장음표시 사용
111쪽
punctum fixum C, x occursum tangentis, semper aequalis erit H 2, vel N n differentiae ordinataru E H ipsis C F aequalium , rectangulum nNHet duplum erit trianguli aequEalti FfD ς quod cum ubique eveniat, Palam eis, spatium I H N duplum fore spatii FDA, sed & duplum rectangulum C E HN trianis
guli aequalem basim in eadem altit Udine
obtinentis C D F ; itaque & spatium I H E Cduplum erit spatii AD C.
, COROLLARIUM VIII ΑΤ si curva A D B postis iis quq i
propositione J fuerit Parabola quadratica , erit I Hb Hyperbola ordinaria, cujus transversum latus a I , rectum verbtertia proportionalis post a I, & parametrum ejusdem parabolae, nam quia semper F M est dupla A M, atque ut A M ad M D, ita haec ad parametrum , duplicando rationes, sumptoque multiplici primi ante cadentis , & aeque submultiplici secundi consequentis, erit FMq ad MDq. id est per Corail. a. rectangulum a N I ad quadra
112쪽
tum I C) ut quadratum M D, vel N H ad
quadratum semipara metri ,& permutando rectangulu a NI ad quadratum N H, ut quadratum I C ad quadratum semipara- metri , sive ut a I ad tertiam proportionalem post a I, & parametrum , quq est nota proprietas Hyperbolae praedictis lateribus descripti per D. Conicorum.
QUod si supponatur esse ADB para
bola cubica , erit curva IF b Hyperboloides, cujus ordinatarum quartae potestates, seu biquadrata, proportionentur Tectangulis a NI, nam tunc FM est tripla A M , atque ut haec ad M D , ita quadratum MD ad quadratum parametri, adeoque AM quaritatum ad quadratum M D, ut biquadratu MD ad biquadratu para me
ut biquadratum M D vel N H ad non a partebiquadrari parametri; similiter, & convertendo ostendetur IC q. ad an I , Ut nona Pars biquadr. parametri ad biqua tr. n b ex G aequu
113쪽
squo igitur rectangula a NI an I proportionantur N Η, nb biquadratis.
T' Odem ratiocinio ostendetur , Cur asI H b semper esse Hyperboloides aliorum graduum, quoties A DB sit aliqua ex altis infinitis parabolis, cujus ordinatarum potestates a quolibet exponente mdenominat proportionentur abscissarum potestatibus ab alio quolibet exponenre uindicatis, erit enim semper A M ad M D ,
ut potestas ipsius M D ad similem sparametri potestatem, adeoque A M quadratum ad quadratum M D, ut potestas
---- ipsus M D ad smilem potestatem
parametra, cumque F M sit semper ' ipsius M A , erit F M quadratum ad quadratum M D nempe rectangulum a NI ad quadratum IC ut potestas --- ipsius. MD,
114쪽
MD, vel NH, ad G similis potestatis parametri , adeoque ordinatarum N H po-
testates ipsis rectangulis a NI proportionales simili ratione demonstrabuntur ; quod est, curvam IH b esse aliquam ex infinitis Hyperboloidibus ad diametrum I C comparatiS.
COROLLARIUM XI. Otatu dignum est, Hyperboloides ejusmodi spatium absoluth quadrabit
aliquando comprehendere, & tum Curvas Parabolicas iis respondentes esse absolute rectificabiles ; ceri in parabola cubica secundi ordinis, ubi m valet 3 , n Valet 2 ,
unde valet id est aequivalet unitati, rectangula a NI, seu differe tiae quadratorum HE , RE, erunt in ratione simplicium linearum NH, seu IR, ideoque curva I bH concavitate versos CB obversa J erit portio quaedam Parabolet quadraticet, per ordinatam IC a vertice
115쪽
obtruncatae, ex uotirma hujus parabol2
COROLL ARIUM XII. ΡAriter ubi ordinataru Parabolae A DE
quintae potestates corresponderent bi-puadratis, seu quartis potestatibus absci Liaru , Valor eX ponentis ordinatae ad HyperboIoide N H esset '' T', id est g . quod 4 aindicat rectangula a NI fore in subduplicata ratione ordinatarum N H; quod genus Hyperbolae jam ad mensuram vocavit Illustris Geometra Stephanus De Angelis altera parte sui De Infinitis Spiralibus Inversis , Infinitisque Hyperbolis Libelli Schol. 3. Propositionis 3. ostendens rectangulum N IR H esse ad spatium I H N, ut quadratum N A ad I quadr ti NI,
eum a quadrati a I, & cum rectangulo
CIN quod consonat dimensioni mox ex aliis principiis afferendae I .exe L 2. quare
116쪽
io I tiare &ejusmodi parabola rectificationem
T M5 generatim enunciari potest, quoties - dupla differentia exponentium in metitur ipsum ii, verbi causa per numerum ', semper curvam parabolicam ADB rectificari posse, erit enim ' Σ adeoque rectangula a N I in ratione erunt tam submultiplicata ordinataru N H, quam submultiplex es. unitatis, ips*que ordina
tae proportionales erunt rectangulorum illorum potestatibus ab exponente p indicatis, unde singula membra potestatis ejus modi rectangulorum ducta in axem cur V qN I, & divisa per numerum dimensionum ejusdem Ni singulis membris p rq dictis competentem , eXhibebunt notam quantitatem rectis dumtaxat lineis definitam, quq ad spatium IH N datam prorsus rationem habebit , Id quod semper contingere patet , quum
117쪽
ro quum m est numerus impar, &π par proxi-ine minor, ut in duobus pretcedentibus Corollariis . t '
o Es clarior fiet exemplis analytice eX- postis in hunc modum. Sit IC a, ΙNmae, NH I; quoniam ergo 2ax lxx
proportionatur I 8 , sumi poterit velut ipsi aequalis si nempe hic multiplicari, aut
dividi intelligatur per constantem aliquam quantitatem unitatis loco sumptam , ut di- smensiones suppleat) unde & aeque elevan-. . - do utrumque terminum, erit et a xl xx
118쪽
le ax xt 2 squabit valorem spatii IH N.
Exemplum III. Si exponentes parabolesnt , m I, ο α 5 , erit ' - α ,
Et sic in aliis pari progressu.
Odem ratiocinio infinitarum Hyperborii larum inter asyinptotos positarum dimensonem reduces ad infinitas Hypem Ioides iis, quas supra consderavimus, re-LiProcas, nempe quarum ordinatarum N H, n . potestates quetlibet respondeant reci
119쪽
proch rectangulis a n I, a NI, quibus manifestum est asymptotos futuras rectas I 4,I N, observabisque exponentem 'potestatuni in ordinatis ad has Hyperboloides prς dietis rectangulis reciprocarum esse fractionem *mi in qua scilicet duplum aggrest
gatum eX ponentium c ordinatarum ad asymptotos hyperbolae datae denominatur per exponentem distantii ordinatae a centro , ut simili calculo repetito constare
posset , nisi jam pigeret antiqua vestigia ite-xum premere , nulla spe id Hyperboloidugenus aliquod saltem quadrandi nunc prε- Iucente , ac laboris asperitatem alleviante.
ΙTaque consultius erit ad seriem infini
tam Curvae longitudinem reVocare , eritque Curva quaelibet cujus .axis :ta x, . ordinata subtangens α ς aequalis inte
120쪽
quae quidem, determinata relatione curvae naturam exprimente , sive ipsius t valore in terminis ab ipso I integrh affectis ntegrari poterit. Exemplo sit Logarithmica, cujus subtangens eade semper constans linea' vit, quae pro unitate usurpata dabit integrai tam seriem ata x &c. α longi-
tudini Curvς ipsis x & I correspondentis . Quod si infinitarum parabolarum para meter sit zet 1 , aut B quadrati spatio asym- plotico in quavis ex infinitis hyperbolis inscripti similiter mi, qquatione curVs natura: ςXprimente di m x ubi per m quemlibet numerum significo , positivum, aut negati-Vum , integrum , fractumue, ut libuerit subtangens erit perpetuo , itaque Parabolicae , aut Hyperbolicae cujuslibet ' Curvae longitudo, sive integrale primet se