Propositiones omnium 16. librorum Euclidis. Auctore Christophoro Clauio Bamberggensi e Societate Iesu

2쪽

PROPOSITIONES

XVI. LIBRO

I e Societate IE S V . C.

3쪽

. INDEX PROPOS. PROPOSITIONES OMNIUM

XVI. Librorum, quarum eas, quae in lib. I. Iq. x I 6. Euclidis non sunt, quamuis in numerum propositionum relatae sint, alio charactere expressina uS .

V PER data recta linea terminata triangulum aequilaterum consti

tuere.

A D . datum punctum , datae rectar lineae aequalem rectam lineam po

nere.

D VA B U S datis rectis lineis inaequalibus; de maiore aequalem minori rectam.lineam detrahere. SI duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, utrumque utrique, habeant vero & angulum angulo aequalem sub aequalibus rectis lineis contentum: Et basim basi aequalem habebunti eritque triangulum triangulo aequale s ac reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt,uterque utrique, sub quibus aequalia latera subtenduntur. ISOS CELIUM triangulorum , qui ad basim sunt,anguli inter se sunt aequales: Et productis aequalibus rectis lineis, qui sub basi sunt, anguli inter se aequales erunt SI trianguli duo anguli aequales inter se fuerint: Et sub aequalibus angulis subtensa latera aequalia inter

se erunt.

7S V P E R eadem recta linea, duabus eisdem rectis lineis aliae duae rectar lineae aequales, utraque Virique,' non constituentur, ad aliud atque aliud punctum , ad easdem partes, eosdemque terminos cum duabus initio

4쪽

tio ductis rectis lineis habentes. SI duo triangula duo latera habuerint duobus lateribus,utrumque utrique, aequalias habuerint vero &basim basi aequalem: Angulum quoque sub aequalibus nectis lineis contentum angulo aequalem habebunt. D A Τ V M angulum rectilineum bifariam secare. DATVM angulum rectilineum bifariam secare. to DA ΤΑΜ rectam lineam finitam bifariam secare.'iI DAT A recta linea, a puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare. αi1 SUPER datam rectam lineam infinitam, a dato puncto, quod in ea non est, perpendicularem rectam

deducere . μi3 CVM recta linea super rectam consistens lineam angulos facit: Aut duos rectos, aut duobus rectis ael quales efficiet. 14 SI ad aliquam rectam lineam, atque ad eius pun-l ctum, duae rectae lineae non ad easde partes ductae eos, qui sunt deinceps, angulos duobus rectis aequales fecerint:in directum erunt inter se ipsae rectae lineae.13 SI duae rectae lineae se matuo secuerint, angulos adverticem aequales inter se efficient.16 C VIVS CVN QU E trianguli uno latere producto, externus angulus utrolibet interno, & opposito maior est. 1 CUIUSCUNQUE trianguli,duo anguli duobus re- ctis sunt minores. omnifariam sumpti. 'si 8 OMNIS trianguli maius latus maiorem angulum subtendit. a 9 OMNIS trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur.

ro OMNIS trianguli duo latera reliquo sunt maiora, quomodocunque assumpta. a. I SI super trianguli uno latere,ab exti emitatibus duae rectae lineae interius constitutae fuerint: hae constitutae reliquis trianguli duobus lateribus minores quidemerunt, maiorem vero angulum continebunt.12 EX tribus rectis lineis , quae sunt tribus datis rectis lineis aequales, triangulum constituere .Oportet aute

5쪽

duas reliqua esse maiores omnifariam sumptas 1 quo' niam uniuscuiusque trianguli duo latera omnifariam sumpta reliquo sunt maiora. 1 3 AD datam rectam lineam , datumque in ea punctu, dato angulo rectilineo aequalem angulum rectilineu

constituere sa

a SI duo triangula duo latera duobus lateribus aequa lia habuerint,virumque utrique, angulum vero angulo maiorem sub aequalibus rectis lineis contentum: Et basin basi maiorem habebunt. .ars SI duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habuerint, utrumque utrique, basin vero basi maiorem : Et angulum sub aequalibus rectis lineis contentum anguIo maiorem habebunt. a 6 SI duo triangula duos angulos duobus angulis aequales habuerint, utrumque utrique, unumque latus uni lateri aequale, siue quod aequalibus adiacet angulis, seu quod uni aequalium angulorum subtendituri Et reliqua latera reliquis lateribus aequalia, utrumque a virique, & reliquum angulum reliquo angulo aequalem nabebunt. 17 S I in duas rectas lineas recta incidens linea alternatim angulos aequales inter se secerit: Parallelae erut, inter se illae rectae lineae.18 SI in duas rectas lineas recta incidens linea exteri num angulum in temo,& opposito, & ad easdem par-. tes,aequalem fecerit, aut in temos, & ad easdem partes duobus rectis aequales: Parallelae erunt inter sie ipsae rectae linear.:9 IN parallelas rectas lineas recta incidens linea: Et alternatim angulos inter se aequales efficit; & extςrnu interno,& opposito,& ad easdem partes aequalem; &internos, & ad easdem parte S, duobus rectiS aequa

les facit. '

so QV AE eidem rectae lineae parallelae,& inter se sunt

parallelae. 3 I A dato puncto, datae rectar lineae parallelam rectam

lineam ducere .

6쪽

EUCLIDIS

3, CVIVS CV N QVE trianguli uno latere producto Externus angulus duobus internis, & oppositis est aequalis: Et trianguli tres interni anguli duobus sunt

rectis aequales.

3 RECTAE lineae quae aequales, & parallelas lineas

ad partes easdem coniungunt: Et ipsae aequales,& parallelae sunt.

3 PARALLELOGR AMMOR VM spatiorum

aequalia sunt inter se,quae ex aduerso & latera, & anguli: Atque illa bifariam secat diameter. 1 PARALLELOGRAMMA super eadem basi,& in eisdem parallelis costituta, inter se sunt aequalia. 6 PARALLELOGRAMMA super aequalibus basibus,& in eisdem parallelis constituta, inter se sunt

- aequalia.

TRIANGULA super eadem basi constituta, &sn eisdem parallelis, inter se sunt aequalia . 38 TRIANGULA super aequalibus basibus constituta ,& in eisdem parallelis, inter se sunt aequalia. 3 TRIANGULA aequalia super eadem basi, & ad easdem partes constituta:Et in eisdem sunt parallelis. o ΤRIANGULA aequalia super aequalibus basi. bus,& ad easdem partes constituta: Et in eisdem sunt parallelis. et SI parallelogrammum cum triangulo eandem basin habuerit, in eisdemque fuerit parallelis: Duplum erit parallelogrammum ipsius trianguli.

α DATO triangulo equale parallelogrammum constituere in dato angulo rectilineo. IN omni parallelogrammo , complementa eorum,quq circa diametrum sunt,parallelogrammorum, inter se sunt aequalia. A D datam rectam lineam, dato triangulo Τquale paralle grammu applicare, in dato angulo rectilineo. s A D datam rectam linea,dato rectilineo aequale parallelogrammu costituere, in dato angulo rectilineo. 6 A data recta linea quadratum describere..7 IN triangulis rectangulis, quadratum,quod a latere

re. tam

7쪽

IPUD EX PROPOS.

rectum angulum subtendente describitur, aequale est eis, quae a lateribus rectum angulum continentibus describuntur, quadratiS. g SI quadratum, quod ab uno laterum trianguli describitur , aequale sit eis , quae a reliquis trianguli lateribus describuntur , quadratis : Angulus comprehensus sub reliquis duobus trianguli lat eribus ,rectus est.

SECUNDI LIBRI.

r SI fuerint duae rectar lineae, seceturove ipsarum altera in quotcunque segmenta. Rectangulum comprehensum sub illis duabus rectis lineis, aequale est eiS, quae sub insecta,& quolibet segmentorum comprehenduntur,rect angulis. a S I recta linea secta sit utcunque i Rectangula, quae sub tota,& quolibet segmentorum comprehenduntur, aequalia sunt et,quod a tota sit,quadrato. I SI recta linea secta sit utcunque: Rectangulum sub tota,& Vno segmentorum comprehensum, aequale est& illi, quod sub segmentis comprehenditur,rectangulo.& illi, quod a praedicto segmento describitur, quadrato.

SI recta linea secta sit utcunque; Quadratum, quod a tota describitur, aequale est & illis, quae a segmentis describuntur,quadratis, & ei. quod bis sub segmentis comprehenditur,rectangulo.s S I recta linea secetur in aequalia,& non aequalia:Rectangulum sub inaequalibus 1egmentis totius comprehensum, una cum quadrato,quod ab intermedia sectionum, aequale est ei, quod a dimidia describitur, quadratos

6 S t rccta linea bifariam secetur ,& illi recta quaedam linea in rectum adiiciatur: Rectangulum Comprehensum sub tota cum adiecta , una cum quadra- to a dimidia, aequale est quadrato a linea, quae tum ex dimidia , tum ex adiecta componitur , tanquam

8쪽

quam ab una , descripto. ,r SI recta linea secetur utcunque, Quod a tota,quodque ab uno segmentorum , Utraque simul 'uadrataia ,

aequalia sunt S illi,quod bis sub tota, & dicto segmento comprehenditur, rectangulo,& illi,quod a reliquo

segmento fit,quadrato. - :8 SI recta linea secetur utcunque:Rectangulum qua ter comprehensum sub tota, & uno segmen orum icum eo, quod a reliquo segmento fit, quadrato , aequale est ei, qpod a tota, & dicto segmento, tan- quem ab una linea describitur, quadrato. y SI recta linea secetur in aequalia, & non aqualia: Quadrata, quae ab inaequalibus totius segmentis fiunt, simul duplicia sunt Z eius, quod a dimidia , & eius quod ab intermedia sectionum fit,quadrati. ro ril recta linea secetur bifariam, adiiciatur autem ei in rectum adiuncta quaepiam recta linea:Quod a tota cum adiuncta,& quod ab adiuncta,utraque simubqua-4drata,duplicia sunt & eius, quod a dimidia, & eius, quod a composita ex dimidia & adiuncta, tanquam ab una, descriptum sit, quadrati. ri DATAM rectam lineam secare , ut compsphEnsum sub tota , & altero segmentorum rectangulum . aequale sit ei, quod a reliquo segmento fit, quadra

11 IN amblygoniis triangulis, quadratum, quod fit a latere angulum obtusum subtendente, maius est quadratis , quae fiunt a lateribus obtusum angulum , comprehendentibus , rectangulo bis comprehenso& ab uno laterum, quae sunt circa obtusum angulum, in quod, cum protractum fuerit, cadit perpendicinaris, & ab assumpta exterius linea sub perpendiculari prope angulum obtusum. an οi; IN oxygoniis triangulis; iadditum a latere angulum acutum subtendente, minus est quadraris', quae sunt a lateribus acutum angulum comprehendentibus, rectangulo bis comprehenso & ab uno lateruta' qui simi circa acutum angulum. in quod perpendi

9쪽

INDEX PROPOS.

cularis cadit, &ab assumpta interius linea sub P pendiculari prope acutum angulum .' DATO rectilineo aequale quadr tum constitu

t DATI circuli centrum reperire,1 SI in circuli peripheria duo quaelibet psicta accepsuerint: Recta linea,quae ad ipsa puncta adiungitur,i

tra circulum cadet. 23 SI in circulo recta quaedam linea per centrum e tensa quandam non per centrum extensam bifriam secet. Et ad angulos rectos ipsam secabit. Et si et angulos rectos eam secet, bifariam quoque eam sec. bita SI in circulo duae rectae lineae sese mutuo secent nc Ier centrum extensae: Sese mutuo bifariam non sec.

1 SI duo circuli sese mutuo secent, non erit illoruidem centrum.

6 SI duo circuli sese mutuo interius tangant, eoru' non erit idem centrum. SI in diametro circuli quodpiam sumatur punctunquod circuli centria non sit,ab eoque puncto in circitum quaedam rectae lineae. cadant: Maxima quidem erit ea, in qua centrum , minima vero reliqua ; ali: um vero propinquior illi, quae per centrum ducituremotiore semper maior est, Duae autem solum rectlineae aequales ab eodem puncto in circulum cadun ad utrasque partes minimae, vel maxim q8 SI extra circulum sumatur punctum quodpiam, a eoque puncto ad circulum deducantur rectae quadam lineae, quarum una quidem per centrum proterdatur, reliquae vero ut libet: incauam peripheriai cadenti um rectarum linearum maxima quidem est ita , quae per centrum ducitur;aliarum autem propit qui,

10쪽

quior ei, quae per centrum transit ν remotiore semper maior est: In conuexam vero periphariam eadentium rectarum linearum minima quidem est illa, quae intat punctum,& diametrum interponitur ι aliarum autem ea,quae propinquior est mininaae,remotiore semper minor est, Duae autem tantum rectae lineae aequalos ab eo puncto in ipsum.circulum cadunt, ad utrasque partes minimae, vel maximae. σρ S I in circulo acceptum fuerit punctum aliquod, &ab eo puncto ad circulum cadant plures, quam duae, rectae lineae aequales: Acceptum punctum centrum ei

ipsius circuli. . - . - , - 1

io CIRCUL Us cireulum in pluribus', quam duo

SI duo circuli ses intus contingant, atque accepta fuerint eorum centra: Ad eorum centra adiuncta recta linea , re producta, in contactum circuloru cadet. rL SI duo circuli sese exterius contingant,linea recta, quae ad centra eoru adiungitur, per eontactu fransibit. i 3 CIRCULUS circulum non tangit in pharibus punctis,quammo,siue intus, siue extra tangat. r I N circulo aequales rectae lineae aequaliter distant a centro: Et qui aequaIiter distant a centro,aequales sunt

is IN circulo maxima quide linea est diameterialiarsi autem propinquior cenixo, remotiore semper maior 16 QV AE ab extremitate diametri cuiusque'circuli ad angulos rectos ducitur, extra ip*fis eircvitim e det. & in locum inter ipsam rectam lineam , Ee pexi-pheriam eomprehensum, altera recta lineadum cade ; Et semicirculi quidem angulus, quouis angulo acuto

rectilineo maior est; reliquus autem minor.

17 A dato puncto rectam lineam ducere ι quae datam

tangat circulum ..

i8 SI circulum tangat rect quaepiam linea,a centro aut ad contactu adiugatur recta quaeda lineae quae adlucta fuerit, ad ipsam contingentem perpendicularis erit. 19 S I circ um tetigerit recta quaepiam Iiuea,a conta

actu