D. Guidonis Grandi ... Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas gemetricè exhibita. Accessit & hyperbolę dimensio ope tractorię, & innumerarum parabolarum, hyperbolarumque rectificatio, et alia complura scitu dignissima

121쪽

Vel etiam eadem infinitarum parabolarum, & hvperbolarum longitudo, ut dudum praestitimus, reducetur commodh ad sequentem seriem I

&c. ubi puncta numeris inserta multiplicationem cx more significant; ita ut i Apolloniana Parabola , ubi m m 2 , Cur

unde progrediendo quantumvis acuratam Curvae longitudinem determinare licebit . acceptis rectarum proportionalium , IF , IJ &c. partibus supra expressis per substitutionem valoris ipsius m ea generali serie deductis. Quod quidem Theorema cram superiori anno Egregio Iuveni Gabrieli Manfrediom more communicassem, Is & ad editio

122쪽

nem me perhumaniter est cohortatus, &eleganti demonstratione dignatus est confirmare , 'doctissimaque animadversione , imo& nobiliorum Veritatum accessione illustrare , cujus Epistolae fragmentum ad fidem iis, quae dixi, conciliandam producere non verebor, singularem ejus mentis profunditatem, & in res meas humanitatem altero hoc specimine testaturus , quam- qu m utriusque vestigiis aliquot, ne illi, mihique crearent invidiam, Consulto resectis .

EX ALTERA EPISTOLA

Ad Auctorem scripta Bonon. 8. Augusti

. . . Transeo nune ad subtilibsimu illud Tbeorema tuum, puodmiboummo bonore comunicare digna

rurfuisti. Ego syneere fateor, ct berio boo tibi

maxima cum l stra profiteor, quod ex melioriabus , O maxime utilibus totius Geometria actue intentis At censendum- Sane Veritateris; ramperta, O Vtilitate, qua multa est,

. .. - H optime

123쪽

fit fime, omni officiorum debito devinctam inev cco , quod me pra esteris θος distinctiovis gradu digneris, quo aliquid mib, gloriosias contingere posse non credam , ut siquidem I b ore malis hujus Nobilissimi, cum Lamdas να, omnium ore aurietera quod tunc accrdet , cum Ptibi eo diad impertitus fueris, ut autem cit. cistur impertiaris enixe supplico J illos me pra cessise , ct ejus Pondus ante cateros agnomi possim gloriari. Tali autem ratiocinio Tuum boe is utam confirmo . ... Em aquatio ν a. X , uniam y dy dx , ct curvae elementum dyV1 t m my esporro Uitaamy

124쪽

de patet, ad hoc ut tua Areatu sis valeat,

debere tantum quantitate' mmy- - , autabas , quas earum loco debeas ex curia naturas buitsere , taler esse, μt omnes earum potestates in dy ductς sint integrabiles. Debent Uitur cureta, in quibus utilis esse potest tua series fere esse ex iis, in quibus indeterminatarum alterutra x sola unam aquationis partem construere potes , reliqua aquationis parte ex quotetis serminis interim composita, in quorum Angulis altera Adeterminata ad quametis po-H ij resa-

125쪽

ris testatem elemata inmensatar , uollo in aper radicali signo , quod indeterminata iugrediatur,

partem illam aquationis implicante, nec aelio insuper denominatore, quem indeterminata eadem ingrediatur, eaudem aquationis partem

asscieute; Talis esset cureta, aquario fo-

nere repereram. Si enim curva alic'us aqua

oris tantum per progressovem artibviet eam d videndus, progressionis termini sint respective na, n , p , q 9c. 'euli unitate aucti , O talis rite instituis dimisionis quoties erit pery multiplicandus , eritque productum spatium, a re axesiquidemsuper quo ipsa y olfώ

126쪽

m Telasmus super axem rotentur, si Per quo ιρss X sumuntur, solida emere Deiliter ad Ilindros ejusdem basis auirudivit reducibilia , ctc. Hadlanus Vir Doctissimus , cujus elegans Generalium Quadraturarum Theorema sic vicissim liber analytich ostendere. Quonia

eldinentu scilicet spatii ,quod Acutissimus Iuvenis c5siderat, tib b ωΥ 6M

cujus integrale, nempe ipsum spatium pr ut ipse pronunciavit, eiusque complementum aequabitur eidem seriei , singulis prius terminis per silos exponenteS m,n, p &c. du- ctis, nam elementsi tunc est,ae, at differen- iando prima tquatione curvς constitutiva

eiuslintegrale

Hiij

127쪽

Quod attinet ad solida ab his spatiis,

qua parte ad axem x spectant, revolutis progenita , animadvertendum est, rationem solidi ex cujusvis figurae rotatione resultantis ad cylindrum ejusdem basis, Maltitudinis, eandem esse cum ratione sum mae ex omnibus quadratis ordinatarum figurς genitricis ad summam ex totidem quadratis linearum ultima: si aequalium, ut methodo indivisibilium docemur; por-rd summa ex omnium ordinatarum di quadratis respectu axis x est fastis, sive, prodae substituto ejus valore supra inVento, integrale fractionis

hoc est seriest Υ ' De summa

vero ex totidem quadratis ipsi v aequ/li

que ad cylindros ejusdem basis,& astituis din is facise reducentur hac solida. Hinc ex hac ratione solidorum auserendo rationem, supra expositam, spatii curvilinei solidum generantis adrectanguilam. νη,

128쪽

γ, , quo cylindrus producitur, proditratio distantiae ab axe centri gravitatis eiusdem spatii curvilinei ad semissem ordinatae F , per quam distat centrum gravitatis dicti rectataguli ab eodem a Xe. Subtangens cujuslibet ex talibus curvis, in axe X determinata , semper erit zamb ' ηρο Sς ut constat substituto Va-

Iore ipsius o in generali subtangentis exis pressione subnormalis ver6 in eodem

quippe quae cum subtangente contineat rectangulum 11 eademque methodo infinitae alie quaestiones , ejusmodi curva- . rum genus concernentes, facillimam determinationem suscipiunt, imo crepundia sunt l, c nobilissimς recentiorum analys S, cujus praestantiam vel ex hoc uno specimi

ne satis intelligere possumus, ejusques immensh quantum i J protensam utilitatem admirari s Nam de Infinitis Parabolis quot libros ab Acutissimis Geometris eXaratos habemus p Jam illae satis minimam,&:Η iv infi-

129쪽

D quantitatibus utcunque implicatos, elici possimi expressiones dictarum dimensonues una hac Clariis. Juvenis animadversone, quippe eo fine terminorum numerus in altera aequationis parte indeterminatus relinquitur, ut quot quis voluerit oportu-nli rei pondeant, ibique sistere , aut ultra promoveri, ubi , S quousque opus fuerit, valeamus; Nec enim hae series infinitae semper sunt quamquam & tales esse nil vexat J sed plerumque semet determinat pro varia curvarum natura , ut dictum est , absolutamque spatiorum , & solidorum dimensionem ren unciant .

SCHOLION IV.

DEnique monendus es,Mi Lector,quid quid in Propositione hac ,& Corollariis eidem adnexis, illatum est circa rectificationem curvarum redactam ad spatii, per tangentium F G ordinationem provenientis , dimensonem , potuisse aliis modis obtineri, exempli causa ponendo ipsas E H quales portionibus rectarum ad curva iti

D normalium, per duas A Z, C B paralle

130쪽

interceptis, nam &spatiu hinc proveniens 8 B CIH b qualetur rectangulo ipsius C Ain curv. m A D B ,& portio quaevis H ICE

rectangulo ejusdem A C in correspondentem arcum AD nec differt demonstratio

ab ea, quam dedimus in Propostione. Aut generalius, si fiat constans qnae libet linea , puta Ca , ad EH, ut ordinata MD ad tangentem D F, vel ut sub normalis M Cad normalem CD, vel in alia atqui valenti ratione stinctionum curvae ad punctum D spectantium, spatium hinc provenienserit semper aequale rectangulo illius assumptς constantiis C a in curvam A D B , &portiones ejus rectangulis eiusdem constantis in arcum sibi competente; nec enimalia ratione jussimus inpr ced. assumi EI tangentiu , vel normaliu partibus, inter parallelas AC, BZ, aut CB, AZ interceptis, nisi ut costans linea CB,vel CA esset ad EHin dicta ratione, id est ut elementu ordinatqdo, vel eE, ad elementsi curvat Dd, unde aequalitas tectangulorii infinith parvorum proveniebat, redigens curus rectificationuad mensura spatii ex ordinatis E Η provenientis , . AD-