Epistola P. F. Fortunati a Brixia Ordin. min. ref. prov. Brixiensis ... in qua nonnullae in prop. 21. lib. 7. elementorum Euclidis animadversiones expenduntur

31쪽

minis subtrahantur, demonstrari debet

minimos numeros rationem partium aliquantarum similium habere non posse, quod scilicet utraque illa pars minimis ip sis sublata concipi nequeat veluti numerus inteo er. In altero Vero casu admitti quia ded potest hypothesis partium aliquanta

tum similium, nempe minimos numeros esse partes aliquantas similes numerorum, qui eadem cum illis ratione donantur; verum tunc oportet ostendere principium , quod ad hanc adversarii positionem evertendam in ipsa demonstratione assumitur, minimos scilicet numeros habere non posse rationem partium aliquantarum smilium , quin detrahi illis queant partes aliquotae fimiles numerorum sibi propσrtionesium , quae sent numeri int i cCum itaque primus calus sit tantum de minimis numeris in ratione multiplici,

hoc , vel alio haud dissimili ratiocinio ostendi potest propositio. Sint duo munimi numeri a, b, de duo sibi proportionales B. Esto autem b T i . Quoniam igitur

32쪽

igitur ex hypothesi habetur a. b T M. B, erit etiam a. A b. B . Submultiplex autem est ratio termini b ad terminum B; cum b sit unitas,& B numerus integer. Ergo submultiplex quoque erit ratio ter mini a ad terminum A; atque adeo duo terminia, b erunt partes aliquotae similes duorum 4A, B, seu, quod perinde est, duo minimi a, b binos sibi proportionales B ex aequo metientur. Quod vero attinet ad alterum casum :ut pateat veritas principii ab Euclide in

.sua demonstratione assumti, ostendatri generaliter, proprium esse duorum integrorum numerorum, qui sint partes aliorum aliquantae similes , ut integros alios numeτos , qui sentpartes aliquot ae similes eorundem, complectantur. Hoc enim posito principio, nemo amplius inficiari poterit, minimos numerOS munus obire non posse partium aliquantarum stannum, quin duo intwri numeri illis detrahi queant , qui sent partes aliquotae similes eorum, quorum ipse minimi ponuntur partes aliquantor .c Itaquς

'ὶ Lib. V. Prop. I Q

33쪽

Itaque duo numeri p, ρ sint partes aliquantae similes duorum numerorum P, Q. Certum in primis est , si numeri partialesp, ρ ex aequo subducantur, quoties potest, totalibus P, Q , aliquod utrobique futurum esse residuum, minus ipsis p , g . In hoc enim posita est natura partis aliquantae , ut scilicet aliquoties sumta suum totum plane non expleat. Certum est etiam, hujuscemodi residua totalibus ipsis numeris P, Q esse proportionalia, nimirum poni non posse P. 12 p.q , quin itidem habeatur P- ρ π P. Q ), nec non

P mp. Q mq P. 2,siimia magnitudine m pro numero coessiciente, seu exprimente , quoties minores numeri p, qin majoribus sibi proportionalibus P, Q

adaequale contineantur . Quandoquidem est m p .mρ π p. qO; adeoque etiam

mp. mq ta P. Q ; cum jam sit ex hypothesi p. et zT P. Q. Nemo quoque infici bitur, in ablatione residui a parte aliquan

ta Lib. V. Prop. I9. Ibidem Prop. I .

34쪽

ta , & hujus residui, si quod superest , a

residuo priori, atque ita deinceps, fieri non posse progressum in infinitum, si de integris rationalibus numeris loquamur. Cum enim numerus quicumque rationalis int ger a finita unitatum multitudine non dis. ferat , & residuum , quod in alterna illa

detractione relinquitur, continuo minuatur , necesse est , ut per iteratam subtra chionem numerus totalis exhauriatur tandem . & evanescat. Pro comperto demu mhabeo, in alternis hisce detractionibus comtingere nullatenus Imsse, ut vel ad frae ionem , vel ad unitatem in utroque termino deveniatur. Non ad fractionem; quia, cum numeri omnes ponantur integri, residua quoque semper erunt integri numeri. secus numerus integer ex integro fractoque simul unitis consurgeret; quo cer

te nihil absurdius. Neque ad unitatem ;enimvero cum residua sint directe inter se, ut totales ipsi numeri, quemadmodum ipsi totales numeri sunt inaequales, residua quoque semper debent esse inaequalia, c C a jus

35쪽

jusmodi non sunt unitates. Hisce positis, esto

Cum igitur ex faeta hypothesi habeatur

erit quoque P Ap. Q - 4q zzP. Qtap.q. Sed posuimus P pzz m,&Q- Αρπα Ergo erit etiam m. n za P. Q Ta p. q . Eodem modo demonstratu dissicile non erit, esse p- 3m.q -- In a P. Q a p. q , sivex .F zzP. Q π p. q. Igitur integri numerix, F sunt partes similes tam numerorum totalium P, Q, quam numerorum,qui sunt partes eorundem aliquantae similes, p, Porro cum sit P- p a m, seuΡ zz pnec non pin'Imta x, sive p ta 3m sex, erit P 4x-m; cumque siem T. 2x, eri P T 24x-- π-2xta 3 Ox. Simili ratione demonstrabitur, esse quo-

36쪽

obrem numeri x,' sunt partes non modo similes, verum etiam aliquotae numerorum P, Q , atque adeo etiam numeri 6x, 63 erunt partes itidem aliquotae similes eorundem P, Q , ex eo nimirum quod sit 3X6xta 3oxta P, dc 3oyta Q.

Numerus autem fix est pars numeri tap, sicuti etiam numerus 6x es: pars num

meri ' ; cum jam sit per hypothesim

p π - xta 7 x, de qta 3 n -F-7F. Ergo numeris , sive partibus aliquantis similibus numerorum P, Q subtrahi queunt partes aliquotae similes ipsorum P,Q, nimirum partes quae sunt integri numeri ; statque propterea , proprium esse partium aliquantarum similium duorum

integrorum numerorum, ut partes aliquo-tas similes eorundem , quae integri quoque sint numeri , complectantur. Hinc nemo potesst jure contendere , minimos numeros a , b esse partes aliquantas similes duorum numerorum B , quin fateri cogatur, partes aliquotas similes eo-

37쪽

rundem. A, B, quae sint numeri integri, in ipsis minimis a, b contineri , atque adeo quin utramque partem m, n pro integro numero habeat. Quandoquidem si minimi numeri habere possunt rationem partium aliquantarum similium, illis quoque tribuendum est , quod partibus aliquantissimilibus necessario convenit; vel si minimis numeris id competere nequit, quod in notione partium aliquantarum similium necessario involvitur, consectarium est, ut non partes aliquantae, sed aliquota similes eorum omnium numerorum , qui eadem ratione pollent , minimi ipsi dicantur . Hinc pro Euclide instaurari sic potest argumentum e minimis numeris lubduci nequeunt duo alii integri numeri , qui sint partes aliquotae similes eorum omnium numerorum , qui sunt ipsis minimis proportionales : ergo numeri minimi non simi partes cillorum aliquantae. Constat autem, aliud non extare partium genus, quod alia quotas inter , & aliquantas medium locum sibi vindicet. Igitur minimi numeri sunt

38쪽

sunt partes aliquotae similes eorum omnium numerorum, qui sibi in sua ratione respondent ; hosque omnes propterea minimi ipsi metiuntur. Reliquum est, ut rationem reddam, cur pars aliquota non partes Vocetur, ut alti quanta , etsi ea quoque plures ejusdem numeri partes aliquotas, nempe unitates , plerumque contineat. Observandum itaque est , partem numeri aliquotam, licet ex pluribus unitatibus sit composita, si adnumerum, cujus est pars, reseratur, unitatis instar spectari posse . Illius enim ratio ad ipsum numerum nullatenus ab ea di

fert , quam habet unitas ad numerum, in quo toties unitas ipsa contineatur, quoties pars illa aliquota in suo totali numero comprehenditur. Sane quemadmodum 3.rer continet unitatem , estque ad illam in ratione tripla , sic I 2. complectitur A., eandemque rationem , triplam scilicet, ad

illum habet, ut proinde sit A - 22 3 .

39쪽

ris comparetur , nihil profecto prohibet,

quominus veluti unitas talis indolis, ha beatur , quae ter sumta duodenarium ipsum constituat, non secus ac simplex unitas totidem sumta ternarium efficit . At vero oppositum accidit, si de parte numeri aliquanta loquamur. Cum enim pars a Iiquanta,aliquoties sumta, suum totum adaequale non expleat, unitatis instar considerari nequit , sed necessario spectanda est, veluti plures sui totius aliquotas partes complectens , nempe sub ea ratione , ut plures saltem unitates in ea distinguendae sint, & sub ratione plurium partium considerandae. Merito igitur optimoque jure partem numeri aliquotam , licet plerumque ex aliis pluribus itidem aliquotis sit composita, non partes, sed partem Euclides dixit; contra vero partem numeri aliquantam non partis , sed partium nomine designandam fuisse censuit. Ceterum quoniam praecipua ipsa Propositio non omnino in Arit metica negligenda est, quaeque hactenus dixi, ut Eu cli

40쪽

clideae ejusdem demonstrationi vim suam tribuerem, nimis molesta alicui videri possunt, liceat mihi, PRINCEPS EMINENTISSIME, aliter quam ab Euclide factum

est, propositionem ipsam ostendere. Sint ergo duo numeri ab in sua ratione minimi, quibus duo alii .A, B in eadem ratione relpondeant. Igitur cum ex hypothesi sit M. B a . b , erit similiterma .mb 'ta a. b zz A. B ); ac proinde

de sic deinceps ). Minimis ergo a, b abi tis ex aequo a majoribus sibi proportionalibus A, B, quoties potest, vel aliquid utrobique tandem relinquitur, minus dubio procul ipsis a, b , vel nihil omnino superest. Si hoc alterum: igitur minimici bmetiuntur majores sibi proportionales .A, B; cum sint hoc ipso partes eorum aliquotae similes. Sin primum: numeri mi