장음표시 사용
21쪽
Lrn. IL novum Abscissarum in ilium D sinistrorsum ab A fuerit rem tum; erit vero j quantitas negativa , si punctum D ad de tram ab A fuerit situm. mih 11 Ponamus nunc descripta Curva LBM ex data aequationei . b. inter AP - x& PM y , alium a I sumi Axem r s priori parallelum in eoque punctum D pro Abscissurum initio : cadat autona ille Axis in regionem Applica arum negativarum, sitque ejus a priori Arce dillantia AP g, atque ponatur intervallum DF AG -f. Sit isitur in hoc novo Axe Abscissa
puncto Curvae M respondens, D Q t, & Applicata secti it,
requatione inter x dc y data, substituatur ubique t - loco x,& v g loco γ, orietur aequatio inter i & v , qua ejusdem
lineae curvae natura EXPrimetur.
18. Cum igitur magnitudiness&g ab arbitrio nostro pendeant, hincque infinitis modis definiri queant, infinities plures diversae tamari poterunt aequationes quam priori casu .
quae tamen omnes ad eamdem lineam curvam pertineant. Quod si ergo duae aequationies altera inter x & y, & altera inter i &u , hoc tantum a se invicem discrepent, ut altera in alicram transformetur, si Coordinatae uisuis datis quantitatibus sive augeantur sive minuantur, tum am hae aequationes licet diversae tamen eamdem lineam curvam exhil chunt, Hinc igitur sicile innumerabiles formabunt r aequationes diversae, quae tamen omnes ejusdem lineae curvae naturam exprimant. 29. Statuatur novus Axis rs normalis ad priorem RS, O-TAB. II. cansque ipsum in principio Abscissarum A, ita ut pro utroque V g y Axe idem sit Abscissarum initium A. Quoniam pro Axe RS datur aequatio sd Cursam LM inter Abscissam AP ae, &Applicatum Ps --y , ducatur ex Curvae puncto M in novum Axem rs perpendicularis II Q & vocetur Abscissa nova A Q t, Applicata nova QAI υ, eritque ob APMQ paralialelogrammum rectangulum, t - y &-Hinc, exariuatione inter x & y data , formabitur aequatio tuter i & v, Disisti by GO le
22쪽
to ponendo u Ioco x & t loco y. Prior ergo Abscissa x nunc abit in Applicatam QM ti, & prior Applicata y nunc ahit in Abscis Iam AQ-t; pro isto itaque novo AXe nulla aliane aequationi variario inducitur nili , quod Coordinatae x & γ ri inter se commuttentur : hancque ob rationem Abscissa & Ap-lat plicata simul Coordinatae vocari solent, nullo facto discrimine , se utra pro Abscissa Applicatave accipiatur. Proposita enim aequa- - tione inter duas Coordinatas x & y, eadem Curia emergit , , sive x sive y ad Abscissam indicandam accipiatur.3 o. Posuimus hic novi Axis rs portionem A s exhibere, Abscissas assirmativas, atque ad dextram Axis rs statui regio-i nem Applicatarum amrmativarum , quae cum ab arbitrio peru, deant, pro lubitu immutari poterunt. Scilicet si Axis portioi A r Abscissis assirmativis destinetur, erit utique A Q - - t, sicque in aequatione inter x & y loco y poni debet - t. Deinde
si ad dextram Axis es regio Applicatarum negativarum si tuatur, fiet UM - v, atque pro x scribi debebit - u. Atque hinc intelligitur naturam lineae curvae non mutari etiamsi in aequatione inter Coordinatas vel alterutra Vel utraque negativa statuatur; id quod in omnibus aequationis transmutationibus est tenendum. 3I. Secet nunc novus Axis rs priorem R S sub angulo quocunque S As ; fiatque interstidito in ipso Abscissarum initio A, quod punctum in utroque Axe initium Abscissarum constituat. Data ergo sit pro Axe RS aequatio qua cunque pro Curva LIMinter Abscissam AP x & Applicatam PsI - γ, ex qua
reperiri debeat aequatio ad eamdem Curvam pro novo AXe rs,
seu ex Curvae puncto M ad novum Axem demisso perpendiculo AI Q , inter Abscissam novam A Q t, & Applicatam M Q u. Sit angulus S As - q ; ejus Sinus m , & Co-
sinus n , sumta unitate pro Sinu toto ut sit nam H- nn I.
23쪽
di nu- me nny ε inv y. IEquatio ergo quaesita intera & u reperietur, si in aquatione inter x & y, proposita ubique loco x scribatur mu H- ut & -mi loco y, si quidem Axis portio As contincat Abscissias a formativas, di Applicata affirmativae in regioncm QM cadant. Posuimus hic etiam anguli m SAs in regionem Applicatarum negativarum cadere ;quod si autem As supra A, caderet; in calculo angulus SAs q negativus , ac propterea Cj s Sinus m negative accipi de
ily sa. Tribuatur nunc novo AXi rs postio quaecunque , in eoque sumatur pummim quodvis D pro Abscissarum initio. Sit 2 S Axis prior, pro quo habctur arquatio inter Abscissam AP x & Applicatam P M y, qua natura Curvae LM exprimitur; unde aequatio inter alias Coordinatas i & u ad novum AXemrs relatas exhiberi debet. Demisso scilicet ex quovis Curvae puli ho M in novum Axem rs perpendiculo AI Qvocetur Aliscissa D Q t, & Applicata QM u. Inter quas ut aequatio inveniatur, ex novo Abscissarum initio D in AXem priorem RS ducatur perpendicularis DG , ac ponatur
Cosinus n, posito semper Sinu toto I , ut sit in m Φ
qq.. Iam ex puncto O ducantur tam in novum Axem D Qquam in Applicatam ΜQ normales in & in ; atque , ob an
24쪽
33. Quoniam nullus excogitari potest Mis rs, qui quidem
in eodem plano cum Cur a sit situs , qui non in hac postrema determinatione contineatur; pro eadem quoque Curia LM nulla existet aquatio inter Coordinatas orthogonales, quae non tu hac aequatione inter i Sc u inventa Comprehendatur. Cum igitur quantitates f& g cum angulo q, unde m dc n pendent, infinitis modis variari queant , omnes aequationes , quae in aequatione inter i Sc u hoc modo inventa continentur, ejusdem lineae curvae naturam expriment. Hanc ob rem ista aequatio interi Sc u vocari solet aequatio generalis pro Curva L M, quoniam ea in se complectitur omnes omnino aequationes ' quae ad eandem lineam curvam vertinent. 36. Supra jam innuimus dissicile esse ex diversitate aliquot aequationum inter Coordinatas judicare, utrum eae ad eandem lineam curvam , an ad diversas reserantur : nunc igitur patet via omnes hujusmodi quaestiones dijudicandi. Sint enim duae Propositae aequationes , altera inter x di y, 8c altera inter i &ti, ponatur in illa x mu H- nt - 1 Sc y nia - mi g, ubi m dc n ita a se invicem pendent ut sit mm -- nn I ;quo facto dispiciendum eset utrum altera illa aequatio inter t& vin hac, quae modo est eruta, contineatur, seu an quantitates 1 , g cum m dc n ita definiri possint, ut ipsa altera aequatio inter i Sc ti resultet. Quod si fieri possit, ambae aequationes eandem lineam curvam expriment, sin secus diversas.
leti Introduci. in Anal. insin. Τom. II.
25쪽
I6uv - 2 tu Φ 9it - s sau in I oat O , ad eandem lineam curiam referri, etiamsi ipsae plurimum di crepent : si enim in priori aequatione ponamus x mu nt-s & y nu- mi g, ea transformabitur in hanc
Num igitur in hac altera illa aequatio contineatur, multiplic mus illam per nn hanc vero per I 6 , ut termini primi utri que congruant, habebiturque
26쪽
ergo superest, nisi ut sit gg in af o, quod, cum snondum c/y Rsit determinatum , nil habet dissicultatis , siet enim j - - a.
Ostensum ergo est, has duas aequationes propositas eandem lineam curvam exhibere. 3τ. Quanquam autem sieri potest , ut aequationes admodum diversae eandem lineam curvam repraesentent, tamen saepe ni mero Ex aequationum diversitate tuto linearum curvarum di versitas concluditur. Evenit hoc si aequationes propositae ad diversos ordines pertineant, seu in quibus maximae dimensi nos , quas Coordinatae x & y seu i & u constituunt, sunt diversae , hoc enim casti lineae curiae, quae per has mitiationes indicantur, certo erunt diveris. Cujuscunque enim ordinis suerit aequatio inter x & y , si ponatur x mu ε ni - f & y nu - mi - g, resultabit aequatio inter i & u eiusdem ordinis ; quare, si altera aequatio inter i & u proposita ad alium ordinem pertineat. Curvam quoque diversam indicabit. 38. Νili igitur duae aequationes, altera inter x & y altera interr I u, ad eundem ordinem pertineant, statim concludendum est lineas curvas, quae allis aequationibus exprimuntur, esse di versas. Dubitatio ergo tantum locum habere potest , si ambae aequationes fuerint ejusdem ordinis, hisque solii in casibus investigatione ante tradita Opus erit, quae autem cum satis operosa evadat, si aequationes ad altiorem quempiam ordinem pertineant, infra expeditiores regulae tradentur, ex quibus statim varietas
Curvarum dignosci poterit. 39. Quae sic de invenienda aequatione generali pro quavi S TAB. II. linea curva sunt praecepta , eadem ad lineam rectam accommo- HO dari possunt. Sit enim, loco lineae curvae, proposita linea re ta L M, quam AKi RS parallelam statuamus : ubicunque e go initium Abscissarum A capiatur, erit semper Applicata P Μ constantis magnitudinis, seu γ a; quae ergo est aequatio pro linea recta Axi parallela. Quaeramus hinc aequationem gen ratem lineae rectae ad Axum quemcunque rs relatam; possit ergo D G - g, anguli OD s Sinu m , Cosinu n , &
27쪽
'aequatio generalis pro linea recta. Multiplicetur ea per consta tem & ponatur n k - α, m - - & g --a - b , eritque aequatio α. u H- c t in b O pro linea recta , quae cum sit aequatio primi ordinis inter i & v generalis , patet omnem aequationem primi ordinis inter duas Coordinatas, nullam lineam curvam , ted rectam lineam exhibere. r, a. m. 4O. Q toties ergo inter Coordinatas x & y talis prodie Tu. 33. aequatio α x ε c y - a o ; toties ea praebet lineam rectam, cujus positio respectu Axis RS ita dcterminabitur. Ponatur prinio F o, sicque in Axe reperitur punctum C, ubi haec recta Axem trajicit , fit enim A C - - -; tum ponatur X - ,
fietque y --- qui est valor Applicatae AB in initio Abscissarum. Cum ergo habeantur duo puncta , Γ & C, in recta quas ita , ea erit definita, ideoque aequationi propositae satis fi ciet recta LM. Ponatur enim Abscissa quaecunque AP - r& respondens Applicata MP -y , erit ob similitudinem triai
cy a, quae est ipsa aequatio proposita. I. Si fuerit vel α vel c - o, tum ista constructio usum habere non poterit, at vero isti casus per se sunt facillimi. Sit enim ec o , & y a , unde patet lineam satisfacientem esse rectam Axi parallelum ab eoque intervallo a remotam, sia sit a - o, seu I o, linea satisfaciens in Axem incidet Quod si vero fuerit c o, & x a , perspicuum est lineam satisfacientem esse rectam ad A Xem normalem , quae ab initio Abscissarum intervallo a disset. IIoc scilicet casu omnibus Applicatis unica Αbscissa respondet, ita ut Abscissa quantitas. variabilis esse desinat. Ex his igitur luculenter perspicitur, quemadmodum lineae rectae per aequationes inter Coordinatas.
orthogonales designari queaut. Dissili od by Corale
28쪽
1. Assumsimus hactenus Coordinatas , qui hus natura Curvae CAP. II. definitur , inter se esse normales , simili vero modo etiam ex 'data aequatione linea curva definietur , si Applicatae ad Axem sub angulo quocunque inclinentur. Vicissim ergo natura Cu Vae exprimi poterit per aequationem inter duas Coordinatas obliquangulas, atque hujusmodi aequationes quoque variatis cum Axe tum principio Abscissarum innumerabilibus modis variari possunt , manente Curva eadem. Sicque pro quavis obliquitate Coordinatarum aequatio generalis ad Curvam ex libberi potest. Quod si vero etiam haec Obliquitas alia atque alia statuatur, mulio latius patens eructur aequatio pro Curva , quam aequationem generalis limam appellabimus , quoniam naturam Curvae non solum eXprimit per aequationem ad quemvis Axem& quodcunque initium Abscis Iarum relatam, sed etiam pro quacunque Coordinatarum obliquitate. Haecque adeo aequatio generalissima abibit in aequationem generalem , si angulus, quem Coordinatae inter se constituunt , rectus statuatur. s. Data sit pro Curva LM aequatio inter Coordinatas rec- Τ η. III. tangulas, nempe inter AP - x & P M - y , & quaeratur, Fis, retento Axe RS & initio Abscissarum A eodem, aequatio inter Coordinatas , quae datum angulum comprehendant qui sit - p.
ιχυ & x - t - ν M. Consequenter si in aequatione inter x& y proposita ponatur x ι u & y sinu prodihil aequatio inter Coordinatas obliquangulas a & ti, quae inter se datum angulum p constituant.
4. Quod ii autem data fuerit pro Curva LM aequatio i iet Coordinatas obliquangulas A Q & Q M; ex ea vicissi
29쪽
Lrn. II. rope, ctur aequatio pro eadem Curi a intor Coordinatas orthogonales AP & P II. Sit enim p angulus, quem Applicatae 2:1 Q cum Abscissis A O consutuunt, cujus Sinus & Cosmus ν , dataque sit aquatio inter t & QAi - u. Ex II ducatur ad Axem Applicata normalis MD, &, po sita Abscissa AP -x Ela. Applicata M P γ, quia est v
a- & t - - Η- x, si hi valores in aequatione inter e & u
proposita substituantur, prodibit aequatio inter x & y , quae
T s. 7V- Data nunc aequatione inter Coordinatas G S' AP es x - & PRI-3 1 ro Curva L M, hoc soneralissima pro eadem linea curva inveniri poterit. Sumatur
reicta quaecunque rs pro Ave, & in eo punctum D pro Abstacilliarum initio ; Applicatae vero M T ad hunc Axem ductae faciant angulum L TII φ , cujus Sinus sit & Cosi nus ν; Erit ergo nova Abscissa DT & Applicata I 1, inter quas aequatio quaeritur. EX D in Axem priorem RS ducatur perpendicularis D G , & sit A G -J ; D G g, duci. taque D U Axi RS parallela sit anguli O D s Sinus ines m. Cosinus n. Ducatur, ut ante fecimus, ex M ad Axem novum rs normalis As Q, & ponatur D t; QM-u; Coordinatae autem obliquangulae, sint D ' r; TAI - s; Erit ergo primo i r - τ s & υ - μ s 3 ; deinde vero est x m v Φ n t - & γ - n υ -- m t - g 36 . Hinc fiet x n r - nν - mu s - f & y - - ni r n - νm s - g, ubi est n ν - m Colinus anguli A VM, quem novae Applicatae cum Axe priori RS confluiuunt, & μn in νm est Sinus hujus anguli A VII. Quod si ergo in aequatione inter x & y loco x & γ illi valores inventi substituantur, prodibit aequatio inter Coordinatas obliquangulas r & s, quae erit aequatio generalistima pro Curia LII. 6. Quoniam in valoribus , qui loco x & γ Gibstiniuntur, novarum variabilium r & s unica inest dimensio, manifestum est aequationem generalissimam ejusdem esIe ordinis , cujus erat
30쪽
aequatio proposita inter x & y. Quomodocunque ergo aequa- CAP. III. tio ad eansem Curvam transformetur , mutatis utcunque tam e Axe, & Abscissarum initio, quam inclinatione mutua CCordinatarum . tamen perpetuo aequatio ejusdem erit ordinis. Quanquam ergo aequatio inter COOrdinatas, sive orthogonales sive obliquangulas , infinitis modis variari potest, ut ad eandem CurVam pertineat 3 tamen neque ad ordinem altiorem evehi, neque ad inferiorem deprimi poterit. Atque hanc ob causam aequationes diversi ordinis, utcunque alias fuerint amnes , t men semper Curvas diversas , exhibebunt.
De Linearum curvarum algebraicarum in ordines divisione. 7. C υ M Linearum curvarum pariter ac Functionum varietas sit infinita , earum cognitio nullo modo acquiri poterit , nisi infinita multitudo in certas classes digeratur , hocque modo mens in earum scrutatione dirigatur a que adjuvetur. Divisimus jam quidem Lineas curvas in augebra as et tranfendentes, verum utraque classis, ob infinitam Cur arum varietatem , ulteriori subdivisione opus habui. Hic autem tantum Curvas algeb Las spectamus , quas quemadmodum commodissime in classes dis ribui conveniat, di piciamus. Charate res igitur primum definiendi sunt, quibus clas Ilum varietates determinentur, ita ut quae Curvae eodem charactere sint praeditae , eae ad eandem ; quae contra, ad dive fas classes referantur. 8. Characteres ergo isti varias classes distinguentes aliunde , nisi ex Fuinctionibus seu aec: uationibus , quibus Linearum curvarum natura continetur, peti nequeunt; cum, quia alia via ad Curvarum cognitionem perveniendi adhuc non patet; tum, quia nulla alia, quae quidem datur , omnes Curvas algebraicas ι