장음표시 사용
11쪽
ctu autem rem linea ad angulos rectos ipsi tangentii excitetur: In excitata erit centrum circuli. M IN circulo, angulus ad centrum duplex est anguli ad peripheriam, cum fuerit eadem peripheria basis
laa IN cireulo, qui in eodem segmento sunt, anguli sunt inter se aequales. ra QUADRILATERORUM in circulis deseriptorum anguli,qui ex aduerso, duobus rectis sunt aequales. Σ3 SvPER eadem recta linea, duo segmenta circularum fimilia,& inaequalia, non constituentur ad easdem partes. α SUPER aequalibus rectis lineis,similia circulorum segmenta sunt inter se aequalIa. as IRCULI segmento dato escribere circulum, cuius est segmentum. 26 IN aequalibus circulis, aequales anguli aequalibus peripherias insistunt, siue ad centra, siue ad periphe-
rias constituti insistants . .... -
17 ΙN aequalibus circulis,anguli,qui aequalibus peripherijs insistunt, sunt inter se a suales, siue ad centra, siue ad peripherias constituti insistant. ε Ira I N aequalibus circulis,aequales rectae linet aequales peripherias auserunt,maiorem quidem maiori.min -
is IN aequalibus caculis, aequales peripbertas, quales rectet lineae subtendunt. so DATA Μ peripheriam bifariam secare.
a IN cireulo angulus, qui in semicirculo, rectus est. ivi autem in maiore segmento, minor rectorqui vero in minore segmento,maior est recto Et insuper angulus maioris segmenti ecto quidem maior est:mInotas autem segmenti angulus, minor est recto. 32 SI circulum tetigerit aliqua recta linea, a contactu autem producatur quaedam recta linea circulum secans: Anguli, quos ad contingente facit,s quales sunt f. ijs,qui in alternis circuli sessivetis cosistunt, angulis. 13 3 SUPER data recta linea describere segmentia circv j
12쪽
li,quod capiat angulu aequale dato angulo rectilineo. 34 A dato circulo segmentum abscindere capiens angulum aequalem dato angulo rectilineo. Si in circulo duet rectae lineae sese mutuo secuerint, rectangulum comprehensum sub segmentis unius, aequale est et,quod ita segmentis alterius compreheni ditur,rectangulo. 6 si extra circulum sumatur punctum aliquod,ab eo- . que in cirtutum cadant duae rectae lineae,quarum altera quidem circulum secet , altera vero tangat: Quod sub tota secante, & exterius interpunctu, & convexa peripheriam assumpta commehenditur rectangulum, aequale erit et,quoa a tangente describitur, quadrato D SI extra circulum sumatur punctum aliquodab eoque puncto in circulum cadant duae rectae lineae, qua rum altera circulum secet, altera in eum incidat,sii autem,quod sub tota secante, & exterius inter punctum &eonuexam periphesiam assumpta,comprenendituri rectangulum, εquale et , quod ab incidente describi. tur quadrato; incidens ipsa circulum tanget. , .
I IN dato cireula recta linea accomodare equale datae rectae lineae, quae circuli diametro non sit maior. α In dato circulo triangulum describere dato triangu
3 CIRCA datum circulum triangulum describere dato triangulo aequiangulum.
IN dato triangulo circulum inseribere,s CIRCA datum triangulum circulum describere. 6 IN dato circulo quadratum describere . .' CIRCA datum circulum quadratum describere , 8 IN dato uuadrato circulum describere.
9 CIRCA datum quadratum circulum describere. iIo ISOSCELEs triangulum constituere , quod habeat lvtruque eom,qui ad basin suriangulorriduplii reliqui. li I IN dato circulo Pentagonum aequilaterum , & α- quiangulum inscribere . . . : l
13쪽
x CIRCA datum circulum pentas ouum aequi late rum,&aequiangulum describere. ars I N dato pentagono aequilatero, Se aequiangulo ciri ': Culum inscribere et
' S A tum pentagonum aequilaterum , & ae. quiangulum curculum describere. Jsato circulo hexagonum &aequilaterum, & ae. quianstulum inscribere. η
t s I silit quoteunquῆ magnitudines quotcunque magnitudinum aequalium numero, singulae singularum is, aeqiae multiplices di quam multiplex e1b ius una magnitudo,tam multiplice erunt de omnes omnium . SI prima secundae aeque fuerit multiplex,atque te tia quartae; fuerit autem & quinta secti ae aeque multiplex, atque sexta quare r ine & cmmposita prima cum quinta, secundar arim multiplex, atque tertia cum sexta, quartae . T V fit prima secundae renue multiplex, atque tertia quartae; sumantur autem aeque multiplices primael, &i ia terti ae: Exit &ex aequoesumptaru utraque viriujq;aeque multiplex,altera quidem seeundae, altera aute quartae 'SI prima ad secundam eandem habuerit rationem,& tertia ad quartam : Etiam atque multiplices primae& tertiae,ad eque multiplices secudae & quartae, iuxta quamuis multiplicationem, eandem habebunt rationem,si prout inter se respondent, ita sum g fuerint. S I magnitudo magnitudinis aeque fuerit multiplex, atque ablata ablatae: Etiam reliqua reliquae ita multi
SI duae magnitudines duarum magnitudinum sint aeque multiplices,& detractae quaedam sint earundem aeque multiplices r Et reliqaee eisdem aut aequales sunt, aut aeque ipsarum multiplices. AEQVA-
14쪽
AE IALES ad eandem,eandem habent rationem: Et eadem ad aequales. IN AEQVALIUM magnitudinum malor ad eandem. maiorem ratione habςt,quam minor: Et eade ad minorem, maiorem rationem habet, quain ad mai
, Q JAE ad eandem,eandem habent rationem,aequaleslunt inter se: Et ad quas eadem eandem habet irationem,eae quoque sunt inter se aequales. ito AD eandem magnitudinem rationem habentium, quae maiorem rationem habe illa maior est. Ad quam autem eadem maiorem rationem habet, illa minor
ii QV AE eidem sunt eaedem rationes, di inter se sunt
i, SI sint magnitudines quotcunque proportionales rquemadmodum se habuerit una antecedentium ad unam consequentium .ita se habebunt omnes antece.
dentes ad omnes consequentes. - . 3
ia S I prima ad secundam,eandem habuerit rationem, quam tertia ad quartam;tertia vero ad quarta,maiore rationem habuerit,quam quinta ad sextam. Prima quoque ad secundam maiorem rationem habebit, quam quinta ad sextam. i SI prima ad secundam eandem habuerit rationςmquam tertia ad quartam; prima vero,quam tertia,maior fuerit;Erit & secunda maior, quam quarta. odsi prima suerit aequalis tertiae,erit & secunda aequμlis quartae: Si vero minor,& mi nor erit. is PARTES eiis pariter multiplicibus in eadem sunt ratione,si prout sibi mutua respondent, ita sumantur. 16 S I quatuor magnitudines proportionales fuerint ;Et vicissim proportionales erunt.1ν SI compositae magnitudines proportionales fuerint; hae quoque diuisae proportionales erunt is SI diuisae magnitudines sint proportionales;hae quoque compositae proportionales erunt.
9 S I quemadmodum totum ad totum, ita ablatum sela 3 habue- l
15쪽
habuerit ad ablatum: Et reIiquum ad reliquum , ut to ltum ad totum se trabebit. Eo SI sint tres magnitudines,& aliet ipsis etquales nu- mero, quae binae, & in eadem ratione sumantur ; ex 'εquo autem prima quam tertia , maior fuerit ; Erit &quarta quam sexta, maior. Quod fi prima quam tertia in fuerit aequalis,erit & quarta aequalis sexis:Sin illa mi
nor,hec quoque minor erit. 1I SI sint tres magnitudines, & aliae ipsis aequales nu- mero,quae binae,&in eadem ratione sumantur,suerit - que perturbata earum proportio;ex aequo autem prima,quam tertia,mi.ror fuerit; Erit & quarta,quam sexta,maior. Quod si prima tertiae fuerit aequalis, erit requarta aequalis sextae:sin illa minor haec quoque minor
adi SI sint quotcunque magnitudines,& aliae ipsis aequales numero,quae binae in eadem ratione sumantur: Et ex aequalitate in eadem ratione erunt. x3 SI tint tres magnitudines, aliaeque ipsis aequales numero quae binae in eadem ratione sumantur,fiterit aut perturbata earum proportio: Etiam ex aequalitate ii
α SI prima ad secundam, eandem habuerit rationem, quam tcrtia ad quartam; habuerit autem & quinta adlecundam ,eandem rationem, quam sexta ad quartam: Etiam composita primi cum quinta,ad secundam,eandem habebit rationem,quam tertia cum sexta,ad quar
3s SI quatuor magnitudines proportionales fuerint: Maxima & minima reliquis duabus maiores erunt.
I 6 SI psima ad secundam AaιMerit maiorem proportionem, quam tertia ad quartam : habebιν conuertendo se eunda ad primam mιnorem proportionem,quἀm qu rio, ad rertiam. ar SI prima ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam tertra ad qua tam: Habebit quoque vicissimprima ad tertiam maiorem proportionem,quam secundo: ad quartum.
16쪽
13 SI prima ad saeudam habuerit maioram proportion64 quam tertia ad quartam:Ηabεbιε quoque composita ρνima eum secunda aduecundam masorem proportionem, quam composita tertia cum quarta ad qMariam . 29 SI composita prima eum beeundo ad secandam mai rem habuerit proportionem , quam composita tertia rum narra, ad quartam: 'abebu quoque diuidendo prima ad secundam , maiorem proportionem . quam εortia ad
3ο SI composita prima cum secunda ad secundam Babueris maiorem propor/io m , quam camposim tertia sum quarta ad quartam:Habebit per eonuersionem raraonis, prima cum Aecoda ad primam,mι rem pro struonem, quam terra cum quaνι a ad remam.
t SI sint tras magoiluviues,ct alia ipsis aquatis nει- roserque maior proportio primae priorum ad saeundam, quam prima pocterrorum ad seeunaam: Iιem Ieeuu/apνιoru ad tertia maior,qua secunda postereor. ad terna'. Erat quoque ex aquaiisate , maior proporrio prima priorum ad tertiam , quam prima poneriorum ad tertιam. 3a 4I sint tres magnitudines, se alia ipsis aquales numerosique maior proportio prιma priorum ad secundαm, quam secunda posteriorum ud tertiam; Item secunda prirum ad tertiam maior , quam prima posteriorum ad secunda: Erιι quoque ex equatitate ,πιβι- roportio pr3ma priorum ad remam, quam prima poneriorum ad rortia .43I SI fuerit maior proportio totius ad totum. quam ablati ad at larum: E νir ω raisqui ad relιquiam maιον propor-
numero uraque maior proportιo prima prrorum ad prima poster orum,quam Iecunda ad secundam hac in ior, quam tertia ad tertiam, oe sie deinceps r Habebunν ominnes puro es ui ad omnes posteriorer ut, malo νε ρνο- porrionem, nam omnes priores, retro a prima, ad omnes posterio es ,relicta quoqa st prima ,minorem autem,qun prima priorum aι primam posteriorum, maiorem denique etiam quam vιrima priorum ad visimam posσνiorum , ε
17쪽
1 TRIANGULA& parallelogramma . quorum eadem fuerit altitudo, ita se habent inter se, ut bases.1 SI ad unum trianguli latus parallela ducta fuerit recta quaedam linea:haec proportionaliter secabit ipsius trianguli latera. Et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint : quae ad lectiones adiuncta suerit recta linea, erit ad reliquum ipsius t rianguli latus
SI trianguli angulus bifariam sectus sit, secans autem angulum recta linea secuerit & basin e Basis segmenta eandem habebunt rationem, quam reliqua ipsius trianguli latera. Et si basis segmenta eandem habeant rationem, quam reliqua ipsius trianguli latera: Recta linea, quae a vertice ad sectionem producitur, bifariam secat trianguli ipsius angulum. AEQVI ANGULORUM.triangulorum proportionalia sunt latera, quae circum aequales angulos, re homologa sunt latera,quae aequalibus angulis lab-
3 Si duo triangula latera proportionalia habeant aequiangula erunt triangula, dc aequales habebunt eos angulos, sub quibus & homologa latera subtendun
6 SI duo triangula unum angulum uni angulo aequalem,& circum aequales angulos latera proporti alia habuerint:aequiangula erunt triangula,aequalesque habebunt angulos, suo quibus homologa latera subtenduntur. 7 SI duo triangula unum angulum uni angulo aequalem,circum autem alios angulos latera proportionalia habean reliquorum vero simul utrumque aut minorem,aut non minorem recto: Aequiangula erunt triangula,& aequales habebunt eos angulos,circum quos proportionalia stat latera.
18쪽
8 S i in triangulo rectangulo ab angulo recto in basin perpendicularis ducta sit r inae ad perpendicularem triangula tum toti triangulo, tum ipsa inter se similia
A data recta linea imperatam partem auferre. io D A TA M rectam lineam insectam similiter secare, ut data altera recta secta suerit. ii D V A B U S datis rectis lineis,tertiam proportiona lem adinvenire. iii T R I B v S datis rectis lineis, quartam proportiona lem inuenire. ii D V A s V S datis rectis lineis,mediam proportio-l nalem ad inuenire. , . . .
tium angulum, parallelogrammorum , reciproca Ωm latera, quae circum aequales angulos. Et quorum parallelogrammorum unum angulum uni angulo aequalem habentium reciproca sunt latera, quae circum aequales angulos, illa sunt aequalia. iis, AE fA LI V vnu uni aequalem habentium angulum, triangulorum, reciproca sunt latera, quae circum aequales an ulos. Et quorum triangulorum vnia angulum uni aequales habentium reci roca sunt late. tera , quae circum aequales angulos, illa sunt aequalia. i 6 SI quatuor rectae lineae proportionales fuerint:quod sub extremis comprehenάitur re tangulum quale est et,quod sub mediis comprehenditur,rectangulo. Et si sub extremis coprehensum rectangulum aequale sue rit ei, quod sub mediis continetur rectangulo: illa quatuor sectae lineae proportionales erunt.
7 S I tres rectae lineae sint proportionales: quod subenti remis comprehenditur rectangulum,aequale est ei, quod a media describitur, quadrato Et si sub extremis comprehensum rectangulum aequali sit et,quod a me dia deseribitur quadrato: illae tres rectae lineae propor
I 8 A data recta linea dato recti ineo simile similiterque p o situm rectilineum describere.
19쪽
io SIMILIA triangula inter se sunt in duplicata ratio.
ao Sl MILIA polygona in silnilia triangula diuiduntur,
Z numero aequalia, & homelaga totis: Et polystona duplicatam habent eam inter se rationem,quam intus homologum ad homologum latus.11 QV AE eidem rectilineo sunt similia;& inter se sunt
ah SI quatuor rectae lineae proportionales fuerint: Et ab eis rectilinea similia simiterque descripta, proportionalia erunt. Et si a rectis lineis similia smiliterque descripta rectilinea, proportionalia fuerint;ipsi etiam recte b neae proportionales erunt. - AEQVI ANGULA parallelogramma inter se rati nem habent eam, quae ex lateribus componitur. - 14 Ι Ν omni parallelogrammo , quae circa diametrum sunt, parallelogramma & toti, do inter se sunt similia. 1s DATO rectilineo simile similiterque positum, &alteri dato aequale idem constituere. 16 SI a parallelogrammo parallelogrammum ablatum sit & simile toti,& smiliter positum, communem cum
eo habens angulum et hoc circum eandem cum toto diametrum consistit.
αν OMNIUM parallelogrammorum secundum eanderectam lineam applicatorum, deficientiumque figuris parallelogrammis similibus similitem; positis ei quod a dimidia describitur maximum id est, quod ad dimidiam applicatur, parallelogrammum simile existens
18 A.D datam lineam rectam. dato rectilineo aequale paralici grammum applicare deficiens figura parallelogramma, quae similis sit alteri parallelogramo dato. Oportet aute datum rectilineum .cui aequale applicandum es .non maius esse eo, quod ad d midiam applicatur cum similes fuerint desectus & eius, quod ad dimidiam applicatur,&eius,cui simile deesse debet. χρ AD datam recta lineam, dato rectilineo aequalepporallelogramum applicare excedes figura parallelogia
20쪽
. ma, quae similis sit parallelogrammo alteri dato. 3o PROPOSITAM reetam lineam terminatam, extret ma ac media ra tione secare. I I N rectangulis triangulis,figura quaeui a latere rectum angulum iubtendente descripta, aequalis eli figaris,quae priori illi sinites,& similiter positet a lateribus rectum angulum continentibus describuntur.3: SI duo triangula, quae duo latera duobus lateribus proportionalia habeant,secundum unum angulum coinposita fuerint,ita ut homologa eorum latera sint etiam p rallela: tum reliqua illorum triangulorum latera in rectam lineam collocata reperientur . 33 IN aequalibus circulis, anguli eandem habent rationem cum peripheriis,quibus insistunt, siue ad centra, siue ad peripherias coiistituti insistant: Insuper vero iasectores, quippe qui ad centra consistunt.
1 SI duobus numeris in qualibus propositis,detrahatur semper minor de maiore, alterna quadam detractione, neque reliquus unquam metiatur praecedente,
quoad assumpta sit unitas:qui principio propositi sunt
numeri , primi inter se erunt. a DUOBUS numeris datis non primis inter se, maxi-j mam eorum communem mensuram reperire. 3 TRI BVS numeris datis non primis inter se,maximam eorum communem mensuram reperire. OMNIS numerus, omnis numeri,mitior maioris,' aut pars est, aut partes .s SI numerus numeri pars fuerit, & alter alterius ea dem pars : Et simul uterque utriusque simul eadem pars erit,quae Vnus unius. 6 SI numerus numeri partes fuerit,& alter alterius eae dem partes: Et simul uterque utriusque simul eidem ilparteS erit,quae unus unius SI numerus numeri pars suerit,qualis ablatus ablati: