Epistola P. F. Fortunati a Brixia Ordin. min. ref. prov. Brixiensis ... in qua nonnullae in prop. 21. lib. 7. elementorum Euclidis animadversiones expenduntur

발행: 1737년

분량: 47페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

21쪽

ax fuerit habita, an vero a minimorum seis rie, utpote quae apud Euclidem non est numerus, sed tantum principium numeri, sit rejicienda . Illud quoque principium ostendendum videtur, cui Euclidata de monstratio prestertim innititur , videlicet

paritibus aliquantis similibus duorum numero. rum inlevorum subtrahi posse partes aliquo-tas similes eorundem , quae sent numeri integri . Hujus enim veritas neque ex sola terminorum notione menti immediate occurrir,

neque ex aliis principiis per se notis, ut recta exigit methodus, ab Euclide demonstratui- Non levem postremo menti ingerit scrupulum Euclidaea partis aliquantae definitio, eam scilicet partes esse, non Vero partem ejus, cujus dicitur pars ; si nomine partis non unitas, sed numerus, ut ipsam Euclides definit, intelligatur. Quinarius namque numerus pars est aliquanta septenarii, & tamen quinarius non continet partes aliquotas septenarii, cpaae integri sint numeri. Neque juvat reponere, nomine . partium aliquotarum, quae in parte nume, iri

22쪽

x3 is si ri aliquanta contineri ab Euclide dicuntur, unitates quandoque intelligi. Etenim si

unitas est pars numeri aliquota: ergo non omnis pars numeri aliquota , secus ac ipse dicat Euclides, numerus est. Si vero non omnis pars numeri aliquota est numerus et ergo hujusmodi pars generatim sumta minus recte numerus ab Euclide vocatur . Adde , etiam in parte numeri aliquota, si ipsa quoque necessario sit numerus, plures unitates comprehendi; proinde eodem jure ipsam similiter partium nomine ab Euclide designari debuisse. Ut igitur ingenue fatear , PRINCEPS EMINENTISSIME , hac de re quid sentiam , dico , nullam in suis Arithmeticae libris de fractis numeris mentionem ab Euclide fuisse factam, sed illum pro certo& evidenti habuisse, omnem numeri partem esse numerum integrum, ex eo quod unitatem , atque adeo etiam numerum summus ille Geometra in abstracto dumtaxat expenderit. Cum enim dicatur,

tum quod omnino indivisibile est, tum

23쪽

quod divisibilitate pollet, unitas surrita in

abstracto, quemadmodum specificam naturam subjecti, quod dicitur unum, non involvit, eodem jure partes non includit, propterea ne mente quidem in minutias , quae fracto numero exprimuntur , dividi

potest. Hac igitur de causa altum est apud Euclidem de fractis numeris silentium: il

ludque principium, veluti ex terminis n tum , Vir summus in sua demonstratione assumpsit, partibus videlicet aliquantis Amitibus duorum numerorum integrorum subtrahi posse partes aliquot as smiles eorundem, quae itidem sent numeri integri . Enimvero si numerus in abstracto spectatus nullam fractionem admittit , alterutrum necessario dicendum est, aut scilicet in partibus aliquantis similibus duorum numerorum partes aliquotas similes ipserum non includi; quod veritati, ut infra ostendam, consonum non est: vel partes illas aliquotas partibus aliquantis sitbtractasAEL se numeros integros, ut Euclides stipponit. At quoniam contra haec reponere quis

24쪽

posset, magnitudinum dumtaxat in infi- f bnitum divisibilium proprium esse, ut pa tibus earundem aliquantis similibus demiqueant partes aliquotae similes, quae ejusdem sint indolis cum suo toto ; ac proinde numericis magnitudinibus in abstracto spectatis id nullatenus convenire , ut earum divisibilitati certi praescripti sint fines, impositi mihi muneris ratio postulat,

ut rem altius repetam, praesertim cum , etiamsi numerus in abstracto consideretur, non omnia, quae Euclideae demonstrationi superiori loco objecta sunt, diluantur. Arbitror iraque, ad mentem non esse Euclidis, ut unitas a serie minimorum te minorum excludatur. Neque enim eo adduci positim, ut credam , tantum Virum latuisse, non modo Propositionem ipsam plerumque fallere, si uterque terminus minimus in genere proportionis multiplicis ponatur multitudo ex unitatibus compbsita; verum etiam aut ejus demonstrationem palmari vitio laborare, aut quam tradidit , partis aliquantae definitionem plane

25쪽

corruere. Adeo enim evidens est, ea in

hypothesi minimis numeris subtrahi posse partes aliquotas similes majorum numerorum , quin ipsimet numeri in ratione multiplici desinant esse minimi, quemadmodum etiam partem aliquotam numeri, eae qua simul cum alia, vel aliis, pars ejusdem numeri aliquanta consurgit, quandoque unitatem esse, ut neutrum a nemine in dubium vocari queat. Non nego tamen, definitionem partis numeri aliquo tae ab eo traditam, minus rectam alicui idcirco videri posse , quod unitati illa minime conveniat. Verum puto , huju-kemodi difficultati fieri satis, si dicatur,

Euclidem eo in loco definitionem non cujusvis partis numeri aliquotae, sed ejus tantum , quae numerus itidem ess , tradidi se . Si unitas tamen pro altero minimorum terminorum in genere proportionis multi plieis habeatur, aliquid facessit negotii definitio ipsa numeri. Videtur enim vel numerus non esse. multitudo ex unitatibus composita, ut ipsum explicat Eucli-

26쪽

clides , vel unitas a serie minimorum numerorum , juxta Euclidem , esse rejicienda . Dico ergo , unitatem quidem non esse numerum; at numerum dici pos-s e, dum alteri numero comparatur; neque id esse ab Euclidis mente alien m . Is enim dum numerum vocat multitudinem ex unitatibus compositam , sumit numerum se, sive abfolate , & in hoc sensu unitas apud ipsum non est numerus. At dum agit de minimis numeriS, eos

omnes terminos numero rum nomine designat, quorum unus rationem aliquam ad

alterum habere potest , cujusmodi certe est etiam unitas. Nemo quippe ignorat , usum esse in Mathesi vetustissimum, a priscis etiam Mathematicis usurpatum , ut species proportionis multiplicis determinentur per rationem numeri rationalis integri ad unitatem,& vicissim species proportionis submultiplicis per rationem unitatis ad numerum rationalem itidem integrum : quod proculdubio haud recte se istum ab illis nillit, S: nunc etiam fieret, si

unitas

27쪽

unitas pro altero proportionis tetmino , atque adeo pro miniΠΡ numero, cum de his agitur, haberi nequiret. Hinc Cl. Vol

fus numerum Vocat, quidquid refertum ad unitatem, ut recta linea ad aliam rectam )qua admissa notione numeri , non tam tum multitudo unitatum, Verum etiam

unitas ipsa, ejusque fractiones numeri nomen jure ac merito sibi vindicant, quatenus nempe tam multitudo unitatum,quam ipsa unitas, ac quaevis fractio ad unitatem, quemadmodum una recta linea ad aliam rectam reserri, eique comparari possit. Verum etsi detur , etiam apud Euclidem alterum minimorum numerorum in genere proportionis multiplicis esse unitatem , ne summus ille Geometra hac in re tam alte deceptus fuisse dicatur, videlicet dum laudatam Propositionem, veluti unia versaliter veram, demonstrandam suscepit, quae universaliter vera non est, ejus tamen ratiocinium non videtur ab omni labe

'in Arith. Io. Tom. I. Elem. Mathem. Edit. Gene

28쪽

nimis quibuscumque numeris, in Omni scilicet proportionis genere ostendendum esse, eos habere non posse rationem partium aliquantarum similium, vel ab hac lege numeros excipiendos esse credidit , qui sunt minimi in genere proportionis multia plieis. Si hoc alterum placeat: certe in eo peccavit, quod casum non distinxerit; neque demonstraverit, minimos numeros in hoc proportionis genere esse partes aliquotas similes numerorum sibi proportionalium , sed pro evidenti, atque ex terminis noto id habuerit, quod tamen hujusmodi non est, ut infra patebit. Sin autem primum: quamvis in aliis proportionum generibus ipsius demonstratio locum habeat, ostenso principio, cui illa innititur, loquendo tamen de minimis in proportio ne multiplici, Euclides haud dubie culpabilis est. Cum enim natura apogogicae demonstrationis in eo consistat, ut posto contrario ejus, quod probandum nobis est, tamquam vero , aliquid colligatur datae posi-

29쪽

postioni omnino repugnans, ut inde ipsa positio falsa appareat , ac proinde Verum, quod hujusmodi erat ostendendum, necesse est in hoc demonstrationi genere , ut quod datae positioni opponitur , probari non possit, neque ipsa positio exterminis falsa appareat. Constat autem , ex sola terminorum notione , unitatem

nec esse, neque concipi posse sub ratione partis aliquantae integri numeri sibi ibo mologi. Constabit quoque, Propositionem ipsam in hoc proportionis genere directe ostendi posse . Ergo perperam, miniminumeri in genere proportionis multiplicis ceteros omnes sibi proportionales ex aequo metiri absurdo demonstrantur. Si quis vero dicat, id ex eo dumtaxat ab Euclide factum fuisse, ut generalem propositi

theorematis demonstrationem traderet , hujusmodi scilicet, quae omnes omnino casus complecteretur: contra est ; quia cum ex unitate quam Vis ponatur pars

numeri aliquanta, subtrahi nequeat pars, quae sit numerus integer, Euclidaea demonstratio

30쪽

stratio nullatenus casum continet, in quo alter minimorum terminorum sit unitas ;sed eos tantummodo , in quibus uterque minimus terminus plures unitates comple elatur, quatenus nempe hujuscemodi minimis numeris, si ponantur partes aliquantae similes numerorum sibi proportionalium , subduci possunt partes eorundem numerorum aliquotae similes , quae sint numeri integri, ut infra ostendam, & in ipsa demonstratione veluti principium certum , & cuique notum assumitur.

Duo itaque casus mihi distinguendi videntur, alter scilicet, in quo unitas rationem habeat minimi termini; alter vero, in quo minimus uterque terminus plures unitates contineat. In primo casu vel dandum non est Adversario , minimos numeros concipi posse sub ratione partium aliquantarum similium numerorum sibi proportionalium, ex eo nimirum, quod idea partis aliquantae unitati aperte repugnet; vel aliunde, quam ex partibus aliquotis similibus, quae minimis ipsis terminis

SEARCH

MENU NAVIGATION