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De lineis rectificabilibus in superficie sphaeroidica qua.
Auctore L. Eulero, pag. s . Comme sur a sursace u cylindre, te plus simple des
cune ligne rectistable , a 'exception de la droite parallele at axe, o devroit croire qu' plus sorte aison it sero it impossibi de ire sur a sur face mi cone des o urbes Ont ous te arcs pussent tre Xprime algebrique ment. Nean molns M. Euter a moratre, dans un memoire: De curuis recisoabit bus in superscie coni recti ducendis Acta Acad. c. pro Anno 1 81. . . que fur, surface des cones rotis, doni escotes soni a diametre de a base dans u rappori rationet, on eui tirer ne infinite de lignes rectistabies. De meme malgre totas es efforis de Geometres, sensen Xcepter a derniere tentative de . Euler: De curua recit
scabili in supersei sphaerica Nou. Comment T. V. Onn' pii decoituri jusqu ici 'autres lignes rectis abies tirees suri Sphere que a se ille Epicyclorde en gendre par te mou ement 'un gran cercle sur u petit cercle de a Sphere, donile rayon est auoayon de a Sphere dans ian appori rationes. On evroit don croire qu4 seroi encore plus dissicile de trouxer ne ligne rectiliabie sur a sursace 'un Spheroide, vuque les arcs elliptique paroissent ei Oi metire Obstacte a cettere cherche. Cependant 'Auteu de ce memoire a troux e nTheoreme, moyennant eque la solutio du Problem Dur a Sphere devient non-seulement tres- plane ore s- facile; Mais a qui
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de saςon que, si v ut ne onction algebrique, as de I'angle mais de a tangente , es ordonnees serotent exprimees par des onctions algebrique de iis partant Iaco urbe algebriqueis me me rectis able. A 'aide de ce The reme, muni 'une demonstration tres- elegente, ii est alse 'assigner ne infinite de courbes algebrique non- seu lement rectistabies, mais doni a rectification depend 'une quadrature
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s rant, Wa 'aide de ceti restriction .du Theorem mention ne ii parvient a troiive de lignes rectifiables Fon euitire sur a furfac d 'un Spheroideo qui ni a propriete queleur projectiori fait sur e plan de Equateur est a menae, sol que e Spheroide soli applati ou allonge ; de sorte que ceti solutio ne differe en rie de celle ion a donne ouria furfice de a Sphere, Qque, uisque a letire o qui determine 'espece dii Spherolde elliptique, ori u calcul cette solution a ussi leu our es ursaces de Conoides hyperbolique S.
De supersidie coni scaleni, ubi imprimis ingentes dissicultates, quae in hac inuestigatione Occurrunt, perpenduntUr.
Auctore L. Eulero, pag. 69. Le titi e de ce me moire an non ce asse clatrement ceqi On y doit attendre: ne exposition des dim cultes, doni cesi et, trai te ave peti de succes par lusieur Geometres, est enVeloppe, pluto qu'une solution completi satis Disante de e robleme. En nominant a quieu du cone a sonobliquit , ii bien a distanc du centre a a perpendiculairetire dii sonam et si te pia prolonge de lata se b, eoayonde a bas sur face 'une portion infiniment- petite de a surface dii cone compris enire u ar de la a se ei p te deii cotes dii cone ra S, ceti sursace est Xprimeeainsi: ST p ὰφ aa-l- c- - co comme on ait parte me moire de eum Euler: De superscie conorum calenorumclliorumque corporum conicorum, qui se troux es dans te premier a volume
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doni a tot de progression est evidente, ais qui 'est 'aucunus age orsque obliquitera cone 'est a treS- petite en comparaiso de la auteti dii cone Wdu ayon de a base. Une grande diruult se presente orsqu)on herche a sursace 'un cone oblique doni a aute ur est tres- petite Carator I serie qui exprime te radica a 4 - cos si I, devient
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Pota faciliter cette operation Auleur cherche a gure qui ait dii de vel oppement de a sursace u cone en sur- face plane, e qui te me ne a ne Ourbe transcendante quonne eui Xprime ni par de togarithmes, ni par de arcs de cercle, mais doni eanmolns . Eule est e etat 'assignerqueique propriete rem arquabies. 'ailleur comme elle petitetre represente par te developpement 'un apter applique ala sui face u cone , elle fournit u nouvel exemple 'uno courbe hyperscendante doni a constructio me canique est treS- facile.
De proprietatibus quibusdam Ellipseos in superficie sphaerica descriptae.
Ce me moire est en uel que sacon ne suit de eluique e meme uteii a donne dans e second Tome de nou veaux Actes de 'Academi laus es, titre Problematum quorun dum
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de res udre ne uire question analogue, saxoi de construire sur ne base donne uia triangle te que a sonam des de uxautres cote sol constante. Mais comme ceti recherche tui avolt 'abor fourni differentes proprietes analogues a desproprietes de Ellipse plane , i a troux plus convenable detraiter e si et pari. Il suppos don ici ii ii si doni a longueur
mi fixe par se deii extremites dans eu potnis de a sur- face spherique distans, 'un de pautre,' 'un ar de grand cercle et a Qqu'en tendant e fit par te moyen 'un stile, on de crive sur a Sphere, par uia mota vement continu du stile, une ligne courbe, to ut comme on de crit Ellipse sur e plan. En renant les abscisses de ceti co urbe fur e gran cercle passint par es potnis oti es extremites du si sint attache es dii miliet de ces eu potnis, si On nomine abscisse Saordon nee , ou parvient par te moyen de uel ques tran8sormationsis reductions asse connues dans e calcul de sinu S, a cette quation:
L applicatio de ceti express on a un a particulier, ou a longue ii di sil est gale a a demi- circo ii feretice de a Sphere, mene a de conclusion qui, at premi e coup 'Oeil, paroissent di ciles a concilier vec a nature dii Probleme; mais Auleur en dissipe les dolites de duit de ceti consideration
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ration ne propriete remarquable , saVOi que sim longueuid si est a molli de a circonferene de a Sphere, uelleque sol la distance des eu potnt ou es extremites sont1ixees , a courbe decrite par te Ouvemen d stile est ou-jour u gran cercle de a Sphere. Au reste, en designant parua letire cie demi-axe conjuge de ceti Ellipse spherique, 'equatio qui en exprime lanature devient tang. Ira sin. in x' .Ρour ieux approson ir a nature de ceti courbe, IJAuteur en examine a projectis in alte su te plan du gran cercle doni te centre de 'Ellipse spherique est e pote .projectionqui est ne veritable Ellipse, son quation tant
oum arque te demi-axe conjugue, C le demi-axe traversant, X 'abscisse pris dii centre 'ordonnee, quation don Ialiation ave celle de 'Ellipse spherique est evidente. VII.
Annotationes ad Theorema XVL Lib. V. Pappi Alexandrini.
Auctore . . Sobaberi, pag. IOO. Les uvrages de Pane 'Alexandrie, qui sint parvenus jus qu a nos ours, contiennent a lupari des matteres, qui ne
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a deja Ouvent donne lieu au Geometres modernes 'appliqueri metho de analytique a des si eis, que ane volt traites
le secon cas, hormis e premier terme Ou Patre 'evanouit de menae, es ire deviennent 'autant plus petitus
I 'Auleur a encore etendi te calculo uelque autrescas. a superficie 'un segmen spherique tant constante, Phemispher est e plus gran de totis es segmens. Si Ponpos constante a base 'un cone perpendiculaire, a superficie de elui-ci croit a Pinfini ave la hautev d cone; mais e cone ui- meme devient ii maximum , si a aute ur est galeau rayon de a base multipli par a et, 'est a dire, si es cotes du cone soni inclines a Ia base ous angi s R. l ..., angle 'ailleur tres-remarquabie dans es athematiques.
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De viribus centripetis, ad curuas non in eodem plano sitas describendas, requisitiS.
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methode ordinatre trois equations our e trois orces acceleratrice requises, o tirer de ce , quations es eu forces centripetes, Fon herche, .la vi tesse du corps dans cha-que Oint de a courbe Cette solution au reste devient eau-
cou plus simpleo plus aisee, en falsant passer 'axe des abscisses par es centres de forces memes, Me prenant te commen cenient des abscisses a des distances gales de ce centres. ΡΟur metire en sui te cette mattere an ii plus grand Our,
i applique dans queique Problemes ceti solution a differens exemples Dan te premier il suppos que e corps se me uvesur a furface 'un cylindre, mu'on renne es eu centres dans 'axe dia cylindre dans e secon il ait ouuoi lecorps dans a sui face 'une sphere, doni es potes assent les
de ii centres de forces, Wici ii developpe encore particulierement e cas , si a courbe de crite sera a Logodromique. Dans es problemes notre Auleur cherche don tollisur tantles orces centripetes, que a vitesse trajectoire u corps. II.
De Motu trium corporum se mutuo attrahentium super eadem linea recta.
Auctore L. Eulero, pag. 126. Comme 'est te cas e plus simple di fame ux Ρroblemedes trois Corps, quan tes Corps sont ous situ es dans lamem ligne roite , Otre illustre Auleur e developpe Iecs in dans e Memoire it pes toti te les difficultes, qui em-Pechent, qu 'on ne te uisse refoud re fait oi parta , combie de progres oti a bes in de fatre encore dans 'Analyse, avant que 'oster entreprendre a solutio de e roble- me, pris dans to ut si generalite.