장음표시 사용
11쪽
I.IB. II. finitam RS reptaesentetur, atque manifestum est omnes valorea' determinatos ipsius x, qui quidem sint reales , per portiones in recta R S abscindendas repraesentari posse. Si licet, si punctum P in ipso puncto A capiatur, intervallum AP evanescens
exhibebit valorem x οἱ quo magis autem punctum P ab A removetur , eo major valor determinatus ipsius x intervallo AP repraesen tubitur. Uocantur autem haec intervalla AP , AB sc Iss n. Atque ideo Abscissae exhibent variabilis x valores dete
3. Quia vero recta RS indefinita utrinque ab A in infinitum excurrit, utrinque Ctiam omnes ipsus x valores abscindi
poterunt. Quod si autem valores assirmativos ipsius x ah Adextrorsum progrediendo abscindantias, intervalla Ap sinistrorsum abscissa valores ipsius x negati vos exhibebunt. Cum enim quo longius punctum P dextrorsum ab A distat, intervallum AP eo majorem valorem ipsius x significet; sic vicissim, quo magis punctum P sinistrorsum removetur, eo magis valor ipsus x diminuetur ; atque , si P ad A perveniat, omnino fictα - o. Hanc ob rem si P ulterius sinistrorsum removeatur , valores ipsius x nihilo minores , hoc est negativi, denotabuntur, atque ideo intervalla Ap ah A sinistrorsum abscissa valores ipsius x negati vos exhibebunt, si quidem intervalla A P dextrorsum sumta valores assirmativos praebere senseantur. Arbitrarium autem est utra plaga ad valores assirmativos ipsus x designandos eligatur : semper enim opposita valores ipsius x n gativos continebit.
s. I. q. Cum igitur linea recta indefinita quantitatem variabilem Tig- -- x exEibeat , videamus quomodo Functio ipsius x quaecunque quam - commodissime geometrice repraesentari queat. Sit y Fui ctio quaecunque ipsus x ; quae ergo valorem deteminatum induat, si pro x valor determinatus substituatur. Sumta recta indefinita RAS ad valores ipsius x denotandos, cuiliber valori ipsi uet x determinato AP normaliter applicetur
recta P M valori ipsius y respondeuti aequalis. cilicet , si
12쪽
valor ipsius y prodeat assirmativus, is supra rectam RS consti. CAtuatur, sin autem valor ipsius y negativus oriatur , is infra rectam ES normaliter applicetur. Sumtis enim valoribus ipsius y assirmativis supra rectam RS, evanescentes in ipsam RS &negativi infra eam cadent. s. Figura ergo ejusmodi Functionem ipsius x, pro y exhibet , quae, polito x -o . induat valorem amrmativum AB, sin capiatur α AP , fit y - PM; si x AD, sit y o.&, si sumatur x AP, Functio 3 accipit valorem negati um, ideoque normaliter applicata PM infra rectam RS cadit. Si mili modo valores ipsius y, qui valoribus negativis ipsius x respondent , repraesentantur per applicatas supra RS positas. si sint amrmativi; contra autem infra rectam RS constitui debent, ut pm: sin autem, pro qu2piam ipsius x valore , ut - π AE, fiat y o, tum ibi longitudo Applicatae evanescit. 6. Si igitur hoc modo pro omnihus valoribus determinatis ipsius x definiantur valores ipsius y respondentes , ad singula rectae RS puncta P constituuntur rectae normaliter applicatae PM valores Flinctionis y exprimentes. harumque Applicatarum P u alteri termini P in rectam RS incident, alteri vero M vel supra o crunt posui , si valores ipsius y fuerint assi mativi ; vel infra , si sint negativi ; vel etiam in ipsam rectam RS incident, si evanescant, uti evenit in punctis D & E. Singulae Ergo Applicatarum extremitates II repraesentabunt lineam quampiam , sive rectam, sive curvam ; quae igitur hoc modo per Functioneni y determinabitur. Quare , quaelibet ipsius xFun ctio, hoc modo ad Geometriam translata , certam dete minat . t lineam , sive rectam sive curvam , cujus natura a natura
7. Hoc autem modo linea curva , quae ex Functione y resultat, perfecte cognoscitur; quoniam omnia ejus puncta ex Func
tione 3 determinantur ; in singulis enim punctis P constat longitudo Applicatae normalis PM. cujus extremum punctum Min linea curva sit positum , sicque omnia lineae curvae punctae veriuntur. Quoinodocungue autem linea curva fuerit com-
13쪽
Parata , ex ejus singulis punctis rectae normales ad rectam Esduci pollunt , sicque obtinentur intervalla AP , quae valores variabilis x cxhibent , & longitudines Applicatarum PM, quae valorcs Functionis y repraesentant. Hinc nullum cur aec: tabit punctum , quod non liac ratione per Functionem F dc-
finiatur.3. Quanquam complures lincae curvae per morum puncti continuum mechanice dulcribi pollunt , quo pacto tota lincacurva simul oculis Osfertur, tamen hanc lincarum curvarum ex I unctionibus originem hic poti: limum contemplabimur, tanquam magis analyticam latiusque patentem, atqtie ad calculum magis accommodatam. Quaelibet ergo Fun ctio ipsus x suppeditabit lineam quandam , sive retiam si, E curvam , unde vicissim lineas curvas ad Functiones revocare licebit. Cuiusque ergo lineae curvae natura exprimetur per ejusmodi Functionemi plius x, quae, dum intervalla AP ad quae pcrpendicula MPcx singulis curvae punctis II in rectam RS demittuntur, per variabilcm x indicantur , exhil eat semptir veram illius Applicatae A1 P longitudinem. 9. Ex hac linearum curvarum idea statim sequitur earum diviso in continuas & disio itinuas seu mixtas. Linea scilicet curva continua ita est comparata, ut ejus natura per unam
ipsius x Functionem desinitam eYprimatur. Quod si autem lin a curva ita sit comparata , ut variae ejus portioncs PII, IID, DM &c., per varias ipsius x Functiones ex Ρrimantur; ita ut, postquam ex una Functione portio BAI fuerit definita , tum ex alia Functione portio IID describatur ; hujiis modi lineas curvas discontinuos seu mixtas & irregulares appellamus: Propterea quod non secundum unam legem constantem formantur , atquu eX Portionibus Variarum curvarum continuarum
o. De curvis autem continuis in Geometria potissimum est sermo , atque infra ostendetur , quae curvae motu uniformi s cundum regulam quandam constantem mechanice describuntur,casdem quoque per unicam Functionum exprimi , atque ideo
14쪽
esse continuas. Sit igitur m EB MDM linea curva continua, C p. I. cujus naturam contineat Cunctio quaepiam ipsius x , quae sit y; atque manifestum cst , sumtis valoribus ipsius x determinatis in recta RS , a puncto fixo A, tum valores ipsius y respondentes praebere Applicatarum normalium P M longitudinem. II. In hac linearum curvarum explicatione nomina quaedam sunt tenenda, quorum frequentissimus usus cxistit in doctrina de Lineis curvis. Primum igitur recta R S , in qua valorcs ipsius x abstinguntur , vocatur Ax Is , seu linea recta directrix. Punmina A, a quo valores ipsius x mensurantur , dicitur
Portiones autem Axis A P , quibus determinati ipsius x valores indicantur, vocari solent ABSCISSAE.
Et perpendiculares P Μ, ex terminis Absigorem M ad
lineam curvam pertingentes , nomen APPLICATARUM obtinuerunt. Uocantur autem hoc casu Applicatae normales seu Ortho - nales , quia Cum Axe angulum rectum constituunt; cum enim
simili modo Applicatae P M ad angulum obliquum cum Axe constitui possint, hoc casu Applicatae obliquangulae vocantur ;hic vero constanter naturam curvarum per Applicatas orthmgonales explicabimus , nisi eXpressis verbis contrarium indicetur.
. Si igitur Abscissa quaecunque AP insigniatur per varia-hilem x, ut sit AP x, tum Functio y indicabit magnitudinem Applicatae P M, eritque PM y. diutura igitur lineae curvae, si quidem suerit continua, exprimetur per qualitatem Functionis y, seu per rationem, qua y ex x & quantitatibus constantibus componitur. In Axe igitur AS crit portio ASlocus Abscissarum amrmativarum ; portio AR locus Absci farum nugativarum ; tum vero supra Axem RS exsistet regio Applicatarum amrmativarum , infra autem erit regio Applica
13. Cum igitur ex qualibet Func ione ipsus x nascatur linea curva continua , haec etiam ex illa Functione cognosci
15쪽
LIB. II. atque describi poterit. Tribuantur enim primo ipsi x valores assirmativi a o adeo usque progrediendo , ac pro singulis quae rantur valores Functionis y respondentes , quae per Applicatas , si x e sursum sive deorsum porrectas , repraesententur, Prout a-lores habeant sive affirmativos sive negativos ; sicque orietui portio curvae BMM. Deinde simili modo ipsi x tribuantur omnes valores negativi ah o ad - eo progrediendo, & alores ip- suis y respondentes determinabunt curvae portionem B Em, sicque universa linea curva in Functione contenta exhibebitur.
i . Quia est y Functio ipsius x ; vel y aequabitur Functioni ipsius x explicitae, vel dabitur aequatio inter x & y, qua y per
x definitur : utroque casu habebitur aequatio, quae dicitur naturam curvae eXprimere. Hanc ob rem natura cujusque lineae curvae per aequationem inter duas variabiles x & y exhibetur ;quarum altera x denotet Abscissas in Axe a dato principio Asumtas ; altera vero y Applicatas ad Axem normales. Abscissae autem & Applicatae conjunctim consideratae appellantur Coo R. D IN TAE orthogonales et hincque natura lineae curVae per aequationem inter Coordinatas orthogonales definiri dicitur, si habeatur aequatio determinans, qualis Functio ipsius x sit DIs. Cum igitur linearum curvarum cognitio ad Functiones Perducatur, tot varia linearum curvarum existent genera, quot supra Functionum esse vidimus. Ad modum ergo Functionum lineae curvae aptissime dividuntur in algeb icas & transcendentes. Linca curva scilicet erit algebraica , si Applicata γ fuerit Functio algebraica ipsius Abscissae x ; seu, cum natura lineae cur 'aee primitur per aequationem algebraicam inter Coordinatas x& y, hujus generis lineae cur ae quoque geometrica , ocari solent. Linea curva autem transcendens est, cujus natura exprimitur Per equationem transcendentem inter x & y; seu , ex qua fit y Funcistio transcendens ipsius x. Haecque est praecipua linearum cur Varum continuarum di iso , qua eae sunt vel algebraicae vel ranscendentes. I 6. Ad lineam autem curvam ex data Functione ipsus x,
qua Applicata y primitur destrihendam , natura Functionis,
16쪽
an sit uniformis , an multiformis probe est attendenda. Pona- CA I . Lmus primo y esse I u rictionum unifornacm ipsius m , seu essby .m P , denotante P Functionem quamcunque unis mcm ipsius x ; & quia ipsi x valorem quemvis determinatum tribuCndo, Applicata y unum quoque valorem determinatum recipit, Unicuique Abscillae una respondi bit Applicata di hunc ob rem Curva ita crit comparata, ut, si in quovis Axis RS puncto P ducatur ad ipsum normalis PM, ea semper Curvam secet, idque in unico puncto M. Singulis ergo Axis punctis singula res- PGadebunt Curi ae puncta ; &, cum Axis ctrinque in infinitum extundatur, Curia quoque utrinque in infinitum excurret . Seu Curva ex tali Functione orta continuo tractu utrinque cum AKe in infinitum porrigetur, cujusnaodi tractum si- Sura 2 exhibet, ubi linea curva m EB MDM utrinque sine ulla interruptione in infinitum excurrit.
17. Sity Functio biformis ipsius x, seu denotantibus litteris P & Q Functiones ipsius x uniformes, sit ry - χρο- Q ut sty PΦv PP- Q . Unicuique igitur Abscissae a TAB. I. respondebit duplex Applicata y, utraque existente vel reali vel Fig. a.
imaginaria prius si P P Q, posterius si P P et Q. Quamdiu
ergo uturque valor ipsius y erit realis, Abscissae A P duplex conveniet Applicata P M, PM, seu recta ad Axem in P no malis Curi am in duobus punctis M & M trajiciet. Ubi autem fit PP Q, ibi Abscissi nulla convenit Applicata . seu no malis ad Axem his in locis Curvae nusquam occurret, ut fit in p. At cum an tu csset PP Q, fieri non poterit PP Q, nisi transeundo per castim P P Q , qui erit limes inter Applicatas reales & imaginarias. Ubi ergo Applicatae reales d sinunt, uti in C vel G , ibi fity - P o, seu ambae Appliacatae inter se fiunt aequales, ibique Curva cursum insectendo
I 8. Secundum Figuram apparet, dum Abscissa negativa-x
contineatur intra limites AC & A E , Applicatam γ sieri imaginariam , csseque P P Q Q : ultra E vero sinistrorsum progrediendo Applicatae iterum fiunt reales, quod fieri nequit nisi . Eulcri Introduci. in Anal. insin. Tom. II. BDiuitigoo by COOste
17쪽
Lis II, in E si PP-O, ideoque ambae Applicatae conveniant. Tum rursus Abscillis AP duplex Applicata Pm , Ptn respondet, donec ad G perveniatur , ubi hae duae Applicatae conveniunt , atque ultra o denuo fiunt imaginariae. Hujusmodi ergo linea curva constare poterit ex partihus a se invicem disjunctis ut MADPMS Fm Hm duabus pluribusve : nihilo vero minus hae partes conjunctim consideratae unam Curvam continuam seu regularem constituere sunt censendae, quia hae singulae partes ex una eademqtie Functione nascuntur. Illae ergo Curvae hanc habent
proprietatem , ut, si in singulis Axis punctis normaliter producantur rectae M V, eae semper Curvam vel nusquam vel in duobus puntas trajiciant; nisi sorte duo intersectionis puncta in unum coalescant, quod sit si Applicatae per puncta D, F, H, vel I ducantur.
I9. Si y fuerit Functio triformis ipsius adi, seu si y per hujusmodi aequationem γ' - Py' in Q y - Η - o definiatur . existentibus P, Q & R Functionibus uniformibus ipsius x ,
tum pro quo is valore ipsius x Applicata 3 tres habebit valores , qui, vel onan s Crunt reales, Vel unicus tantum , reliquis duobus existentibus imaginariis. Hinc omnes Applicatae Curvam secabunt, vel in tribus pundiis, vol tantum in unico, nisi ubi duo vel etiam tria intersectionis puncta in unum co- Itiscunt. Cum igitur unicuique Abscis Iae saltern una Applicatare dis conver iat, necesse cst ut Curva utrinque cum fixe in inlinitum eccurrat. Curva ergo vel uno continuo tractu consta-TAn. I. bit, ut in E Iara quarta ; vel duabus partibus a se junctis, uti P Φ in F gura quirita ; vel pluribus, quae tamen Omnes conjundita V unam eandemque Curvam continuam constituunt.1o. Si γ fuerit Functio quadriformis ipsius x, seu si y per hujusmodi aequationem y - P γ' - - Cy - R3 Φ S odesiniatur , tum unicuique valori ipsius x, Vel quatuor respondebunt valores reales ipsius y, Vel duo tantum, uti omnino
nullus. Hinc, in Curva ex hujusmodi s unctione quadriformiorta singulae Applicatae Curvam secabuat Velin quatuor punctis, Diuiti sed by COOste
18쪽
vel in duobus tantum , vel nusquam, quos singulos casus Flaura C A P. I. Sexta exhibet; notari autem debent loca Ι&o, ubi duo im 'tersectionis puncta in unum coalescunt. Hanc ob rem tam dentrorsum quam sinistrorsum vel nulli Curvae rami in infinitum Caecurrunt, vel duo vel etiam quatuor. Priori casu, quo ex neutra parte nulli rami in infinitum eXtenduntur, Curva unditaque erit clausa , ut figura indicat, spatiumque definitum inciti idit. Hinc ergo jam concludi potest indoles linearum curvarum , quae formantur cae Functionibus multiformibus quotcunque significatuum. 21. Si scilicet fuerit y Punctio multis armis, seu determinoetur per aequationem, in qua n sit expGnens maximae potestatis ipsius y , tum numerus Valorum realium ipsius yerit vel n , Vul n - χ, Vel n - ψ, Vel n - 6, &C. , in totidem ergo punctis quaelibet Applicata Curvam interlecabit. Ita, si una Applicata Curvam continuam secet in m punctis, omnes aliae Applicatae Curvam secabunt in tot punctis, quorum numerus semper numero pari disterat ab m; nusquam ergo Curva ab Applicata secari poterit in m - - I , Vel m- I, vel m ε 3 &C. , punctis. Hoc est, si numerus intersectionum unius Applicatae fuerit par vel impar, omnes quoque Applicatae reliquae Curvam secabunt in punctorum numero vel pari vel impari. 11. Si igitur una Applicata Curvam secet in punctorum numero impari, tum fieri nequit, ut ulla alia Applicata Curvam nusquam intersecut : CurVa ergo utrinque ad minimum unum habebit ramum in infinitum excurrentem, & , si ex alterutra parte plures rami in infinitum extendantur, Corum numerus debet esse impar, quia numerus intersectionum unius cujusque
Applicatae non potest esse par ἔ s ergo rami utrinque in infiniatum cxcurrentes simul numerentur, Corum numerus constanter erit par. Hoc idem locum hahet si Applicatae Curiam intersecent in punctorum numero pari, tum enim eX utraque parte seorsim vel nullus, Vel duo , vel quatuor &c., rami in intaritum eΣcurrent, unde ergo quoque omnium ramorum in ita
19쪽
LIB. II. finitum excurrentium numerus erit par. Iam igitur adepti su-r mus aliquot insignes proprietates Curvarum continuarum & regularium . unde eas a Curvis discontinuis & irregularibus discernere licet.
De Coordinataram permutatione.
I. i. Ou ΕΜ An Mo DuΜ ex aequatione inter Coordinatas x & y , quarum illa Abscissam, haec Applicatam denotat . data Curva describitur super Axe R X, initio Abscissarum Aalicubi pro lubitu assunto, ita vicissim , si jam descripta suerit
linea curva ejus natura exprimi poterit per aequationem inter Coordinatas. Hic autem quamvis Curva sit data , duae tamen
res in arbitrio nostro relinquuntur; positio scilicet Axis ES.& principium Abscissarum A. Quae cum infinitis modis variari
queant, etiam pro eadem linea Curva innumerabiles aequationes exhiberi poterunt, hancque ob causam ex aequationum divertitate non semper ad diversitatem linearum curvarum , quae illis aequationibus exprimantur concludere licet, etiamsi dia' versae Curvae perpetuo diversas praebeant aequationes. 2ψ. Cum igitur, variato tam Ase quam Abscissarum initio, innumerabiles oriantur aequationes ejusdem Curvae naturam exprimentes, hae omnes ita inter se erunt comparatae, ut eri data aequatione una reliquae omnes inveniri queant. Ex data enim aequatione inter Coordinatas ipsa linea curva determinatur ,
hac autem cognita , si quarcunque linea rei a pro Axe, & in ea punctum pro Abscissarum principio a sumatur , aequatio inter Coordinatas orthogonales definietur. Hoc igitur Capite methodum trademus, cujus ope , si aequatio pro Curva fuerit data , ad alium Axem quemcunque, & Abscissarum initium quodcunque aequatio inter Coordinatas inveniri queat, quae ejus dem Curva naturam exprimat. Atque hoc mucto reperiemur Disisti V GO le
20쪽
omnes omnino aequationes , quae ejusdem Curvae naturam com- CAP. II.
prehendant, sicque facilius diversitas linearum curvarum ex 'aequationum diversitate dijudicari poterit.
et s. Sit igitur data aequatio quaecunque inter x &y, ex qua D sumta recta AS pro Arce, &puncto A pro initio Abscillarum , ' ita ut x denotet Abscissam AP & y Applicatam P si, producatur linea curva CBM, cujus ergo natura per aequationem datam exprimitur. Retineamus jam primum eumdem AXum RS, at aliud punc tam in eo D pro initio Abscissarum assi mamus , ita ut nunc puncto curvae M respondeat Abscissa DP , quae ponatur t , Applicata vero Mi' manebit eadem - y , quae ante : quaeramus igitur aequationum inter t&y, qua ejusdem Curvae CBM natura exprimatur. Ponatur intervallum AD f, quod ab A sinistrorsum in regionem Abscillarum negativarum cadat, eritque DP t f- - x, ideoque x t f. Quare si in aequatione inter x & y data ubique locox substi: tuatur t- , prodibit aequatio inter i & y , quae Cam-dem lineam curvam CBM exhibebit. Cum igitur magnitudo A D - fab arbitrio nolim pendeat, iam innumerabiles dive
fas adepti sumus aequationes , quae omnes eandem lineam curvam Exprimant.
16. Si Curva alicubi Axem RS trajiciat, uti in C, tum sumto hoc puncto C pro initio Abscissarum, ejusmodi Ohtinebitur aequatio , quae, posita Abscissa CP o, simul Applicatam P m evanescentem sit praebitura ; s uidem unica tantum Applicata puncto Axis C respondeat. Intersectio autem C, si ulla pluresve dentur, invenietur ex aequatione primum proposita inter x & y, ponendo I -O, & ex aequatione quaerendo valorem vel valores ipsius x. Ubi enim Curva in Axem incidit , ibi sit 3 - o , facto ergo vicissim γ - o , omnes illae Abscissae seu valores ipsius x elicientur , ubi cura a in Axem incidit. 17. Initium ergo Abscis Iarum , retento AXe , mutabitur si Abscisia x data quantitate sive augeatur sive minuatur; hoc est , si loco x ponatur e s ubi ferit quantitas assirmativa, si Disiti co by Corale