A treatise of algebra, in three parts. Containing

411쪽

neralis linearum tertii ordinis ibidem p possin

Fig 39 Sao Occurrant rectae quaevis duae G ὁ Πι, ea puncto Heu, lineae geometricie in puneus D, E, I, et e. sitque m medium annonicum inter segmenta prioris a punctum Pin curvam terminata, Se ' medium harmonicum inier segmenta similia posterioris re uncta m occurrat abscisis AP in

enim abscissa eurham in tot punctis B, C, F,aee quot ipsa est dimensiolauma cumque ultimus terminus aequationis i. e. V sit ad BP, P, P, e in ratione constanti, uisuprasArt. s. yostendimus,erit De Art. 8.)

gar. Si desideretur propositionis praecedentis domo stratio ex principiis pure algebraicis petita, ea ope sta quentis Lemmatis perfidi poterit. Iit abscissa Arim Mordioata PD, γ, ultimus terminus aequationis lineam geometricam definientis vis AP in B M. penultimi coemiens Pri Ar e et sit quantitas quae formatur du- cendo terminum quemque quantitatis V in indieem ipsiuε

412쪽

rROPRIETATIBU GINERAL Bur. 39ssius at in hoc terminois dividend per i. i. sit η M. quae pia est quantitas quam didicimus. Dueatur ordinata D, quae angulum quemvis datum ApDς im abscissa constituat sintque re TD, pinet ut data in ret/; dicatur , D mis, At tr nisuretur aequatio proposita ad ordinatam uae sitassem,nae aequationis novae, cum sit, et M terminus ultimuso erit aequalis in V, penultimi autem messiciens ferit

', α - ωΑΡ - r m cae His autem valoribus pro vel x lubstitutis in aequatione plo inposita lineae geometricae, prodibit aequatio relationem Co-ordinatarum, et u definiens. Ad hujus uliimum

terminum, lenultimum puraeterminandum, lassicit hos valores substituere in ultimo V, e penultimo Pri uationis propositae, atque terminos resultantes colligere in quibus ordinata v vel non reperitur, vel unius tantum dimensionis horum enim sumnia dat pit, illorum,. substituatur pro Hipsius valoris . inquantitate V vel AH M. et termini resultantes α' δ'' ' BD i E

&c soli ad rem faciunt de qua nunc agitur. Subsiluatur deinde pro x idem valor, c pro I ipsius valor

413쪽

foet. Sit nunc medium harmonicum inter segmenta PD PE, PI, et medium harmonicum inter segmenta Pe, 6 A c. ut in Art. o. un i i secet abscissam in H; supponamus ' ordinatae ininparallelam esse. Ducatur se abstuliae parallel . quieredi uim occurrat in V eritque ad P, ut m ad vel ut Dadis, et M ad P, utra ad G Cumque sit

ad P ut G ad PH, vel PH, Ru vel Cum

agitur valor re nae PH non pendeat a quantitatibus, ct sed his mutatis, sit semper idem, erit punc uiri ad rediam positione datam, ut in I heor. . aliter

ostendimus. Quinin valor rectae H is est quem in Art. 29. alia methodo definivimus; rectam om

414쪽

necrectas exi ductas secat harmonice, secundum definitionem sectionis harmonicae in Artam seneraliter propositam

Malaris secori e mi, sive eumnibus eoicis. 33. T X sis quae generaliterae lineis geometricis n. in sectione prima demonstrata sunt, sponte

suunt proprietates linearii secundi, tertii, & superiorii ordinum. Quae ad sectiones conicas perunt optime derivantur ex pioprietatibus circuli, quae figura

hasis est coni. Verum ut usus theorematum praecedentium clarius pateat 3 figurarum analogia illustretur, operae pretium erit harum quoque assiniolies ex praemissis deducere. oestrina autem conica de dia- metiris, earumque ordinatis quibus parallelae sunt rediae sectionem contingentes ad vertices diametri tu de parallelarum segmentis quae rectis quibuscunque occurrunt, ει asymptotis, tota facillime ui ex iis quae Art. 4 et 5 ostensa sunt.

sa AB A FG sectioni conicae inscriptae Fig. Meurrant sibi mutuo in punctis P ductio AK, B FM GNMaionem contingenies occurrant rectae PLperae ductis in punctis , , M. ; eritque semper

415쪽

ati iNEARUM GEOMETRicARUM tem quae sunt ad easdem partes puncti P eadem praeponuntur signa ii'ue quae sunt ad oppositas partes νιν at puncti P signa praeponiintur contraria. in si bis cetur in ex puncto P ducatur recta quaeris uortem secans inpiinctis A et B, unde ducantur rec. die AK et L curvam contingentes quae rectam DS

. a . secent in K et L; erit semper re, PL. Quod si DE sectioii non occurrae, fitquc punctum ubi diameter quae bisecat rectas ipsi D parallelas idem curri: erit in hoc quoque casu PK L.

aa. 6 3s. Concurraiit rectae AB et FG sectioni eonicae inscriptae in puncto ' ducantur rectae sectionem comtingentes in punctis A et F quae sibi mutuo occurrant in , uncta P transibit per occursum rectarum quae sectionem contingunt in punctis B et G. Si enim recta P non transeat per occursum rectarum see ionem tangentium in B et huic occurrat in milli in Li; cumque et II F. per praecedentem, erit PL, P incidunt puncti L et Neontra lupothesiit. 6 6. Eadem ratione patet recto A et B sibi mutuo occurrere in . pium re ademiis puncti P esse in eadem recta linea. mine datis tribus punctis conta s A, B, et F, eum duabus tangentibus AK et FK, sectio conica lacile describitur.

Revolvatur enim recta in circa tangentiuin oceu summit polum, quae occurrat rectis A et B in punctis P et . 3 junctae A. FP occursu suo

. describent sectionem conicam quae transibit per tria

416쪽

,3 teris manentibus, occurrant redis AF et B Fig. Mi mutuo in puncto A tangentes AK et BL in Ratque tangentes FK et puncta', meto erunt in eadem recta linea; similiter occumine tangentes AK et Ginin m tangentes BR et re inni

puncta P, ni, et merunt in eadem recti linea. Demonstratur ad modum Art. 35. 638. Hinc datis quatuor punctis contactus, A, B, F, G cum unica tangente AK, occursus rediarum AB et FG, A et BG, atque AG e BF dabunt puncta P,

et . junctae autem Di, Pae, et pae secabunt tanis gentem datam AK in tribus punctis it m et R, unde ductae G, Κ, B sectionem conicam contingent

in punctis datis G, F et B. - .s M. Datis quatuor tangentibus R R , Q TR.

et unico puncto contactus A, occursus tangentium Ricet Lin I. et QK dabunt puneta, et n. Iungantur L etnm; occursus rectarum Lia et RQ et mn, RQ et im dabunt puncta ., P et 1, junctae vero

PA.. op secabunt tangentes QI. in punctis contactus RG et F. y o. Datis quinque punctis contactus A, B, P, G, etf, junctis GF et rectae AB occurriuit in punctis P eLX junctis AF et V oecurrant re in petis εἰ junctis D, Me oecursu suo dabunt punctum 'm, unde ductis, et vi sectionem conicam tangenties et similiter determinantur re, quae curvam contingent in puniri reliquis B, e .s i. Dentur quinque rectae se stionem conicam Con-.tingentes, Κ, Κ , in , Lu, et tiW; occursus tangentium K et L dabit punctum mi occursus tangentium M.

417쪽

et u recta I K secabit rectriin, in P; recta Lu. secabit ipsam ni in XL,incta autem re se bit tam vi et in in punctis contachis A et B similiter reliqua pulicti contiatiis determinantur. aue 42. Datis tribus tangentibus ΑΚ, ΒΚ, et Ria eunt

duobus punctis contactus A et B, facillime determinatur tertium, per Art. 35. Uccurrat enim tangensa reliquis tangentibus ina et L, atque unctae A et BR se mutuo decussent in , juncta Κ, secabit tangentena R in tertio puncto contactus F sectio coitica describi potest ut in Art. 36. G. 43. Dentur quatuor tangentes KQ , I., LR, et Rccum unico puncto D seetionis conicae quod non sit - in aliqua quatuor tangentium. Invensantur purusta P, et ut in Art. 39. Jungantur PD, D, et πD4 ductatorem parallela occurrat rectae R in Z4ωbifariam secetur PZ in s ducta p,secabit rectam

PD in E puneta curvae vel occurru PD rectae Rinnet, et per Art. 3. secetur m harmonice inis et E. Dure autem D, secabit Dinam' in et Emcabit ipsam in Vita ut baec quoque puncta ce

sint ad curvam.

2 puncto; ducantur dive tangentes ad se

tionem conicam in A et L i ex puncto A ducantur rectis duae AF et AG sectioni occurrentes in F eto; juncta BG secet AF ini, et juncta BF secet rectam AG iiive eruntque puncta in eadem recta lineri per Art. 36. . . 'Verum propositio hae generalior est Si enim a. Puricto quovis Gucantur uuae rectae I Aa, Bb sec-

418쪽

ooνRULTATM U GLNERAMBus. Maaionem secantes in uiactis', a et B L et ex puinctis et a ducantur rectae ad sectionem A et ata ciui, Et i te in B secet M in P, ducta secet ΑΙ iii L. erunt punctat, in eadem resia linea ; quoέ va riis modis alias demonstravimus, unde expeditam methodum olim deduximus sectionem conicam describendi

per data quaevis quinque punctu in A, a B, et Fpuncta quinque data concurrant rectae Aa et in Q;jungantur AF et BF revolvatur recta PK. circa polum quae occurrat his rectis in et ' et ductae in Meconciusu suo G sectionem describentis s. Si P punctum datum extra sectionem conia Fig. et Meam, unde ducta quaevis sectioni occurrat in D et D;

et II

quae sellioni occurrit in punctis A et B ita ut duelae PAeta erunt colit ingentes sectionis. Si vero punctum psit in medio puncto rectis AB intra sectionem, sitque locus puncti m erit recta n per Pr pc 1 ducta ipsi AB parallela. Tangentes ad punctim et Esemper concumini in rem AB, et tangentes ad puneta ditis in recta M. 6 46. Contingat recta D sectionem in D, unde du Fig. a meantur duae quaevis rectae DDe DA, quae sectioni oc n. currant ina et A. Occurrat DPrectae ΑΚ sectionem contingenti, in Κ et ductae EN, ΚΜ tangenti DT,arallelae secenti in me M sumatur in recta DE, DR ad ΕΝ ut M ad ΚΕ, circulus ejusdem cur vaturae cum sectione in D transibit per Ita Nam pec

419쪽

uerit tangens AK parallela recte DE si si DE sit ordinata diametri per A transtuntis erit DR .el DR ad DF ut EN ad Ε' ut alibi demonstravimus Art. tractatus de fluxionibus. I in hoc casu ENα DE st diameter, erit BD, adeoque DR, aequalis parametro diametri DK ut satis notum est. Fig. o. 47. Ducantur recta DT, Ε, quarum prior sectio- δ' nem conicam contingat in D, posterior eidem occurratini. Ducatur D quae bisecet angulum EDT et sectioni occurrat in jungatur AE cui occurrat in recta D parallela rectae quae curvam contingit in ν; et ducta V R parallela rectae DA, haec secabit Duin Rubi circulus osculatorius occurrit rectae DS; eritque DR diameter curvaturae si angulus ΕD sit rectus. Erit enim Rad Amito ad D et ut DR ad DK; unde

ru a. ID ut oportebat, per Art. 15. Si autem sit tangens AK partales rectae DE quo in casu tangentes A et

aequales constituunt angulos cum rectam quae proinde perpendicularis est axi figur Excolire ident pulista, Meti,in circulus osculatorius transibit per punctum

E. Sequitur quoque ex dictis rectis E EResie in progressione geometrica. s. ii occurrat recta quaevis DE sectioni conicae in Dς coi currant rςctae cusvam contingenWs ad D et Ein

420쪽

genti; in Z ducatur N parallela tangenti DTrectam D secans in N, cumque sit DR ad ΚAitIN ad ΕΚ sitque AK ad ΕΚ ut D ad DE, erit D ad D ut ii ad N adeoque u iangula D Ur et EDN similis et angulus Vr aequalis angulo EDo. Hanc methodum determinandi circulum o i latorium demonstravimus in tractatu de auxionibus, Art. 37s. sed non adeo breviter.

5 4q. Variatio curvaturae, sive tangens anguli contatactus lectiori conica d circulo osculatorio comprehenti, est direel ut tangens anguli contenti diametro quae per contactum ducitur 3 normali ad curvam,in inverse ut quadratum radii curvaturae. Si enim D Fig. a. diameter curvatrurae, 'ninc variatio ad punctum D erit

D uti ad EN, ut. I Eet. Variatio autem radii curvaturae est ut tangens anguli DO. Quod si recti m circulo osculatorio occurrat in parabola diametrorae parametro D et descripta, quaeque contingit rectam DT in D, ea erit cujus continus eum suctione; per Arti m.

64o. Caeteris manentibus, ex punctos ducatur recta is 32. VH circulunt osculatorium coluingens in H; jungatur Im, cumque fit angillus 19H compleniet um an

guli Dp ad reetum erit RDA E DU EDO; adeoque variatio radii curvaturae erit ut augens annuli