장음표시 사용
221쪽
Sed notetur, in semifusis, BD, secari in F, aliqua continuata serie, nempe sicut BF, sit ad F D, ut unitas ad duplum numerum iussi. Nempe in primo ut in secundo ut ν, ad q. in tertio ut l, ad 6. & siclincinfinitum . Quod enim in primo semisu , nem p in cono sit ut ι, ad 2, patet ex dictis. In alijs sic py Vbi,. Nam cum sit EF, ad FB, componendo. numerus parabolae ad unitatem ι erit conuerte dici,s, M FE , ut unitas ad numerum
parabola siph F, duplam F E, ut unitas ad
duplum nuserum parabolae, seu seini fusi.
Nitarum maximi triangumin parabo
Esto semiparaboIa quaelibet ABC, cuius dia
metes BC, & in ipsa sit inscriptum maximum trimagulum ECF quod enim dicetur de dimidia intelligetur etiam de tota sitque ei circumscriptum triangulum G EI C. Dico hoc ella minimum omnium circumscriptibilium semiparabolae . Si non , sit minimuin HOEC, & per punctum E, ducatur LEM, parallela ΚH. Patet manifeste triangulum LM C, minus esse triangulo kΟHC, cum L M, secet, hH, vero tangat parabolam. Quoniam autem ex superioribus , triangulum E F C, est ma-
222쪽
imum inscriptibilium intra triangulum I GC, quia supponitur secare GC, bifariam in F, ergo non erit maximum inscriptibilium intra triangulum L M C, quia MC, non secabitur bifariam in F. Ergo triangulum E FC, habebit ad triangulam I GC, maiorem rationem, quam ad triangulum, L M C. Sed idem triangulum EpC, ad triangulum L.M C, habet maiorem rationem quam ad triangulum k H C. Ergo E F C, erit ad l GC, in multo maiori ration quam ad kHC. Ergo i CC, minus erit kH C.
223쪽
- Non ergo Κ R C, est minimum, sed I G C. Quod
Cum autem in propos t. 3 q. assignatus sit modus reperiendi triangulum maximum EF C, fuit consequenter expositus etiam modus reperiendi triangulum minimum GI C. Insuper notetur, triangulum minimum circumscriptum parabolae , aequale esse triangulo minimo 'circumscripto figurae constante ex duabus semiparabolis supra expossitis. Triangulum enim GIC, duplicatum ad partes GC, est aequale eidem GIC, duplicato ad partes IC.
conus minimus circumscriptus cuilibet infinitorum comideo
rum me emi serum parabolicorum, es ille, qui tangit basim maximi coni in illusebius inscripti. SLd supponamus conum ex triangulo E F C, esse maximum inscriptibilium intra conoides exse- mi parabola ABC, circa BC, & conum ex triangulo G i C, tangere basim coni inscripti. Dico conum ex triangulo Gl C, esse minimum circumscriptibilium conoidi . Si non, sit minimus ille, qui oritur ex triangulo H C, &ducta LEM, parallela hH, intelligamus
224쪽
gamus conum ex triangulo LM C, qui utique erit
minor cono ex triangulo ΚΗ C. Conus ergo ex triangulo E FC, cum sit maximus inscriptus in co-noide m ex dictis, maximus inscriptus in cono ex triangulo IGC. Non ergo erit maximus inscriptus in cono ex triangulo LM C. Ergo conus ex triangulo E FC, crit ad conum ex triangulo GIC, in maiori ratione quam ad conum ex triangulo LCM. Er go in multo maiori quam ad conum ex triangulo H k C. Non ergo erit minimus conuS ex triangulo
k H C, sed ille ex triangulo IGC.
Pariter si conus ex triangulo EN C, sit maximus inscriptus in semissi ex semiparabola AB C , reuoluta circa AC, conus ex triangulo G I C, circa I C, erit minimus circumscriptus semisu se; quod, ut pNtet, probabitur eodem modo. Quare patet propo-
Cum ergo in propositionibus 38, & 6i, assignauerimus conos maximos inscriptos in cono idibus, &in semifusis, pariter explicauimus unica vice, conos etiam minimos praedictis solidis circumscriptos. N tandum tamen diuersos esse conos minimos hi γ solidis circumscriptos ; nam in cono circumscriptoc noldi, C F, est tertia pars GC; in cono vero ci cum scripto semisu , C F est duae terti: omnia cum sint manifestissima ex: partes G C.
225쪽
ideo eirea ipsa nequaquam immoramur solum anumaduertendum est, quod cum supra in scholijs pro posit. 3 I, & s 2, osten 'in sit idem esse centrum gra vitatis maximi triangulusqripti in triangulo, & ipsus trianguli ; item ma xlini oni in cono inscripti,&ipsius coni; patet consequenter idem esse centium grauitatis maximi trianguli inscripti in parabola, &m in mi circumscripti: ate ident oti centrum ara uitatis maximi coiri in scopii in uohbet conoide,&in qtiolibe semisus arab lico 'tru ἐ1imorum coianorum ipsis circumscriptorum. Z i
ER anni parabola eri ad maximum triangulum sibi inspi pium t pars semibasis parabola, quae se habeat ad femi
basim ut binarium ad numerum parabola unitate auiactum, ad mltimam proportionalem proportionis semibasis parabolae,ad semibasim tria ψli,e tinuatae in tot ter iat imox, mi numerus eorum excedat numerum paralilae bia
ESto quaelibet parabola ABC, sitque maximum
, triangulum in ea inscriptum GDH, ut supra dictum est . Dico parabolam esse ad triangulum . G D H, ut talis pars AD, quae se habeat ad AD, ut binarium ad numerum parabolae Unitate auctum, ad ultimum terminum proportionis AD, ad G F,
continuatae in tot terminOS, Ut numeruS eorum exce-Ce dat
226쪽
dat numerum parabolae binario. V. g. in prima parabola , nempe in triangulo ut AD, ad tertiam proin portioualem. . In quadΓa Uca viduo tertia AD, ad quartam. In cubica ut duo quarta, si ii dimidium A D, ad quintam. Et sic in insanitum. Sit illa ultima proportionalis A Q. In prima parabola, nempe in triangulo tes est euidens , quia sicuti triangu Ium . A B C, esset qοadruplum trianguli GDH, maximi sibi inscripti , sic AD, quiae A D, esset dupla G F, esset quadrupla A Q, tertiae proportionalis. In alijs parabolis ne schcmata militiplicemus, intelliganus inscripta triangi. la etiam ABC, quorum bases AC, diametri DB. Titangulum A BC, ad 'trianaelum CD H,
227쪽
GDH , habet rationem eompositam ex rationibus AD, ad GF, &BD, ad DF. Sed BD, ad DF,
est ex schol. n. proposit. βε. componendo, vinu merus parabolae unitate ausat adnumerum parabolae,&pariter ex natura parabolae cum sit BD, ad DF, ut potestas A P, eiusa ervi gradus cum parabola, ad excessum ipsius supta si eis statem G F, nempe ad tot tales GF, quo as est numerus
rabol1', ad tot similes potestates G F quotus est numerus parabolae . Ergo triangulum ABC, erit ad trianguIum GDH, ut illa potestas AD, ad illas potestates G F. Sed ut potesta, A D, ad uuam potestatem G F, sic DA, ad A Q: ergo & ut potestas dicta A D, ad omnes illas potestates GP, sic do A, ad tot A Q. Erit ergo triangulam A BC, ad triangulum GDH, ut DA, ad loe A Q, quotus
est numerus palabolae. Quoniam Uero ex pro possit. I. lib. Primi cst conuertendo, parabola ABC, ad parallelogrammum sibi circumscriptum ut numerus parabolae ad numerum paraboIae Unitate auctam se nempe ut duplus numerus parabolae, ad duplum n merum binario auctum; ergo parabola A BC, erata triangulum ABC, dimidium purallelogram ni Cc a sibi
228쪽
sibi circii inscripti ut duplus numerus paraboli ad n merum pat abolae unitate auctum s nempe ut magnia ludo, quae se habeat ad A D, ut duplus numerus p rabolia, ad- numerum parabolae unitate auctum, adH D. Quarq ex riuali erit parabola ABC, ad triam gulti m G D H, ut dicta magnitudo, quae ad AD, se
habeat ut duplus numerus, parabolae ad numerum parabolae unitate auctum, ad tot A Q, quotus est numeruS parabola: . Cum vero antecedens huius proportionis conti Reat duplum numerum parabolae, &conlequens numerum parabolae;sequitur antecedens diuidi in tot binaria, in quot unitates diuiditur consequens: unde erit ut praedictum antecedens ad pr.
229쪽
diistum consequens, sic unum binarium antecedentis , ad unitatem consequemis. Erit ergo viduae partes illius magnitudinis diuisae in tot partes quotus est numerus parabolς duplus,&consequenter ipsius AD, diuisae in tot partes quotus est numerus paraboli unitate 'auctis, ad A Q. Quod erat ostendendum.
Cum autem in proposit. 3 3, visum sit, riangulum Gia D, esse dimidium trianguli maximi inscripti in figura constante ex duabus semiparabolis; sequitur hoc esse ad triangulum maximum sibi inscriptum in supra dicta ratione cyntinuata ratione Al γ, ad Dadiametrum trianguli aequalem GF, ut dictum est. Pariser cum minimisi triangula cirdum scripta tam infinitis parabolis, .quam infinitis figuris constantibus ex duabus se parabolis sint quadrupla maximorum triangulorum in ipsis inscriptorum s sequitur praedictas fgstras esse ad minima etiangula circum seripta, ut idem antecedens ad quadruplum conis quentis ς vel vr quarta pars antecedentis ad idem
amo libet conoides parabolicum e se ad maximum eri .m sibi inscriptum, mi p. in radii busis conoidis, quas habeat ad
totum radium mi illitas ad nomerum conotaexbinio
230쪽
SEdsiipponamus ABC, esse conoides paraboli.
cum, & DGH, maximum conum illi inseriptum,&c. & ratio AD, ad GF, continuetur in tot
terminos ut numeruS excedat numerum conoidis temnario, sitque ultimus terminux A Q. Dico conoides ad conum esse ut pars AD, quae se habeat ad dictam AD, ut unitas ad numerum comidis binario a ctum, ad sextam partem A in V. g in primo cono de, nempe in cono, ut tertia pars. AD, ad sextam partem A in quartae proportionalis. In secund Vt quarta pars AD, ad sextam partem A quintae proportionaliS. In cubico , ut quinta pars AD, ad sextam partem Ain sextae. Et sic in i
In do, patet. Quia si ABC, est conus, BF, est dupla FD. Cumque pateat ex propos. sa, Amsesse ad G DH, ut euhus DB, ad factum sub quadrato BF, in F D, nempe in medietatem BF; nempe ad medietatem cubi BR & cum sit ut cubus D B, ad mcdietatiem cubi BF, sic cubus A D, ad edietatem cubi GF; nempe tertia pars cubi H D, ad partem cubi G F: ω pariter cum sit vicu-bis A fa, ad cubum GF, sic A D, ad A Q, & vetertia pars cubi. Ain. ad sextam partem cubi GF, sic