장음표시 사용
201쪽
statem GL. eiusdem gradus cum parabola. Cum autem factum sub DA , & sub potestate AH, ostensum fueritςquale potestati pridictς BD. Er ro&factum sub L A, & sub potestate A H, erit squale potestati GL . idem patebit de reliquis. Quare etiam patebit propositum.
Sed lubet huic tractatui finem imponere in finitarum parabolarum tangentibus, ac maximis inscriptibilibus, minimisque circumscriptilibus infinitis parabolis, infinitis conoidibus , ac semifusis parabolicis . Pro quibus reperiendis nobis necessaria est doctrina quaedam , qus cum si nimis prolixa, ex alijs cst petenda. Euclides in s. Elementorum libro, pr post l. 27. Ostendit . Omnium parallelogrammorum ad eandem rectam lineam applicatorum, deficientium si uris parallelogrammis similibus, ἐν Dibter positis ei, quae a dimidia describitur, maximum est quod ad dimidiam essapplicatum simile exissens defectui. Quod Euclides de- 4 monstrauit in planis , Eutocius de sphaera, & cylind.
proposit. 3. Bonaventura Caualerius, in eIercit. 6. proposit. 18. Ricardus Albius in suo hemisph .di D secto, Proposit. qa. extenderunt suo mωdo ad solida, patefacientes . Omnium parallelepipedorum ad eandem irectam ιneam applicatotum cubisique deficientium , max mum esse, quod adtertiam illius partem V catur. Hanc denique doctrinam Petrus Paulus Carauaggius Me-E .dio-
202쪽
diolanensis eruditissimus geometra in sua geometria applicationum, ampliauit ad altiores potestates, stendendo applicationem aliarum potestatum seruare similem ordinem partium ad quas fit applicatio; adeo ut magnitudo ad quam fieri debet applicatiost secanda in tot partes quota est magnitudo, quae debet applicari, in ordine graduum s S applicatio sit facienda ad illarum unicam . V. g. si ad partem datae A B, sit applicandum parallelogrammum di- fciens,&c. hoc est si A B, sit sic se canda in C, ut re- Cctangulum ACB, si omnium maximum illorum, quae possunt fieri ex partibus A B; punctum C, sit illud quod bissecat AC. - Si vero sit applicandum parallelepipedum i hoc cst si A B, taliter sit secanda in C, ut solidum factum sub AC, in quadratum CB, sit omnium maximum sΑC, debet e sse tertia pars A B. Si vero sit applicanduin planoplanum, adeo ut factum sub AC, incubum CB, sit omnium maximum. AC; debet esse quarta pars AB. Et sic in infinitum in altioribus potestatibus. Haec ergo doctrina nobis est necessaria pro imposterum dicendis. Quam etiam le-
203쪽
ctor debet supponere, vel in citata opere Carauaggij inspicere.
a bicetur , tameterque ita proaucayisr mr pars extra
parabatum sit ad partem diametri abscissam ab ordinais' tim anticata mersus merticem mi uismerus paraboleontanitate minutus ad itatem. Resta linea, quae ab em remitate inuentae Iineae ducitur ad diu punctum, quia, sumptu uerat, paraboiam continget.
Sto quaelibet semiparaboIa cuius vertex B, di meter B H 'ini curua paraboIica sumatur Uiodlibet punctum E , per quod ordinatim applicetur EH, producaturque.H B, in G, ut G B, si ea i B H, ut numerus parabolae unitate minutus ad vallatasv n g si sit quadratica, fiat aequalia BG, ipsi B H: si sit bica sit G B, dupla BF ,& sic in infinitum supponatur in praesenti parabolam esse cubicam & iunga ur GE. Dico hanc parabolam contingere . Si non, cadat latra;& intelligatur ordinatim applicata AED. Quoniam AD inaior est DK, eigo quaelibet potestas AD, maior erit qualibet pote itate Κ D, eiusdem gradus. Ergo quaelibet pulcstas A D, eiusdem gradus cum parabola ad potestatem E H, eiusdem gradus, habebit
204쪽
maiorem rationem quam similis potestaq ΚD, ad candem potestatem EH. U. g. maior erit ratio cubi AD, ad cubum EH, quam cubi h D, ad eundem cubi m EH. Sed ut potestas AD, ad potestatem E H , sic ex natura parabolae, D B. ad B H; & ut DB, ad B H, sic factum sub DB, & sub potestate BG, uno gradu inseri xi potestate parabolae, ad faetium sub eadem potestate G B, & sub BH . Frgo maior erit ratio facti sub Dd, &sub tali potestate B G, ad factum sub HB,&sub eadem potestate B G, ratione potestatis kD, eiusdem gradua, cum parabola, ad similem potestatem EH. V. g. maior crit ratio facti sub Dd, &ωb quadrato BG, ad factum sub HB, S sub quadrato B G, ratione cubi K D, ad cubum EH. Sed ut potestas K D, ad similem potestatem Ei , sic similis potestas DG, adsimilem potestatem G H. Ergo & tactum s b DB, & sub potestate , BG, uno grada depressiori potestate parabolae, ad
205쪽
s mile factum sub HB, & sub eadem potestate B G,
prit in maiori ratione quam potestas DG, eiusdem gradus cum parabola ad similem potestatem G H . Ergo di permutando primum factum ad potestatem D G, erit in maiori ratione quam secundum factum ad potestatem G H. V. g. factum sub DB, in quadratum BG, habebit ad cubum D G, maiorem rationem, quam factum sub HB, & sub quadrato BG, ad cubum H G. Mod implicat, quia factum sub DB, & sub potestate B G, est in minori rata in eadpotestatem DC, & non in maiori. Quia cx doctrina scholii anteced. factum sub H B, & sub potestate B G, est omnium maximum homogeneorum sub partibus HG Nis sic fahium sub DB, & sub poto state BG, est maximum homogeneorum sub partibus DG. V. g. factum sub HB,& sub quadrato BG,. est maximum omniVm parallelepipedorum applicabilium ad partem HG, non sic-maximum factum sub O b, & sub quassi ato BG, applicabilium alpartem DG. Quare patet propositum.
Exdictis facile eliciemus, quod ii cirea diametrum BD, & sisper eadem bas AD, intelligamus infinitas semiparabolas, & accepto in diametro B D, puncto H, dueatur H C EFG, parallela AD, secans omnes curuas parabolicas , & pariter intelligamus infinitas tangentes Κ E , L F , M G, Sc. eliciemus inauam , triangula infinita C H , E, H , PLH,
206쪽
naturae ut latera HB, HK, HL, HM, Sc. sint in continua pro portione Arithmetica ;bases vero Ela, FH, GH, &c. sint maiores omnium mediarum proportionalium reperibilium inter Α D, .
dum patet di, quia cum sit ut quadratum AD, ad quadratum Eld, sic DR, ad B H, seu A D, ad CH; E H , erit media proportionali Sinter AD, C H. item cum sit ut cubus A D, ad cubum F H, sic D B, ad B H, seu A D, ad C H; erit F H, maior duarum mediarum inter A D, CH. Et sic di
Notetur etiam , quod a supradicta regula inue-/niendi tangentem non excluditur prima parabola, nempe triangulum. Si enim in triangulo A B D, sit datu n punctum C, ad quod debeat duci tangens ;dusta CH, imperat regula generalis producendam elis
207쪽
18 3 esse H B, ut pars ultra B, fit ad ΒΗ, ut numerus parabolae unitate minutus, nempe ut nihil,ad unitatem. Ergo HB, non estproducenda, sed a puncto B, ad C, ducenda est li ea , quae Utique quodammodo potest dici tangere triangulum , quia ipsum
Maximum triangulum i i Num is quaeibet triangulo, scuius basis bifariam diuadit diametrum circumsisti.
Esto triangulum ABC, cuius et meter BD,
quae secetur in p, bifariam a base s O, trianguli EDO. Dico triangulum E D O, esse maxumum omnium inscriptibiliuir in triangulo ABC. Quoniam enim triangulum AvC, ad triangulum EDO, habet rationem compositam ex ratione AC, ad EO nempe ex ratione DB, ad BFὶ &ex ratione B D, ad DFs & hae duae rationes componunt rationem quadrati BD, ad rectangulunt BFD. Ergo triangulum ABC, erit ad EDO, ut quadratum DB, ad rectangulum BFD. Sed rectangulum BFD, est maximum omnium rectangulorum factibilium ex partibus BD, in puncto diuisae . Ergo etiam triangulum EDO, erit maximum omnium inscriptibilium intra ABC. Quod
208쪽
' Notetur obiter centrum grauitatiS amborum triangulorum ABC, E D O, esse idem punctum. Sit enim H, centrum grauitatis trianguli ABC. Ergo qualium B D, est 6, & I F, 3, B H, erit4, Di , & H F, i. Frgo H, erit etiam centruingrauitatis trianguli EDO.
Maximus conus inscriptibilis in quot betaeono , est cuius diameter eri tertia pars cmu pti.
209쪽
Hm proposit, ostenditur etiam ab Albio in
hemisphae. dissec. proposit.Α . Sed supponamus ABC, EDO, esse conos,& DF, esse tertiam partem DB. Dico conum EDO, esse maximum Omnium, &c. Nam, eum conus ABC, ad conum EDO, habeat rationem compositam ex ratione quadrati Α D, ad quadratum E F nempe quadrati DB, ad quadratum BFὶ & ex ratione DB, ad DF; & cum hae duae rationes componant rationem
cubi B D, ad factum sub quadrato B F, & uib F D; ergo ABC, erit ad EDO, ut cubus B D, ad sactum sub quadrato FB, &sub FD. Cum ergo hoc
factum sit maximum omnium homogeneorum ipsi factorum ex partibus BD, in puncto diuisae. Ergo etiam conus EDO, erit maximus omnium instruptibilium &c. Quod &c.
Sed hic etiam obiter notetur centrum grauitatis amborum conorum esse idem punctum . Sit enim rursum H, centrum grauitatis coni ABC. Ergo qualium BD, est Ia, D F, Α, & DH, 3, talium H F, est r. Ergo H, erit centrum grauitatis etiam coni EDO. Pariter notetur , conum ABC, esse ad conum
210쪽
Datam A D, taliter producere in B, mi B D , sit ad excessum D A, supra dimidiam A B, iudata proportIone.
DAtaratio sit, quam habet AD, ad H,&sic seceatur AD, in Ε, visit AE, ad ED,NH, ad dimi diam AD,&ipsi DE, fiat qqualis DB. Ergo si AB,
diuidatur bifariam in C, punctum C, cadet inter A, D. Me ergo AB, diuisa bifariam in C. Quoniam A E, eth aequalis AB, minus EB, ergo etiam dimidia A E, et it aequalis dimidiae A B, minus dimidia EB. Sed 'C B , est dimidia AB, & BD, est dimidia EB; ergo dimidia A E, erit aequalis CB, minus DB; nempe CD. Tunc, quoniam factim fuit ut H, ad dimidiam AD, sic Α Ε, ad ED; ergo & ad consequentium dupla . Ergo ut H, ad AD, sic A E, ad EB. Et conuertendo, ut AD, ad H, sic BE, ad EA. Sed ut BE , ad EA, ita BD, dimidia B E, ad dimidiam Asi, nempe ad C D, ei aequalem. Ergo ut A D, ad H, sic B D, al