P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

2쪽

QUADRATURAE

LIBER SEXTUS.

HYPERBOLA,

ARGUMENTUM.

Ividit rure his in sinem Partes, tenui classes totιdem, mbuae a te, ἀ-ganterque bureboia sectio pulcherrimaeque ig- proprietates, suo loco singulae ordine continentur.

prima quidem hyperbolam , fictionesque tam o positas quam coniugata daeis o totos e cono educit:pram que ac suudamentales sperbolae proprietates exhibet. Secunda,siaionum opposita maeconiagatarum assessiones considerat. Tertia af totos . eoueauam contemplatur bdiperbolam: ae lineaerum praeci uὸ Φ rotu quid antium indagat proportι--. -υ, gmenta tam convexa quam coneaAMdein sectiones ipsu intersiconferri uini bverbolam a parabola intersistam .vendit: in qua hic nam ordo strumtur, Utprimὸ timarum a pratu aequid stantii-,rimentorum dein rationes consia

derentur.

Sexta, anasiat problemata. . Septima, et ariMgenesis proponit, quae ne sineis in circulu,tum ex Ag sic parasoti, denique ex ipsa oriuntur burenti. Secundo Θperbolas reducit adsisonese udorta. Tertio re uas e chper Aiauei mones. Rael uu conisectisndis ira nobiliores hyperbola, se affectionum sitau contemplara', mr oreti requirit attiationem ι autem instituis inest, fictionem ιanti antet aecedentes duas, non minias planam facere, quam sint ipse Euta et menta. q- raro ex cono suam habet originem, hinc tum Apollinio ab euis ortu or-ἀemur , o seri titis quam author propuI. bbprimimpsicat, primariam inm/-

3쪽

Yperbolam voco coni sectionem cuius planum latera trianguli per axem sectione facta emergentis ita intersecat, ut alteri illorum

denuo extra conum occurrat.

i I. Piameter hyperbolae est recta linea quae omnes rectas, cuidam a qui distantes bifariam diuidit. quaenam vero in hyperbola diameter vocetur recta,quae transueris,ex apposito cognosces scemate.

onus ABC diuisus triangulo per axem A B C , secetur iterum plano DEF occurretieririque laterum trianguli per axem, extra Conum: lateri quidem in G, lateri vero B 't in D: recta D G diameter dicitur transuerissa hyperbolae DEFi hyperbolς vero coniugarae ipsi DEF, recta vocatur &vicissimquq coniugatae transuersa est,huius dicitur tecta. de quihus in defin.s.huius.

III. Centrum hyperbolae punctum est, ruod transuersam diametrum bifariam iuidit.

Si D G bifariam secetur in H. punctum H centrum dicetur hyperbolet E DF ex quo patet centrum hyperbolae esse extra sectionem. quod vero omnis linea per centrum ducis Mhyperbols occurrens, diametersit: suo loco patebit.

rum omnes diametri transuersae comunes sunt. Sint ΑΒ C, DEF sectiones oppositae; N ABC hyperbolae centrum G , ponamur per G lineae quotcunque BE, D F Α, occurrentes sectionibus in A, B, C, D, E, P: rectae illi communes di euntur diametri sectionum oppositarum, eo quod si positis in in perbola ABC ordinatim ais diamettum A G, aequi distantes ponantur in hyperbola D EF, illae quoque ab eadem diametro bifariam secentur,adeoq. ad eandem diame trum ordinatim applicatae sint: Quod vero diametri oppositis sectionibus interceptae.

in centro his centur, suo loco patebit. V.

Sectiones coniugatas appello duas hyperbolarum oppositiones quae diametros transuersas habent, quarum altera, alterius recta est,& vicissim recta, alterius est transversa: siue sunt hype bolae quae coniugatas habent diametros.

4쪽

HYPERBOLA.

nes, una ABC, DEF, altera GHIιΚΙ,M : huius liameter sit transuersa B E , illius HL. .& Psi Naidem biss ecet aeq.iidistantes 1 L. dc illa hi- 'fatiam diuidat parallelas BE, H L diameter est recta, deransuersam BEhyperbolarum A B C, D E R de B E recta ad transuersa HI, hyperbolarum GHI, KL M. Ac quia positae sunt , ut altera alterius parallelas, intra sectiones positas bisecet, diani et ri dicuntur:

conuigatae.& hyperbolς quarum trans. Ierlae diametri, altera alterius a quid istantes bissecat, coniugatae vocantur.

chioni quidem magis ac magis accedunt, nunquam tamen occurrunt. Illas in figura designant lineae N S, S Q, P S, S O: quarum inuentionem de demon strationem vide propos. Ia.3c I6.huius: unum hic notari debet, asymptotoru aliquas, angulum ad centrum, formare rectum, alias acutum, vel obtusum,quarum sup positiones, varias ac diuersas inferunt proprietates, ut suis locis apparebit.

. VII.

Latus rectum est linea iuxta quam possunt ordinatim ad diametrum applicatae, siue latus rectum, mensura est iuxta quam comparantur potentiae linearum ordinatim ad diametrum applicatarum.

sit ABC hyperbolae diameter trans uersa BD & ad illam ordinatim P Αi fiant autem proportionales BF, FA, FEM ex D per E recta ducatur DE, OC- currens BG lineae parallelae FE, in a. erit BG latus rectum uti propos a. huius demonstrabimus. Porro in hyperbola latus tectum hanes bi proprietatem postulat ut quadrata o dinatim applicatarii m si speren t rectangula quae fiunt sub latere recto Ae partibus diametrorum verticem inter de punctum quo ab ordinatim positis interseCantur in , .

terceptis, figura simili et quae si sub latere recto & transuerso: v. g. persiciantur rectangula BE, GP. quoniam igitur per hypothesim , rectae BF, F A, FE pr ortionales sunt, quadratum FA aequale est rectangulo BE, quod seperat .P Grectangulum, figura H x, qu similis est illi quae fit sub BG dc BD in angulo G BD: uti propo 32 huius ostenditur. Illud quoque hic obseruandum est quod alibi monui non opus esse ut latus rectuno aliter ad diametrum applicetur, sed ordinatim applicatis posse aequidistare. Secundo sngulis diametris, diuersa conuenire latera rem , cum singularum potentiae diuerse sint.

vi I I. Hyperbolas aeqirales 'oco , quarum triangula quae contio gentibus &

Hyperbola: similes dicuntur quarum triangula quae contingentibus &

5쪽

PARS PRIMA

monstrat.

PROPOSITIO PRIMA.

munem intersectionem ΗΚ

' no per axem sec tur B AC, secetur, autem & altero sedante basim coni, iecundum rectam lineam

F D, ad B C basim trianguli ABC normalem , quod sectionem in superficie conifaciat lineam D H Et secti

nis autem diameter F E producta, cum A B latere trianguli per axem,extra coni verticem conueniat in puncto

L, deinde assumpto in FEdiametro puncto quouis Κponatur in plano trianguli ABC, recta G KI, aequi di stans B C. & secundum G1 planum ducatur G H l, equi distans plano baseos , exhibens in plano F E , comDico esse ut quadratum K H ad quadratum F D, sic L Κ E rectangulum ad rectangulum L F E. Demonstratio.QVoniam planum G H I,aequidistat plano baseos B D C, circulus , est G H I, MHΚJD b communes intersectiones parallelae,fi quia FD normalis est ad BC, , - recta quoquc HK ad I G parallelam BC normalis est: rectangulu igitur GKLae,. quale est quadrato e HK: rectangulu autem B pC, aequale est quadrato F D, qua- 31 -- diatum igitur HK ad DF, quadratum, est ut G ΚΙ rectangulum adrectangulum B FCr quia vcso ratio GKI rectanguli, ad rectangulum B FC composita est ex ratione GK, ad BP, id est L K ad LF , 3e ex ratione R I ad FC, id est E Kad EF; sit autem ex ijsdem quoque ratio composita rectanguli LKE ad LFE, rectansulum rve GKI rectangulum adrectangulum B FC. id est quadratum HK. ad quadratum PD, sic LKE rectangulum est adrectangulum L F E. moderat

demonstrandum. vocetur

6쪽

HYPERBOLA. Vocetur autem sectio huiusmodi hyperbolar cuius diameter transuersa LE, Mardinatim ad illam applicatae, H Κ, FD.

Sint ad vertitam superficies duae conicae quarum vertem Λ punctum habeant autem circulos aequales CDE, FGH,& parallelos, quorum centra Κ, I. diametri C E, F H: positaque L D normali ad diametrum C Ei ducatur secundum L D, planum non perverticem quod sectiones faciat in utraque superficie, lineas D LO, G M N. Dico utramque sectionem hyperbolam esse.

I Vncta N, O, vertices sint se&o- A num D LO, G MN : si impiis. que quibusvis distini ijs N X, oet, per V & X ducantur BR, Saeam uidistantes CL , FH. de per B R, S ae lineas . plana aganturn R, SPT , mi illela circulis

C D E, FGH, exhibentia in planis DLO, G Μ N.conmunes intersectiones X P, Q Uid quoniam igitur plana BQR, CDE aequi distarit, communes intersectionero V , D L, in plano DLo a parallesae sunt i de quia D L ad Cudiametrum normesi sest,recta quoque Q V ad B R normalis est: igitur ἰvi N U O rectangulum . ad ad ir tangulum N L O, se quadruum V quadratum L D, hypeihola algit ut sectio DL O. . Deinde quia circuli CDE, FGH aequidistant, e communesqqoque intersectiones DL,i MGuMalleIae sunt: Ec cum LD normaistis si ad diametrum CE , rectaqcioque M G normalis est ad F Η, vota de X P normalis ad ST: Mi dratum igitur X P ad ΜG, quadratum est ut NXo rectangulum est dre' mi congulum NM quare desectio G MN hyperbola est. i: si mittit mi vocentur autem hyperbolae G MN , DLO sectiones oppositae: quarum com i 'imilis diameter est transuersa No i l . Π M ilpi IPI

d ge A F, quae occurret G H in I circumagaturhaec eadem, manente i n 'o i, per cireulorum perimetros ABCI DIF, donec in eundem . re quit 'quo coepit circumducit erem' deinde KB qtthygsia

7쪽

planum agatur exhibens se ctiones M ΚΒ, N E L. ineo illas esse similes . hoc eae ordinatim . applicatas ad unius diametrum, aequales es quae ad diametrum auterura applicantur, si adiss-rijs aequaliter a punctis M & Nremotis , ad aequeses angulas

constituantur.

. Demonstrinis.

P, in linea. N L. ι deinde recra: N P, fiat aequalis M Rr ponantur quoque Po , RQ atatusduhantes ΚΒ. hoe est EL, qvie communes in riscliones sit, ni BKL, MNan eum ABC . DEF aequita- stantium, ac proinde pMalleladii ter se; ponatur deinde I Y parallela AC. quoniam Aa C. circuli aequar testi: paralleli fiunt, diametri quoque AC, DF aequalis sunt Se aequi distanti sint autem GH, LΚ quoque parallelae,& HG in I bissecis . recta quoque L N in Y hissecta est. quia vero est AG ad A K , hoc est D H ad DL, ou AG. quales semidiametrosὶ , t GI ad xM . hoe est III ad N L; sime autem G I. Isi quales i igitur & ΚΜ M N L, uti ex constructione lineae ΜM Nyrauisierusum. - normalis sit ad AC, rectangulo AK C aequale 'uadramni xy: fimiliter derectangulo DLF aequale quadratum L Ei igitur eum Λ C sit aequalis I F. rei - AK aequalis DL, erit quoque ΑΚ C, aequale DLF tectangulo . adsoque. ω ' 'quadratis ΚΒ, quadrato LE aequale. eodem prorsis modo constar RQ a ridratum esse aequale o P quadrato. similes igitur suochae saetiorum de ordinarat M'plicuas E ΚΒ, & OP, RQ aeqv le Oent, quae dictanto SM, LN Ris, PN aequalibusta punctis M MN, bnuitutae sit amari etaimitamus . Quo

8쪽

riam diuisa in G 'ponisurpet G Iinea occurrens A BC hiperbiai-α in C. fDico quod EG produ oppolitae quoque oecurret sectioni in E.

Demonstratio. . .

Dosita ex C ordinat m linea CH ad diathe- reum BD, fiat HG ae pialis G ,δdex'-- si iistim ponaturI E ad diametrum BD. oc r- eris CG linea: iii Et quoniam igitur FIC, IE AElineae in ὀppositis sectionibus ad eandem diame- rum ordinatiui positariant, atquidistant . HC, I adeoque anguli CHG, GIE . qua rur. flurit autem anguli ad G, oppositi & HG,iGI Zliticae quoque aequales, aequalia igitur sunt triatiis igula o A C, G EI: ac H C, EI lineae aequa est . 'ν quia vero BG, GD aequales fiunt ex hypothes, i. Ii, ese G H , DI per emstructionem roliquie HB, DDI quoque aequales sane: quare IE linea, prout 4 hyperbolaeoccurrit, L aequalis est HC : eadem igitur est IE ordinatim posita, prout occurrit A Nhyperbolae, & prout CG lineς occurrit: unde punctum E in perimetro est hyperbolae,&CG Z producta optasitae occurrit sectioni in E. Quod Erat demonstrandum. II. IO, ,. i. t l . Cousiare m. Trine sequitus si per G ponetuin quoeBD diameter hisiecatur, alia ducaturaiy. perbolis occurrens in C le E, re ex C de E, Hrdinatim ad diametrum BD ponantur CH, EI illas, uti etiam DI , B H Esse inter se aequales: manitestum est ex priori demonstratione. t et .

Udem positasgura: si BD una diametrorum bisecetur in G, Dico rectas omnes per G ductas de hyperbolis occurrentes, in G

9쪽

HYPERBOLA. Demonstratio. Dosita per a linea eE, hyperbolis octata

1 rat in C de E punctis, ex quibus ordinatim ponamur lineae CΗ,IL: quoniam BD diameter in G bissecta est M CE oppositis occurrit sectionibus, rectae H C, EI ordinatim ad communem diametrum BD positae aequales sunt: quare & ID, B H quoque baequales sunt e sed ex hypothesi rectae GD, GB aequantur, aequales igitur sunt GI, G H,unde reliqua C aquique reliquae GE aequalis est. 1 vocetur autem punctum G centrum hyperbolarum: rectet vero BD, CE earundem diametri transieris quae in G centro bifariam diui

duntur.

PROPOSITIO UI. Ini ABCD parallelogrammi di metri duat A B, C D, descriptis autem super singulis parallelogrammi lateribus,

circulis, ferantur circa illos lineae, A B, CD, formantes quatuor Oppositos. co- nos quorum axes FG, ΗΙ. factaq; per axes sectione, parallelogrammum eme

gat, A C B D cui aequi distans fiat sectio, exhibens in conicis superficiebus lineas NOP, TUX, KLM,QRS. Dico illas esse hyperbolas. Demonstratio.

Plana NOP, TV X,ΚLΜ QRs exhibeant in basibus oppositorum conorum lineas N P, Q , TX, Κ Μ quae s cum sectiones illae aequissistet parallelogrammo AB C C quod e matur semone facta per axes con tum opopositorem aequi distant diametris Α C, CB, BD, D Α : adeoque Se inret se e diuisis igitue AC, NP bifariam in Z M Y, ducatur ZY, per

quam, uti& E verticem conorum planum ducatur ,exhibebit illud triangulum per axem, lus lateribus, extra conum oeeurrent sectiones No P, TUX: ehyperbolae igitur

sunt NOP, TVM smilitet ostenduntur hyperbola KLM,QRS.

10쪽

PROPO si TIOREcta AB diuisa utcunque in

C ita tamen ut rectangulum A BC ad A BC, restangulum eam obtineat rationem quam quadratum B D ad B D quadratum, adaequales angulos applicatum ad rectam AB.

Dico CD B esse hyperbolam.

DEmonstratio manifesta est ex prima propositione huius. Schobou. feraenetium duxi hane propositionem D. . quod aliquid alia is diuersum conlinea sed vinansisterer D=ccasionem ea qua huc inque is nuriam ad. - tacta sunt exilicandi. , eae planandi quis Apollonius libro primo proposit reta ob uenatu si perbin reliquit ; cum ea ι ones portas asadio Conicarum sectionum arcere soleant quam per dilucidatione ematum, qua hk apparent, rem ita mὲnfestam eaedere,v rexim mouere cuis valor ipsi arilseminam ut nonnum autumant,assectata au 'ueor ob rB-horrorem so/Gbrim rere nata est, quanihilominusvisu intelligentib

, - η basis circularis B C D fecerisper centrum R