A treatise of algebra, in three parts. Containing

발행: 1796년

분량: 549페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

441쪽

medium harmonicum interidet Pri646 Corol. I. ungantur Ddaeae quae conveniant in puncto V, juncti V et V erunt parallelae; eproducta Vadonec occurrat rectae in ri eritis αἱ Pr. Reetii enim PD secatur harmonice in E et Q , ex hypothesi, adeoque etiam recta ta secatur harmonice in e et , per Art a I. inde V l Pr cumque sit PF m PQ sequitur rerum ij parrallelam esse harmonicalisin.

6 s. r. a. Similiter si sumatur in recta Dypum Etum p ita ut χρ sit aequalis medio harmonico inter' etst, crem quaevis ex ducta curva o uuat in tribus punctis, erit segmentum' u resve ex una parte puncti ad curvam terminarum aequale dimidio medii harmonici inter duo segmenta eodem puncto p et curva ad altera partes is mimis Fig. s. 6 98 iam r. x centro gravitatis trianguli dumiturrem quaevis quae tribus lateribus trianguli occurrat, in segmentum hujus reste cenim gravitatis Muno ui nguli latere terminatum erit dimidium medii hannonici inter segmenta fusdem recta centro gravitatisin duobus aliis trianguli lateribus terminata. sit 'centrum gravitatis trianguli VTZ, occurrat recta mΕ per Udum latoribus in F, D, E; sintque punctim et Dad easdem

partes puncti P exitque pii pla I matur enim per puni uini recta P lateri UZ parallela.

442쪽

699 PROP. XX. Contingant tres et e VT, Fig. 9.VZ, Z lineam tertii ordinis transeatque eadem recta linea per tres contactus de perae centrum gravitatis trianguli TZ recta quaevis per hoc centrum ducta curvae occurrat in puncto ex una partes in punctis et Lex altera ejusdem centri gravitatis parte, eritque etΡe medium harnaonicum inter Immen d , de λ .

occurrat enim redhale lateribus trianguli TZ in I, 6 et rectae V lateri TZ parallelae in F eri

P est dimidium medii harmonici inter recta f. et Pri

Ioo. Rop. XXI. Sit V punctum duplex Fig. uem in linea tertii ordinis V et directa, curvam in hoc puncti contingentes, quibus in reta occurrat recta TZ curvam contingens in F ita ut F miri jungatur FU, in qua sumatur Frim; FV; si recta quaevis peri ducta curvae Occurrat in tribus punctis a si quorum ad c bsnt ad rasilam partes puncti P c ad partes eo L uarias,

443쪽

Cum enim bisecetur; in F, sitqueFP α FV, manifestum est punctum P esse centruit gravitatis tria anguli TZ cumque si punctum P in recta Fuq tuae per contactus transit, sequitur propositio e Prae

6 Lot taran . Si jungantur rectae a, b, scieriti quoque centrum gravitatis trianguli iste rectis contenti, ut et trianguli tribus rectis curvam in b, c, contingentibus comprehensi de si ductae V et occurrant re i in m et et erit semperam aequalis

6 im arsi. a. Resta peristinctum duplex ducta parallela rectae e harmonice secabit ipsam Pa in Lita ut erit ad aliut ad ri quae vero ducitur alui ad x occursum rerurum curvam in re ech contingentium parallela est re is figuram contingenti in cis Io3. Coro 3. Datis duobus punetica et e ubi recta quaevis ex P ducta curvae occurrit, datur tertium ι; ungantur enim a et Fe quae sibi mutuo occurrant in cisumaturane altera parte puncti F aequalis ipsi Fm, et juncti Vn secabit rect am in

Fig. si , io . PROP. XXII. Duc tu per punctum quodvisi recta quae dirigatur in plagam crurum infinito rumin occurrat curvae in punctis aducatur per idem punctum recta quaevis curvam secans in punctis se, quaeque rectis curvamina Me contingentibus occurrat in i et atque asymptoto

444쪽

PROPRIETATIBUS GENERALIBUS.

asymptoto cruris infiniti in I, si puncta D, E, M , in sint ad easdem partes puncti P punctum

vero F ad contrarias, α - ' ait p- hi termini cujusvis signum

est mutandum quoties segmentum ad oppositas partes puncti P protenditur.

Sequitur ex Theor. I. Art. s. est enim per hoc uis hios ara. i. si recta PD ducatur per concursu' tangentium a em; sumaturali aequalis medio harmonico inter rectas PD, PE, PF, secundum Art. 28. erit 'F podeoque 3 m erit medium ha monicum interi e 4 P . Quod si tangentes a latum concurrant in ipso putino asImptotos quoquo Pςς M transibit. 6 Io 6 Coro I. In eas Prop. XIX. ubi tres contac Fig. 47. tus sunt in eadem recta lineain tres tangentes parallelae, sumatur punctum P ut in Propositione XIX. sitque ariasymptoto parallela occurriliit ah et em tangentes re PD in 1 et , eritque a, sive Pu aequalis dimidio medii harmonici inter Ph et G. Quod si an , gentesint et in concurrant in eodem puneta re PD,

erit Pli Pit quoniam vero in Prop. XIX.

445쪽

42S DE LINEARUM GEOMETRIcARUM

9 ora a Mem dicendum est de casu Prop. XX. ubi tres contactus P, sunt in eadem recta quae transit per P centrum invitatis trianguli VTZ tangentibus contenti. - Si autem altera rectarum curvam in avel e contingentium posita ine asymptoto parallela sit rectae DP parallela, abibit asymptotos in infinitimi, erit erus parabolicum '

scios ora. Iisdem posticae in Prop. XXI. siteri asymptoto p.rallesa, occurrant tangentes σε,

recta Vriist et in eritque mar in h. Unde si

curva diametrum habet, cum haec necesserio triuiseat perris S a punctum duplex per punctum curva rubi bi catur tangens TFZ, sumatur ab F versus V.FPαν V, ducatur P. asymptoto parallela, tangens at quae dia metro occurrat ho ex altera parte puncti P sum tur, super rerum ΡV, Ρ αἰ P ,- rem perci ducta

ordinatim applicatis parallela erit asymptotos curvae. Si vero tangen sit diameti paralisa erit crus curvae generis parabolici Propositio Newtoni de segmentis rectae cujusvis tribus asymptoti sin curva terminatis facile sequitur ex Art. ut ab aliis olim ostensum est.

Fit D. PROP. XXIII. Ex puncto quovis D

lineae tertii ordinis ducantur duae quaevis rectis DEI, DAB, quae curvae occurrant in punctis, E, I, et A, B ducanthi tangentes AK, BL, quae reistae DE occurrant in K et L. Sit DG medium harmonicum inter segmenta DE, DI, ad curvam te

minata, atque DH medium harmonicum inter segmenta Κ, DL, ejusdem rectis tangentibus abscissa. Sit DV medium geometrjcum inter

446쪽

DG et DH, ducatur inparallela tangenti Dan

quae occurrat rectae D in si circulus ei uiadem curvaturae cum linea tertii ordinis proposita in puncto D occurrat rectae DEJUR, erunt HG, continue proportionales. Nam per Theor. II. Art. 35- ςst DV IDA.

αΗG, DR, adeoque HG ad QV ut QV ad 2DR., aio Caro I. Sumatur igitur Dr in recta DE tertia proportionalis rectis Η et lQV, perpendicularis rectae D ad punctum, secabit normalem tangenti DT ad punctum D in centro circuli osculatorii sive circuli ejusdem curvaturae cum linea proposita, in punctoo si puncti , I, Κ, , sint ad easdem partes ejusdem puniti prout Dis major est vel minor quam G, n e prout medium harmonicum inter segmenta DR D tangentibus abscisis majus est vel minus, dio harmonico instr segmenta DRDI, ad curvam rem

minata.

LIII Coro a Si angulus EDT bisecetur recta DA, erit QU, D V, et a HG, DR, DUD DG, DII, adeoque H G ad DG ut DH ad DR. iret ora a Revolvatur remo cire polum manente recta DE, et BG, differentia mediorum harmonicorum DH et Din augebitur vel minuetur in duplicata ratione rectae in Quippe ob datam chordam. circuli osculatorii DR, manet quantitas Ad- quae aequa-

447쪽

43 DE LINEARUM GEOMETRICARUM

nam in hoc casu adeoque X DG κ aDR., ii . Clin. s. si recta Dpsit asymptoto parallela, adeoque curvae occurrat in uno puncto E praeter ipsum D, sique simul tangens B asymptoto parallela, ducatur ΕY parallela tangenti DT quae occidia retiae DAin Y eritque ΚΕ ad ΚΖ ut EY ad DR. 6 iis orol. 6. si sit Diunebim simus contrarii, incidet punctum H cum G, evanescente linea FLG,

adeoque evaditi infinite magna, i. e. curvatura minor est ad punctum flexus contrarii quam in circulo qua Iat in vis magnin ut alibi quoque osteiadimus, tractatus de fluxionibus, Art. 378.

Frig. sue 46 Corol. 7. Sit Visum tum duplex, DA asymiasoto parallela, occurrant rellae V L, ΚΖ, tangenti DT parallelae rectae D in Q et , atque occurrat DV asymptoto in L sitque DH medium harmonicum inter DK et L, eritque 2DH G ad ΚΖ ut DL ad DK, supple figuram. atque

448쪽

PROPRIETATIBUS GENERALIBU as

vis lineae tertii ordinis, Occurrat tangens ad Dcurvae in I, atque D diameter circuli osculaiatorii, quae cur e occurrat in A et B unde rectae

duino curvam contingentes secent D in Κ et Lis DH medium harmonicum inter DK et Dia sumatur DV ad D ut D H ad disserentiam

rectarum et D et DH; eritque variati cur Uaturae inverse ut rectangulum SD, DT de juncta VS, variatio radii curvaturae ut tangens angulio .

Nam per Theor. III. Art. 7. variatio irvati rae

curvaturainae eandem variationem curvaturae cum linea proposita, determinatur ut in Art. 19.6 iis cirri si anum L sit tangenti ad Dia Fie suerallela erit DV ad D ut DL ad ΙΚ; si utraque tangentium AK, L fiat parallela ipsi DT, erit DV DL adeoque variatio curvaturie inverse ut DL DI. Quod si in hoc eas sit DT parallela Φmptoto curvae, io

evanescet variatio curvaturae. Quemadmodum igitur evanescit variatici curvaturae in verticibus axitim sectionurn conicarum uiniliter evanescit in verticibus diamea Diuitias by Corale

449쪽

M LiNEARumGEOMETRIcARUM, M. diametror uti linearum tertii ordinis quae ad rectos angulos orditiatim applicatas bisecant. Fig. 39. Scibo Sunt autem alia plurima theoremata de tange tibus de curvatum linearium tertii ordinis. Sint ex o Fin G duo puncta lineae tertii ordinis unde tangentes duicta concurrunt in curva in A. Producatur FG donec curvae occurrat in H. Sit AC tangens ad punctum .constituatur angulus AN, AT ad contrarias partes rectarum FA. G A, secetque A reis a m FG in N. Et si circuli osculatorii occurrunt reolae FG in Binerit G ad F ut rectangulum FH ad FGΗ. Sit

enim punishim re ipsi A quamproximum,in puncta ipsis F, G, H, qtiam proxima, eritque s Faci FGf:: GF

SEARCH

MENU NAVIGATION