장음표시 사용
21쪽
Et reliquus reliqui eade pars erit, qualis totus tollas 2 SI numerus numeri partes fuerit,quales ablatus ablati: Et reliquus reliqui eaedem partes erit, quales totus totiuS. S I numerus numeri pars fuerit,& alter alterius eadem pars: Et vicissim, quae pars est, aut partes primus tertii ,eadem pars erit, vel eaedem partes & secundus
to SI numerus numeri partes fuerit, & alter alterius eaede partes: Et vicissim, quae partes est primus tertii, aut pars, eaedem partes erit & secundus quarti . aut
Ii SI fuerit ut totus ad totum, ita ablatiis ad ablatum: Et reliquus ad reliquum erit, ut totus ad totum. in S I sint quotcunque numeri proportionales, erit
quemadmodum unus antecedentium ad unum consequent turn, ita omnes antecedentes ad omnes consequentes.
I 3 SI quatuor numeri proportionales sint; Et vicissim
proportionales erunt.14 SI sint quotcunque numeri,& alii illis aequales multitudine,qui bini suinantur,& in eadem ratione:Etiam ex squalitate in eadem ratione erunt. is SI unitas numerum quempiam metiatur, aeque autem alter numerus alterum quendam numerum metiatur:Et vicissim aeque unitas tertium numerum metie-tietur,& secundus quartum. .
aliquos : Geniti ex ipsis aequatis inter se erunt. sir si1 numerus duos numeros multiplicans secerit aliqu/s: Geniti ex ipsis eandem rationem habebunt,qua multiplicati. r8 SI duo numeri numerum quempiam multiplicantes fecerint aliquos: Geniti ex ipsis eandem rationem habebunt,quam multiplicantes. is S I quatuor numeri proportionales fuerint: qui ex primo,&quarto fit numerus,aequalis erit et,qui ex se- cudo & tertio fit,numero.Et si qui ex primo,& quarto
22쪽
fit, numerus aequalis suerit et,qui ex secundo,& tertio fit,numero: ipsi quatuor numeri proportionales eruta αo SI tres numeri proportionales fuerint;qui sub extremis contineturiaequalis est et,qui a medio emcitur.Et si qui sub extremis continetur, a qualis fuerit ei, qui a medio describitur: ipsi tres numeri proportionale
ai MI NI M I numeri omnium eandem cum eis rati nem habentium,metiuntur lque numeros eande cum eis rationem habentes, maior quidem maiorem, mi
a2 SI fuerint tres numeri, & alii insis multitudine ae- .. quales,qui bini sumantur, & in eadem ratione , fuerit autem perturbata eorum proportio,Etiam ex aequali
tate in eadem ratione erunt. Θ .
at PRIMI inter se numeri,minimi sunt omnium ean dem cum eis rationem hahemtium ' . MINIMI numeri omnium eandem cum eis rationem habentium,primi inter se sunt. α3 SI duo numeri primi inter se fuerint: qui unum e rum metitur numerus,ad reliquum primus erit. 26 S I duo n umeri ad quempiam primi fuerint: etiam . ex illis genitus ad eundem primus erit. r SL duo numeri prani inter se fuerint; Etiam ex v noeorum genitus ad reliquum primus erit. 18 SI duo numeri ad duos numeros,uterque ad Virum.
lue,primi tuerint: Et qui ex eis gignentur, primi inter
e ns uterque seipsum fecerit alique: Et geniti ex ipsis primi inter se erui. Et si,qui in principio,genitos ipsos multiplicantes fecerint aliquos; Et hi quoque primi inWx se erunt; Et semper circa extremos hoc eueniet. io 4 I duo numeri primi inter se fuerint i Etiam uterque simul ad quemlibet illorum primus erit . Et si uter Ne simul ad unum alique illorum piimus fuerit; Etiat qui in principio,numeri primi inter se erunt. 31 - OMNIS primus numerus, ad omne numerum,quem
23쪽
I 1 SI duo numeri sese mutuo multiplicantes secerint alique;genitu aut ex ipsis metiatur aliquis primus numerus: Is etiam unum eoru ,qui in principio,merietur.
33 OM NEM compositum numerum aliquis primus
34 O IM N I S numerus aut primus est, aut eum aliquis
N V m E R IS datis quotcunque, reperire minimos omnium eandem rationem habentium cum ipsis.,3 6 DUOBUS numeris datis , reperire, quem illi mi
Si duo numeri numerum quempia metiantur. Etiam mira imus quem illi metiuntur, eundem metietur. 38 I R IBV S numeris datis, reperire, quem illi min, mum metiantur numerum. 39 Si numerum quispiam numerus metiatur: Ille que metitur, partem habebit a metiente denominatam. 4o S I numerus partem habuerit quamlibet a metretur illum numerus a parte denominatu&. 4r NVMERVM reperire, qui minimus cum fit,ha-
i s I fuerint quotcunque numeri deinceps proportionales,extremi vero ipsorum primi inter se fuerint: ipsi minum sum omnium eande cum eis ratione habentili. NUMEROS reperire deinceps proportionales minimos , quotcunque iusserit quispiam,in data ratione. I SI sint quotcunque numeri deinceps proportionales minimi omnium eandem cum eis rationε habentium : Illorum extremi iunt inter se primi. RATIONIBVs datis quotcunque in minimis numeris, reperire numeros deinceps minimos in da
PLANI numeri rationem inter se habent ex late. ribus compositam. i i '
24쪽
les, primus autem secundum non metiaturi neque is alius quisquam ullum metietur. ν SI sint ouotcunqi numeri deincedet proportionales, primus aut exti ems metiaturiis etia metietur secundit. 8 SI inter duos numeros medii cotinua proportione ceciderint numeruquot inter eos medii cotinua proportione cadunt numeri,tot& inter alios eande cu illis habetes ratione medii cotinua proportione cadet.
V Si duo numeri sint inter se prim i inter eos medii
cotinua proportione ceciderint numeri :quot inter eos medij continua proportione cadunt numeri, totidem& inter utrumque eorum,ac unitatem mediJ cotinua proportione cadent.1o S I inter duos numeros , & unitatem,continue pro- proportionales ceciderint num . ri; quot inter vitiique
ipsorum & unitatem deinceps medii continua proportione cadunt numeri, totidem & inter ipsos medij
continua proportione cadent. ii D Uc R UM quadratorum numerorum UnuSmedius proportionalis est numerus. Et ouadratus ad quadratum duplicatam habet lateris ad latus rationem . Ia DUORUM cuborum numerorum duo medii proportionales sent numeri. Et cubus ad cubum triplicatam habet lateris ad latus rationem .i 3 SI sint quotlibet numeri deinceps propnrtionales,& multiplicans quisque seipsum faciat aliquos: qui ab illis producti: fuerint, proportionales erunt: Et si numeri primum positi multiplicantes iam factos secerint aliquos r ipsi quoque proportionales erunt,& semper circa extremos hoc even iet.
a 4 Si quadratus numerus quadratum numerum metiatur: S latus unius metietur latus alterius. Et si unius quadrati latus metiatur latus alterius I dc quadratus quadratum metietur. is SI cubus numerus cubum numerii metiatur: Sc latus unius metietur latus alterius. Et si latra unius cubilatus alterius metiatur: & cubus cubum metietur. Is S l quadratus numerus quadratu numerum non me-
25쪽
tiatur; neque latus unius metietur alterius latus. Et si latus unius quadrati nou metiatur latus alterius: neque quadratus quadratum metietur. i SI cubus numerus cubum numerum non metiatur Ineque latus unius latus alterius metietur.Et si latus cubi unius latus alterius non metiatur: neque cubus cubum metietur. is D VORUM similium planorii numerorum Vnus medius proportionalis est numerus. Et planus ad planum duplicatam habet lateris homologi ad latus ho
ly DUORUM similium solidorum numerorum duo medii proportionales sunt numeri. Et solidus ad solidum triplicatam rationem habet lateris homologi ad
latus homologum. 2o SI inter duos numeros unus medius proportionalis cadat numerus, Similes plani erunt illi numeri. at SΙ inter duos numeros duo medii proportionales - cadant numeri: Similes solidi sunt illi numeri . t 22 S I tres numeri deinceps sin x proportionales, primus autem sit quadratus : E tertius quadratus erit. ν 3 SI quatuor numeri deinceps sint proportionales,primus autem sit cubus et Et quartus cubus erit. S I duo numeri rationem habeant inter se, quamlquadratus numerus ad quadratum numerum , primus autem sit quadratus ; & secundus quadratus.erit , dis SI duo numeri rationem inter se habeant,quam cubus numerus ad cubum numerum, primus autem sit cubus ; & secundus cubuS erit. 16 SIMILE S plani numeri rationem inter se habent, quam quadratus numerus ad quadratum numerum .iν S I MI LE S solidi numeri rationem habent inter se,
quam cubus numerus ad cubum numerum.
i SI duo similes plani numeri multiplicantes se mu-
26쪽
tuo faetant quendam: Productus quadratus erit. 1 SI duo numeri se mutuo multiplicantes faciant quadratum :fimiIes plani erunt. SI ctibus numerus seipsum multiplicans procreet aliquem Productus cubus erit. SI cubus numerus cubum numerum multiplicans faciat aliquem ;Factus cubus erit. s SI cubus numerus numerum quendam multiplicans faciat cubum: Et muItiplicatus cubus erit. 6 SI numerus seipsum multiplicans cubum faciat . Et ipse cubus erit. 7 SI compositus numerus numerum aliquem multiplicans quempiam iaciat. Factus solidus erit. 8 si ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales fuerint. Tertiis quidem ab unitate quadratus
est,& unum intermittentes omnes: Quartus autem est cubus,& duos intermittetes omnes:Septimus vero cubus simul & quadratus &quinque intermittentes Oes. V SI ab unitate quotcunque numeri deinceps propor tionales fuerim,qui vero post unitate,sit quadratus: Et reliqui omnes quadrati erunt. At si qui post unitatem, sit cubus: Et reliqui omnes cubi erunt. io SI ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales fuerint, qui vero post unitate, non sit quadratus;neque alius ullus quadratus erit, praeter tertium ab unitate ,& unum intermittentes omnes. At si,qui post unitatem non sit cubus; neque alius ullus cubus erit, praeter quartum ab unitate,& duos intermittentes om
1i SI ab unitate quotcunque numeri deinceps proportion las fuerint: Minor maiorem metitur per alia quem eorum , qui in proportionalibus sunt numeris. Ii SI ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales fuerint; quicunque primorum numerorum Vltimum metiuntur,iidem &eum, qui unitati proximus
ι3 SI ab unitate quotcunque numeri deinceps propor-stionales fuerint, qui vero post unitatem, primus sit b Maxi- i
27쪽
Maximum nullus alius metietur,preter eos,qui sunt innumeris proportionalibus. I SI minimum numerum primi numeri metiantur;Nullus alius numerus primus illum metietur,praeter eOS,
qui a principio metiebantur. rs SI tres numeri deinceps proportionales fuerint minimi omnium eande cum ipsis ratione habentium: Duo quilibet compositi,ad reliquum primi erunt. 16 SI duo numeri, primi inter se fuerint: No erit,ut primus ad secundum, ita secundus ad alium quempiam. 17 SI fuerint quotcunque numeri deinceps proportionales,extremi autem ipsorum primi inter se sint; Non erit,ut primus secundum,ita vitiinus ad alium quepi a. as DUOBUS numeris datis,considerare, an possit ipsis tertius proportionalis inueniri. .
I9 ΤRIBUS numeris datis,considerare, an possit ipsis quartus prop*nionalis inueniri. . I 2o PRIMI numeri plures sunt omni proposita multitudine primorum numerorum,
at SI pares numeri quotcunque componantur 3 Totus par erit.
a1 SI impares numeri quotcunque componantur,multitudo autem ipsorum sit par:Totus par erit. 3 SI impares numeri quotcunque componantur,multitudo autem ipsorum sit impar: Et totus impar erit. γε SI a pari numero par detrahatur: Et reliquus par erit. - SI a pari numero impar detrahatur: Et reliquus im. par erit. Ja6 SI ab impari numero impar detrahatur: Reliquus
7 SI ab impari numero par detrahatur:Reliquus impar erit. lS I impar numerus parem multiplicans fecerit aliquem:Factus par erit. 29 SI impar numerus imparem numerum multiplicans fecerit aliquem:Factus impar erit. 3o SI impar numerus parem numerum metiatur: Et illius dimidium metietur. -
28쪽
II SI impar numerus ad aliquem numerum primus sit:& ad illius duplum primus erit.: E NUMERORUM a binario duplorum, unusquisque pariter par est tantum. ι SI numerus dimidium habeat imparem: Pariter imis par est tantum. I a. SI par numerus neque a binario duplus sit,neque dimidiu habeat impare: Pariter par est,& pariter impar. rs SI sint quotcunq; numeri deinceps proportionales, detrahantur autem a secundo, & vltimo et quales ipsi primo: Erit ut secundi excessiis ad primum, ita ultimi excessus ad omnes ipsum antecedentes . SI ab unitate quotcunque numeri deinceps eXpo. nantur in dupla proportione,quoad totus compositus fiat primus ; & totus hic in ultimum multiplicatus faciat aliquem: Factus erit Perfectus.
t DUABUs magnitudinibus inaequalibus propositis , si a maiore auferatur maius quam dimidium;& ab eo, quod reliquum est, rursus detrahatur maius quam dimidium;&hoc semper fiat: Relinquetur tandem quaedam magnitudo,qui minor erit proposita minore ma- Ignitudine. α SI duabus magnitudinibus inaequalibus propositis, detrahatur semper minor de maiore, alterna quadam detractione, & reliqua minime praecedentem metia- tuta Incommensurabiles erunt ipsae magnitudines. I DUABUS magnitudinibus commesurabilibus datis,
maximam earum communem mensuram inuenire.
TRIBUS magnitudinibus commensurabilibus datis,
maximam earum mensuram communem inuenire.
s COMMENSURABILES magnitudines inter se rationem habent,quam numerus ad numerum. 6 S I duae magnitudines inter se proportinem ha-b 1 beant
29쪽
beant,quam numerus ad numerum: Commensurabiles erunt magnitudines.
ν INCOMMENSURABILES magnitudines inter se
proportionem non habent, qua numerus ad numerii. 8 Si duae magnitudines inter se proportionem non s habeant,quam numerus ad uumcrum Incommensurabiles erunt magnitudines. 9 QU AE a rectis lineis longitudine commensurabilibus fiunt quadratarinter se proportionem habent, qua quadratus numerus ad quadratum numerum. Et qua grata inter se proportionem habentia , quam quadratus numerus ad quadratum numerum:& latera habebunt longitudine commensurabilia. Quae vero a rectiS lineis longitudine incommensurabilibus fiunt quadratarinter se proportionem non habent, quam quadratus numerus ad quadratum numerum Et quadrata inter se proportionem non habentia, quam quadratus numerus ad quadratum numerum meque latera habebunt longitudine commensurabilia. Io SI quatuor magnitudines proportionales fuerint, prima vero secundae fuerit commensurabilis : Et tertia quartae commensurabilis erit: Et si prima secundae fuerit incommensurabilis: Et tertia quartae incommensurabilis stit. H PROPOSITAE rectae lineat inuenete duas rectas lineas incommensurabiles,alteram quidem longitudine tantum, alteram vero etiam potentia.
i 1 QU AE eidem magnitudini fiant commensurabileS ti& inter se sunt.commensurabiles. SI sint duce magnitudines,&altera quidem eidem sit
commensurabilis,altera vero incoinmensurabilis: In- commensurabiles erunt magnitudines.
I 4 SI sint duae magnitudines commensurabiles, altera autem ipsarum magnitudini cuipiam incommenturabilis fuerit: Et reliqua eidem incommensurabilis erit. hs Sq quatuor rectae lineae proportionales fuerint,prima Vero tanto plus possit,quam secunda, quantum esti, quadratum rectae lineae sibi commensurabilis lungitudine
30쪽
dine; Et tertia tanto plus poterit,quam quarea,quantuest quadratum rectat lineae sibi longitudine commensurabilis. Quod si prima tanto plumbssit,quam secunda , quantum est quadratum rectes lineae sibi incommensurabilis longitudine: Et tertia tanto plus poterit, quam quarta, quantum est quadratum rectae lineae sibi
longitudine in commensurabilis. ι6 SI duae magnitudines comensurabiles coponantur: Et tota magnitudo viriq; ipsarum comm taurabili serit.
QS si tota magnitudo uni ipsaru comesurabilis suerit:
Et quae a principio magnitudines comesurabiles erui. i SI duae magnitudines incommensiurabiles componantur. Et tota magnitudo utrique ipsarum incommensurabilis erit Quod si tota magnitudo uni ipsarum incommensurabilis fuerit: Et quae a principio magnitudi
nes, in commensurabiles erunt.
i 8 βέ fuerint duae rectae lineae inaequales, quartae autem parti quadrati,quod fit a minori,aequale parallelogramum ad maiorem applicetur,deflaiens figura quadrata,&in partes longitudine commensurabiles ipsam diuidat: Maior tanto plus poterit quam minor, quan tum est quadratum rectae lineae sibi longitudine commensurabilis. Quod si maior tanto plus possit quam minor,quantum est quadratum rectae lineae sibi longitudine commensurabilis,quartae autem parti quadrati quod fit a minori,arquale parallelogrammum ad maiorem applicetur,deficiens figura quadrata et In partes longitudine commensurabiles ipsam diuidet. 19 SI fuerint duae rectae lineae inaequales,quartae aut parti quadrati,quod fit a minore, quale parallelogramum ad maiorem applicetur deficiens figura quadrata,& in partes incomesurabiles logitudine ipsa diuidat: Maiortato plus poterit qua minor,quantii est quadratii rectaelii eae sibi logitudine incomesurabilis.QS si maior tato plus possit qua minor, qua nisi est quadratu rectae lineae sibi logitudine incomesurabilis,quartae aute parti quadrati,quod fit a minore,aequale parallelogramu ad maiore applicetur deficiens figura quadrata: In partes lis