장음표시 사용
421쪽
c si linei tertii ordinis sive curvis secundiata generis, uberi us nobis agendum est D binam conicam, variis modis usque ad fastidium semiramrunt permulti. maii autem geometriae unive salis partem, pauci adtigerulii eam tamen nec sterilem esse nec injucundam ex sequentibus, ut spem, patebit, cum praeter proprietates harum figurariim a Newm olim traditas, aliae sunt plures geometrarum attentione non indignae. Ostendimus supra, rectam secare posse lineam tertii ordinis in tribus pinctis, quoniam iniuationis cubicae tres sunt radices, quae omnes reales esse possunt. Reαι autem quae lineam tertii ordinis in duobus puta secat, eidem in tertio aliquo punct. necesserio occurris vel parallela est asymptoto curvae, quo in casu dicitur ei occurrere ad distantiani infinitam aequationis enim cubicae si duae radices sint
reales, tertia necessario reat is erit. Minc recta quae sineam tertii ordinis contingit, eam in aliquo puncto semper secat cum contactus pro duabus inter lectionibus coincidentibus habendus sit. Recta autem quae curvam in puncto flexus contrarii contingit, simul prosecante habenda est. Ghi duo arcus curvae sibi mutuo occurrent, punishum duplex formatur, Wrecta quae al- rum arcum ibi contingit tu eodem puram alterum secat. Disjtiro b Corale
422쪽
sinast. Recta aurem alia quaevis ex puneta dupilae ducta in uno alio puncto eurvam secat, sed non in se
5 set. Rop. I. sint duae parallelae, quarum
utraque secet lineam tertii ordinis in tribus punctis recta quae utramque paralle Iam ita secat ut summa duarum partium parallelae ex uno secantis latere ad curvam terminatarum aequalis sit tertiae parti ejusdem ex altero secantis latere incurvam terminatae similiter secabit omnes rectas his parallel a quae curvae in tribus punctis occurrunt, Per Art. Ssa. PROP. II. Occurrat recta positione data lineae tertii ordinis in tribus punctis, ducanturdus quaevis parallelie quariam utraque cuream secet in totidem punctis , Elida contenta sub segmentis parallelarum ad curvam de rectam positione datam terminatis erunt in eadem ratiotae ac solida sub segmentis hujus rectae ad curvam panillelas terminatis, per Art. s.
Hae duae proprietates a Newtans olim expositae s
654. ῬRop. III. Caeteris manentibus ut in rig. 33- Propolitione praecedente, occurrat recta positiones data lineae tertii ordinis in unico puncto A, solidum sit,segmentis PM. , ' unius parallelae contentum erit semper ad solidum sub se mentissΝ, alterius parallelae ut solidum AP, P contentum sub segmento AP qua-W a drato.
423쪽
A et quadrato distantis puncti. ab eodeni puncto ' per Art. 6.1. s. PROP. IV. Ex dato quovis puncto P
p ducatur recta P quae sine tertii ordinis occurrat in tribus pulictis D, E, F in alia quaevis recta P quae eandem secet in tribus punctis Α, C. Ducantur tangentes AK, B VΜ qua: rectari occurrant in K et , et medium harmonicum inter tres rectas PK PL, PM, -- incidet cum medio harmonico inter tres rectas m a. PD, PE, et PF per Art. Io. ω28. Si autem recta P curvae occurrat in unico puncto D i s veniatur punctum d ut in Art. 6. medium harmonicum inter tres rectas ΡΚ PL.m, erit ad medium harmonicum inter duas rectas P etlld in ratione a ad a, per Art. 12.9 56. PROP. V. Revolvatur reista D circa polum P, sis matur temper mi recta Daequalis medio harmonico inter tres rectas PD,
PE, et PF, eritque locus punctim linea recta,
per Art. 28. Atque haec est proprietas harum limarii a πυμ
3s , 57. PROP. I. Sint tria puncta lineae ter iii ordinis in eadem recta linea ducantur rectae curvam in his punctis contingentes, quae eandem
424쪽
secent in aliis trum punctis atque haec tria puncta erunt etiam in recta linea.
Cccurrat rei' FGH lineae tertii ordinis in tribus punctis F. - Η. Recta FA, G MC, curvam in his punctis contingentes eandem secent in punctis A, B, C; haec puncta erunt in redis linea. Jungatur enim ΑΒ, e Me transibit per C si enim fieri potest. -- currat curvae in alio puncto , tangenti HCan, et
quod fieri nequit nisi coincidant punita , , et C. Recta guui Als transit per C.
, 58. H. Hinc si A, B, C, sim tria puncta lineae
tertii ordinis in eadem rem linea, ductae autem AP et BG curvam contingant in F et G,4 juncta FG curvam denuo secet in II, uiicta CH curvam coiit inget in H. Si enim re fa curvam contingeret iam quae eandem secaret non in C sed in alio quovis puneto, foret hoc punctum cum tribus aliis A, B, C, in eadem recta quae igitur secaret lineam tertii ordinis in quatuor ptinctis. Hoc autem fieri non potest. Incidi autem primo in hanc propositionem via diversa sed minus expedita, ea dem deducendo ex Prop. II. Similiter si rem Ascu vam quoque contingat i in dueta in curvae occurrat
in b, juncta C pri tangens ad punctum in t si a punistis A, B, C, lineae tertii ordinis in eadum recta suis, ducantur tot rectae curvam contingentes quot diici pose sunt, erim semper tres Ontiabis in eadem rectau
649. κον. Il. Ex punia quovis lineae Fig. 35.
tertii ordinis ducantur duae rectae curvam con- d ingentes,
425쪽
hoe punctoi in primo puncto contingentea se mutuo secabunt in puncto aliquo curvae.
Ex puncto A ducantur re, curvam contingentes in
F et G, juncta FG curvam secet in , eandemquς contuigat invi recta I C quae curvae oceurrat in Rae ducta AC erit curvae tangens ad punctum A. Sequitur ex Corosiori praecedente, coincidentibus enim A et Breet C sit tan gens ad punctum A. tara et si ex puncto curvae C ducantur duae rect eandem contingentes in Meti ex puncto alterutro A contingentes AF et AG ad curatam, recta per contactus De G dum transbit per alterum pus tum H. 37. 6 61. dira a Contingat recta AC curvam in A,
eamque secet in C, ducta autem A et Ιl curvam contingant in F et H, recta per contactus ducta eam denuo seeet in G, Junctam curvam continget in G. Quod si alia recta C ex puncto inducatur ad curvam eam contingens in H; junctae hF hG, curi die occurrant in f et ductae V et struit tansentes ad punctas et O33 6 62. Corol. 3. Sit A punctum flexus contrari unde ductae AF et AG curvam contingant in F et G, Juni'λFG secet curvam in ri, Seducta AH curvam Continget in II. Si enim tangens ad punctii H curva in alio quovis puncto ab A diverso occurreret, recta ex ho&OC chir luci d punctum flexus contiari A ducta curvam in Acontingeret, quod fieri nequit. Manifestum autem ethtres tantum duci posse redita ex puncto fiexus contrarii
426쪽
PROPRIETATIBUS GENERALIBUs 4 9
curvam contingentes praeter eam quae in hoc ipso puncto simul tangit iecat, atque tres contactus cadere in ean dem rectam lineam. Ex salo puncto sexus contrarii tres rectae ductae curvam ita contingunt ut tres contactus sint in eadem recta sint enim , , , in eadem
rem, unde tangentes ductae conveniant in eodem puncto curvae a quod non sit punctum siexus contrarii ducatur a curvam contingens in a quaeque ei occurrat in Se juncta It curvam tanget invi per hanc propositionem Odeoque sectae Isin ali curvam contingerent in eodem puncto H. E.
663. Rop. VIII. Ex puncto quovis lineae
tertii ordinis ducantur tres rectae Curvam Con
tingentes in tribus punctis recta duos quosvis
contactus conjungens occurrat denuo curvae, ex occursu ad tertium contactum ducta curvam denuo secabit in puncto ubi recta ad primuin punctum ducta curvam continget.
Ex puncto A lineae tertii ordinis ducantur tres rectae Fig. 37. AF, AG,in V, curvam continge lates in tribus punctis F, G, si recta squae horum duci quaevis conjungit secet curvam denuo in N,in recta ex lio punishoad tertium contactum F ducta curvam secet in tum juncta A, curvam continget in i Ducatur enim rectam curvam contingens in A quae eandem secet in Q;
eumque puncta G, , I, sint in eadem recta, tangentes ad puncta G transeant per A sequitur perprop. VII Itangentem ad punctum N transire per C. Cumque punctarim, o sint in eadem recta, tangentes autem FAin, curvae occurrant in Arac , sitque
A tangens ad punctum' tangens ad punctum e transibit per A
427쪽
LINEARUM GEOMETRicARvM, M. Hemine iuva describatur ex datis iii bus punctis contactus ubi tres rect ex eodem pun eurvae ductis em coni:ngunt, invenitur quartum D ctum contactus ubi recta ex eodem p curvae ducta eam contingit. Atque hinc colligitur ex eodem curvin
puncto quatuor tantum redhas duci posse lineam tertii Oidinis Oluingentes praeter rediam quae in hoc ipsi, puncto curvam contingit. Si enim rectae ex eodeni curvae puncto duci possent eam in quinque punctis contingentes, plures rectae numero inuefinitae curvam contingentes ex eodem puncto duci pollant ut ex praemi sis facile colligitur. Hoc autem Corollarium posteas Wilius demonstrabitur. Vide infra, Art. 77.
as, ue. PROP. IX. Ex puncto flexus contrarii
ducantur tres tangentes ad curvam, recta, eontactus conjungens hari nonice secabit rectam
quamvis ex puncto flexus conir rii ductam de ad
curvam terminatam. Sit A punctu ni flexus contrarii, F, G et AH, rectae curvam Contingentes in pulicti, F, G et II. Expuncto A ducatur redia quaevis curvam secans in Bin C, rectam FH in P eritque B ad Pinuti ad AC. Cum enim tres tangelites ad puncta F eti, in eo
dem puncto A conveniant, erit per Prop. IV.
est medium harmonicum inter duas rectas PB et PC44 curvam terminatas. Quae linearun tertii ordiris proprietas est simplicitatis in unis
428쪽
PROPRIETATIBur ENERALIBUS. I S M. Cores. Recta quae duas quasvis rectis expun Heauis contrarii ductas ad curvam secat ruirino-nice, secabit quoque alias quasvis rectas exeodem puncto taurus A ad curvam terminatas.
6 6 c ira et Si recta asymptoto parallela persui ctum flexus contrarii dum occurrat re FH ina cum in O erit ga, adeoque R .aRO.
s 68 PRop. X. Recta duo puncti flexus cim m. v. varii coniungens ves transit per 3 punctiim
flexus coiiarata vel dirigitur in eandem plagam cum crure infinito curVM. '
Suit A et a puncta flexus contrarii, juncta curva DCCurrat in a, eritque a quoque punctum flexus contrarii. Si eniti tangens figurae in puncto a curvae occurreret in alio quovis puncto forent , in eadem recta. Vectum ex hypothesi sunt A et a in eadem reis a quae igitur lineae tertii ordinis occurreret in punctis quatuor. Sit A pulti tum flexu contrarii, Se recta AO alymptoto Parallata curvae occurrat in O, ducatur O curvam Con-
ingens in in ει secans in Q transiliit per D ubi curva asymptoton seca ti, 69. rior. XI. Ductis ex puncto laxus Fig. as. contrari A tangentibus ad cura am AR AG, AH, duabus secantibus quibuscunque ABC, Abe, iuncta Ab et Ce vel Bc et bC se mutuo iscabunt in recta FH quae contactus conjungi
Occurrat enim recta Bb ipsi FH in Q , et B eidem in P jungantur Q et Q. cumque sit AB ad AC ut PB ad PE per top. IX. eruiit RA QB, QP, QC,
429쪽
harmonicales, adeoque D secabit rectam C in fetipsam FH in ita ut sit ad A utib adis o proinde erit e punctum curvae, per Prop. IX. unde sequitiirconverse rectas aB b et e convenire in puncto rectae FH similiter ostenditur rectis Be et M sibi mutuo Murrere in iuncta Lejusdem re .
6 i. orol. 2. Tangentes ad puncta B et conveniunt in puncto aliquo T rectae Η; si a puncto quovis T in rem FH sit ducantur tangentes ad curvam, rectae contactus conjungentes ves transibunt per punctum flexus contrarii, vel convenient in redita FH.S a. oriari. Dato puncto flexus contrarii A, et sui his B, C, ubi duae rectae ex eo duilia curvam secant, datur recta FH positione iunctis enim Bh et Ceoccursu suo dabunt punishum iunctarum et ι occursiis dabit ductaque 4 ea et clua coiitactu SI G, et II, conjungit. His autem quinque punctis datis cum aliis duobus ine determinatur linea tertii ordinis quae per haec septem puncta A, B, C, M arqtransit et in puncto A habet flexum contrarium. Expunctis enim M et, danturm et i, ubi ductae A et Am curvam secatit, et his novem conditionibus linea . . ceterminatur. Si autem dentur tria puncta sti m et L; haec dabunt tria alia et unde prentur undecini conditiones ad auram doterminandam, quae nimiM sunt Diuitias by Corale
430쪽
PROPRIETAvanus ENERAMBus. 4ra sunt Similiter dato puncto flexus contrari A cum pundiis F, G. adeoque tangentibus AF et Aod et punctis metis quibuscunque datur recta FG, adeoque punctim et Q determinatur curva.
, a G, σι ι Continet ni rectae HB, C, curvam in minii , Juncta B transibit per A, junctis CG,
FB concurrent in puncto curvae V, dum VH curvam continget in V. Tangens autem ad puri tum flexus contrari A determittatur ducendo Ari', cui occurrat in I, recta P L ipsi AH parallela ι bilecanda P in juncta enim Axerit tangens ad punctum A. Occurrat enima a
tangens ad A rect FH in s eritque D PA
ordinis A ducantur duae restae curvam Contingentes in Fin G, juncta FG curvae occurrat in H, tangens ad punctum A secet curvam in
μι jungatur HΜ, cui occurrat FI K ipsi AH paralles in .sumatur FK, et Fin tum juncta ΗΚ, recta quaevis Am exin ducta ha monice secabitur a rectis ΗΚ et Hyin N, Ρ, et a curva in B, cu ita ut B erit ad N ut SP ad Pc ,