Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

31쪽

. . .

ita ut sit ναἰbe' - :ie 'at serma constantium C et b mutata habebitur:

Exemplum 2.

4 6. Posito d x consante s fueru

32쪽

quae denuo integrata dat x m a Ang. sin. -- b. Erit ergo prasin. zπ' cost sin. sin cos. Suel mutatis constantibus , et e ita ut sit c cos.; C et - csin. D erita C sin. --- Dcos Vel retenta prima mrma habemus

ε . Hoc e emplum ex praecedente relatui potuisset , cum site V costi V-1.sin. v et e vV' tacos. V-X.sin u, ac vicissim

integrale complesum inuemre. Cum Diuitigod by Cooste

33쪽

xnde colligimus

Sit commoditatis gratia b et o ' Σ,

ut fiat zzdet et 'o' - ἡ 'cuius integrale est :

ubi c et C sunt Innae conflantes arbitrariae. Eri ergo

a va

posito , et sumtis quadratis

34쪽

Scholion.

9. Forma ergo vulgaris aequationum hoc modo integrandarum sumto elemento dae constante , est do Y dx', quae per o multiplicata ma festo fit integrabilis. Sin autem elementum d ν capiatur

quae etiam per o multiplicatae integrabiles evadunt, etiamsi hoc iam minus pateat. Simili modo si elementum =dX sumatur constans, t sit a xl d 'o et ddx - a , Ob orietur haec forma =d - -o' Ddx'; cuius membrum prius integrabile redditur , si per iunctionem quamcunque ipsarum νθ et Idae multiplicetur , ergo etiam per, quo multiplicatore simul alterum membrum Ddae' redditur tin mune: His igitur casibus simplicissimis aeqnationum differentio - disserentialium expeditis , qui ne ulla quidem difficultate laborant, ad difficiliores progrediamur , ac primo quidem ad eas aequationes , in quibus altera binarum variabi-

35쪽

x stium x et F Ipsa non inest is ita ut aequatio proposita ternas tantum contineat litteras x , p et ρ vel a , p et g , triusque enim ratio sere perinde est

comparata.

36쪽

RENTΙΟ - DIFFERENTIALIBUS IN QUIBUS ALTERA VARIABILIUM IPSA DEEST.

Problema 9s-

quaecunque inter tres quantitates x , p et ρ, inquam altera variabilis 3 non ingrediatur , inuesti- Sare relationem inter ipsas variabiles X et F.

Solutio.

Cum aequatio proposita has tres quantitates x , p et ρ contineat loco q scribatur eius valoratque habebitur aequatio dissi renitalis primi gradus duas tantum quantitates variabiles X et p inuoluens, quam secundum praecepta prioris partis tractari ieiusque integrale inuestigari oportet. Integrali autem inuento , quod si fuerit completum constantem arbitrariam complectetur , inde vel p per X, vel x

per ρ determinari poterit. Priori casu, quo p per x D a desintro

37쪽

definire licet, ut p aequetur functioni cuidam ipsius x, quae sit X , ob p X fiet pdx G Xdae ,

unde reperitur 3 f X dx--Const. quae aequat lo relationem desideratam inter x et y desinit. Posteriori casu quo ae per p datur , et functioni cuicam Pipsius p aequatur , ut sit a zzzP erit 1 fp dx pd Pseu 3 Pdp. Sin autem neque x per p neque p, per x definiri queat, videndum est, num utramque per nouam variabilem v exprimere liceat, Unde fiat x v ct pzzU; tum cnim habebitur a Ud V.

Coroll. I.

set Huiusmodi ergo aequationum dis rens disserentialium resolutio ita instituitur , ut reuocetur ad aequationem disterentialem primi gradus inter binas Variabiles X et Iu-qua si integrari queat , simul illius aequationis integratio ha bitur , accedea, te quadam noua integratione.

Coroll. 2.

sa. si aequatio inter x , p et ρ proposita ita fuerit comparata , ut q unicam dimensionem non excedat, vel si ad talem formam reduci patiatur , orietur aequatio differentialis simplex, differentiati a Vnius tantum dimens Onis inuoluens, ubi praecepta ante tradita in usum sunt vocanda. Coroll. s. Diqitiroo by Corale

38쪽

Coroll. 3.

33. Sin autem quantitas ρ plures obtineat dimensiones vel adeo transcendenter ingrediatur, tentanda sunt ea artificia, quae in fine superioris partis circa resolutionem huiusmodi aequationum sunt tradita.

Scholion.

Quando in aequatione inter x , p et qlittera q unicam habet dimensionem , indeque posito ρ aequatio differentialis simplex nascitur, praecipui casus, quibus integratio succedit, sunt: IJ si aequatio haec differentialis separationem admittat , et ) si alterutra variabilium pet x, disterentialium quoque' ratione habita , unam dimensionem non superet; aca in si ambae variabiles x et p ubique eandem di

mensionum numerum constituant, quo casu aequa

tio homogenea appellatur. Casus minus late patentes , cuiusmodi supra euoluimus, hic non commemoramus. Deinde si quantitas ρ vel pluribus dimensionibus sit implicata , vel adeo transcendenter ingrediatur , casus praecipui resolutionem admittentes , quemadmodum supra docuimus, sunt: 1ὶ Si Proponatur aequatio quaecunque inter x et ρ deficiente p. a in Si aequatio tantum p et ρ contineat , quos binos quidem casus iam capite praecedente tractauimus. a) Si in aequatione proposita bmae variabiles p et x ubique eundem dimensionum nume-D a rum

39쪽

rum constituant. si in aequatione inter x, pet altera binarum litterarum x vel p unicam dimensionem obtineat. s) Si aequatio ita fuerit comparata , ut posito x-ωμ έ p es '' et q-ι' aequatio oriatur homogenea inter υ , et et x , quae scilicci ubique eundem dimensionum numerum constituant. Se .cundum hos ergo casus exempla prostramus

ibi cum variabiles x et p sint a 2 inuicem separatae , integratio dat :

40쪽

unde obtinetur

Tum Vero praeterea elicitur elementum

cuius integrale praebet

36. si x et a sint coordinatae orthogonales cur Vae, erit

eius Tadius curvedinis, unde hinc curua definitur , cuius radius curvedinis aequetur iunctioni cuicunque abscissae x.

Coroll. I.

s . Si ergo radius curvedinis debeat esse reeiproce proportionalis abscissae x, sumatur X eritque

quae conditio praebet curuas a lamina eIastica fior

malas.

coroll. 3.