Epistola P. F. Fortunati a Brixia Ordin. min. ref. prov. Brixiensis ... in qua nonnullae in prop. 21. lib. 7. elementorum Euclidis animadversiones expenduntur

11쪽

sua ratione ex quo foret O. P : : C. D , conten 'dis enim , suspicari quempiam posse, an non οἰ- reruter numerorum , puta P, si numerus fractus fractione proprie dicta , ides minor unitate ; cum evidens st, numerum franium habere posse ad integrum illam rationem , qua inter

duos integros reperitur. Verum non video, exceptioni hujusmodi locum

esse: Quia enim apud Euclidem lib. VII. definit. 2. numerus est ex unitatibus composita multitudo, omnis apud Euclidem numerus es integer , rursus cum definit. 3. ejusdem libri si pars numerus numeri, minor majoris, cum minor metitur majorem;/definit. 4. partes, cum non metitur, Omnem partem numeri, aut plures ejus partes esse numerum proprie dictum, videlicet intwrum. Cum igitur evidenter inferatur ab Euclide in praemissa demonstratione, A, ct B esse ipsorum C, DTel eandem partem, vel easdem partes, proferito quaelibet talium partium , sue O , Me P erit numerus integer , neque suspicari quis poterit, esse posse franctionem proprie dictam . Pars enim cujusvis numeri juxta terminos ab Getide de nitu

12쪽

finitos nunquam minor es unitate. Haec sunt, quae, ut de siderio tuo facerem satis, in hanc rem animadvertere placuit: super est ut, quo vemitatis amore praemissae demonstra tionis examini manum admovisti, eodem Aui- 'dem nostra responsio dubitationi amoliendae parsideatur ab ipsius impugnatione jam retrahas, ct Geometrarum Principi suam laudem relinquos , qua per tot secula apud omnes Math maticos scriptores constantissime fruitur ; quod scilicet absque omni penitus erroris , aut para-logismi nota, elementa sua conscripserit , in qu hus eis majorem nonnulli claritarem , brevitatemve aliquando demeraverint, vitium tamen nullum, quod veritati , aut foliditati ejus d monstrationum inceret , hactenus es deprehem sum . Vale. Ex Monasterio Angelorum VIR Kal. Octobris I FO A.

Est itaque Euclidis propositio: numeri omnium si proportionalium minimi numeroS quo sicunque si proportionales aeque metiuntur , Ui

delicet si fuerint duo numeri a , b in sua

13쪽

ratione minimi, tales nimirum , ut in eadem ratione duo alii illis minores dari nequeant, contendit Euclides , fore, ut duo a , ceteros Omnes , puta A , B , eandem cum illis rationem habentes, ex aequo metiantur. Duo autem numeri a , b dicuntur totidem alios .A, B sibi proportionales ex aequo metiri, cum duob aeque toties sum ti binos alios adeo explent , ut nihil omnino vel supersit , vel desit . Sic porro ab Euclide haec ipsa ostenditur prodisitio. Cum enim ex hypothesi habeatur a . b M . B , erita. M tab. B R); cumque jam sit ab Β , numeri minimi a, b erunt partes, & quidem similes, majorum numerorum B. Vel igitur minimi numeri a.b sunt partes aliquotae similes dum

rum .A, B, Vel sunt eorundem partes aliquantae. Si primum : dubium non est , quin minimi a, b metiantur ex aequo majores sibi proportionales .A, B . Quippe in eo posita est natura partium aliquota

rum ') Lib. v. prop. IG

14쪽

rum similium, ut aeque totics in suis it talibus magnitudinibus contineantur, seu toties ex aequo sumtae illas persecte adae quent , & plane expleant. Sin alterum Himantur ex ipsis minimis numeris a , bduo integri numeri m , n, numerus scilicet m ex minimo a numerus n ex minimo b ; sintque numeri m , n , minimisa, b subducti, partes aliquotae similes majorum numerorum Igitur quoniam ob hypothesim esst m. n ta '), nec nono. b erit quoque m. n b .

Constat autem, esse m-aς b ; cum numeri m , n positi fuerint partes duorumo, b. Ergo contra hypothesim duo numeri a , b non sunt in sua ratione minimi . Extant enim hoc ipso duo alii m , qui minores sunt duobus ipsis a , b , simulque eandem cum illis rationem habent. Itaque fieri non potest, ut duo a , b sint in sua ratione minimi , & simul, si ad majores sibi proportionales .A, B reserantur, partium aliquantarum similium

' Lib. V. Prop. Iso

15쪽

munus obeant . Duo ergo numeri a , bvel non sunt minimi, vel si sunt minimi, non sunt partes aliquantae similes duorum .A, B. 'Positi sunt autem in sua ratione minimi. Igitur partes itidem sunt non aliquantae , sed aliquotae similes duorum sibi proportionalium B ; eosque proinde, sicuti etiam eodem jure ceteros omnes , qui sibi in sua ratione respondent, aeque

metiuntur.

Quamvis ergo Euclidaeum ejusmodi ratiocinium visum fuerit Mathematicis omnibus recte concludere, laudatamque prΟ- positionem ad evidentiam ostendere, Tibi tamen uni, PRINCEPS SAPIENTI SIM E siissiciens haudquaquam videbatur.

Contendebas enim, sumicari posse nonneminem ,partes aliquotas similes m , n majorum numerorum A, B minimis detractas terminis a, b, integros numeros non esse, quemadmodum Euclides in sua demonstratione pro certo habet, sed earum alteram numerum esse fractum . Certe cum ea sit minimorum numerorum indoleis

16쪽

doles, ut totidem alii integri numeri, qui in eadem ratione illis minores sint, inveniri nequeant, evidens in eo est repugnantia, ut numeri minimi partes similes, quae integri quoque numeri sint, complectantur. Contra vero manifeste constat, minimis quibuscumque numeris, per regulam, quam auream dicunt, partes similes subduci posse, quorum altera integer numerus sit, altera scaetus. Si autem altera harum partium similium, puta n, pro fracto numero habeatur, neminem latet, laudatam Euelidis demonstrationem palmari vitio laborare . Quandoquidem ex eo quod sat m. n 'ta a. b, haud rechc profecto

deducitur,numeros a, b contra positionem non esse in sua ratione minimosicum non quicumque numeri mi imis minores,ipsisque proportionales, sed ii tantum, qui integri simul sent, minimis ipsis ossiciant.. Tua porro haec , CARDINALIS SAPIENTISSIME, animadversio ansam mi hi praebuit, ut Euclidis ratiocinium , loquendo de minimis numeris in genere

17쪽

proportionis multiplicis, attentius , quam antea unquam fecissem , expenderem, atque ad rigidiorem trutinam revocarem . Hinc factum est, ut non parum vitiosum mihi quoque videretur . Vel enim, aje-bam, in hoc proportionis genere unitas habet rationem minimi termini. adeo

nimirum ut minimi numeri in ratione dupla sint 2. I., in ratione tripla 3. I., &c. vel uterque terrisinus debet esse numerus,

prout ab ipsomet Euclide definitur, muiatitudo scilicet ex unitatibus compssita. Si primum : Euclidis ratiocinium, loquendo de minimis in hoc proportionis gene' re , est ridiculum,& nihil concludit. Est ridiculum ; quia, cum ex terminis pateat, unitatem esse partem aliquotam integri numeri, ridicula est dubitatio de opposito ; atque adeo locum non habet disjunctiva propositior numeri minimi aut sunt partes aliquotω , aut aliquantae , cum Veritas priOris membri ex sola unitatis & numeri notione intellectui evidenter reluceat .

18쪽

Nihil vero ratiocinium ipsum con cludit ; quia , cum necessario tunc diceniadum sit, partem aliquotam majoris numeri, minimo termino subductam, non esse integrum numerum, sed fractum , utpote quae nonnisi aliquot unitatis minutias complecti potest , sicuti duo numeri ex eo non desinunt esse in sua ratione minimi, quod hujusmodi similes partes con tineant, ita ex harum similium partium positione, numeros ipsos non amplius cia se minimos, nonnisi pessime demonstratur. Si vero alterum placeat , minimos scilicet numeros etiam in genere propor tionis multiplicis ex pluribus unitatibus necessario consurgere, seu utrumque esse numerum proprie dictum , negare profecto nemo tunc posse videtur , Euclidem in suo ratiocinio falli. Etenim cum numeri minimi in ratione dupla sint hoc ipso a. a. , atque ex his sumi queant partes

similes, scilicet 2. ex termino A. ,& I. extermino 2., quae, ut patet, numeros ma

19쪽

tiuntur, quin duo ipsi 4., 2. desinant esse in sua ratione minimi, non nisi illegitima est illatio, qua, ex positione harum

partium similium, binos numeros A., 2. minimos in sua ratione amplius non esse insertur. Accedit , minimum utrumque terminum in genere proportionis plieis esse non posse multitudinem ex pluribus unitatibus compositam , nempe

numerum , prout ipsum sumit Euclides , quin propositio ipsa plerumque sit falsa . Numeri namque 4. 2., qui hac in hypothesi essent minimi in ratione duplam tiuntur numeros 3., neque binos I o. f., qui in eadem ratione sibi respondent, sicuti nec duo G. 2. minimi in ratione tripla metiuntur binos sibi proportionales '. 3. , neque duo 8. 2. minimi in ratione quadrupla, ut alios quamplures casus omit' tam, sunt mensura duorum I 2. I., qui eadem cum illis ratione donantur. Quam graVe negotium contra Euclidis ratiocinium facessant hujuscemodi animadversiones, nemo non videt . Neque

illis

20쪽

Cl. , omnem partem numeri , aut plures ejus partes apud Euclidem esse numerum proprie dictum, scilicet integrum, ex eo nimirum, quod silmmus ille Geometra numerum definiat : multitudinem ex unitatibus compositam

numeri minorem majoris, cum minur meriturm Grem , contra vero partes appellericum non metitur , seu cum non est

pars numeri aliquota, sed aliquanta . Siquidem licet non inficiar , Euclidem do integris tantummodo numeris eo in loco disserere , explicandum tamen est , cur noluerit, fractionem esse partem numeri, quamvis si pars unitatis, quae simul cum aliis, ut ipse quoque fatetur , integrum

quemcunque numerum constituit . Determinare itidem oportet, num unitas inter minimos numeros habenda sit, atque ad Euclide pro altero minimorum termi norum in genere proportionis multiplicis

'in Lib. VII. des a. Ibidem des. 3. φεφὶ Ibidem de . q.