장음표시 사용
11쪽
ascendit, quὶm ad Is spatia, hoc est ad punctiim Κ, ut fusius postea
IX. Parabola B Ac reser explosioncm pilae, seu globi iuxta eandem super horizontem et citationcm, quam tangens puncti parabolae 8, vel C refert huius a uicinordinatas prop. L9. Phaenom. Hydraul.&alias petrabolae proprietates explicabimus. Praeterea descensum grauium axe suo AD refert, quippequem ordinatae sinistra secant iuxta proportionem spatiorum triangulo not, vel triangulo iux, vel linea B, comprchensorum. X. Siclus argenteus Hebraicus duplici acie cernitur, ex quo de Da uidis, Salomonisque diuitiis in Scriptura sacra conccptis, iudicium
scrri potest, cum ictus ille sub Daui decusus fuisse vidcatur caeliticris calici, vel paterae faciei sinistrae superscriptis, quippe tua significantscxe Dauia Scriptura circa pateram, si K IImel, lcgitur: in facie dextra, rusalem luat id,scha, id est sancta in cuius incilio os amyg- .dalinus, vel lilium convallium,vclimati equidpiam. Omitto caraetcrcs istos Samaritanos vocari, bd cos, an ea Hebraeis vulgatos,post captiuit. atem Babylonicam soli Samaritani retinuerint, Iudiri vcro quadratis Assyriacis triq; faciei suprascriptis deinceps usi lucrint: qua de reprop. . tractatus de Nummis an qua valor illius statuitur nostrorum et fassium.
Sunt alia plura quae notanda veniant circa tractatus Hydraulic .pneumaticos, cchanicos, Ballisticos, quae peculiari in numquemque librum Praestatione dicturi sumus, quippe non potuerunt ex prini figura praecedente. Itaque legi cbcnt cuiusque libri peculiares Praefationes, in quibus cmpcraliquid noui proponatur. XI. Sequeiatiuin librorum iactandus ordo in illis' compaginaiadis obseruandus, qui licet minime nec dissi ruis sit, commodior tamen videatur praeeat igitur tib c dc Mensuris, Ponderibus. Numniis, quippequi docet quales sint inpia cirae, qua baxe pondera, quibus passim in aliis libris sequentibus utimur pol quem Hydraulicorum liber iuxta
maiorum caraetcrum alphabctum ponendus. Minorum caracstcrum Romanorum alphabetum, quibus Mechanica Phaenomen notantur,
tertio loco sequi debet quarto liber Ballisticus caracteribus Italicis,. ad aliorum diicrimen , insignitus . . Hos autem quatuor libros equitur illa Synopsis Mathematica prius
alimoi . 26 edites quam ubi viderem a pluribus studiosis frustra requiri, ob exemplarium duduni distractorum nuriam ; eamque non solum utilein, sed propemodum necessariam saepius expcrius cilcm, ut qui veterum propositiones, 5 argiunenta in diuersis libi is tam Geometricis, xivam aliis laudata vident, experiantur Macitationes verae sint, sciant-
12쪽
que diim ruri absque bibliothecis degunt, qiud hactenus in re Ceometrica factum, demonstratumque iit. Seda doctiorum Geometrarum memoria iuuabitur, retricabiturque, dum Synopsim illam prae manibus habuerita. Porro quid de nouo uerit additum Praefatio particularis Synops praemiis docet. Cum autem diuersi caraeteres foliis applicandi cciiciat, maiores Romanos in Synopsi reperimus; quapro ter facile poterunt illius folia praedictis libris praemitti, vel tiam
1eorsim colligari, ut duo volumina separata facilius cstentur. XII. Cum Index, seu Tabula initio, vel ad calcem adhibita reseratur ad omnes libros neccile fuit post numerum qu cmlibet addere caracterem aliquem significantem quo libro contineantur a quae o guntur m Tabula riuapropteri, librum prunum de Ponder H, lib. se- .cundum de Hydraulicis . , librum lcrtium de Mechanicis B, librum quartum de Balli ilicis N, libros de Nauigatione: h libros Harmoniar. donique Synopsim Mathematicam designabit, ut initio Tabulae rursus indicabitur. umquc singulis Tractatibus Praesat multa notatu digna continctes Praemittantur,4 in quaedam puncta distinguoatur, unaquaeq; cara, tere sui tractatus notabitur Lexcepta prima Generali quae litteram significabitur ciliae vero, exempli gratia, Pra satio Hydratilicae, caraetcre H, Sita dereliquis, insignictur. Quae vero Synops continetur cum eiusdem alphabet seriem observent, omnia via ica liticrari, notabuntur.
HI Notandum adprop. 7. Hydraul. absque periculo, cubicu quae pedem a librarum statui posse, cum pondus aquar Ctesibicis instrumentis eleuanda proponitur, ut cum IIa cubici pollices pedem cubicumessiciant, pollex, sue digitus a litae cubicus si hoc est l. librae . que ratione Parisiensis hemina libra unius, digitos accubicos, Pinta vero et 8 complectatur. Quibus positis cylindrus aqueus, cuius iumeter, Maltitudo digitalis crat pondo ' unciae cuius altitudo cylindri si fuerit octo hexapodum, erit pondo Ioi unciae, siue librarum 8'. Minime tamen eos clim arguere qui pedem aquae faciunt duntaxat ro,
XIV. Expondere cuius ibet corporis cubo pedali aequalis, libras ausciendas cum in aqua dulci pondus illius examiriatur, quod stili aqua, quam in acro leuius, toto portalere aqi uis cubica: Est autem aqua Oceani grauior aqua dulci, ad qu.im ei tui 7 ad sit acinae , quarc pc aqua marinae cubicus est librarum 3 . Si vero fuerit, ad que dulcis cubicus sit at . um inodo olliarum , tunc pes aquai dii, uratum er: t I Proxime. Ex quibus
possi quispia audicare de Ali a mi ininucifiga disponderibus,ta . .
13쪽
uippe quae pede et librarum suppositin faciebat pedem aquae marinae
librarum Ss . Vini o . Cerae Olcic s. Melus loq . Latcri 27. Tcrrae Salis io'. Marmoris et a Stanni 132 Ferri 376. Eris 6 8 Argenti lumbi 828. Mercurii977. Auri 368 Arenaeiro Lapidis com in unis i 8 . Tritici 1. XV. Ex Hydraulicis Phaenomcnis concludi potcst qua ratione ritiatorcs centum brachia, pliis minus, in mare desccndere debeant, vis aues, tormenta bellica, quaecumque naufragium passa sunt, expiscemur quae cum breuius corollario a prop. explicata tuerint, iusius tractatu de Nauigatione narrabuntur. XVI. Hydraulicorum o 3 pag. deinceps, ubi de proprietatibus Ellipscos actum est adde quemlibet circulum ad Ellipsim se habere, ut quadratum diametri circuli ad rectangulum, iuxta ac conoid. sphaer. Archimcdis Mideo quemlibet circulum, cuius diameter aequalis maiori diametro Ellipsis se habere ad Ellipsim, ut maioris diametri Ellipseos quadratum ad rectangulum sub ambabus Sed ut quadratum maioris adici tangulum sub ambabus, ita mi radinatorcm; ut quadratum minoris ad rectangulum sub ambabus, ita minor ad maiorem. Igitur ut maior ad minorem, ita circulus e maioris diametro ad Ellipsim Et ut minor ad maiorem, ita circulus e minore diametro ad Ellipsina quare data circuli area, dabitur Ellipseos
Nod ad sphaeroideos mensuram attinet, quilibet Conus triens est cylindri basim eandcm,4 eandcm altitudinem liabentisci atqui cylindrus fit E plano basis circularis in altitudinem. Data igitur minore spha. roidis diametro datur arca circidi diametro dcscripti, qua in dia-midiam maioris diametri altitudinem ducta, generatur cylindrus, cu ius triens est conus eandem dimidiae sphaeroidis altitudincia habens, de eandem basim.
At huius in i coni dii 'tu est dimidium sphaeroides,illius igitur comquadruplo aequatur integra sphsroidis
moles, pera'. cono id. Archim quae, ut facilitis intelligantiu , schema pag. OI
Hydraulic repetatur, in quo Ellipseos propositae sint A B,CD diametri Cen-χro D, interuallo Assi, circumserentia secabit A B in F, G soci . itavi ci cuius diametro CD, ad Ellipsim propositam fit ut CD ad A B. Et circulus diametro A Bad eandem, ut A Bad CD. Conus vero, cuius bari circulus diamcuo CD &altitudo AE, est totius sphaeroidis AvCD
14쪽
quadrans. Alia plura videantur in libris Arctamcdis 3c illius supple
mento, quae Synops exhibet. XVII. Circa salientes tam verticales quam medias obscruandum, oculo inter illas &solem posito varias irides repraesentari quod etiam fit ab aqua ex ore proiecta, salientc ut a bullis e saponefactis Pa a genis, dc vitris aqua plenis, a chrystallino prismate, ab oculis madidi si humidis calidelae, vel solis lumen spectantibus. XVIII. Notandum etiam adprop. 33 Hydraul fossionem puteorum magnis saepenum cc periculis obnoxiam, non solum ob tetros odorcs ex quibusdam terrae partibus exhalantes, scd etiam ab aerciis, licet non infectum, ex omni parte aduersus respirationem opposita, qui lucem S ignem extinguit, hominesque descendentes enecat, nisi statim illos
ad signum funis tractione datum eos retraxeris , Ucm inccium cauerrulae de nouo facta , lcba viridi dctracta, vultum, caput admoticas; hac enim ratione rcdeunt ex spasmo apud Anglos, qui pulcum alium ad viginti pcdesiodiunt, visoramini crrae ambos puteos interpositae coniungenti adhibitus ignis praedrinum acrem suffocatorium attrahat;
quispiam deinceps in illum puteum absque periculo deicendat ad
carbones focarios eruendos, ex quibus ingentes cditus pro uiit quod etiam Leod ij, pluribusque in locis fieri solet. Ignis autem ille ad oram soraminis utrumque puteum coniungentis excitatus acrem sibi propinquum rarefaciens acrcni suffocatorium ex Prmao puteo attrahit, codem sere modo, quo ignis in nostris focis, cubiculis excitatus, acrem externum per fencstrarum4 portarum fissuras,& alia foraminula, ad cubiculi reparandum acrcin, qui cui flamma per caminum egreditur, testibua variis sibilis, ventis, attrahit.
Vnde possint Vrinatores respirandi modum sub aquis excogitare, det quo libro de Nauigatione. . Porro, ubi ais reto deputeis Amstcrdomensibus dictum est, adde operarios, Mi ossioni praefectos canales ligneos facto foramini,squc adsundum, in quo aqua potabilis occurrit,scprimere, qui tanto compa- . Sinentur artificio, ut aqua maris exterior in illud ingredi nequcat it quc iuncti canales unicum veluti canalcm eis ciunt, e quo postea, quotiescunque libuerit, aquam pistillo, siue inbolo, ut prop. Hydraul. 38.
XIX. Ad ea quae de Numeris ad calcem prop.ro. de Ballist. & pun-1 Praefationis ad Hydraul dicta sunt, ad desii iaci tam Micio, qui numeri, quotquot volueris, reperiantur qui cum suis partibus aliquotis in unicam summam rcdactis, non solum duplam rationcm habeant, quales sunt tro minimus omnium 67r,sa 3776 I 76 304896,
15쪽
1 8i8r o, qui ductus in 3 numerum efficit 379 3 7ro, cuius partes ali ota: ipla sutat ouales etiam sequentes JO24O, 32 76o, 3169, io,&ali infiniti, de quibus videatur Harmonia nostra, inqua
8a 39o o,, alij suarum partium aliquotarum subquadrupli sed
etia in sint in ratione data cum suis partibus aliquotis. Sulit etiam ali numeri, quos vocant amicabiles, quod habeant parates aliquotas a quibus mutuo reficiantur, quales sim omnium minimia o, 48 .huius cnim aliquotae partes illum ciliciunt, vice que versa palles illius aliquotae hunc perfecte restituunt. Qualesi 8 isi i 'a' ; nec non ' 37. 36, S 363 8ψrcperies, aliosque innumeros. Vbi fuerit opera pretium adiicrtere XXVIII numcros a Petro Bungo
Pro perfectis exhibitos , capite XXVIII. libri de Numeris, non cite omnes Perseolos, quipperio sunt imperscisti, adeout solos odio pers ctos habeat vidclicet s. 3. si 's. 8I28. 23 So336 8389869oI6. 37 3 869i a 8, 43o 343oo8I3 1sri48; qui sunt e regione tabulari ungi, I, 2, 3, 6 8, io, ι, 2 quique sollic ecti sunt, ut qui Bungum habuerint, errori medicinam faciant. Porro numeri perfecti adeo rari sun t ut undecim dumtaxat potuerilit hactenus initentri hoc est, alii tic a Bongianis differentes nequc
enim ullus et alui perfectus ab illis ocio, nisi superes exponentem numeruinor, progressionis duplae abci incipientis. Nonus eni in persectus est potestas exponentis 68 minus . Dccimus, potestas exponoristis 128, minus i. Vndccimus denique, potastas a 38, mimasi, hoc est potet as 23, unitate de ii tata, multiplicatapc potestatem 16. Q undecim alios repererit, nouerit se analysim omnem, quae fuerit hactenus, superasse memineri; aue interca nullum esse periodium an potestate ad 3a ooosm nullum potestatum interuallum tantii in assignari posse, quin detur illud absque persectis Verbi gratia, si fuerit πxponens oooo, nullus erit numerus progressionis duplae usque ad a. o 'oo oo, qui crsectis timeris scrutat, hoc est qui minor unitate, primus exsint.
Vnde clarum est quam tari sint persecti numcri,Mquam merito viris persectis comparentur esseque unam ex maximis totius Matheseos dis
ficultatibus, praescriptam numerorum persectorum multitudinum cxhibere; quemadmodum Magnoscere num dati numeri is aut a cara cteribus contantes, sint primi nccne, cum nequidem saeculum integrum huic examini quocumque modo hactenus cognito stiliciat.
XX. Libris Hydrostatices, Hiltrodromi. multa supplentur, quae in Hydraulicis desidcrari poterant, ex quibus mutua lux affulgebit scddi naucin proponimus, quae sub aquis Oceani, vel alus quibuscumque,
16쪽
dummodo satis profundae sint, quispiam nauigare, immo&totius ictrae ambitum conficere poterit. XXI. Addimus etiam quosdam Harmonicorum libros, qui Musica praxim Setheoriam breuiter&dilucide complectuntur: ex quibus breuissimo tempore Lectorios iit Musicam compositionem addiscere,
bicinia, tricinia, vel etiam quadricinia componere.
XII Licet ea quae sequentibus littas proponuntur, ari ora, dissicilioraque videantur, quam ut ad mores possint a quouis traduci, si tamen perlegantur attente, confido nihil este quod maiorem nouarum cogitationum suppellcctilem, pluresque, de vi gentiores pietatissimu los eruditis,in accuratis concionatoribus suggerat, siue in ponderibus, corporum grauitatibus examinandis consideret difficultatem,livmanis actionibus iudicandis analogam siue Pneumatica. Hydraulica, quibus hauriant quod auditotes ad vitam aeternam salientes Mad Omne boni: opus in enuos eis ci ac siue Ballistica, quibus ostendant homines esse Sagittarum instar, quas Deus ad hunc, aut illum scopum, Omnes vero ad suam gloriam diuersimode dirigat strue Mechanica,&totam Synopsim, obuiam erunt quae mille modis possint concionibus
XXIII. Praeter hanc generalem Praefationem aliae cuique libro praefixa leguntor 'ilippequar noui semper aliquid complectuntur, quod ea suppleat, aut curendct quae sequentibus libris dicta fuerint itaque legantur sequens ad librum de Ponderibus Pr satio Idalia quae H draulicae, Mechanicis, Synopli, Conicis, Opticisque, aliis tractatibus praeponuntur.
XXIV. Cumque plurima quaesta per Epistolas penes me habeam,
quae pilirimum utilitatis, aut voluptatis honestae studios salserie possint, dum alla parauero, monitum etiam numquemque clim, ut quaerata scriniis luce digna, Madsci cratias vel artes promouendas utilia serti iterit, litterarum Reipiiblica non inuident neque enim illorum opiaenioni subscripsero , qui Tractatus varios disciplinae reconditioris itas bi retinent, ut neminem conscium esse patiantur, quippe non tidiunt virum illum sanctissimum a dc Doctr. Christ. cap. I. a is exim
modo Labi, a est. XXV. Ad Ballisticam oblitum tonitrui motum globorum motibus. comparare potes , quanquam cognitu difficile est rum sit tormenti globo velocius de fulguris, aut lucis celeritate hic non loquor, cum non sit corpus, scd iuudam motus instant anc transmissio, qualis est ea quam qius baculi cxtremo imprimit, eodem enim momento aliud
17쪽
baculi mouetur extremum, etiamsi plures leucarum myriadas distet ab altero. Si vero stelliae moueantur,in terra stet, illarum motus sua velocitate globorum velocitatem tot paras angi superat, nullus ut sit qui
tantam rapiditatem non admiretur. Enim ero secundi unius spatio stellae aequinoctiali vicinaris leucas conficiunt, ut Praefatione Cossimograptita dictum est quo tempore globus a tormento missus centum lexpcdastantummodo percurrit atque adeo stella sunt Irso vicibus globo velocior . Omitto comparationem velocitatis motus illius quo gradum unicum faciunt spatiore annorum, quam ex praedicta Praelatione repetere possis,ut terrae motum annuum,vel diurnum consideremus, quorum hicipatia horario oo leucas, muto vero secundo, fere leuca perficit; quapropter motus illius viginti qii in quic es elocior motu globi tormcn- raris cumque motus terrae annuus sit triplo velocior diurno eiusdem motu erit globi motu velocior quinquies septuagies qua velocitate ii quis apud nos moucretur, ita spatium ingens replarc videri posset, ac si corpiis orci continuum, vel immotum, quod nempe tanta pernicitas vix ab ullo percipi valeret. Quanqtiam istae velocitates ob ingentem distantiam lai distimae videantur, ut ex obseruatione stellarum &aliorum siderum constat, quae, si credatur oculis continuo spectantibus, immota videbuntur, adcout summa velocitas respectu nostri sit idem acquies, aut summa tarditas; quemadmodum a Psalmista dicitur elle Dei lunae sicut icnebras eius non quod in eo vllae sint tenebrae, scd quod . nimio lumine mentis humanae acies perstringatur, obtundaturque, eo ter modo quo nostrorum oculorum acie in tu globi tormentarii
transeuntis , motu luc fulguris perstringitur, iropemodum cxtinguitur.
XXVII. Cum breui tempore grauia percurrant spatia ingentia
licet per omnc tarditatis gradus transite supponantur, pauca subiicio. Et quidem multa fiunt quaecum sint admiranda, vulgo tamen contem -aaiantur ab iis qui minus attendunt qualis est herbarumi arborum, imo&hominum accretio, quae licet motu conti ratio fiat, minimc tamen pcrcipitur ob nimiam tarditat cm , quam si compei, aris ea accelcratione qua grauia descendunt, tandem aliquando motus apparebit. Sunima vero di ficultas in eo consistere vici ciui quod graue multo
Velocius in acre quam in aqua descendens, aeque tamen in acre per Omnes gradus tarditatis, ac in aqua, transeat. Cui dissicultati utcumque
satisiaciunt duo circuli, quorum in uul puncta, partesque Oti cin
18쪽
Sunt: alia quae non minus distic ilia idcantur, cibi: id
infinitae partesum finitae sint aequales ii enitalo innes medietates datae lineae, vel dati numeri, quae sunt inlinii nuincro, siainantur, illi num cro aequales erunt: Sit enim I illius 4 S, innidi dimidium, Mita in ius natum , , 'o dcc unitaten reficient. Vnde multa theorema-mata oriunda uerbi gratia , suppositis infinitis multitudine uinetis, siue magnitudinibus in continua proportione conictrica maioris in aequalitatis, ostcnditur pri inus terminus meditis proportionalis inter primam differentiam, d aggregatum omnium t minorum CXponantur, verbi gratia, numeri sequentes , q, a, . . ,&c in infinitum prima differentia est 4, quaci superac4 aggregatum omnium terminorum , quod omnes numeri sequentes quent octonarium ; sed est medius proportionalis inter I S I. Si ver trientes omnes alicuius integri sinu addantur, intcgri dimidi una; si quadrantes omnes, integri trient , ita conlequenter, etficient. xi Omma iustis alias Dco volente discutientur. Accipe interim sequzntam I. B tractatum
De Rationibi atque Proportionibli
CVm Proportionum cognitio Musicis S Mechanicis, stetisque
matheseos speculationibus apprimet sit utilis, imo penitus aleces.saria, e ique ab iis qui de ea tractatus ediderunt, non sati hactenus e qui sit tradita, propositum mihi est earum naturam inquirere,, earumdem analysim, synthesim breuiter& apodictice declarare, in-UCcato prius aeternae sapientiae nominet numine, sine cuius gratiae auxilio nemini ad sapientiam veritatem pata aditus.
Rationis de finitio. Euclidi definitione 3. l. 1. Ratio dicitur, duarum magnitudiniim h mogenearum mutua sccutidum quantitatem habitudo Mihi ita vide-lair definienda, ut sit magnitudinis ad Imagnitudinein homogeneam, secundum quantitatem, habitudo. II. Desiisitionis αἰ ηολγα.
Ratio dicitur habituἀo, id strelatio est enim eorum entium quae totum id quod sunt aliorum esse dicuntur. Additur magmii inti quo declaratur relatum, seu subiectum relationis, cst quoquc terminus rationis antecedens Deinde subiungitur a munitudinem quo significatur correlatum, seu stibiectum correlationis, quod est crininus consequens rationis. Postea adiungitur, Ch metencam nisi enim a
19쪽
gnitudines sint eiusdem generis, inter se comparari non possunt ita punctiimi meae, linea superficies, superficies corpori conferri non potest. Denique adponatari secundiam quantitatem ynam cum varia sint relationum genera, haec tantum rationis nomine adgnoscitur, cuius sum damentum proximum est quantitas. III. Dius rationis. Magnitudo autem magnitudini comparari potest secudum differentiam, id est excessum, vel defectum unius ab altera: hinc orituris tio Arithmetica, de qua helc nil amplius dicemus vel secundum quotum, qui oritur diuiso antecedente rationis termino per consequentem, est ratio cometrica, quam deinceps rationis vocabulo, sitne additione cxaudiri petimus.
IV. QDntim rationi . Hic quotus ostendens quoties in antet cedente contineatur consequens, ab Euclide rationis quantitat, a quibusdam jecies, ab aliis dιnomi neu seu άιnominatur rationis dicitur. In multiplicibus quidem quotus ille crit numerus in reliquis vcro habitudinibus erit pars aut partes nisi sorte habitudines sint irrationales, quae tamen ulo exprimemtila modo, quantitate scilicet sibi homogenea.
Compsti rationum. Ratio autem ex rationibus componi dicitur, cum rationum quanti-ratcs inter se multiplicatae illius enecerint quantitatem. Exempli causa, ratio sextupla componitur ex rationibus dupla, tripla, quod binarius, quantitas rationis duplae , internarium , quantitatem rationis
triplae, ductus producat senarium, qui quibusdam est quantitas rationis sextuplae.
Si sucrint rcs magnitudinis in serie continua ratio primae ad te etiam componitur ex ratione primae ad secundam, &secundae ad tertiam. Vt sint tres magnitudines A, B, C, ratio magnitudinis A ad magnitudincm C, componitur ex ratione A ad B, in ratione B ad C. Quod demonstrat Eutocius ex . desinit. F.Euclidis , qui consuli potest ad II prop. i. Conicorum Apollonij. in Comment ad 4 prop. a.
Archimedis de Sphaeravi Cylindro.
rius ducatur, reconssequens in consequentem, ratio prioris producti ad
20쪽
I bilariorem eiit utrius lite adgregatum.
. Sumantur rationes A ad B, 5 Cad D, sitque Eproductus ex Ain C, productus vero ex B in D esto G. Dico rationem E ad componi ex rationibus A ad B, G ad D. Ducatur quoque B in C, Mello produ- eius P. Quyniam igitur C multiplicans Arim effecit Ed F a communi autem multi icante non mutatur proportio, erit ut A ad B, ita E ad F. Similiter quoniam B multiplicans C, D, effecit F, G, erit cadem ratione ut ad D, ita Rad G Sed ex antecedente aphorismo; Ratio E ad G componitur ex rationei ad F. ratione F ad G quamobrem ratiori ad G componetur quoquo ex rationes ad B, ex rati ne Cad D. Quod demonstrandum erat. Hinc ordinatur.
Cano ad proportionum Compositionem
ANtecedens unius in antecedentem alterius,m consequens in consequentem ducatur, ratio prioris produci ad posteriorem erit adgregatum' esitum. Esto A . B3.C6. D . Fit E i , cl8, is, Vel . VIII Si fuerint duae rationes, & consequens prioris ducatur in antecedentem posterioris &antecedens in consequentcm, ratio prioris producti ad posteriorem,est residuum prioris rationis posteriore ratione ablatae.
Sumantur rationes A ad B, MC ad D sitque F productus ex B in C, productus vero ex A in D esto G; Dico ratione F ad G residuam fore, si subducatur ratio A ad B, E ratione ad D. Ducatur in C,&esto productus E. Quoniam igitur Amultiplicans C, dc D effecit E,&G; E communi autem multiplicante non immutatur proportio, erit Ut Ead G, ita C ad D ; sed ratio E ad G componitur e rationibus E ad F &Fad G Sed C multiplicans A&B, produxit EI: F, quare ratio Ead F eadem erit rationi A ad B Ratio 1gitur Gad D, componatur e ratione ad B, ratione F ad G. Quamobrem ratio F ad G erit residuum rationis C ad D, ablata rationes ad B. Quod demonstrandum erat.
Hoc Theorema ira quoque enuntiari pote t.
Si fucrint quatuor magnitudines, ratio producti sub medris ad pro-