장음표시 사용
41쪽
nores ex illa subtractione retidui unt x esto nimirum .A - 3a tax, B-3b 2 3. Ergo erit x.' 'TI . BT a. b. Est autem x M a,' Mb, dc utrumque residuum x, γest numerus integer. Itaque duo a, b contra positionem non sunt in sua ratione mitinimi . Nihil ergo ex illa subtractione superesse potest, statque propterea, minimos numeros metiri ceteros omnes, qui eadem cum illis ratione donantur.
Iam vides, CARDINALIS AMPLIs-SIME, hujusmodi demonstrationem nulli
principio inniti, quod vel ex terminis evidentisime cuique non pateat, vel ex aliis per se notis manifeste non deducatur λ neque suspicari quempiam posse, ex una tantum parte aliquid in illa subtractione relinqui; aut posse fieri, ut ex una parte adnumerum integrum, ad unitatem ex altera deveniatur. Utrumque enim a vero plane abhorret . Primum quidem; quia admitti nequit η - mata x, B,--mb TIFquin ratio numeri A ad numerum a diversa ab ea sit, quam habet numerus B ad
42쪽
numerum b. Ratio quippe numeri adnumerum a non est multiplex, cujusmodi est ratio numeri B ad numerum b. Non potest autem esse . a B . b , qui nitidem sit M. B a. b contra hypothesim . posuimus enim B a. b. Ergo contingere nequit, ut in illa subtractione minimorum numerorum a , b ex majoribus sibi proportionalibus B ex una tantum parte aliquid relinquatur. Alterum quoque Veritati consentaneum non est ι quia, cum residua at, F, si quae sint, eandem inter se rationem habeant, quam duo minimi numeri a, b, si residuum xponatur numerus integer, unitas vero re
siduum γ , quemadmodum residuum nerit in ratione multiplici ad residuum 3 ,
ita in eadem ratione erit minimus num rus a ad minimum b ; atque adeo duo a, b non erunt in sita ratione minimi. In hoc enim proportionis genere alter minimorum terminorum necessario est unitas,ut ex
Pamus Lib. VII. Collect. Mathematic, prop. Puclides
ex Campano lib. V. Prop. 27. Dis tiroc by Corale
43쪽
iis, quae superiori jam loco dicta sitnt,sa
tis aperte constat. Minimi ergo numeri, ut perspicuum est, eos Omnes aeque metiuntur, qui minimis ipsis in eadem ratione respondent. Et hinc est, numeros, qui in sua ratione non sunt minimi, ex minimis ejusdem proportionis esse compositos, sique ad minimos ipsos reserantur , multiplicem ad eos rationem habere. Id enim ex eo aperte sequitur, quod num ri in sua ratione minimi sint partes aliquotae similes eorum omnium, qui eadem cum ipsis minimis ratione donantur.
Illud demum, PRINCEPS EMINEM-TISSIME, adjiciendum censeo , Euclidis Propositionem, quam hactenus, Te jubente , discussi, ceterasque omnes, qua circa minimos numeros versantur, locum in fractis non habere . cujus quidem ratio est; quia in hoc numerorum genere duo inveniri nequeunt, qui in sua ratione sint minimi. Cum enim fractio eo minor eVa, dat, quo, manente eodem numeratore, in plures, adeoque exiliores minutias unia
44쪽
tas ipsa dividitur, seu, quod perinde est,
quo magis fractionis denominator auge tur, quemadmodum potest denominator duarum fractionum ejusdem nominis in infinitum crescere, quin earum numeratores ullam vicissitudinem in quantitate subeant; ita possunt duae fractiones minui in infinitum , quin earum ratio mutetur, si nimirum , iisdem numeratoribus manentibus, penes quos fractorum numerorum ratio unice spectatur, communis ipsorum denominator continuo major fiat.
Nulli ergo sunt, nec esse possunt numeri fracti in sua ratione minimi ; ac proinde quae de minimis traduntur, fractis nullatenus competere possunt. Hinc est etiam, nullos esse fractos numeros, qui primi v cari possint, sicuti ex adverto , si stemus in integris , extant , quibus primorum nomen jure debetur. Sunt enim primi ,
quos unitas tantum metitur , quatenus nempe, cum unitas omnium integrorum
numerorum principium sit atque Origo , merito censendi sunt primi, qui ex illa im-
45쪽
nle.itate derivant. At vero cum nulla stfractio, quae ceterarum principium dici possit , nulli sunt ex fractis, qui veluti omnium nimi haberi queant. Itaque ut omnia paucis complectar , censeo etsi meum judicium quantae infirmitatis sit, ipsemet dissimulare nequeam )Propositionem ΣΙ. lib. Vu, si minimus uterque terminus ex pluribus unitatibus conia 1tare dicatur , quandoque fallere , ejusque demonstrationem mancam prorsus esse,& imperfectam. Plerumque fallit Propo- positio, quod minimi quamplures nume ri tunc non omnes metiantur , qui sibi in sua ratione respondent . Demonstratio manca est, & impersecta , utpote principio innixa ostendendo ab Euclide , non supponendo ; cum ei sussciens ex terminis evidentia desit. Si vero alter minimorum terminorum in genere proportionis multiplicis ponatur unitas , equidem fateor, Propositionem ipsam nunquam fati lere ; at contendo, aliquid , praeter generale principium gratis assumtum, in ejus
46쪽
demonstratione occurrere, si generaliter sumatur , quod plane repugnans est, unitati scilicet detrahendam esse partem aliquO- tam , quae sit numerus integer , ut unitas ipsa numerum sibi homingum meriri euinc tur 3 ut omittam Propositionem ipsam in hoc proportionis genere ab absurdo ostem di, quamvis directe facili negotio demonstrari possit. Praeterea admissa Euclidaea n meri notione, arbitror, aut claudicare definitionem partis numeri aliquotae, aut non parum vitiosam esse definitionem partis aliquantae. Claudicat definitio partis aliquiae I Cum non semper partes aliquotae, quae in aliquanta continentur, sint numen , cujusmodi esse partem numeri aliquotam, Euclides in illiuς desinitione declarat. Vitiosa vero est definitio partis alia quantae , quatenus ejusmodi pars non semper partes aliquotas, quae siti numeri, ut vult Euclides, comprehendit. Ita quidem ego sentio ; at aliorum erit de hac ipsa qua stione sententiam ferre , ac praesertim Sampientissimi illius Viri, quem de eadem tri-
47쪽
ginta quatuor ab hine annis, CARDINA Lls AMPLISSIME , consuluisti, qui nimi
rum apud celebriores Mathematicos nostrae aetatis talem occupat locum , ut pro suo doistrinx geriere plurimum Mathematica distiplina illi debere fateatur. Quoniam vero ita me Tua coepit humanitas, &mira comitas, ut quadam veluti necessitate ductus, nequeam quin meas res omnes Tibi committam, Te certiorem facto, Elementa mea Mathematica XVIII. libris comprehensa , jam pene ad umbilicum esse perducta, lucem quoque nactura,
si ea , PRINCEPS EMINENTISSIME ,
probaveris . Sed ne Tua morer negotia, sinis Epistolae faciendus est , modum fortasse excedenti Vale. ,