Miscellaneum hyperbolicum, et parabolicum. In quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est. Parabola nouiter quadratur dupliciter. Ducuntur infinitarum par

231쪽

se tertia pars A D, ad sextam partem A Q ; ergo pater propositum.

In alus vero conoidibus, mente intelligamus conum AB C, inscriptum in conoide et ergo conus ABC, ad conum GDH, habet rationem compositam ex ratione quadrati AD, ad quadratum CF, S ex ratione BD, ad DF. Sed ex natura cono idis, BD, ad DF, est ut potestas A D, eiusdem g aduscum conoide, ad excessum eiusdem supra similem a potestatem GF; & pariter ex schol. proposit. 38, componendo, est BD, ad DF, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum ad dimidium numeri conOidis; nempe ut numerus conoidis binario auctus, ad numerum conoidis; unde excessus praedictae potestatis AD, supra similem potestatem GF, continet tot partes p dictae potestatis A D, diuisae in tot partes quotus est numerus conoidis binario

auctus,quotus cst numerus conoidis; nempe tot medietates stultis potestatis GF, quotus est numeruSconoidis . Ergo proportio coni ABC, ad conum GDH, componetur ex ratione quadrati A D. ad quadratum CF, & ex ratione potestatis AD, ad tot medietates similis potestatis GF, quotus est numerus conoidis. Ergo conus A BC, erit ad conum G DH , ut potestas A D, duplici gradu altior potestate conoidis, ad factum sub quadrato GF, &sub praedictis medietatibus potestatis G F s nempe ad tot medietates similis potestatis G F, quotus est numeIus conoidis; nempe ut A D , ad tot medietates

232쪽

tes Aia, quotus est numerus conoidis. Ast cum ex proposit. as, lib. I. sit conuertendo,conoides ABC, ad cylindrvies sibi circumscriptum ut numerus e noidis ad numerum conoidis binario auctum ; nempe ut triplus numerus conoidas, ad triplum numerum conoidis senario auctum: erit idem conoides ad conum ABG, tertiam partem talis cylindri, ut triplus numerus conoidis, ad numerum conoidis binario auctum: nempe Vt tot partes AD, diuisae in tot partes quotus est numerus conoidis binario auctus, quotus est triplus numerus conoidis, ad AD. Ergo ex aequali , erit conoides ABC, ad conum GDH, ut praedictae partes o D , quotus est triplus numerus connidis, ad tot medietatcs A O, quotus est num rus tonoidis. Et diuisis utrisque terminis per 3, erit conoides ABC, ad conum G DH , ut tres partes o D, diuisis piaedicto modo, ad dimidiam A Q. Et subtriplando hos terminos, ut unica talium partium AD, ad iuxtam partem A Q. Quyd eras ostenden-

Cum ex supra dictis, constet, minimum conum kEL, conoidi circumscriptum, esse maximum citacumscriptum cono G D H ; & cum ex schol. prop. 2, constet conum GDH, esse ad conum E E L, ut Α, ad α7.sequitur concides esse ad conum K E L, ut praedi'a pars o D, ad AQ, cum eiuS octava parte.

233쪽

a os

PROPOSITIO LXVI.

quilibet semifusius parab eur, est ad maximum conum sili

inscriptum it et nica para quadratisimibasiis parabolae diuisi in tot partes 'ot uitaui continet teri a pars rectanguli contenti sub numero fusti nitate aucto, insubduplo numero fusi m teaino, ad duo rectis Vula comtentasub duotas illimis verminis proportionis basis semL parabolae ad dyle mem tu raramnvuama in tot terminos, me numerus eorum excedit numer missi naris.

SEd intelligamus se parabolam A BD, cuius basis A D, diameter B Tum et ingulo

G Q o, rotari circa A Drideout inhus g&itus sit maximus in semisui inscriptus: & ratio AD, ad D Q, sit continuata ad tot terminos, ut numerus m-rum excedat numerum i fusi binario ; sintque duo ultimi minimi termini πιι Ah. Dico semia fusum ex B A D, eoad conum ex G Q D, ut unica pars quadrati A D, diuisi in tot parteSquot unita. teS continet tertia pars rectanguli sub numero susvn itate aucto, & sub duplo numero susi vn itate aucto , addit rectangula Ak.. V. g. in primo semi-suso, ut dimidium quadrati Α D, ad illa duo rectangula, In secundo, ut quinta paro quadrati A D. In tertio ut unica pars quadrati AD, diuisi in f, cum tertia parte unius. Et sic discurrendo.

Quod en in cono sic res se habeat, patet. Quia, Dd in

234쪽

i' ipso ratio in D, ad Do, continuanda est tantum ad tertium terminum ;di sit hH unde duo vltimi minimi te=midi, urit iis in E A'. Ergo est probandum conurn ex B Α D, E ad conum ex GDQ, ut dimidium quadrati sΑ Di, ad duo rectangula D Q, Κ A. Cum enim insalicasti, sit dupla QD, erit conus ad conum iri cubas AD, ad Φ'cubos QD; nempe ut dimidium cubi γ D, ad duos eubos DSed ut dimidium cubi AD, i ad duos et ibos in , sic dimidipm quadrati AD , i ad duo rectangula D Q, oh. Quare pater propesitum. Quod vero ut dimidium cubi ad duos cubos, sic dimidium quadrati ad duo rectangula, e si manis

235쪽

stum ; quia rationes antecedentiuiri ad conseqcomponuntur ex issdem rationibus. Ratio ermidij cubi AD, ad culium componi ratione AD, ad D Q, Ratione dimidiiqiti AD, ad quadratum ' ratio est arationi dimidiae AD/ ni A E ex quibus tabus componitur qu/uini Di dij quadrat ad rectangulumID Lia. Gl-

schol roposit. 6i, BD, 'Id DF, ct dupliis numerus fusi unitate auctus ad duplum numerum fusi; le cum pariter sit BD, ad D F, utpotestas A D, eiusdem gradus cum fuso ad excessum ip sus supra similem potestatem GF, nempe ad tot si miles potestates G F, quotus est duplus numerus susi. Ergo proportio coni ex triangulo BAD, ad conum ex triangulo G QD, componetur ex ratiΟ- ne A ad D Q, & ex ratione potestatis Λ D, ad tot similes potestates G F , sed QD, quotus est duplus numerus usi,& ex ratione BD, ad DF. Sed ex rationibus AD, ad D Q, N pocistatis dicta AD, ad dictas potestates QP, componitur ratio potestatum Vnius gradu Saltioris. Ergo ratio coni ad

conum componetur ex ratione potestatis AD, imo ratione e

236쪽

gradu altioris potestate susi ad torsimiles potestates Din quorus est duplus numerus fusi, & ex ratione BD, .ad DF. Sed cuio su ut potestas AD, uno gradu altior potestate fusi ad similem potestaten D Q, sic Dh, ad Aks unde& ut potestas AD, ad tot potestatM .PQ, quotus est duplus numerus fusific DA, ad tot numero oh. Ergo ratio coni eae triangulo BAD, ad conum ex triangulo G QD, componetur ex ratione AD, ad tot Ah, quotus est duplus numerus fusi, & ex ratione BD,i ad DF. Ruisum BD, ad DF, patuit supra, esse ut potestas AD, eiusdem gradus cum fuso ad tot similes potestates QP, quotus est duplus numerus fusi s & ut talis

237쪽

potestas ad tales potestates sic, D A , ad tot numero A Q. Ergo ratio coni ad conum componetur ex rationibus AD, ad tot Ah, & eiusdem AD, ad tot QA, quotus est duplus numerus fusi: nimirum it conus ad conum ut quadratum A D, ad recta g. lum sub illis tot k A, & ΑQ, quotus est duplus numerus fusi. Α st quoniam ex proposit. I 6, lib. 1 .est conuertendo, semifusus ex semiparabola B A D, ad cylindrum sibi circumscriptum, ut quadratu numeri parabolε ad rectangulu sub dimidio numeri parabolet unitate aucti, & sub duplo numero parabolae unitate aucto; vel ut duplum ad duplum ; nempe ut duplum quadratum numeri parabolae ad rectangulum suh numero*nitate aucto ,& subduplo nun ero unitate au- o, Uds est semisusus ad tertiam partem cylindri, nempe ad conum ex triangulo B A D, ut antec dens, ad tertiam partem consequentis; & ut antecedens ad terim in partem consequentis, sic tot partes quot unitates continet duplum quadratum numerisust hoc est reci angulum sub numero, & sub duplo

numero quadrati AD, diuisii in tot paties quot uni istateS continet tertia pars rectanguli 1ub numero fusi unitate aucto, & sub duplo numero umtate aucto, ad quadratum A D. Ergo ex aequali, erit semisusus ad conum ex G Q D, ut tot partes quadrati A D, diuisivi dictum est, quot unitates continet rectangulum sub numero fusi , S sub duplo numero, ad tot rectangula sub tot Κ Α, & sub tot A Q, quotus est duplus numerus ius. Cum vero numerus antecedentis, nempe

238쪽

nempe partium quadrati AD, sit numerus ortus exinumero susi, & ex duplo numero; & numerus rectangulorum ex EA, A Q, sit numerus ortu hx duplo nu-niero,&ex duplonumeros sequitur primum numerum, nempe quadratorum , esse dimidium numeri secundi, nempe rectanguIorum K A Quare quot

unitates continet numerus quadratorum, tot binaria continet numerus rectangulorum. Erit ergo ut omnia illa quadrata ad omnia rectangula, sic unicum quadratum ad unicum rectangulum. Erit ergo semi- fusus adeonum ex GQD, maximum sibi inscriptum ut unica pars quadrati AD, diuisi in tot partes quot unitateS continet tertia pars rectanguli sub numero fusi unitate aucto, & sub duplo numero unitate aucto , G duo rectangula QA k. Quad erat osten-

Cum ergo conus minimus circumscriptus semis se sit ad maximum inscriptum vix , ad 4; sequitur semisusum esse ad ipsum , ut praed i ctu mi antecedens ad i 3, rectangula QΑ Κ, cum dimidio. Haec ergo sunt benigne lector, quaepro tertia hac vice determinavimus tibi communicare. Impresso nostri operis de infinitis Parabolis absoluta fuit die quarta praeteriti Mensis Iulii. Compositio Miscellanei praesentis terminata fili die as. Atrgusti. Haec tibi exponimus ut habeas unde colligas fauorabiles