장음표시 사용
21쪽
mam velleuiter concinnari s viaris materi exornari, nefri imperfectum Her mus. Idem desequenιib-Libris iudiciumferre dignaberri Ut clarius tamen facti rationem exponam,dicam omnia. Geometris scribebantur haec, quibus non bla Quadratura circuli orexin mouet aut explet alia nam a que habet opus hoc, Di mensione Circuli haud inferiora, uti non semel a multis iam annis vir in Geometricis expeditissimus Christophorus Grien Gerus Societatis Iesu, publice ore litterisque Romae professus est qu praeterquamqubdad Quid raturam manu deducerent, de quasi viam aperirent, non minois rem ipsa plausum, quam Quadratura merebantur, cum ea plane serent ipsius tunc quidem iudicio, nunc autem ituri morum qui sine partium studio rem, prout cst, diiudicant, quae cum Antiquorum omnium elucubrationibus poterant
Iam vero quis merito id aegre ferre potest. Quadraturae circuli nomen operitam admirando suisse praefixum t Quadraturam certe si dederit, non poterat id sane modestioribus explicari verbis , imbuat dignis exponi vocibus haudquaquam potest. Eam sederi se Auctor, cum opus ederet, plane iudicabat , iudicatque etiam nunc , imo magis quotidie confirmatur in sententia quidquid aliqui fortasse secus, nescio quo scrupulo,sentiant. Vt quid ergo non plane loque. retur, ut quid distorquendo verba, nimiumque molliendo sententiam, insinuaret dubitare se, quasi causae suae ullo modo dissideret Qtiod si vero etiam theorematice tantum Dimensionem Circuli absoluiuet,ne tum quidem quidquam foret, quod elatiorem esse libri titulum quis posset criminari. Certe lieorema suum Archimedes quod tribus omnino propositionibus expedivit, Dimensionem Circuli siue adraturam indignauit. neque quisquam id ei a tota antiquitate vitio vertit. Potuit itaque tres illas propositiones , quae elegantillimae licet sint, solum Theorema continebant Dimensionem Circulsinis scribere Archimedes, non poterit vero R.Ρ. Gregorius subtilissimam illam,toto
que implicatam propositionibus demonstrandi viam, qua veluti Ariadnae filo Τheseus alter laberynthum aded intricatam ingrcssus est, impeditaque semitas
labore improbo, conatuque plusquam Herculeo explicuit, felicitate autem summa cuiuis aperuit, eam inquam non poterit praetenso Qtiadraturae titulo Geometris porrigere, ac veluti in manus dare Utvtessiet, Quadraturamque problematice non dedisset Auctor, scio ego sciuntque rem qui excussere, ipsam Quadraturae inuestisandae rationem, mi rem apud Geometras admirationem excitasse, quam ipsa, Archimedaeae insistendo viae, exhibitio uadraturae potuinet cxprimere maioremque apud Iudices non praeoccupatos partium studio, sibi ut Geometrae subtilissimi famam, existimationemque peperisse, hac methodo quadraturam quod indagarit, quam quod inuenerit inueniri eam potuisse non mirantur Geometrae hac vero via tam inaudita numquamque expectata quaeri quod potuerit, id enimvero nemo est 'qui non obtupescat. Delectationi etiam summae est Geometris videre, alia ex parte emersisse veritatem hanc, quae in Geometriae latebat fundo, quam alia expectabant emcrsuram sic nescio quid iucunditatis afferat, alio effodi inelaurum loco, inuenirique gemmam, quae alio prorsus, irrito studio nequidquam quaere
Qiiod si quid interim occurrerit alicui miniis quod placeat minusque quod
faciat satis, iudicium certe Geometricum non declinat Auctor Geometricum modo vere id fit. Vti enim se hominem nouit, ita, nihil humani a se alienum putat orat quinimo ut scripto typis edito agitetur potius discutiaturque res,quam ut tacito murmure, per hominum ora volitet nescio quae fama obscurior, quae licet non euertat, obnubilat tamen apud horum ignaros,aut apud eos quibus nocivacat singula discutere, obscuratque famam celeberrimi Geometrae. Qvdd si quis typorum dissicultatem refugiat, litteris certe scriptis, commodissime confici res tota potest sussicit autem Geometrae esse, ut gratissimae sint acceptissimaeque, cuiuscumque demum etiam ignoti P. Gregorio litterae, noui enim hu- 3 manit
22쪽
manitatem facilitatemquo viri,fortassis enucleabitur se magis ipsa veritas, elucidabiturque si quid obscurius, ut in re noua fieri Olet, occurreric pluraque eo pacto in lucem sertasse venient, quae in fundo ignorantiae, non sine Geometriae detrimento latuissent. Verum Geometrice, si placet, agatur res, per nudas veritatum propositiones, demonstrationesque neque pluribus opus est, ubi veritas sola ainquiritur. Quod si error detegatur, tantum abest ut odium paritura sit veritas landa quidem apud inaniis gloriae sutiles captatores, vanosciue locum habet, ut gratias etiam amplissimas Benefactori suo acturus , habiturusque sit Auctor: cum enim summum malum quod intellectui potest obtingere, fit error certe errorem texisse, quod plane eum sanae menti est detraxisse non potest non summum esseheneficium atque iriapud aequos Veritatis indagatores, aestimatoresque, veri'tas inscitiam Parit. . .
23쪽
Qua Propositionum 1 6. 7. 8. Ir ωs . Quae Libito operis Geometrici R. P. GREGORII A ' VINCENTio
Vorundam ingenia, qui pro studio quo in Quadraturam Circuli ferebantur , sedulo eam Geometrices examinare voluerunt,ueritatemque propositionums
ad calculos reuocare, torserunt Promγsitiones quaedam, quae in Libroiq. Operis GEOMETRIc R. P. GREGORU Occurreres eae
erant quas modbitaefixi, r. 6 7 8. n. ωr . Quadraturarum ut ita loquar fundamenta, bases. Quae quidem, ut non dissimulem quod res est, freuissima quod sint, obscuriotes sunt, neque adebad percipiendum faciles;& tamen eiusmodi, ut 11 vel minimum ab earum mente deflectas , natae lint in errores haud con temnendos Lectiorum animos abduceres, prout id nonnullis Geometris reipsa accidisse comperio.sed quomodo Auctori irimentem incidisse poterat, non eo modo intelligendas proposia
tione suas, quem earum natura se iret, aut verborum ensus naia
purae rationum, de quibus agitur, accommodatus Visum itaque ite te esse eum obicem tollere, remque ipsem subtilitate sua sane dimcilem dc distorto vetitatis sensu male percepto magis intricatam,quoad in me erit,paucis complanais re, ne cuiquam hac ex patie posthac iniiciatur mora. Neque id a me praesertim attentari quisquam miretui, aegreve serit: nam licet Auctor ipse materias illas fusius elegantiusque alio quod molitur,ut dixi, volumine,susceperit expIicadas,non vidcbatut tamen diutius expectandum , praesertim cum haec sese occasio commodum obtulisset, satisfaciendi eorum desiderio, quibus hac in parte aliquid,praeter data,requiri videbatur.
24쪽
a CONFIRM AI lo ΝEs Prodromus eriti afue tractatus hic, quas praelusiquenturi operis. Omni ui xv vero quae deinceps dicturus sum sensum,
ex ore Auctoris acccpi,sc saepius quidem non uno tempore,necvno modo dataopera ab eo expressum quem ut percipercinihi visus sum, tum denique prout mihi quidem videbantur intelligendat exposui. ae, si Lectori Benevolo arriserint dubiisque si Iecerint satis, id certe Auctori ipsi aCceptum reserat. oblCuriora erbis sorian fuerint, id mihi omnino adscribi vqlo, ut quirer i subtillissimam, calamo saltem exprimere, non usque ad ebfeliciter potuerim Fortassis tamen erit qui me intelligat. Propositioncm verbipsam, tuam unicam pono, si qui prima fronte non perceperit, Corrollaria ipsa sedulo pervestiget,& iam demum patebit feliciterne res fuerit evoluta. Rem itaque prout
Atque a Propositione quinta& sexta in quibus prima, imo ut patebit, Unica erat dissicultas, auspiCemur. Prop. s. ita se habet. Data sit ratio A ad A quamuuabam quantitatem diuisam in B s C. Dico quod ratio ad B excedat rationem A ad
I BC, ratione Cadi. Propositio verb4. hanc destruere videtur, quae sic se habet Ii dempstis. Dico rationem A adBCaquari rationi AMB, minus ratione Cado. In his ver propositionibus cum contradictio prima fronte
appareret, Scholion bene longum adiectum est, in quo S sensus earum exponitur,&contradictio declaratur. Verum cum dc illud obscurius adhuc visum si aliquibus, Propositiones has duas, aut potius unicam, nam reuera in idem incidunt ut mox apparebit, hic exponimus Propositione unica, positamque demonstramus deinde per Corollaria, ex hac unica propositione de ducta, rem totam explicamus.Ex quibus liquido apparebit,quorundam dubia, quae deinceps exponentur, ex distorto tantum huius veritatis sensu ortum duxisset, propositionemque ipsam, alium quam hic eliciamus sensum, habere non debuisse,im,nec potuisse secundum mentem Auctoris. R
25쪽
At sit quaevis ratio A ad BG, cuius Aeor sequens diuisem sit in ΒΛ C. ' ΣDico quod ratio A ad B excedat rationem A ad BC , aliquo excessi rationis, quem determinat ratio Cadi collata ad rationem B C ad B. Aut ut alijs quidem verbis,sed in idem recidentibus,riar. Dico rationem A ad B excedere rationem A ad B C aliquo rationis excessu, qui ad rationem maiorem A ad B, sit ut excessus rationis quo ratio BC ad Bexcedit rationem Bad B, scilicet, ratio C ad B est ad rationem B C ad B.
Demonstratιο. Disti, iam est ad rationem A ad B taut B C linea est ad B,perj. de Propor-- tionalitatibus P. Gregor.sed ut BC est ad B.ita est ratio BCada, ad rationem B ad A, per .eiusdem: igitur, est ratio A ad B ad rationem A ad B C, ita est ratio B C ad A, ad rationem B ad A. Sed ratio B Gada, superat rationem B ad A. scutic superat B, colligitur id ex ri . eiusdem igitur etiam ratiori ad B,superat rationem A ad B C, sicutB C superat B sed B C superati excessui qui sitv kduarum tertiarum totius BC igitur etiam ratio A ad B superat rationem Aad B C excessu qui sit duarum tertiarum rationis A ad B. Sed duae tertiae rarionis B C ad B fiunt ratio C ad B, igitur ratio Aiam superat rationem A ad BC ratione aliqua, quaesitadrationem A ad B, prout ratio Cad B est adraturuem BC ad B. Quod erat demonstrandum.
nem hanc dum volun hoc modd procedunt.
Sit, inquiunt, Aia,UC vero hoc est diuisum in B quod sita N: C quod sit . Ratio A Iaad B est sextupla vi ix ad aes ratio verba ad BC est dupla vicia ad c cessus autem rati
nis sextuplae super dupla est ratio quadrupla
di tamenin propositione iam dicitur quod ex . 'cessus sit ratio C ad B, ha est 4 ad 1 qua fest dupla igitur ratio dupla, quadrupla eaedem sunt rationes quod manifeste fallum est. Et hanc quidem tam liquidam demonstrationem putant , quam ulla in Geommetria dari possit.Verum manifeste ostendit se propositionem hanc penitiis non
percipere quisquis eam hoc modo numeris applicat, ac propterea nullo modo mirum est tam apertam falsitatem mea perperam intellecta deduci. Primo enim incommode rationem A ad B comparatam cum ratione A ad BC vocant sextuplam comparatam eum dupla. Deinde falsum supponunt dum dicunt excessum quo ratio Aiam excedit rationem A ad Bet eue rationem quadruplam.Primum iam deduco, secundum Coroli sequenti exponam.
Imprimis discrimen est in modo exponendi rationes A ad ,&A ad BC si simantur ab lute,, si respectiverassese inuicem comparatae accipiantur. Α solute enim loquendo ratio A ad B, si ad nullam rationem respectum dicat, est ratio
26쪽
ratio sextuplar hoc est numeri 6 Wi sunt ml- nimi numeri quibus ratio A ad B exponii ii 'test viil ratio A ad BC eodem sensu est dupla;&tamen si relative sumantur Eaerarit
B nes ad se inuicem sunt ut tripla ad simpla.1. cum enim ratio A ad B ad ratiόbem Histi BC sit vi BC ad B per .de Proportionat hoc
est ut 6 ad 1, siue ut 3 ad 1, clarum est rati nem A ad BC non benὸ exponi per rationem sextuplam ad duplam, nam haec ipsa ratio sextum ad duplam adhuc in minoribus terminis exponi potest, scilicet qubd sit ut tripla ad simplam. Reducatur itaque haec ratio laesa ad minimos terminos, prodibimoratio 6 ad 1.item ratiocia ad 6,reducaturad minimos terminos, quorum antecedens sie etiam , prodibitque rati, ad 3 erit italio ratio a B ad A ad BC ut ad apparebitque quod illae rationes ad minimos numeros reductae, sint ut ad i. hoc est ut ratio ripla ad simplam Manifestius autem apparebit diser i men inter duas has expositione rationu, 3 . si loco Massiimatur quaevis γλη, aut Dyo remanentibus Ba C. nam rursus D ratio D ad B colla cum rationem ad a DC aut ratio Eadi collata cum rati , ne Ead Baestve CB ad B per . libri de Proportionalitatibus quapropterivia, per est ratio tripla collata cum simpla di tamen si absolute sumantur, ratio D ad B est ratio duodecupla 'ratio vero . ad BC est ratio quadrupla, uti re ratio E ad est ratio quindecupla, ratio vero E ad B C,est ratio quintupla si abselut sumantur,na ut sic,minoribus numeris.
ea rationes exponi non possiant. Reducantur aut hin rationes ad numeros minimos comune habentes antecedens,Vt relative inter se comparatae,possint exponi iuxta sensum.Propositionis: de Proportional. erit ratio Dad B quidem ut 1 adi, iatio D ad BC, ia ad 3; quare cum Ir sit commune antecedens erunt ad se inuicem hae rationes vis ad i. Et rursus rationes Ead B, in ad BG reducantur adnumer minimosqui commune habeant antecedens, prodibuntque rationes ad , ras ad 3 quaerationes cum rursus inter se sint ut 3 ad 1, patet rursus rationem Et comparatam ad rationcm E ad BC csse ratioclem triplam eo
Nihil ergo inauditum aut mirum supponit discrimen illud quod statuimus in expositione rationumabsolutὸ aut respective sumptarum , si recte percipiatur,
nam id etiam locum habet, quando inter se comparantur rationes quae commune habent consequens,quomodo communiter hactenus rationes inter se suerunt comparatae. Sit enim ratio Lad . ratio a
M ad N ratio L ad N est duodecupla abibluteii ' sumpta, ut Si ratio M ad N est sextupla: nam hi ratio ad N solitarie sumpta minoribus nu- meris explicari non potest, quam per a ad ,& ratio M ad N non minoribus quam per ad I e tamen si comparetur ratio ad N ad rationem Mad N , hoc est si rationem quam habet i ad 6 ad minimos terminos reducere velis,dicetur quod ratio LMN,adrationem M ad , sit ratio duplacoparata cum simpla siue via ad i. Eodem modo ratio quidem A ad B est
sextupla,i ratio A ad B C est dupla absolutE sumpta, sed quando inter se conseruntur, asique sic collatas minimis numeris exponerct vis, non recte dices esse rationem sextuplam ωduptim: non enim illi sunt numeri minimi, in quibus exponi possum rationes dictat, nam sextupla
27쪽
sextupla, dupla cum rursus inter se sint ut 6 ad a, minoribus adnue numeris cOrnodius ex ira post untdc debent, dicendoqubd sintve 3 ad 1 Quid autem haec expositio, reductioque ad minimos terminos commodi afferat mox apparebit. Atque hoc est mysterium, quod Lib. io. Operis Geomet.Prop. 6 in Scholio assumptum sint quod fusius explicare opere pretium duxi,ne quis latcbras putidae isthic quaesitas fortasse suspicetur. Coral,irumstcundum.
4'Atet secundornanitest excessum ipsum. . . . , - quo ratio A ad B superat rationem A ad OBC, ouem dixit Prop.s elle Cadmietiam
non esse absyliarum,sed respectivum,adeo Dque errare plane eos qui putant excessum quo ratio A ad B superae rationem A ad B C esse rationem quadruplam Cum enim ratio Cadmnon tantum ex
cestus sit rationis A ad B supra rationem A i ad Bet,sedi rationis D ad B supra rationc Dad BC cimo& excesius cuiuscumque demum E ad eandem B, supra rationem Ead eandem B C ratio autem Gad B si a solute sumatur semper sit dupla, cuinam umquam vel leuissime Geometricis turiis cto in mentem venire posset, qubdiatio A ad B superet rationem A ad BC exiscessu C ad Bh item quod ratio Dad B superet rationem D ad BG, denique de rationem Radas superare rationem E ad BC eodem excessu ac propterea rationes A ad B vel D ad B aut Ead B superare eodem plane excessu absoluto, rationes Aad BC, vel Dad B aut Ead B C,singulas singulas: quod tame dici deberet si cxcessus Gad B absolute sumatur. Id autem quam turpes et suspicari a Geometra subtilissimo pronunciatum esse res ipsa clamat, cum falsitatis a minimo quoque Geometra argui possit. Longe aliter intelligenda haec sunt,prout in Scholioad Prop.6 Lib. io, operisDeomet. recte sunt exposita quae si cui obscuriora videantur, hic expono intelligenda qui sint, prout ea perceperunt ij qui nodum in scirpo non quaerunt,
Dico igitur, iuxta demonstrata rationem A ad
B superare rationem A ad BC excessu rationis A quam determinat ratio C adi non qualiscum lxque sed collata cum ratione Ci ad m, ut asserit s. Prop.lib. o. aut ut 6 .eiusdem, quam determinat B Cratio cada relata ad rationem BC ad Ainam te S uera hi duae propositiones 4ded sibi contrariae non sunt, ut sint plane identicae: cum ratio C ad A ad rationem B C ad A, iteruratio ad Baltationem DC ad B, sint ut C ad Ac per as de Proportional cumeonsequens singula binariae rationes commune habeant. Itaque ut clariusadhuc loquar, si tot partes rationis auserantur a ratione A ad B, quot partes rationis C B ad aufert ratio Cad B, relinquetur tandem aliqua ratio quae aequalis sit rationi A ad BG. In numeris id sic declaratur. Ratio BC ad B sit ut 3 ad I 8equia ratio A ad B collata cum rationein ad B C est ut B C ad B, erit etiam ratio A ad B ad rationem ad BG ut 3 ad , seu ut tripla ad simplam.excessus autem quo BC superat Best hoc est 4, crura C positum ii 4 2 a. itaque C est ad B, a ad i. Iam vero cum ratio C adi conferri debeat cum ratione B C ad B, hoc est dupla cum tripla, auferet ratio Cad Bdnas terelas rationis B Cada adeoque excessus quo ratio Radi superat rationem A ad Bet,erunt duae tertia rationis A ad B. Non igitiir excessus rationis A ad B super rationem A ad BC est ratio quadrupla ut illi volebant, sed iuntquatuor partes rationis A ad Bhoc est sextum, quae aequales sunt duabus tertijs rationis triplati
28쪽
PAtet terti quis denique exces
sus is quomodo detrahendussi, etiam in numeriis, a rationea ad B, ut remaneat ratio aequalis rationi ad BG iuxta sensum propositi nis aratione enim A ad , item a 4 ratione Dad B, caratrone Ead B. G detrahendae sunt duae tertia rati s nisin ad B,item duae tertia rationis ad B denique duae tertiae rationis
i E ad B quod quidem fiet si A, D, Es ita dividantur uti diuisa est BC in B
dentibus duae tertiae , remanebi tenim ex ratione Aad B ratio F ad B, hoc est 4 ad uitem ex ratione D ad B remanebit ratio G ad B, hoc est 3 ad 1 .&ex ratione Ead B remanebit ratio Had Bhoc est Ioada, quae aequales erunt rationibus A ad BC vel ad BC, aut ad BC singulae singulis, ut consideranti eluEpatet.
I Quod si aIrud exemplum exercitij caussail , i, cet sit ratio IMAL via ad 8; sit autem KL diuisum in Kα,αL6.ratio igitur I ad K ad rationem ad KL est ut KL ad K, hoc est ut 8ada, siuevc
quadrupla ad simplam excessus autem ΚLsupera est L .ratio autem Lad K siue 3 ad keontinet tres quartas rationis KL ad K excessus itaque rationis Iada super rationem Iad KL, sunt tres quartae rationis I ad K. itaque a ferantur aratione I ad K tres quartae , quod fiet si ab I antecedente auserantur
tres quartae scilicet ,remanebitque M 3,ad queri ratio M ad Κ 3 ad A qua ae qualis in rationi a ad 8.
corosiarium quartum. A que ex hoe Patet quarto eodem mmi, do decrescere rationem A ad B, per ablationem factama ipse antecedente A. - sicut decrescit peradditionem factam ad B consequens adeoque haec duo in idem
a plane recidere, modo in additione ad con-
- - sequens , mi ablatione ab antecedente, aut contra, proportio scruetur quod qui' dem fiet si Aita diuidatur in D EMEF, ut DC diuisum est in πω ut contra Nam sicut si a ratione Acida auferas duas tertia , quod fici fia ita diuidatur in E HEF sintduae tertiae totius A remanebit ratio D ad B , aequalis ration, ad ναι ita si ad Baddas C duplum ipsius B, sicut C sint duae tertiae totius BC , erit ratio A ad B peradditionem ad consequens diminuta duabus tertijs rationis A ad . nam ratio ad BC , peradditionem ipsius in aequalis fit rationi D ad B , quae duabus tertiis minor est ratione DFadi hoc est A ad B eodem modo sicut ratio DF seu A ad B,per ablationem duarum tertiarum totius DF, scilicet per ablationem EF,redditur diminuta duabus terti, rationis DF seu A ad B, remanet enim ratio DE ad B.
29쪽
Τota itaque hic diminutio rationis , fit per simplicem additionem ad terminii consequentem: quod bene notandum est; nam per additionem ad antecedens. augmentatio fit rationum quomodo enim additur ratio μadH- , nisi augendo sic manente consequente in uariato vi fiat. 1 eodem modo fiet diminutio rationum, aut diminuendo antecedens, aut certe ut hie fit, per simplicem additionem ad consequens, manente inua lato antecedente. Atque haec est doctrina s. 6.Prop. l. io. Operis Geom. quam demonstrativo certam esse nemo negauerit. Neque quis dicat in terminis sic non fuisse propositam, nam praeterquam quod mox in Scholio mentem sitam Auctor ipse satis explicaret, alium sensum Propositiones ipsae admittere non poterant, uti demon stratio ipsa satis indicabat neque propositiones sese inuicem ut videbatur destruentes, sed reipsa idem dicentes simul iungere, in ullum Geometram,ne dicam ἶn P. Gre3orium,mauam cadere potuisset, nusi studio id ipsum fecisset ad explicandum fusius intricatam rem quod sane luculenter in Scholio mox praestitit. Libet tamen ostendere propositionem etiam vita Acet non aliter debuista intelligi. Cum enim rationum ad B, Scin ad Bet denominatores sint C B, dc B, non . poterat excessum istaru rationi determinares, nisi per cxcessu denominatoris B C1uper denominatorem excessiis aulcerat C. Ia vero cu excessus ille C sit antccedens rationis C ad B, illius nempe qua ratio A ad B dicitur excedere ratione A ad B C.claru erat referendu cxcessum illii ad aliquam rationem cuius pars erat ratio C ad B. illa autem ratio necessario erat ratio et ad B, quae ad rationem ad BGmnino ita se habet, ut ratio Acida ad rationea ad B C. Patet igitur propositionem s.&idem est de 6 quae eade est,prout iacebat,non determinare excessum rationis ad B super rationem A ad BG, nisi per excessum qui respectivus est modo iam explicato, Sc non absolutus. Sed quia id obscurius poterat esse, idcirco adiectum Scholion claritatis, ut dixi caussa,non necessitatis. Verum ad alias Propositiones gradum faciamuS.
X his probe intellectis , Patet 1 nullo modo hymericam esse Prop. . l. o.sed veram plane 11que certam ac Geometra dignam. asserit si co D sequens sit diin sum v. g.in B et,quod ratio A ad
Uta sit ratio A ad B, simul cum rationea ad G
Patet ex dictis nam per additionem rationis A ad C ad rationem A ad B, fit consequc BG mai . ac propterea ratio A ad B C minor est quam ratio ad B in quidem ea ration minor,ut iam ostendimus,praec Coroll. in qua ratione nar additionem in accrescit consequens B. Vnde irenum B peradditionem C accreuit ad duas tertias, ctiam per additioncm rationis A ad C ad ationem A ad B, diminuta est ratio A ad B duabus tertiis; seque ratio A ad B facta est ratio D ad BDquaeratio eadem est cum rationea ad BC quare costat assertio.
HInc patet sexto errare cos qui propositionem hanc numeris exponere dum volunt veram augmentationem rationum faciunt, cum tamen fieri debeat di minutio rationum, ut propositio rite exponatur,quod quidem ostendo. Sic enim
Ratio A ad Best sextupla, ratio verba ad C est tripla tripla autem addita sextuplo facit noncuplam si tamen ut patet ratio Α ad BC est dupla: chymaericu ignor,inquiunt,est dicere, quod ratio A ad BC, sit ratio A ad B simul cum rationea ad C. Sed ut ante praemonui, errant ipsi plane in co
30쪽
quini rationem A ad B, dc Α ad C exprimant perrain
tionesta &- nam assiimunt rationes duas quae
commune consequens habet,scilicet unitatem,ad- duntque sibi inuicem antecedentes additis auten antecedentibus clarum est fieri rationem aliquam
'ta maiorem, quam erat alterutra. In nostro autem casu,ratio A ad B,de ratio A ad C,commune antecedens habent,consequentia vero diuersa quo casu, per additionem consequentium dimmutaredditur alterutra ratio, imo utraque solitarie sumpta. Cum itaquierationes A ad B, bca ad C ad numeros minimos reducere voluntiquod taciunt quando rationem A ad B vocat sextuplam orationem A ad C,ocant triplam ut recte stet exemplum innumeris,prout indicaui in Coroli I. reducatur ratio A ad Badnumeros minimos,eritque ut 6 ad irac ratio Α ad C redii Catur ad numeros minimos,quos patitur antecedem 6,prouenietque ratio 6 ad a. addantur autem duae consequentes νω prouenient s. fietque ratio Cadu, qualis est ratio A ad BC, Iaadv. Quod sane verum est neque ego qnidquam hic hymericum. imbie abstrusum quidem agrissco, nisi torie quod climinutio rationum quae fit per additionem consequentium, ignota multis cum fuerit, occasionem dederit coniungendi rationem sextuplam cum tripla per additionem antecedentium non aduerterint autem hic non fieri augmentationem rationum quae fit per addicionem antecedentium, sed veram esse diminutionem rationumquae fit per consequentium aviditionem,qualem requirit propositio. corollariumseptimum. .
A IIInc rursus Patet septimo recte etiam proin
qua citur, quod quando rationis AB ad CDC tam antecedens quam consequens diuisum est' in quotcumque, adtecedens quidem .g. in A&s,consequens vero in Cac D quod ratio ΑΒ ad CD, sit ratio Α ad C, Se A ad D, simul cum rationibus Bad C,&m ad D. Ratio enim A ad C, simul cum ratione A ad D per quam diminuitur ratio est ratici ad CD. uti iam ostensum est item ratis Bad C,simul cum ratione B ad D per quam diminuitur ratio B ad C est ratiora ad CD sed ratio A ad CD, ad uincta rationi B ad CD aequatur rationi Assi ad GD,cum traque ratio idem habeat consequens igitur raetro AB ad GD,est rati, ad C, cum ratione A ad D.
una cum rationibus Bad C dc Bad D. quod erat demoni trandum. In numeris id experiri si placet, operare hoc modo A est ad C, 1 ad 4 de Aest ad uvis. ad 3. reducendae enim sunt rationes illae ad numeros minimos qui commune habearit antecedensve ante dixiataque coniunge iam conlequentes, liexurgent 4, de ratio A ad CD erit vij.ad Item B est ad audi ad sat steli ad Dut 4 ad sinam illae rationes reducendae sunt ad numeros minimos commune habentes anteeedens radde, I L fient 4, 8 ratio Bad CD erit ut 4. ad 4. Iam vero quoniam rationes s.ad 4.k ad aeommune habent consequens ciIiceta, addan tur antecedentes s Ac , exurgent sci rationesque sic sibi inuicem addita erunt vis. ad 4, quae eadem plane ratio est cum ratione AB ad Co,i8. ad 8. Ex his omnibus itaque concludes, rem planam esse de apertam, totamque dissi. cultatem ex modo loquendi mi ius commodo exsurgere,& postea per operationem erroneam intricari volunt enim rationes quae commune habcnt antecedens, tum quando inter se comparatur vocare rationem triplami sextuplam, Scc.cum tamen tripla, sextupla commune habeant antecedens.ac propterea,quid mirum in earum additione errati,cum antecedentes sibi addi non debeant consequente inuariato, ut fit in dditione vera per quam fit augmentatio rationis, sed conse , quentes sibi inuicem iungendi sint antecedente num lato, ut per cam additionem fiat diminutio rationis.