A treatise of algebra, in three parts. Containing

발행: 1796년

분량: 549페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

431쪽

i NEARUM GEOMETRIcARUM Occurrat enim recla AB tangenti H in T, eritquo

τοῦ FA. Unde sequitur resumim secare harmonico in punctis B i, vel ΝΒ esse ad N Cut BP ad PQ 9 7s Cirol. I. Hinc si duae quaevis rectae exin ductae iecentur in Naarmonice ita ut PC sit ad PB ut CN ad BN omnes rectae exin eductae a rectis Hy&Hκ sumilitor harmonice secabuntur. 4 γλ ωπια si curva punctuli duplex Mn habeali inque 'cet recta BK in duobus punctiss&e, ducta: Mης Ae erunt rectae curvam contingenimi in bis p E coincidat enim punctum B cum puncto quantam pervenit ad j occursim . me in eum

vam tunc contingit. Ex astera parte, si recti Meu vam contingat trali sibi reetam per ob aeuuales enim B, C, in hoc casui coincidunt puncta BC cum Ν. corol. 3. Si rectam in solo puncto H curvae occurrat, tuae tantun tangentes duci poterunt a punicto ad curvam, viE AF de AG. Quatuor tantum ad summum tangentes di ci possunt a punctoritiovis lineae

tertii ordinis ad curvam ut AZ, AG AH, An si enimalia quaevis tangens duci posset a puniuo A ad curvam

432쪽

PROPRIETATIBUS GENERALIBUs. etsmna lilaeae tertii orisinis, invia inirem, viri 6 8. Rop. XIII. Si ex puncto lineae tertii

ordinis duci possiant quatuor rectae curvam Con- tingentes, rectae c0ntactus conjungente conve

nient semper in puncto aliquo cura te, re quaevis a primo puncto dueti harenonice secabiatur a curva rectis binos contactus conjunge

tibus i Sit A punctum eurvae, AF, G, AG Ag, remecurvam contingentes in punctis F, G, o Iungantur FG In quibus occurrat reista quaevis ABC sex A ducta curvamque secans in B in P&Ν; ὁ:rella NC harmonice secabitur in Bini, ita ut semper firmi ad N ut CP ad PBQ sequitur ex Cores. a. praecedentis. Rectae autem FG cu concumo in puncto curvae Η & similiter rectae Ud Gico seniunt in Ε, atque & in in Ib; ME, R erunt pii a curam, per adem corbilar n. Atque haec est posterior duaris proprietatim linearii tertii ordinis quas de scripsimus in uin tu de surionibu , Art. μι Quod si re AM curvam conmigat in Α, et secet in M, iunctae ME. MR, H, curvam tangent in punctis

occursus eium quoque in curva .

D79. Grοὶ Cum igitur sint rectae HK, ΗΒ, ΗΡ, ee IC, harmonicales si re ita HB Semincurvae occurrant in , διὰ erunt puncta A, de in eadem redita linea. O Murrat enim juncta Ab curvae in binis ase Supple . ita desunt in Schemate que

433쪽

in aucta Hσω in rerum' erunt in eadem Io. Rop. XIV. Habeat linea tertii ordinis punctum duplex O. Ex puncto quovis cur λ es ducantur duae re AF, AG curvam contingentes n. Fin G ducta FG curvam secet in H; jungatur OH. Recta quaevis A ex Aducta curvae occurrat in punctis Bin C, rectae .

FG in rectae OH in Νι- recta ΝΡ haseri umice secabitur in punctis B ita ut PB si ad PC uti ad C.

Iungatur enim AO quae recti FG occurrat in &langenti H in is cumque sit iunctum duplex eriteatur igitur si harmonice in lino, ita uis sit ad 1iAut ad OA ,- harmonic les sunt HI , i, O, HA. Oecurrat remi tangenti LΗ in , cumque

6 81. Coo Si tangensvi occurrat rectae G Z ipsi AH paralida in Ain sumatur GV α 2GZ, ducta HV transibit per punctum duplex O, si modis curva tale punctum habeat. Vel si recta Gra occurrat rectis AH H inseri junctae inini a se decussent in ita

434쪽

Iet. PROP. XV. Ex puncto lineae stitii ordinis ducantur duae tangentes, alio quovis ejusdem puncto ducantur rectae ad con

tactus Curvam in duobus allis punctis secantes; tangentes ad haec duo nova puncta in eodeni puncto curva convenient. Ex putast, ducantur rediis AF MAG curvam con Fig. D. tiuentes in F et G. Sumatur punctium quodvis curvae jungantur PF FG curvam secantes in punctis Κει U; atque montes ad puncta ΚΘ L concurrent in punia aliquo curvae B. Determinatur autem punctum B ducendo rectam PC quae curvam contingit in P, secat in C; si enim jungatur m occurret denuo curne

in punctis B. Curi enim puncta P, , , sint in eadem recti i

tangentes ad puncti Fin P curvam serent in Ain C sequitur anuntem a d punctum, minuturam per B. Et ob remm LGP, tangens ad punctum L transibit quoque per B. 83. Core sint igitur Ain B duo quaevis puncta in mlinea tertii ordinis ex utroque ducantur quatuor curvan in aliis quatuor punctis contingentes, vi E. AF,

FLin GK, di G I si sibi mutuo occurretit in quatuor punctis curvae, P, Q , , p; si ducantur

tangentes ad haec quatuor puncta, hae occurrent curvae& sibi mutuo in puncto C ubi recta AB curvam secat. Unde si sint tria puncta lineae tertii ordinis in eadenerecta, & ex singulis ducantur quatuor recta curvam Con , tingentes in quatuor aliis punctis, recta per duo quaevis

puncta ontaris ducta curvam semper se bit in alio aliquo

435쪽

is DE LiNSARUM Oxo-TRic-ma aliquo puncto contactiis; bc quatuor hujusmodi rectis per idem punctum contactus semper transibunt.

. a. 6 8 . PROP. XVI. Sin F, G puncta duo si e tertii ordinis, ita sumpta ut rectae νεα

- cum se in his punctis contingentes conveniant in puncto aliquo curvae A. Sumatur incurva aliud quodvis punctum , unde ducantur

ad puncta se rectae PFin P quae citote occurrim in Meti jungantur rei Κ,

atque hariam occursus Q erit in curva Tangentes autem ad puncta sibi mutuo decurvae occurrent in puncto aliquo curva B, at

que tangentes ad puncta P inconvenient in puncto cum ita ut tria puncta A, smin eadem resta.

Ducatur enim tangens ad punctum P quae curvae occurrat in dum AC secet eandem in B ductae ΒΚ, L erunt tangentes ad punctim et L, per praecedentem. Uc timuit reri L curvae in Q;- si recta G noi trantea per Q , in currat curvae in . Quoniam igitur tria puncta L, . sint in eadem recta, tangentes vero ad Lini curvam secent in B in sequitur per Prop. VII. tangentem ad punestum in rania ire per punctum C. Similiter, cum sint puncta G, Κ, Q in eadem recta, ahgentes autem ad puncti Gin Ktranseant per A et B, tangens ad pianehum transibit quoque per punctum C. Utraque igitur recta d, Ch curvam contingit prior in posterior in Coincidunt igitur Mncta Q et ' si enim diversa esse Mnamv' sequitur per Pr. VIII Mures quam quatuor at mes

436쪽

-HtopMETATIBII OENERALiaus. 4r Me Ag rectae quae curvam contingant in f&ductae V, g, curvam secent in met na e rectae Cm, , emini tangentes ad puncta, et n. Quare haberemus quinque tangentes ex C ad curvam dums, ariC , et C, quod repugnat Corol. 3. P p. 6 85 Corol. I. Dato puncto P, ubicunque sumantur purim Fin G, modo tangentes ad haec puncta in curvae montant, datur punctum ubi juncta FG GKoceumini sibi mutuoin curvae Et si a puncto 'ducatur recta quaevis PNM quae curvae occurrat in et M, junctae QΜ, Ν, eam secent in me in erunt puncti et si in eadem recta linea. Ostendimus enim tangentes ad pivina Pin Q se mutuo decussu ein puncto curvae . 6 86 cire a Si sumantur quatuor puncti F, G Fig. K in linea tertii ordinis, ita ut tangentes ad puncta Fino conveniant in aliquo puncto curva is tange tes, ad punct K et L conveniant quoque in aliquo . puncto curvae, ductae FK et concurrent in puncto curvae 3 ductae Lin GK sibi mutuo occurreent in

puncto curvae.

687. Rop. XVII. Sint reto duo quaevis

puncta lineae tertii ordinis, ubi si rectae ducantur c uvam contingentes, hae se mutuo secabunt in puncto aliquo curvae Sumantur alia quatuor

puncta curvae M L, ita sit ductae et GK

conveniant in curva, atque rectae et in ea quoque conveniantu tunc ductetes et se mutuo secabunt in curva, ut d ductae et lin supple quod deest in schemate. M. Tam

437쪽

- DE LINEARUM EOMETRrcARuM Tangente enim ad puncta feti se mutuo decussant in curva, per Prop. XIV. ut et tangentes ad punctam et per eandem. Adeoque per Corol. a. praecedentis,

iunαe et is conveniunt in cinis, ut et scel ig 43 6 88. Lammis. Dentur tres recta IC Iia, et Crinpositioni et tria puncta F, S, quae sint in eadem recta linea. Sumatur punctum quodvis Q in recta IC, junm; occurrat rectae IH inia et iunctam rectae Η in P jungatur Fri ducta su Nirrat rectis FP et QP in let Ν; atque puncta et I erunt ad rectas p sitione datas. Jungatur enim IN, quae occurrat Gs in et ducatur per N parasses rectae Fs quae o mitiat rectis IC, I Η, et in in punctis, , et sis currat recta FGrecti, IC, IR et Ηλ mo, , et LQuoniam Me est ad NHut G ad GF, et, ad mitsF ad SL erit Ne ad N adeoque ma ad M ut Ga Syad GF QS3, i. e. in data ratione. Datur igitur punctum adeoque rem IN positione, e similiter

est punctunt ad positione datam. n. a. f M. Corol. Coincidentibus pundiis S et G, coincidit quoque punctum m cum puncto G. Jungatur igitur IG quae tectae HC occurrat inm ducta CF occurrat

rectae HI in Ε, tum junctam Derit locus punctim ubi dueti GL et FP se mutuo decu t.

laterum inserimum figurae, cujus sex anguli tangant lineat tertii ordinis ut in Prop. XVI. Ducantur rectae curvam contingentes IC, CH, HI, in tribus punctis in P L, quae non sint in

eadem recta jure tu is quae tangenti Hi

currat

438쪽

PROPRIETATIBUS GENERALIBUS. 21

occurrat in D, et H F quae tangenti CP cui rat in E erunt puncta D, , , in eadem recta linea, quae quidem cur alii iniuncto

eQntingit. supponamus enim recta. UL et F Μ eri cirea polum Ris: rectas LGP et K cire polum inpuneta autem et ' desere in diligentibus LPet PC tum punctum, movebitur in recta DE, per Corol. pro edens. Unde si punctas , , rantur in cur a quae has rems in, I, et PC, in his

punctis coliti sagit, movebitur quoque in curva quam

rerum contingit. Sed per Prop. XV. si punctas , P, ferantur in linea tertii ordinis proposita, punctum K movebitur in eadem, quam igitur recta DE contingit in X

s si orat i similiter si rectae AF et AG quae

curvam contingunt in F et in occurrant reme IH quae curvam contingit in L in purictis metjuncta P secet tangentem A in i xjuncta QN tangentem Asa e recta δε transibit per Rin curvam in hoc puncto continget atque quinior puncta ME, errant in eadem recta linea.

qa Corol. I. Ex duobus punctis curvi e quibustunque C et B ducantur ad curvam quatuor contingentes

binae ex singulis, C et 'ex puncto C, B et B expuneta B, sititque harum tangentium occursus I, et D tum du 1Qe ΕΗ mutuo secabunt in pu curvae F atque junctarum ID occursus erit in puncto curvae G tangentes autem ad puncta Ret se mutuo secabunt in puncto euratae A quod est in eadem redux cum punctis C et B. sis. 3. Datis ilibus pulictis lineae tertii oris dinis quae sint in eadem recta, duabus tangentibus ex De et horum

439쪽

et DE LINEARUM OEOMETRIcArtuM horum singulis ductis ad curvam positione datis, sex

puiuna contactus determitiantur per hanc propositionem.

Sint A, B, C, tria curvae puncta data in eadem re M AMc AN tangentes ex A, B MI, et BDE, tangentes ex Bquae prioribus occurrant in M, N et sintque Det C tangentes ex tertio puncto induetie atque occurrat CD ipsis M, BD, ΑΜ, et AN, in H, D, et , MCDiisdem in I, R i et His positis, juncta Msecabit ammtem I in pun contabus msecabit tangentem CD in puncto contactus ' ID secabit tangentem A in puncto contactus G, ΕΗ tangentemAM in contactu F, M secabit tangςntem BH ini, et

denique ne tangentem B in Quamvis autem problem, in hoc casu determinatum sit, solutiones tamen plures admittit. Diverta enim lineae tertii ordinis, sed

tuniel detulitae, per tria puncta A, B, et , duci possunt contingentes sex rectas positione datas AM, AN, BM, BD, CD, et E. Occurrat enim tangenti CD in I , rectam angenti CE in ID tangenti A Minfamian genti A in g, ne tangenti B M inci, et btangenti BD in atque linea tertii ordini sinitae conditionibus propositis satisfacit continget rectas CD et C vel ini et Q , vel in et q. a continget re stasAM et AN vel in punctis Detra vel in feti reetas utem Bine BD vel in L et , vel in De l. Constat igitur plures lineas tertii ordinis problematis conditioniabus satisiscere posse, sed numero determinatas, adeoque problema esse determinatum .

ys . orsi . Datis duohus punctis lineae tertii di dinis A et B tangentibus quoque Alim AN, Μ, BD positione datis cum iribus punctis contactus F, G, et L, datur punctum Κ ubi recta BD curvam contingit. Suppla quo desunt in Sebem te. '

440쪽

PROPRIETATIBU GENERALIBUs. 423

si enim ducantur re et LF, hamim occursu dabitur punctum ducta G secabit contingentem BD in puncto contactiv K. Datur quoque punctum Poccursus rectarim in et vel rectarum det FK tres enim rectae L cet FK, necessario conveniunt in punctis P. sit in quadrilaterum quodvis sum tur punctum quodvis in diagonali et 'in diagonali,d recta quaevis F ex inducta secet latera

Me et mina et L, ducta Ps. secet latus Nd in G, jungatur in qu et latus si cet in Q; atque puli ista F, Κ, P, erunt temper in eadet recta linea, per superius ostensa. Unde constat problema non ideo fieri impossibile, quod oporteat tres rectas LG, ὀ FG in eodem puncto convenire.

9s. Rop. XIX. Sin D, E, F puncta Fig. 7. lineae tertii ordinis in eadem recta sintque tres rectae curvam in his punctis contingentes sibi mutuo parallelae. In recta DF sumatur punctum P ita ut 4ΡF sit medium harmonicum inter PDe PE , I alia quaevis recta per P ducta curvae occurrat in erit semper αν medium harmonicum interae cle. SupponitTu autem puncta dete e esse ad easdem partes puncti 'punctum autems esse ad contrarias.

Occurrant enim tangentes DK, L m, re u in punctis et M. eritque per Art. φλλ' D N Rr octa serungentibus parallela harmonice secet rectam PD ita ut ΡΕ sit ada ut m ad D. M . occurrat rectae scin q)

SEARCH

MENU NAVIGATION