장음표시 사용
31쪽
Lis. II. sub se complectitur. Functiones vero & aequationes inter hianas Coordinatas pluribus modis in diversa genera distribui possunt, uti fecimus in libro superiori. Ac primo quidem Fuia
tionum multiformitas se osteri, quae ad Liuearum curiarum in varias c allos distributionem prae aliis apta videtur; unde hujusmodi divisio oriretur , ut eae Lineae curvae, quae ex Functi nibus uniformibus oriuntur , ad genus primum , quae ex biformibus ad secundum , quae ex triformibus ad tertium referantur& ita porro. q. Quamvis autem haec divisio videatur naturalis, tamen,
si diligentius perpendatur , naturae Linearum curvarum, Carumque indoli minime conformis deprehendetur. Μultiformitas enim Functionum ab Axis positione , quae est arbitraria. p rissimum pendet, ita ut, si pro uno Axe Applicata fuerit Functio uniformis Abscissae , eadem , alio assumto Axe, Functio multiformis esse queat ; hoc ergo modo eadem Linea curva in diversis generibus occurreret, quod est contra institutum. Sic
enim Linea curva hac aequatione a ' y aaxx- x' expressa
pertineret ad genus primum , quia Applicata y est Functio uni formis ipsius α; permutatii vero Coordinatis , seu AYe sumto
ad priorem normali. eadem Curva eXprimitur aequatione γ' a a yy H- a' x o, sicque ad genus quartum pertineret. Hanc igitur ob causam multiformitas Functionum ad characterem, quo Lineae curvae in classes distribuantur , constituendum admitti
nequit. oso. Eque parum simplicitas aequationum naturam Linearum curvarum exprimentium , ratione numeri terminorum charact
rem d stinctionis constituere poterit. Si enim eae Curvae ad genus primum reserantur quarum aequatio constet duobus te minis, ut γ' - α x' , ad secundum quarum aequatio conti-ncat tres terminos ut αγρο - cy'x' - γ x' - o, & ita porro, manifestum est eandem Lineam curvam in plurihus goperibus Occurrere. Per exemplum enim s. 36. subjunctum Linea curva aquatione Digiti sed by Gorale
32쪽
ArcggRAMARUM IN ORDINES DIVISIONE. 1s
Mquatione F y - a x O contenta simul ad genus primum &quartum reterri deberet, quia , mutato Me, etiam huc aequatioue
I 6uu- 2 tu Φ 9u- 3 sau in Ioat O , exprimitur. Deberet vero etiam, aliter assumto Axe & Abia cistarum initio, simul ad genus secundum, tertium, & quintum pertinere ; ex quo illa divisio adhiberi omnino non potest
s I. I Iaec incommoda evitabuntur si aequationum, quibus relatio inter Coordinatas exprimitur, ordines ad Curvarum classes constituendas adhibeantur. Cum enim pro eadem Linea curva , utcunque tam Aaeis & principium Abscissarum quam inclinatio Coordinatarum varietur; aequatio ejusdem semper Ordinis maneat; eadem Linea curva non ad diversas classes referetur. Charactere ergo in numero dimensionum , quas Coordinatae , sive orthogonales sive obliquangulete , in aequatione complent , constituto, neque Axis neque principii Abscissarum mutatio , neque inclinationis Coordinatarum variatio , classium contati tutionem perturbabit. Atque eadem Curva, sive aequatio inter Coordinatas specialis quaeque sive generalis sive etiam generalissima spectetur . ad eandem semper classem annumerabitur. Quam ob rem character distinctionis Linearum curvarum convenientissime ab ordine aequationum petitur. 11. Quoniam igitur haec diversa aequationum genera, quae eTdimensionum numero constituuntur, ordines vocavimus, diversa quoque Linearum curvarum genera , quae hinc oriuntur, ordinum nomine appellabimus. Cum ergo aequatio primi ordinis generalis sit Ο - α -- cx Φ γγ Omnes Lineas curvas , quae sumtis x & y pro Coordinatis, sive orthogonalibus sive obliquangulis, ex hac aequatione profici C.
Cuntur , ad ordinem primum referemus. Supra autem vidimus in hac aequatione tantum Lineam rectam contineri, & hanc ob
Eulcri Introduci. in Anal. injin. Toni. Γ. D
33쪽
II rem primus ordo solam Lineam rectam in se complectitur , qui utique inter omnes Lineas est simplicissima. Cum igitur nomen Curvae huic primo ordini non conveniat, hos ordines non Linearum curvarum , sed vocabulo latiori simpliciter Linearum vocabimus. Ordo ergo Linearum primus nullam Lineam curvam continet, sed a sola Linea recta exhauritur. 13. Perinde autem est sive Coordinatae statuantur rectanguIae sive obliqtiangulae; quod si enim Applicatae cum Axe faciant angulum C , cujus Sinus sit M. & Cosinus ν, aequatio ad Coo dinatas orthogonales reducetur, ponendo & x -- Φι - , unde ista inter Coordinatas orthogonales t &
quae cum non minus late pateat quam prior, utraque enim ess generalis, manifestum est significationem aequationis non restringi, ctiamsi angulus, quem Applicatae cum Axe faciant, rectus statuatur. Hoc idem eveniet in aequationibus sequentium o dinum generalibus, quae non minus late patebunt , etsi Coordinatae orthogonales statuantur. Cum igitur aequatio generalis cujusque ordinis per determinationem inclinationis Applicatarum ad Axem nihil de vi sua perdat, ejus significatum non restringemus , si Coordinatas orthogonales statuamus. Quaecunque enim Linea curva in aequatione generali cujusque ordinis continetur , sumtis Coordinatis obliquangulis, eadem Linea cu va in eadem arquatione continebitur, si Coordinatae rectangulae statuantur. I . Lineae porro secundi ordinis omnes continebuntur in hac aequatione generali ordinis secundi.
34쪽
Arsg3RAICARUM IN ORDINES DIVISIONE. 1
Omnes scilicet Lineas curvas, quas haec aequatio, denotanti- CAPhas litteris x & γ Coordinatas orthogonales , in se complectitur, ad ordinem Linearum secundum numeramus. Sunt igitur hae Lineae curvae simplicillimae, quia in ordine primo nulla Linea curva continetur, & hanc ob rem a quibusdam Lineae curvae primi ordinis vocari solent. Lineae vero illae curvae in hac aequatione contentae sub nomine Sectiori Im conicarum vulgo in notuerunt , quia eaedem omnes ex sectione Coni nascuntur. Diversae harum Linuarum species sunt Circulus, Ellipsis, Parabola& Hyperbola, quas infra ex aequatione generali deducemus. Ad tertium porro Linearum ordinem reseruntur omnes Lineae curvae, quas sequens aequatio tertii ordinis generalis
sumtis x & γ pro Coordinatis orthogonalibus , quia conditio Obliquitatis Applicatarum ampliorem significatum huic aequationi non inducit, ut jam notavimus. Quia in hac aequatione multo plures , quam in praecedente habentur litterae constantes , quas pro arbitrio definire licet, etiam multo major specierum diversarum numerus in hoc ordine continetur, quarum enumerationem exhibuit NEWTONUS. 36. Ad quartum Linearum ordinem Pertinent omnes Lineae curvae, quas haec aequatio generalis quarti ordinis exhibet
sumtis x & y pro Coordinatis orthogonalibus , quia obliqui tas Applicatarum aequationi majorem generalitatem non inducit. Occurrunt ergo in hac aequatione quindecim quantitates constantes , pro arbitrio definiendae , unde multo major specierum diversarum varietas in hoc ordine occurrit, quam in prae
35쪽
II. curvae tertii ordinis, quia Linearum ordo secundus pro Linearum curvarum ordine primo reputatur ; similique modo Lineae tertii ordinis conveniunt cum Lineis curvis secundi ordinis.s . Ex his jam intelligitur, qiuenam Lineae curvae ad ordinem quintum, sextum , septimum & sequentes pertineant. AEquatio autem generalis omnes Lineas quinti ordinis in se com Pleclans , quia ad aequationem generalem quarti ordinis insupeTaccedunt termini,
constabit omnino terminis viginti & uno . & aequatio gener lis omnes Lineas sexti ordinis continens habebit viginti & octo terminos , & ita porro secundum numeros trigonales. Scilicet aequatio generalis pro Lineis ordinis n continebit terminos, totidemque in ea inerunt litterae constantes, quas Pro arbitrio definire licet. 38. Neque vero quaeli het litterarum constantium diversa determinatio diversas Lineas curvas producit. Vidimus enim in praecedente Capite pro eadem Linea curva , mutatis Axe &Abscissarum initio, infinitas exhiberi posse aequationes diversas;
unde ex diversitare aequationum ad eundem ordinem pertinentium non sequitur Curvarum iis aequationibus indicatarum di Versitas. Quam ob rem in enumeratione generum ac speci rum id cundem ordinem pertinentium , quae ex aequatione generati deducitur, admodum cautum csta opportet, ne ea lem Linea curva ad duas pluresve species referatur.39. Cum igitur ex ordine aequationis , quae inter Coordinatas datur, Lineae curvae Ordo cognoicatur, proposita quacunque aequatione algebraica inter coordinatas x di y , statim constabit, ad quemnam ordinem Linea curva illa aequatione imdicata lit referenda. Primum Scilicet aequatio , si sit irration lis , ab irrationalitate liberari, tumque , si fractiones supersu
36쪽
-GEDAICARUM IN ORDINES DIVISIONE. 19
numerus, quem varia hiles x & y in ea constituunt , ordinem, CAP.III. ad quem Linua curva pertinet, indicabit. Sic Linea curva, quam haec aequatio yy- ax - o dat, erit Ordinis secundi: Linea curva autem in hac aequatione yy - xv aa - xx quae ab irrationalitate liberata sit ordinis quarti contenta erit ordinis quarti . Et Linea curva, quam haec aequatio praebet y - , erit ordinis tertii. quia aequatio a fractioni-hus liberata fit any -- xxy- a'-ao, in cujus termino xv tres sunt dimensiones. 6o. In una eademque autem aequatione pIures Lineae curvae diversae contineri possunt, prout Applicatae ad Axem vel no males vel sub data obliquitate constitutae ponuntur. Sic haec aequatio re aa - xx , si Coordinatae ponantur orthogonales, praebet Circulum , sin autem Coordinatae obliquangulae statuantur , tum Curva erit Ellipsis. Omnes tamen istae curvae diversa ad eundem ordinem pertinent , quia reductione Coordinatarum obliquangularum ad rectangulas ordo Curvae non mutatur. Quanquam ergo aequatio generalis pro Lineis curvis cujusque ordinis ob angulum , quo Applicatae Axi insistunt, neque latius neque minus late patens redditur, tamen proposita aequatione speciali Linea curva in ea contenta non determinatur, nisi angulus quem Coordinatae inter se constituunt, determi
61. Quo Linea curva ad eum ordinem, quem aequatio indicat, proprie reseratur, necesse est, ut aequatio in Factores rationales resolvi nequeat. Si enim aequatio duos pluresve haheat Factores, tum duas pluresve involvet aequationes , quarum quaelibet peculiarem Lineam curvam generabit, quae jun tim sumtae aequationis propositae vim exhaurient. Hujusmodi ergo aequationes in Factores resolubiles non unam sed plures Curvas continuas in se complectuntur, quarum quaevis peculiari aequatione exprimi queat; & quae aliter inter se non sunt
conneXae ; nisi quod earum aequationes in se mutuo sint mul
37쪽
Li8. II. modi Lineae curvae non unam continuam Litieum consti tuere' celaseri possunt. Tales ergo ar vationes, quas supra complexas vocavimus, producent Lincas curvas non continuas, attamen eX continuis compositas, quas propterua compluX cubimus.
62. Sic haec aequatio yy V - - - ax , quae ad Lineam secundi ordinis else videtur, si ad nihilum reducatur , ut sit yy - ο - Η Φ ax o constabit ex hii: Factoribus y- x y - a o, complectitur ergo has duas aequationes 3 x: o & y - a o, quarum utraque est pro Linea recta , illa scilicet cum Axe in initio Abscissarum angulum semitectiunconstituis, haec vero Axi ad distantiam - a cis parallela. Duae ergo illae lineae recta simul consideratae in te luatione proposita
yy - ο - - -- continentur. Simili modo haec aequatio est complexa γ' -- Η' - xx - π' in axv - aas neque propterea Lineam continuam quarti ordinis exhibet, cum
enim Factores sint y - x y - a yy - ax tres conti nubit lineas discretas , duas 1 cilicet rectas & unam Curvam inaequatione Π - ax contentam.
63. Possunt ergo pro lubitu Lineae complexae quaecunque se mari , quae complectantur duas pluresve Lineas sive rectas sive curvas ad arbitrium descriptas. Quod si enim unius cujusque Lineae natura exprimatur per arctuationem ad eundem Axena idemque Abscissarum initium relatum , haeque aequationes singulae, postquam ad cyphram suerint recluctar, in se multipli centur, prodibit aequatio complexa, in qua omnes Lineae as-T 3. IV. sunitae simul continentur. Ita, si propositus seerit Circulus Fig. i5. centro C & Radio C A - a descriptus, ac praeterea Linea recta LN per Centrum C transiens, arquatio pro quovis Axe exhiberi poterit, quae Circulum & Lineam rectam , quasi ambo unam Lineam constituerent, conjunctim complectatur. 6 . Sumatur diameter ω B, quae cum recta LN angulum semirectum constituat pro ΑXe, ac sumto initio Absciitarum
in A, vocatisque Abscissa A P -x , & Applicata PM - γ, erit pro Linea recta PM α CP - a - x, & quia punctum
38쪽
ArcgpRAI ARUM IN ORDINES DIVISIONE. 3t
rectae M in regionem Applicatarum negativarum cadit, erit c Ary - - a Φ X, seu y - x Φ a - o. Pro Circulo autem cum sit PM AP.PB, oh BP Σa -x , erit Π Σ--xx seu yy in xx- χax o. Multiplicentur jam nae duae aequationes in se invicem ac prodibit aequatio tertii ordinis complexa y' -y' xΦyxx - x' - ayy-2axy ε 3 xx- 2aax o, quae tam Circulum quam lineam rectam simul in se complecte tur. Abscissae scilicet AP - x respondere invenientur tres Applicatae , hinae Circuli & una rectae : sit nimirum x - - a , ficty' - το'-aay-l a' o , unde fit primo γ -la - o tum divisione per hanc radicem instituta erit Π β an o, unde tres valores ipsius y erunt.
II. y lav3,' III. y--Lav3. Quasi ergo Circulus cum recta LN unum continuum conia tituerit , ita in aequatione repraesentatur. 6 s. Notato hoc discrimine inter Curvas incomplexas & complexas , perspicuum est Lineas secundi ordinis vel esse Curvas continuas, vel ex duabus Lineis rectis complexas ; si enim aequatio generalis habet Factores , hi erunt primi ordinis, ide que Lineas rectas denotabunt. Lineae autem tertii ordinis erunt vel incomplexae, vel ex una recta & una Linea secundi ordinis complexae, vel ex tribus Lineis rectis Complexae. Porro Lineae quarti ordinis erunt vGl continuae seu incomplexae, vel ex una Linea recta & una Linea tertii ordinis complexae, vel ex dua-
39쪽
LIB. II. hus Lineis secundi ordinis complexae, vel ex Linea secundῖ ordinis una & duabus rectis vel denique ex quatuor Lineis rectis complexae erunt. Similiter ratio Linearum complexarum ordinis quinti altiorumque ordinum est comparata parique modo enumerari poterit. Ex quo patet in quovis Linearum ordine simul omnes Lineas ordinum inferiorum comprehendi, nuque vero simpliciter, sed quaelibet ordinum inferiorum complexa cum Linea vel Lineis rectis, vel cum Lineis secundi, tertii, sequentiumve ordinum, ita tamen , ut si numeri singulorum ordinum ad quos Lineae simplices pertinent in unam summam addantur, Prodeat numerus, quo ordo Lineae complexae indicatur.
De Linearum cujusque ordinis praecipuis proprietatibus. 66. I s r g n praecipuas proprietates Linearum cujusque Ordinis primum locum tenet earum concursus cum Linea recta , seu intersectionum multitudo, quas Linea recta cum Lineis cujusquo ordinis facere potest. Cum enim Linea primi ordinis ,1 eu recta, ab alia Linea recta nonnisi in unico puncto secari pota sit, Lineae curvae autem in pluribus punctis a Linea recta secari queant; merito ergo quaeri solet in quot punctis Linea curva cujusque ordinis secari possit a Linea .recta utcunque ducta: ex ipsa enim hac quaestione natura Linearum curvarum ad Varios Ordines pertinentium melius cognoscetur. Reperietur autem
Linea secundi ordinis a recta in pluribus quam duobus punctis secari non posse : Linea autem tertii ordinis a recta in pluribus quam tribus punctis secari nequit, & ita porro. 67. Supra jam mentionem secimus modi, quo determinari potest in quot punctis Axis cujusque Curvae ab ipsa Curva secetur. Data enim aequatione inter Abscissam x & Applia
40쪽
ORDINIS PRAECIPUIS PROPRIETATIBUS. 33
catam ν, quia ubi Cumae punctum in Axem incidit, ibi Ap- CAὶ IV.
plicata y sit o, ponatur inaequatione y o, atque aequario resultans, quae tantum x continebit, monstrabit valores ipsius T13. IV. , hincque Axis puncta, ubi Curva ipsum secabit. Ita in aqua- h s tione pro Circulo, quam supra in Enimus, Π 2ax xx ,
si Ponamus y O , sit O 2ax-xx, unde duo valores
ipsius x resultant, x o& x 1a, qui indicant Axem RS primo in ipso Abscissarum initio .A, tum vero in puncto B, existente Ag 2a , a Circulo intersecari. Similique modo in aliis Lineis curvis, posito in aequatione 3 o, radices ipsius x indicabunt intersectiones Curvae cum Axe. 68. Quoniam in aequatione generali pro qua 'is Curva, Litanea recta quaecunque vicem Axis sustinet, si in aequatione generali ponatur Applicata 3 o, aequatio remanens indicabit in quot punctis Linea curva a recta quacunque trajiciatur. Pr dibit autem aequatio Abscissam solam x, tanquam incognitam, complectens , cujus singulae radices ostendent intersectiones Cu vae cum Axe. Pendebit ergo intersectionum numerus a maxima ipsius x in aequatione potestate, hincque major esse non Poterit quam Exponens summae ipsius x potestatis. Tot vero erunt intersectiones, quot eXponens maximae potestatis ipsius x continet unitates, si omnes radices aequationis fuerint reales , sin autem aliquot radices fuerint imaginariae , intersectionum
69. Cum igitur pro quovis Linearum ordine aequationes generatissimas exhibuerimus ; ex iis, modo exposito , invenire poterimus, in quot punctis Lineae cujusque ordinis a recta qua cunque secari queant. Sumamus ergo aequationem pro Lineis primi ordinis seu pro Linea recta generalem, o α. - cx εγy , ex qua, postOy O, iit o - α ε cx, quae aequatio plus una radice habere nequit, unde patet Lineam rectam ab alia recta in unico puncto secari. Sin autem sit c o, aequatioo-α impossibilis indicat hoc casu Axem a Linea recta nuta quam secari, erunt enim ambae hae Lineae rectae inter se parallelae, uti patet ex aequatione o - α - - γy, quae Oritur si c o.