장음표시 사용
41쪽
LII. II. 7o. Si in aequatione generali pro Lineis secundi ordinis
quae aequatio vel duas habet radices reales, vel nullam, vel etiam unicam si δ o. Hinc Linea secundi ordinis a Linea recta vel in duobus punctis secabitur, vel in unico , vel nutaquam. Qui casus omnes sic in unum comprehendi possunt, ut dicamus Lineam secundi ordinis a Linea recta plusquam in du
hus punctis secari non posse. 7 I. Si in aequatione generali pro Lineis tertii ordinis ponamus y - o , prodibit hujusmodi aequatio
quae cum plures tribus radicibus habere nequeat, perspicuum est Lineas tertii ordinis a Linea reista in pluribus quam tribus Punctis secari non posse. Fieri vero potest ut Linea tertii O diuis a Linea recta in paucioribus punctis secetur, nempe Vel in duobus , si δ o, & aequationis o - α Φ exH--x ambae radices fuerint reales ; vel in unico si superioris aequationis duae radices fuerint imaginariae, aut si sit & δ' - Ο & γ o ;vel etiam nusquam si δ' - Ο & reliquae aequationis ambae radices fuerint imaginariae, quod idem evenit si C, γ, & δ eu nescant, at α fuerit quantitas non aequalis nihilo. 72. Simili modo colligetur Lineas quarti ordinis a recta in pluribus quam quatuor punctis secari non posse; haecque Proprietas ad omnes Linearum ordines ira extendetur, ut Lineae ordinis n a Linea recta in plurihus quam n punctis secari nequeant. Neque vero hinc sequitur omnem Lineam ordinis na quavis Linea recta in n punctis secari, sed utique fieri potest ut numerus intersectionum sit minor, imo subinde prorsus nullus , uti de Lineis secundi & tertii ordinis annotavimus. In Dissili od by Corale
42쪽
ORDINIS PRAECIPUIS PROPRIETATIBUS.
hoc ergo tantum propositionis vis est posita, quod intersectio- CAP.IVnum numerus major nunquam esse possit, quam eAponcns Ordinis ad quem Linea cur a resertur. 73. Ex n umero igitur intersectionum , quas Linea recta quaecunque cum data Linea curva facit, ordo ad quem Linea cum apertineat, definiri non poterit. Si enim intersectionum numerus sit - n . non sequitur Curiam ad ordinem Linearum npertinere , sed ad quemvis ordinem superiorem aeque referri poterit: quin etiam fieri potest ut Cuma ne quidem sit alge-hraica sed transcendens. Excludendo autem semper tuto amr- mari potest, Lineam cumam, quae a recta in n punctis secetur. ad nullum Linearum ordinem inferiorem pertinere posse. Sic, si propcisita Linea curea a recta in quatuor punctis sec
tur, certum est, eam neque ad ordinem secundum , neque tertium referri; utrum autem in ordine quarto, aut superiori
quopiam contineatur , an sit transcendens , hinc dijudicari non Potest.
7 . aequationes generales, quas pro Lineis cujusque ordinis
exhibuimus, plures continent quantitates constantes arbitrarias, quibus si valores determinati tribuantur, Lineae curvae penitus determinabuntur. atque ad datum AXem ita describentur, ut reliquae Lineae curvae omnes, quae quidem in eadem aequatione generali continebantur , excludantur. Ita, quamvis in aequatione
primi ordinis o - α - cx - - γy sola Linea recta contineatur; tamen ejus posito respectu Axis infinitis modis variari potest, pro diversis infinitis valoribus quantitatum conflantium α, γ. Quamprimum autem his quantitatibus constantibus desiniti valores tribuuntur, positio Lineae rectae determinatur, ut praeter hanc nulla alia aequationi satisfacere queat. 7s. Haec igitur aequatio O - α Φ cx - - tres determia nationes admittere videri postet, ob tres conflantes arbitrarias α, c,& γ. Verum ex natura aequationum intelligitur aequationem jam determinari, si tantum ratio inter has conflantes definiatur, scilicet ratio hinarum ad unam; ex quo ista aequatio duas tantum admittet determinationes. Si enim c & γ
43쪽
Lin. II. per ec ita determinentur ut sit c -- α & γ ααχα, aequatio Ο - α - α π - - Σαγ , quia α per divisionem exit, jam prorsus erit determinata. Similem ob rationem aequatio generalis pro Lineis secundi ordinis , quae sex continet conflantes arbitrarias, quinque tantum admittit detorminationes , aequatio generalis
pro Lineis tertii ordinis novem; & generaliter aequatio generalis pro Linuis ordinis n patietur Δ -' - ὶ - 1 determinationeS.
76. Semper autem istae constantes arbitrariae ita definiri possunt ut Linea curva per datum punetiam transeat, hocque ΤΑn.IV. modo una determinatio orietur. Sit enim proposita aequatio Tig- , 7 generalis pro quovis ordine Linearum, quae ita definiri debeat, .ut Linea curva per datum punctum B transeat. Sumto pro lubitu Axe, in eoque Abscisiarum initio A, demittatur ex puncto B in Axem perpendicularis Bb, atque manifestum est, si Curva transeat per punctum B , tum posito intervallo A b prox , perpendicularem Bb praebere valorem Applicatae 3. Quare in aequatione generali proposita , loco ae substituatur A b, &Bb loco y, sicque orietur aequatio, ex qua una quantitatum constantium α, , γ, δ, ε , &c. , definiri poterit; quo facto
omnes Curvae, quae in aequatione generali hoc modo determinata continentur , per punctum datum B transibunt.
77. Si Linea curva insuper per punctum C transire deheat, inde ad Axem perpendiculo G demi IIO, & in aequatione posito x - Ac & γ - Cc, nova orietur aequatio ex qua pariter una ex quantitatibus constantibus α, c, γ, δ, &c., definietur. Eodem modo intelligitur si tria puncta B, C, D praescriabantur, per quae Linea curva transire debeat, inde tres constantes definiri; ex quatuor autem punctis B, C, D, E quatuor litteras constantes determinationem accipere. Quod si ergo tot puncta, per quae Linea curva transeat : proponantur quot determinationes aequatio generalis admittit, tum Linea curia penitus crit determinata, ideoque unica, quae quidem per omnia puncta proposita transeat.
44쪽
ORDINIS PRAECIPVIS PROPRIETATIBUS. 3
78. Cum igitur aequatio generalis pro Lineis primi ordinis, CAP.IV.
seu pro Linea recta , duas tantum determinationes admittat,
propositis duobus punctis, per quae Linea primi ordinis, seu
recta, transeat, Linea recta penitus determinatur; neque per duo puncta data plures quam una Linea recta duci poterunt, quod quidem ex Elementis intelligitur. Sin autem unum tantum proponeretur Punctum, tum, ob aequationem nundum determinatam , adhuc infinitae Lineae rectar per idem punctum duci pollunt. 79. AIquatio generalis pro Lineis secundi ordinis quinque
admittit determinationes ; unde si quinque proponantur Puncta, per quae Linea curva transire debeat , Linea secundi ordinis penitus determinatur. Hanc ob rem per quinque data puncta unica Linea secundi ordinis duci paten ; sin autem quatuor tantum vel pauciora puncta proponantur, quia iis sequatio nundum penitus determinatur, innumerabiles Lineae, quae omnes sint ordinis secundi per ea duci poterunt. Quod si autem quinque illorum punctorum tria in directum jaceant, quia Linea secundi ordinis a recta in tribus punctis secari nequit, nulla Tinea curva continua reperietur , sed prodibit Linea complexa, duae nempe Lineae rectae, quae , uti jam monuimus , in aequatione generali secundi ordinis continentur. 8o. Quia porro aequatio generalis pro Lineis tertii ordinis novem determinationes admittit, per novem puncta pro libituassumta Linea tertii ordinis semper duci poterit, atque unica.
Sin autem numerus punctorum novenario fuerit minor, tum
per ea innumerabiles Lineae tertii ordinis duci poterunt. Simili modo per quatuordecim puncta data unica Linea quarti ordibnis , per viginti puncta unica Linea quinti ordinis duci poterit , & ita porro. Atque in genere Lineae ordinis n determinabuntur Per tot puncta quot haec formula ' H n εχ 1 - continet unitates ; ita ut, si numerus pun Disiligod by GO le
45쪽
L B. II. torum datorum fuerit minor, per ea puncta innumerabiles Lianeae ordinis n duci queant. 81. Nisi ergo plura puncta , quam - . Proponantur, semper una vel infinitae Lineae ordinis n per ea duci poterunt: unica scilicet. si numerus punctorum datorum fuerit --- r. . & infinitae, si sit minor. Nunquam autem, utcunque haec puncta fuerint disposita, solutio evadet impossibilis , determinatio enim coufficientium ec, c, γ , δ, &c., nunquam resolutionem aequationis quadraticae vel altioris potest iis requirit, sed tota per aequationes simplices absolvetur. Ex quo neque unquam valores imaginarii pro quantitatibus α, c, γ.&c., reperientur, neque valores multisormes; hancque ob ca sam semper Linea realis per proposita puncta transiens prodibit. atque unica, si quidem tot puncta proponantur, quot dete minationes aequatio generalis admittit.
82. Quoniam Axis pro lubitu assumi potest, ista coem cie sum determinatio facilior fiet, si Axis per unum punctorum .datorum ducatur, atque initium Abscissarum in ipso hoc piincto A statuatur; sic enim posito x o fieri debebit γ- o , unde in aequatione generali proposita o - α φ ex φ νγ ε δα' &e.. statim fit α. - o. Deinde Axis quoque per aliud punctum
datorum transire poterit, quo pacto numeruS quantitatum ,
quibus positio punctorum datorum definitur, minuetur. Denique . loco Applicararum orthogonalium ejusmodi obliquangulae
Uigi possunt, ut Applicata in initio Abscissarum ducta pati ter
per punctum datum transeat. Curvae enim cognitio & conia tructio ex aequatione aeque facile deducitur , sive Applicatae O thogonales sive obliquangulae statuantur.
iv 83. Si quaeratur Linea secundi ordinis quae per quinque dat puncta A, B, C, D, & E transeat, ducatur Axis per duo Dissiliam by Corale
46쪽
DRDINIS PRAECIPUIS PROPRIETATIBUS. 39
puncta A, B : sumaturque initium Abscissarum in altero CAP J Vipuncto A. Tum junmtur hoc punctum A cum tertio C, sumaturque angulus C AB pro obliquitate Applicatarum. Quare ex reliquis punctis D & E ad Axem ducantur Applicatae Dd &E e illi AC parallelae. Ponatur AB - a ; AC -b; Ad - c pDd - d A e - e , de eE f; atque sumta aequatione generali Linearum secundi ordinis O - α Φ-- ο -- δx' in εο 4- cy'
altera subtrahatur , ut eliminetur ε, ac PrOVeniet
47쪽
O DE LINEAR. CVJ Q. ORD. PRAECIP. PROP.
hincque omnes coefiicientes determinabuntur. 8 . De terminatis autem hoc modo omnibus coemcientibus aequationis generalis o α. Φ cx -- γγ δ x' -ε- &c., super Axe assumto & sub constituta Applicatarum obliquitate , Linea curva describetur per puncta in sinita per aequationem invenienda, harcque Linea curva transibit per omnia puncta proposita. Si aequatio generalis plures admittat dete minationes quam fuerint puncta propossita, tum reliquis prolubitu assimatis Linca curva per singula puncta data describ tur ope aequationis omnino determinatae. Tribuuntur autem Abscissae x successive plures valores tam affirmativi quam negativi ut O , I, 2, 3 , Φ, 3 , 6 , &c. , & - I , - Σ, - 3, - , &c. , ac pro singulis cX te uatione inu si antur valores Applicatae y convenientes , sicque plurima innote cunt puncta latis Vicina , per quae Curva transibit, ex quibus proinde tractus Curvae focile perspicietur.
48쪽
De Lineis secundi Ordinis. 8s. Jui A in Linearum ordine primo sola Linea recta continetur cujus indoles jam satis ex Geometria elementari constat , Lineas s Ecuunt ORDINIs aliquanto diligentius Contemplemur , quod eae inter omnes Lineas curvas sint simplicissimae , atque per totam Geometriam sublimiorem usum habeant amplissimum. Praeditae autem sunt istae Lineae, quae etiam SECTIONE A CONICIE vocantur , plurimis insignibus proprietatibus , quas cum antiquissimi Geometrae Cruerunt, tum recentiores amplissicarunt. Harumque proprietatum cognitio adeo neces Iari a judicatur , ut a plerisque Auctoribus statim post Geometriam elementarem explicari soleant. Quoniam vero istae proprietates omnes non EX uno
principio derivari possunt , sed alias aequatio patefecit , alias generatio ex Sectione Coni . alias denique alii describendi modi, hic tantum eas proprietates investigabimus, quas aequatio sola sine aliis subsidiis suppeditat. 86. Consideremus ergo aequationem generalem pro Lineis secundi ordinis , quae est
quam aequationem ita comparatam esse ostendimus, ut, quocunque angulo Applicatae ad Axem inclinatae statuantur , ea tamen semper omnes Lineas secundi Ordinis in se complectis tur. Tribuatur jam isti aequationi haec forma
ex qua patet cuique Abscissae x respordere vel duas Applicavi Euteri Introduci. in Anal. insen. Tom. II. FDigiti so by Corale
49쪽
LIB. II. tas y, vel nullam, prout hinae radices ipsius y sue in t veI re ' lus vel imaginariae. Quod si autem fuerit iζ o tum unica quidem Applicata singulis Abscissis respondebit , altera abeunte
in infinitum, quam ob rem iste casus nostram indagationem non turbabit. ΤΑ3. U. 87. Quoties autem ambo ipsius y valores fuerint reales; issi is i9, quod evenit, si Applicata P MN Curvam in duobus punctix AI & N intersecat, erit summa radicum PM P N - - U TZ diri r , filmta recta AEF pro Axe, Apro initio Abscis Iarum , & angulo APN, quo Applicatae Axx insiliunt, posito obliquo pro lubitu. Quod si ergo sub eodem
angulo ducatur quaevis alia Applicata n pira, cujus quidem valor pm est negativus, erit eodem modo PH - pm
' Subtrahatur haec aequatio a priori, erit P ΛΙ Φsm Φ P N - pn --δ') -- 'ρ. Ducantur expunctis m & n rectae Axi parallelae , donec priori Applicatae
occurrant in punctis ita & ν, eritque μια - Nν--:--, seu summa AI ε Φ Nν ad Pρ seu m se seu nν rationem habebit conliantem ut ε ad Ratio scilicet haec perpetuo erit eadem , ubicunque in Curva ducantur rectae s1N dc mn , dummodo cum Axe datum faciant angulum , atque rectae nν demici Axi parallelae ducantur. TAB: V. 88. Si Applicata P MN eo promoveatur, quo puncta ut ς' - & N coincidant, tum Applicata tanget Curvam; ubi enim duae intersectiones conveniunt, ibi Linea secans abit in tangentem Sit igitur XC I ejusmodi tangens, cui ducantur parallelae quotcunque rectae M N, m n , Cumae utrinque occurrentes, cujusmodi rectae vocari solent CHORDAE & ORDINATAEO Tum ex punctis M, N, m, n ad tangentem producantur 'rectae
MI, NX ; dc mi, nE AXi prius assiam to parallelae. Quia nunc intervalla CR, CE ad contrariam puncti C partem cadunt,. Diqitirso by Cooste
50쪽
negative capi debebunt. Hinc erit C I- CK : MI- : γ& Ci - Che mi - ε: ; ideoque C I - CR : MI Ci - Ck: mi seu MIe mi CI - CK: Ci -- Ch. 89. Quia positio Axis respectu Curiae est arbitraria, rectae MI , ΝΚ, mi, nk pro lubitu duci poterunt, dummodo inter se fuerint parallelae: critque semper MI: mi CI CL: Ci - C . Quod si ergo rcet e parallela: MI & NΚita ducantur ut fiat CI- CR; quod evenit si parallelae M T& NX statuantur rectae CL, quae ex contactu C ducta ordinatam MN in L bisecat: tum , ob CI- C Κ o, fiet quoque Ci- C CI- CK o. Quare producta recta C L in I, quia, ob mi & nh pariter ipsi C L parallelas, est
m I - C i Elin I Ck, erit mi n l. Unde sequitur rectam C Ll, quae ex puncto contactus C ducta unam ordinatam M Ntangenti parallelam bisecat , eandem omnes Ordinatas m neidem tangenti parallelas hi fariam secare. 9o. Cum igitur recta CLl omnes Ordinatas tangenti ICΚ parallas in duas partes aequales secet , haec Linea CLl vocari solet D11MzTna Linea secundi ordinis seu Sectionis conicae. Hinc innumerabiles in unaquaque Linea secundi Ordinis diu ipollunt Diametri. quia in singulis punctis Curvae datur tangens. Uhicunque enim data fuerit tangens ICR , ducatur unaquaevis Ordinata MN hinc tangenti parallela , qua in L bisecta, erit recta C L Diameter Lineae secundi ordinis , omnes Ordinatas tangenti IX parallelas hi fariam secans. 91. Ex his etiam sequitur, sit recta Ll duas quasvis parablelas Ordinatas MN & mn bisecet, eandem esse omnes reliquas Ordinatas illis parallelas hi secturam: dabitur enim alicubi recta Curvam tangens IK his ordinatis parallela, ideoque dabitur
Diameter. Hinc nova habetur methodus in data Linea secundi ordinis innumerabiles Diametros inveniendi; ducantur enim
pro lubitu duae ordinatae seu Chordae MN & mn inter se parallelae , quibus bisectis in L&l, recta per haec puncta ducta omnes reliquas Ordinatas illis parallelas pariter bisecabit, eritque