Acta mathematica

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feront galomon parti dii roupe. Si f., s est ne substitution dii roupe non pompri se nn tu formulo 2 , outes os substitutions de a fortiae:

Si maintonant f sa est uia substitution dii roupe qui ne sol ptis compris dans a formule 'esto dire qui ne sol pus une combinai. son de si ij de si si est ne substitution dii roupe qui ne sol pasune combinuison de fi , , et si, te si ensin f est uno substitutionqui ne soli ius une combinaison i, es substitutions comprises an tu formul gonbi alo:

Aeta mathematica I. 2

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comine es conssiquences 'uti certain nombre 'entne elles quo notis appelleron relations fondamentales et qui seront seules hellement distinetes. Un roupe H sera somorpheo G 'il est sirivo 'un momo nombro de substitutions fondamentales, et si on a entre se substitutions fondamentales es momes relations fondamentales. Si rati e les substitutions se H I 'y a pas 'autre relation do a forme 6 qu entre elles se , t isomorphisine est sici proque et par conssiquent holoῆdrique aiatrement ilos nigriedri P e.

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Pur sui te des ollition J , uno moui substitution e ut tro mised'uno infiniti de muniores solis a forme 1 de sorte quo a bfinition lotino plus haut de 'e osant 'une substitistion uisse subsister me er- tuine ambiguith ous appelleron aloi s Xpogunt 'une substitution a plus pet/te valeti que petit prendi e in Omme de module de iii, '. quand n erit culto substitution solis a forme ψ . Ioi il lieu do uiro ne distinetion importante entre es distorentes sortes de rotipes formh de substitutions belles. Nous devotisd'abori luisse de cot log roupes qui ne Comprennent qu' uti nombro sinid substitutions ot sui ont th tudios ii soni par plusi Hur ghomotres. Mais si os substitutions 'un roupe sont en Ombre infini, on e ut sui reddux hypothoses disseruntes: On eut suppose qu' ibi est possibi de Choisii dans e grOupe uno substitution

ii dire quo te roripe contient ne substitution infinitosi male. On e ut SuPPOSer aussi que e roripe ne contient pus de paroille substitution. Les groupes de a premiore sphce seront continus, ceu de in seconde discontinuS. I ne petit exister de sonetion uniforme analytique de a qui reste inalthi si par es substitutions 'un rotipe continii, a cette lanctiori evruit reprendre a monte valeur en des poliat infiniment volsing 0 uns des

yroupe fuchsiens auX Groupes discontinus formos de substitutions belles. Si te roupe G si discontinu, i est clair qu'on ourra divisor leplan ou ne partio dii plan en ne infinit de sigions ouissant de proprioisis vivantes: Chacune 'ellos correspondi ais 'uno des substitutions dii roupe G. Culle qui correspondi a k la substitution:

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s appellera a rogion L. et par congi quent uelle qui correspondi ii ii lusubstitution

Dire que R. est transfornabe de . par ne substitution belle, 'ostdire que e rogions soni congruentes et par conssiquent quo totitus es rhgion Γ soni congruente entre elleS. POur me servir 'uno expression tros sitsi de 'autre eot dii Rhin j dira quo a division 'un plata n ne infinit de rogion est Oulipretors tu' ei di formant ces rogions 'une muniore continue on potirra viro coIncido te nouveni modo de division vec 'uneten d teli su on quoeliaque sigion de tu noti volt division Vienne Coinuider vec uti rhgionde 'ancienne, et ilia' uri rogion Otinho quelconque dii nouueau modo de division ierine Coin idor ave une 6gion donii e uuiement uel ouque dei'ancien mode. En e qui Concerne te mode de division qui nous occupe, it si clui que si 'on applique u difforentes rogion L la substitutioncha uiae des rhgions L se hungora en uno utro rogi in L et . se hangerit en Γ 'est dire que a division dii pluit sera rhguli oro. Le problom d la re herche des groupes uelisiens se rumone doti Curi suiuunt: Subdiviser 'une fuson resuliῆre e flui ou ne parti du plauen ne inbisit de Dion to utes conoruentes enire elleS. Deu rhgions seron ditos limi trophes ors tu' elles confineront entreellos to ut e long 'un re de courbe qui eur servira de frontiore com

mune.

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sorori diis correspondantS.

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inoitios congruentes enire elles.

juguos de premi ers, de telle sorte que e colos , , . . , solent conjugili S. Soli , tu rogion qui est limi trophe de R. de long dii coisi , , utla substitution correspondante. De ceti favon, n nuru :