem F ad duplicatam esse rationis Had Sac rationem Hassi duplicatam esse intionis Iad T. Igitur patet ra
33쪽
tionem totam Arad L Q constitui eiurationibus toties multiplicatis rationum ea
tum,quae constituunt rationem totam GH ad N S,quoties eae rationes quae constituunt rationem rotam GH ad N S sunt multiplicatae rationum, quae costituunt rationem totam Drado T.
Quo posito, cum ratio AF ad L non differat arationibus iis simul sumptis quae consti ruunt rationem A Radira per combinationem iam explicatam Cor-rol. 7.quae vera est detractio simul, additio,idemque verum etiam sit in rationibus C H ad NS,m Iad O ,patet iam quo sensu verum sit ratione AF ad Lintoties continere rationem C H ad S,quoties ratio GH ad N S continet rationem Diad Ο continet nempe rati, Fad L a rationes eas ex quibus constituitur,quae quidem toties multiplicatisunt rationum earum quas continet ratio CH ad N S&ex quibus ipsa costituitur,quoties rationes quas continet ratio CH ad N S 3 ex quibus consti euitur, multiplicatae sunt rationum quas continet ratio D Iad OT ex quibus constituitur,
Coroliarium decimum. vi Inc Patet to eos tali qui existimant in
dici, si ratio A adi sit duplicata rationis N
rationis Had N,&c. reliquas combinatis V X
nes omitto, verbis parcam 3 quod etiam ratio AF ad L sit futura duplicata rationis CH ad N quod tamen nonnulli putantes sine sto dubio,&abique controuersia in hac propositione supponi, fallum id tamen esse in numeris inueniunt.neque errant; falsum id enim vere est, patetque id sine longis ambagibus Nam ut rationi Α ad L quae duplicata ponitur esse rationis ad N, addatur adhuc una ratio Fad L, sic ut conflatum ex illis rationibus, scilicet ex ratione Radidi altera illa ratione adiecta, duplicatam habeat a ticinum C ad H Mad N conflatarum in unam rationem, de tu imprimis rati nes C ad , m ad N coalescere per multiplicationem fiat itaque vi H ad Mira ad ,eruntque rationes C ad , Had sibi additae per multiplicatione, prouenietque ratio Cad . iam vero cum ratio Fad L posita sit duplicata rationis Had N, hoc est Nad X,fiat ut Fad L,ita Lad U,erit&ratio Lia, duplicata rationis N ad X, totaque ratiori ad V erit duplicata rationum C ad N&Had N sibi additarum per multiplicationc peros lib. de Proportional longe autem aliam ratio AF ad L quam A ad . Quis id ignorat qui in rationum natura aliquo. modo est vorsatus 'Mid P. Gregorius non animaduerterit, qui rationum scientiam adeo amplificauit ut passim notum est, quique rationibus quibuscumquaae quaecommode utitur ac Euclides lineispinulla itaque quare istae rationes AI ad F additae sibi inuicem prout vult Propos Lia licet singulae duplicatae sint rationum C ad N,ωHad N, non constituant tamen aliquam rationem ΑFadi quae sit duplicata rationis CH ad N manifesta est, quia rationes Α ad Lin Padae non coalescunt permultiplicationem. sed per veram additionem: siue quia non coalescunt istae rationes ut multiplicatae sunt rationum C ad N &Mad N, sed ut rationes simplices sunt. Eodemque modo rationes C ad N M ad N non coalescunt permultiplicationem,nam ut siefaciunt rationcm C ad X ut iam ostensum est coalescunt autem lationes C ad N, M ad N per meram additionem rationum , ut rationes simplices sunt nociautem ut multiplicantur per rationes alias Imbut pressius loquar nulla operatione hic opus est,nam citra ullam additionem extrinsecam coaluerunt iam rationes
C ad N&Had N in ratione GH ad N, quia reuera ratio GHad N eas actu continet idemque est in reliquis rationibus obseruandiam. Rationes porrba ad L,&Fad L licet reipsa duplicatae sint rationum C ad λωH ad N singulae singularum, non tamen ut sic consideratae mutationem ullam
34쪽
ad rationes C ad Mat Π ad N simpliciter ut rationes sunt, sue considetentur ut
duplicatae sunt earundem. Additae autem hic considerantur ut simplices rationes sunt, per meram additionem aut si consequentes etiam diuisae sint, per meram additionem, detractionem,modo explicato Conobr.
τ' I AF ad L multipli--Σ - . II cata iit rationis CHad N respondeo id '' ad hunc discursum
minime determinari debere, nee requiri r non enim indagatur hic ratio duorum totorum inter se, sed allummI tertia quaedam ratio Da mi O, quae cum talis esse reperiatur, ut rationes omnes eam constituentes, toties multiplicentur a rationibus constituentibus rationcm GH ad N,quoties rationes hae multiplicantur a rationibus constituentibus rationem ΑFad L, insertur quod ratio Ai ad L contineat toties rationes constituentes rationem Quad N I quae sunt ipsissima ratio CH ad Ni quoties rationes canthi tuentes rationem CH ad N quae sunt ipsim
ma ratio CH ad N continent rationes Constituentes rationem DI ad O , quae
sunt ipsissima ratio Drad O. Non autem id infertur ex eo quod ratio AF ad Lsit duplicata rationis CH ad N,4 quia ratio OH ad N duplicata est rationis D Iadomam id quidem plane falsum est, nec umquam assumptum vel per umbram in discursus Gregorii. Nam ex eo quod ratio Radae duplicata sit rationis C ad N,doratio C ad reduplicata rationis D ad O, quid instreS quod rationi A ad inordine ad rationein ad competat, quod mutetiam competat rationi C ad N in ordine ad rationem Dado An quod ratio A ad L toties sit duplicata rationis Cadm, quoties
ratio C ad Naupsicata est rationis D ad Othoc autem nihil plane significat. 4d
enim est toties esse duplicatam rationem alterius rationis, quoties haec altera ratioduplicata est cuiusdam tertiae Recte tamen inseres quod ratio A ad Leo casu toties multiplicata sit rationis C ad N , quoties haec est multiplicata rationis uado,quiautraque alterius est duplicata: quod ratio Fadi toties sit multiplicata rationis uad N, quotiexhec est multiplicata rationis rado, ob eandem ratione. Qirundo verodiciturquod ratio AF ad Laoties contineat rationem Hadi, quoties haec ratio continet rationem Drado, hoc non infertur ullo modo, ex eo qudd ratio AF ad L sit duplicata rationis CH ad N,&quod ratio CH ad N duplicata fit rationis D Iado, iudex eo quod natio ΑFadi contineat tot ratione ex quibus constituitumuae toties multiplicatae sunt rationum earum quas contiis Detratio Quad N, ex quibus constituitur, quoties eae rationes quas conimet ratio Cuia κ& ex quibus constituitur,multiplicatae sunt ratismum earum quas continet ratio D ad Ο ex quibus constituitur, ut iam saepius dictum. Iuuat enim sepius idem diuersis modis aliquando dixitae, ut tandem percipiatur quissensus sit Auctoris. Latet luc quidem aliud quoddam mysterium, ex quo ostendere possem rati nes has minime esse posse duplicatas,& tamen verum esse quod toties sint muli plicate frima secundae,quoties secunila multiplicata est tertiae sed quia longioris id esset discursus maiorisque moliminis quam ut libello hoc id explicari possit,vissim id tuitomittere praesertim cum Auctor ipse in deductione narum mate- viarum, quam prae mamous habet, id luculenter sit praestiturus.
35쪽
v x his Patetit. errare rursus eos qui ex Prop. ia putarunt sequi rationes Asin ad L, C Had N, Da ad O esse rationes eotinue proportionales. Na, inquiunt, ratio AF ad L duplicata est rationis Mad N,N ratio GH ad N, duplicata rationis D I ad O igitur rationes eae sunt continue proportionales. Atque hoc modo tursus Propositionem ra examinare dum volunt,inueniunt rationes AF ad L,CH ad N DI ad Onon esse continue proportibnales. Sed quid mirum si ex errore supposito,veritatem,quam sibi imaginamur sequi debere,non elicianti Nam imprimis nusquamasiumptum est rationem AP ad Lduplicatam esse rationi Cm ad N; hanc rursus duplicatam rationis D I ad O. nam hoc falsum esse iam ostendimus. Deinde ut hoc assumeretur, tamen minime sequeretur rationes eas esse eontunue proportionales. Quod quidem innumeris prius ostendo , deinde id ipsum Geometrice demonstraturus. Suppono ex .de Proportionalitatibus P. Gregorij, si tres continue proportionales rationes exhibitae fuerint rationem mediam in se ductam, idem producere, quod ratio prima ducta in tectiam. Sitiam A, B, C, D,Eordo quinque proportionalium. Ratina ad Eduplicata est rationis Gad E ratio autem Gad E duplicata est rationis D ad E.non tamen idecitationes A ad E, Cadi, ad E continue proportionales erunt.quod sic patet. Fiat ut C ad Ε, ita Ead F; tunc ratio i
ad E ducta in se producet nitioncm DC ad F. Item ducatur ratio Dad Elura rtionem A ad Esiue fiat ut Dad Eita ad G: prodibitque ratio A ad hoc est Bad F.patet autem rationem B ad F eandem non esse cum ratione Gad F. non igitur sunt rationes A ad E& C ad E, deinde Dad Eproportionales, quamuis duplicata sit ratio A ad Crationis C adii quemadmodum haec ipsa ratio C ad E, est duplicata rationis Dad E.
Confirmabitur hoc ipsum simili B E
fere discursu.Ponantur denuo qua -- - - - -
titates A,B,C,D,E continuare eandem rationem A ad B erit itaque A ad Eduplicata eiusquam habet Cad Eri similiter C ad E duplicata rationis D ad E. Cumque habeant tres hae rationes commune consequens erit ratio A ad Eadr tionem Cad via ad C per propositionem secudam libri de Proportionalitatibus de ob candem causam erit ratio C E ad DE, ut est C ad D. quia vero ratione eaedem esse supponuntur propter continuationem, erit ratio A ad C duplicata rationis A ad B, hoc est duplicata Cad D.quare ratio A ME, C ad D ad Eproportionales non sunt, cum terminia,C,D proportionales esse non possint.