장음표시 사용
12쪽
DIFFERENTIALIUM SECUNDI GRADUSsIMPLICIUM.Do finitio.
Positis binis variabilibus x et 3 , si voceturo p x et o qdx, aequatio quaecunque, relationem inter quantitates x , I, p et ρ de finiens, vocatur aequatio differentialis secundi gradus inter binas variabiles X et I.
O . Quemadmodum ergo littera p implicat rationem differentialium primi gradus , dum est ita littera q at implicat rationem disse-
13쪽
rentialium siecundi gradus. Sumto enim ut vulgo
fieri solet elemento dae constante, erit ideo
o 8. QIatenus ergo in aequatione proposita littera ρ inest . eatenus ea est di flarentialis secundi gradus. Si enim ρ abesset, ob solam p esset tantum diflarentialis primi gradus; ac si neque p neque q inesset, aequatio foret inter x et I , neque quicquam praeterea quaereretur.
os. Μethodus ergo desideratur, proposita aequatione quacunque praeter hinas variabiles x et setiam quantitates-ρ - εω--- mroluente , inveniendi relationem inter ipsas x et F, Inde pateat,
qualis a sit iunctio ipsius ae seu vicissim
Io. Hoc modo litteram ρ introducendo aequationes differentio - differentiales a conditione illa , qua quodpiam disserentale primi gradus pro constante assumi solet, liberantur. Cum enim ad meras quantitates finitas reuocentur, quae rationem difflarentialium primi gradus exprimunt, consideratio disterentialis constantis ne locum quidem habere potest. Dipit iroo by Coosl
14쪽
potest. Quando ergo aequationes dissirentio - differentiales more solito ita exhibentur , ut quodpiam disserentiale constans sit assumtum, introducendo litteras et g D, species disserentialium penitus tollitur , dum aequatio tantum quantitates fini tas complectitur. Atque etiam vicissim proposita aequatione inter quantitates finitas x , γ , p , g ea ad formam vulgarem infinitis modis reduci potest, prout aliud atque aliud disserentiala' pro constante assumitur , quae tamen omnes Ermae specie diuersiae inter se persecte conueniunt, quin etiam nullo diseferentiali constante assumto euolutio in Drmam s
xx. Primum igitur hreuiter exponi conueniet,
quomodo aequatio more inlito per differentialia secundi gradus expressa ad formam nostram reduci queat, quodcunque disserentiale constans fuerit assumtum. Sit ds hoe disserentiale pro constante sumtum , cuius ergo ratio ad dae, ob q.: p, per p et sorte ipsias variabiles X et a datur; ponatur ergo dσα vG , ut vi fiat quantitas finita. Iam cum in aequatione occurrant ddx et do , vel alterutrum saltem locoddx scribatur dsca - , quia ob ds constans fit uti
Simili modo loco do laribendo 'ds. d. v dsco ἔ
15쪽
hique valores loco ddx et do substituti in aequatione tantum disserentialia primi gradus relinquent , quae omnia ad dae reducta, aequatio per diuisionem prorsus a differentialibus liberabitur. Deinde vicissim huiusmodi aequatio inter x , γ , p er g proposita informam solitam sumto quopiam elemento ds con stante euoluetur, si primo pro p ubique scribatur E, Ioco ρ autem rat-α ε ' - Τῆ εε , ubi quidem
nullius adhuc 'is' ---aritis ratio est habita.
unde pro lubitu vel ddx vel GF elidi potest, neu intro autem elisis infinitae formae aequivaleates exhiberi possunt.
I 2. Hinc ergo praestantia formae finitae, ad quam hic aequationes differenti O - differentiales reu
16쪽
ramus prae more solito eas exhibendi luculenter perspicitur; cum eadem aequatio more solito infinitis modis, prout aliud atque aliud elementum conis stans assumitur , repraesentari possit, dum nostra more eadem aequatio semper ad unicam mrmam reducitur. Quodsi ergo nostro more aequatione1 prodeant diuersiae, certum est iis quoque diuersias relationes , inter variabiles X et I exprimi , cum contra solito more diuersissimae aequationes diaere tio - disserentiales eandem relationem indicare queant, ex quibus plerumque difficile est eam eligere , quae ad resoIutionem maxime sit aceommodata. Cum igitur hic eiusmodi methodu& requiratur , cuius ope proposita quacunque aequatione inter quaternas quantitates x, I, p et g relatio inter binas variabiIes x et a definiri queat , quoniam haec quaestio vires humanas superare videtur , a casibus simplicissimis , erit exordiendum Casus autem simplicissimi sine dubio sunt, quando in aequatione proposita duae tantum insunt quantitates, scilicet vel x et g tantum , veI ν et g Ves p et hoc est si φ aequetur functioni veI ipsius X, et ipsius a vel ipsius p tantum ; quos casus in hoc capite euoIuere constituimus.
II. Formula disserentio - differenPaIis sim
plex est , quando posito pdae et o qdx, quantitas e aequatur functioni vel ipsius x vel ipsiusF, et ipsius p tantum.
17쪽
I . Triplices ergo habemus Brmulas dict-rentio - disserentiales simplices, quarum resolutionem in hoc capite doceri conuenit, prout quantitaS vel per functionem ipsius p , vel ipsius X, ei ipsius y tantum determinatur.
rs. Si ergo X denotet functionem ipsius a iY ipsius y et Ρ ipsius p tantum , terna genera harum Prmularum simplicium sunt x)q X; a q-Yέ3Jq' Ρ in quibus continetur casus simplicissimus ε Const.
. I 6. si has sermuIas more solito exprimere velimus ob ρα. Η- , mrnto elemento dX constante , erit ; sumto elemento 6 consante erit ρ' --; nullo autem sumto consante erit ρ ' quibus simplicitas earum fiormularum haud mediocriter offuscatur.
τr . Si elementum V dx'-Ρo'), quod saepe fit, constans accipiatur, erit dae x--odo οὐ unde postremus Valor ipsius ρ vel ob do---ου, 'abit in q- - aς g- vel ob ddx - οἱ aabit in
18쪽
I 8. Repudiata ergo penitus vulgari ratione aequationes disserenti O - disserentiales exprimendi , quippe qua formulae in se satis simplices vehementer complicatae euadere possent, ratione hic stabilitautamur , indeqne restitutionem huiusmodi fiormularum simplicium doceam uia
I9. Posito dr Iidae ct qdae si ρ aequetur functioni cuicunque ipsius p , inuenire relationem inter ipsas variabiles X et F.
Sit ergo ρ Ρ denotante P iunctionem quamcunque ipsius pr quoniam igitur est ρ at, erito P dx hincque dae v et o et dae uet. Ex quo consequimur integrando: et I b sestita t tam x , quam ' per eandem nouam variabi- Iem p determinetur. Atque cum duae nouae constantes a et b per duplicem integrationem sint introductae hoc integrale pro completo erit habendum.
2o. Aequatio q Ρ, cuius integrationem hic tradidimus , si in sormam consuetam sumto dae, Vol. II. B eo Diuitigod by Cooste
19쪽
Constante resoluatur Ob , transmutabitur in do dxj E; quae est aequatio disserentio - disserentialis, in qua ipsae variabiles x et I non Occur
a I. Talis quoque forma prodit, si elementum o vel alia expressio disserentialis, in quam ipsiae X et a non ingrediuntur, veluti V dx'- - 'in pro constante sumatur. Hoc ergo modo omnis ac- quatio differentio - differentialis in quam ipsae variabiles x et F non ingrediuntur, integrari poterit. .
22. Sin autem huiusmodi elementum Fώ-Mye stans assumatur , ut Fddx-xdo O , Ob
quae expressio, si aequetur functioni ipsius p α integrari poterit
20쪽
a . Cum scilicet aequatio disserentio - disserentialis duplici integratione indigeat , si utraque omni extensione instituatur, duae nouae constantes arbitrariae introducuntur; in quo criterium , num huiusmodi integrale sit completum, consistit. Quem admodum enim aequationum di Erentialium primi gradus integratio completa unam constantem arbitrariam implicat , ita si aequatio dissurentialis fuerit secundi gradus , binae constantes nouae in integrale completum ingredientur , ternae autem ac Plures , si aequatio differentialis fuerit tertii altiorisve gradus. Problemata autem, quorum res Iulio ad huius modi aequationes disserentiales alitorum graduum deinducunt , natura sua ita sunt comparata , ut solutio nis determinatio totidem constantes requirat. Ita inaequatione q*, seu sumto dx constante do dxaequatio integralis completa Ff ή fxx-Cx- Dduas constantes nouas C et D inuoluit, quod etiam in subiunctis exemplis patebit.