Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

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deu sol plus grande poli les termes 'integration oci; erit de laquelle, comine 'Auleur Gotite, ilseroi dissicile de doniae uiae demonstration directe. Ces rem arque soni sui vies de quelque auire tres-prΟ-pres a repandre duci ou tant sur et te integratio que sis biendriutres qui tendent outes a demon trer que integrale telle uelle a te troiive e est raye, uelles que Dyent es aleur de , n&ι , sol entieres rompues, O meme imaginatres, es se uis cas exceptes Ou -- est ne quantite O sitive oecile. II.

De summo si Calculi Maginariorum in Analyur.

Auctore L. Eulero, P. et s. Les Geometres de noscio ur connoissent istis imment lagrande utilite dia Calcul de Imagina ire iis avant combienci a contribue a avaracen erat de 'Analyseo que dans integrationdes formules differentielles fraction nati es, qui se ait parcia resolUtion on fractions partielles ayant de denominatevrs en partie maginatre S,

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ginai res, o ne auroit se passer de ce calcul. eum Euleravolt ait, a la erit , que 'que, tentative de degager integratio de formules ration nolles de to ut emplo de Imaginai res, quoiqu4 ait reusi e partie, te succes 'avolt pas te parta temen heureta dans e cas oti e denominate ur a de uxo plus eur facteurs gauX. O ne auro it don se passer enti crement de Imagina ires ren contre pars is de formules integrales qui paroissent se refuse a tota te voye 'integration , a moin qu 'on 'ait reco urs au Imaginatres. 'est eque Auteri se propos de Onire par uia nouuel Xemplesrappant an le our de ce me moire. L Cas que . Euter a chois p ur et effet ui a te Irsim. Umurni par te me moire precedent. Carinyant troUVe --

; etant regarde comme ne quantite variabie, lintegrale prisede maniere qu'elle ex anouisse en metiant mo. Et 'est 'integration de ceti formule, o bien, Our eviter es fractions,

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i expossent in surpasise , des cas oti e contraire arri Ve, xu que dans te premi ei cas cla ui acuom est impropre contient desentier. don cito aut avant tota determine les integrale cequi tant fuit, reste se reduit a troii veri 'integrale de la o mulin propos e Fou cies in a M. Otii l'exposunt est plus i grandque m. Pota cette integration M. uter me en sage a metho de ii 'ilo employe ave succes an te me inoire precedent, avo i ta resolution ei fractions partielles par a de composition dii denominate ur en n facieur simples trino mi aia dela forme cos. I qui donnent aulant de fractions partielles a integrer, cha cune des a forme et in . in . ni tes

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re duit a I moitie, pota faciliter et te contraction 'Auteu distingue quatre cas, selon que es nona bres i. sint ous es de ux airs, ou totis es eu impalrs, ou Pu patris au treimpair, Wil sinit son me moire par Uelque exemple propresa eclairci cette integration remarquabie.

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Specimen singulare Analyseos Infinitorum

indeterminatae.

Auctore L. Eulero, pag. 6 .Parmi e grandis Ombre de decorivertes doni es scien

ces mathematique sint redeuabies a 'immorte Euler, a method de res udre, par ne Voye directe, des roblemes est' nalysio infinite limale analogues a ceu que a method de Diophante enseigne a res udre dans linigebre, ne tient pacta der-niere place Le Geometres avent uelle grande sensation afaite, en son tem sole Problem propos eo resolu par Hermann , de troiive une o urbe algebrique non rectis ubi , mais do utla rectificatio depende de a quadrature 'une courbe donnee, doue de tant ii 'on oudroit 'arcs recti fiabies iis avent questu . Euter a te te premier a resilidre e roblenae 'unem anter directe dans un me moire intitule De methodo Diophanteae analoga in Analys Insinitorum qu on tro uve dans e Tome inquiem des nouueau Commentatres de Otre Academi dans equel l aciet te les premier in demens de cenouueau Calculis exposse a solutio de quantite de Proble-mes relatis a cet te imethod eis resolus directe ment parile mo-yed de se nou Veau principe S.Cependant e roblem te plus genera qu'on eui re- udre par te Dyen de cette notivelle methode, est de trou-γer ne teste relation algebrique entre es detix quantites Ia

nees, es lettres P, Q, R arquant des onctions uelconques

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donnees de . ais quoique e cas paroisse tre 'une grande generalite i est rostrein par a condition que a variable ne doli avoir, dans es formules, i fune eule dimension; toute les Ois que e Problem in determine qu'on traiie 'est pas reducti bi a de areilles formules, a method dem Euler, expose dans e memoire cite, est in sum sante mi avoueici tui meme qu'il ne volt a comment tenter se ulement a solution des cas qui ne sint a contenus dans es formules mentiolanee S. II en allegue our exemple les eu formules si simples fractis f , doni o ne Volt pa comment trouVer

conque de x, quoi qu'il ait te de presume que e ne solipas a seule solution possibie.

La persectio de ce genre de calcul paroit don pro- metire ne riche recolle de Verites nouVelle de nouueauxmoyens de refoudre plussi eurg roblemes qui jusqu'ici se sontrefuse a tous es efforis de Geometres. 'est de la que depend par exemple, a demonstration completi des detix Theoremes, doni seu M. Fuler avolto: iche de monuer a verite dans se opuscules Inalytique T. II page et .suiu savoir: 19. Qisa 'eXception du cercle it nyy ait oint de courbe algebrique doni cliaque arc uis etre Xprime par Un ar de cercle; a. Qu'il ' ait poliat de Ourbe algebrique doniles arcs ument tre Xprimes simplement par de togarithmes. De meme a re cherche de lignes rectis abies tiree su une sur- face courbe donne e soli conveXe ou concaVe est Mette a degrandes dissicultes qu)on ne surmontera appareniment amat ssans te secour de ce notaveat genre de calcul leu persectioiane , c est Ourquoi 'Auteu invite tous e Geometres as'applique a cet te parti de Analyse.

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La solutio dii roblem qui ait te si et u present

memoire est tres propre a repandre uel que Jour fur e genre tenebreia de calcul, quoi qu'elle soli Xtre mement indirecte. II 'agit de trouxer ne telle relation entre es variabless is, que a formul f δ et devienne algebrique, que a formulet-η sqq exprime in iures de cercle Comme a derniere condition est a plus dissicile a remptir, 'Auteu commence parta, en metiant f EI tang. φα, 'oia, en renant les differenti ellegis mettant x x --Fst tam , it de duit qq- 1)

ou es eu dernieres formules soni contenues dans celles que l. Euter a enseigne a rendre algebrique dans e roblemegenerat doni nous avons ait mention Cependant i donneici ne doubie solutio de ces eu sormules 1'une par te irrationnelles, l'autre par des expressioris degagees de Pirrationalite. Quoique cette method de re udre e roblem soli tres in directe, due uni quem en a a circonstance que a solutio en tot deja connue 'avance elle petit neanmoin don-ner au Geometres 'occasio de persectioiane ce GuVea genre de calcul si propre a reculer es ornes de 'Analyse 'est dans cette sperance principalement quem Euter a communique ceti solution. IV.