장음표시 사용
11쪽
Primὸ ut quaeuu applicat adrecta n GF quid am inmis GIC, remetauio G ΚN, hoc est aequetur eidem; quod rectangulum ita determinas ut habeat nimirum ast sinum G K quantisarem interceptam inter G terminum diametri h perbosei, ct K panctum ex ausea educia K I aquidimns CF, quam vocat ordinatim positum ad diametrum GE. Secund. vi retriatam QR p milest illi quod ex o G, in G H ducto. Latm stem G O appellat latus rectum sperbolae ex eo quodnormabor ducta smea ex Hiermino recta GH quammmmat latin transversem eiusdem h perbola GIC; P adpun- Liam O lineae GO ma ρerpenaculariter est erecta ad diametram H F rectavidaq-- cunaue orta ex altitudine G Κ, ese longitudine Κ N, velex altitudine G F-ovisadine F P, sint qualia quadratis linearum KI, Foc excedunt autem rectango GKN , GFP
parasielogramma sub latere recto G O, o G K , vel G O-G F, figuris Q R , S B, quae simius existunt gurae constitura extitere recto Go,intransuisse GH et quod manifessum est ex producta diametro HO. quasimilia triangula H O G O QN, O S P. producit. quocirca si rectis K I, FC ponantur aequalis ΚΤ, F V , erit G Τ V , eadem buer-boia quae in cono A B C D persectionem GIC F producta fuit.
Nd ut Unius intelligata conuertamus nos adconsiderandumstrema 3.s 4. s reperie mm ea prorsus conuenire eum praecedenti figura ex cono eruta; nam ad rectam A D praductaaρplicantar linea GI aequidigantes inteν seris AB eo limia cum rem AC ad que-tibet angulum, nisur DE qui ans AB. rectangulu insuper ΗGI quadrata GK qualia eisPituantur: or ex vi distumus Ansionicipatet G Κ h perbolam es; nam quadrata GK Hssunt rectangulasub DF titererem se D G conBrum excedoliasigaia ili figura D O , prout vati Apossiniuu, cum rectangati GL altitudinem habeant D G , o sint aulicata-FD titin rectum excedendo figura L M, quae simitas plane es illi qua sub latere recto F D, o AD transiuerse constructa est:in tertiasigura in qua ordisatim aulicantur recta G Κ, ad angulos rectos, linea A C axus h perlati: in quarta autem reisera eadem A C tantum ex , una ex secundans dametris: quia ad obliquos angatis ordinatim positas disssit. Rerta quoque A D transues diameser c latus transueVam nihilominus ab i possimo appellatur, ADF rectum tirinsecundum quod possunt omnes Enea GK qua orssi rima plicantur ad Hametrum A C. punctum quoque P quod diuidit A D A
Seori quam viseriaspergamus,restat hoc loco eiacidanda quastiuncula cuiuslatio tuminis non pam erum adducet si bene percipiat re tamia praesemi propositione quam exponimus, univer si re pronuntiatum M secunduri primum fema. Reed A B diuisi micon eis C , ωρ rectan ilum ABC ad ABC, rectangulum eam rationem obtineat quamquadratum B D, B D quadratum, exsurget C D B s perbola, quare ab A Lony videmur Hacuo discedere qui videtur post re ut retrangula ABC aequalia ni quadratis B D.
12쪽
PROPOSITIO VIII. REcta A B diuisa sit utcunque in C; ex quo ducta quavis C D, pona'
tur quicunque A L quam intersecent aequi distantes GL. Denique fiant rectangulis GFL aequalia quadrata FH. Dico C HB esse hyperbolam. Demonstratis. . o ὁ ο κ
FIat rectae CB aequalis ΒΜ, ω polita MDCCur AzPdrari runt istitur rectis CF aequales FK, tandem rectangulis GFL statuantur aequalia RPI, patet AI E lineam rectam esse dc GF ad Fia eam rationem continerς Ρ L.
quam FK ad FI, ob aeuualitatem rectangulorum: igitur rectangula KFI L ii aequalia erunt ouagratis FH. quare rectangulum CFI cumsiit appli
ad tectam CN habens latitudinem C F excedat quoque rςctangulum N CF figura O P simili figurς sub N C. R C A, patet figuram C HH, eam ipsam esse quae ab Aoollonio descripta fuit: hinc igitur patet dubis expeditio: quod praecedens Icholion in medium attulerat sub anem dilucidandum.lineam AC, diametrum nominat Msmul latus transitersum lineae CN, quam latus rectum dicit: punctum autem quod AC bifariam secat figurae centru indigetat: quia omnes diametros bifariam diuidit.
13쪽
Sohobou. 1 ingenue Lecyor varios esse V casus praecedentium propositionum qua de cons rumone sperbola iras VI per inrerposionem rectarum IlI quae media ins inter rectas DI, i Dprimo eIenim siemate aqui-
do veho eadem re sibi inuicem occurrunt in puncto T. quod i etiam sectioni commune est. in tertio denique t concursin earundem linearum in L puncto per quod semo nulla ratione, bcet in infini-rum 'roducatur,tra Pepotest.nihi- .lominus vera sunt o genuina b perbolae e ex eo sis evire quod re..etinguia Fl G , qualia sint quadratis ΙΗ. quo extis quana missis seni si AH eonuat e rectangulum namg FIG ad FI G rectangulum , proportionem hases compostam ex ratioM GI, ad os
ex raIione adre. quare. militer quadratum HI ad ΗΙ quadratum, rat nem hisbet ax Udem compositam: verum etiam reis crangulum AIC , ad AI C rectanguiam rationem habeν compostam ex rasione CI., ad C I hoc
IH auadratum proportionem ean dem satia quae inuenitur inter re-
manifest. conrit, ex N qRAE p misimus, sectiones IH esse sperbolicas, inquoau easeu He exposito: qui commodissimὶ inseruire meristis euiussu sperbola constructi
14쪽
D E quadratum ad quadratum D E. fiat deinde ut AD B rectanisil u m ad rectati gulum ADB una cum C B quadrato,ita quadratum D E: DF quadratum ico. C G F esse rectan lineam. o. i. II emonstratio.
Uoniam rectangulum ADB ad ADB, cum quadrato BC eam ponatur cinere retionem quam habet quadratum D E ad DF quadratum , igitur ve reis tangulum ADB ad quadratnm DE, ita rectangulum ADB unicum quadra o CB. hoc est ita quadratum CD ad quadratum DF. quare ut CD quadratum d CD quadratum, ita Dp quadratum ad quadratum DF. hoc est CF quadra um ad quadratum CF. Patet igitur CGF esse in directum. Quod erat demon
A Dico nunquam pumitum E sore commune cum puneto F. Demon atio.
Voniam est quadratum CD ad CD quadratum ut DF ad DF quadratum, α& ΑDB rectangulum , ad ADB rectangulum, ut quadratum BE ad DE, quadratum: itur erit rectangulum ADB ad quadratum DE, ut quadratum CB, adrectangulum FE H. ergo ut CB quadratum ad Cli quadratum , ita rectangulum FEH ad F ΕΗ, rectangulum; igitur pEH recta uia inter se aequalia sunt: ipitur FD quadratum cum excedat quadratum ED, rectangulo FED, erit lineia pD maior linea EDi non igitur erit umquamcommune punctum E cum pub D.
Isdem positis: I Dico quo remotius erit o a puncto B, eo FE recta remotior a linea G B minor erit F E, viciniore rectae G B.
15쪽
. . ,-onstratio. 'Dum rectangulum ADB ad ADB, rectatio
egulum sit ut quadratum D E ad DE, qua dratum; gitur quoremotius D distat a B, puncto,so maius erit latus D E, latere D E quod vicinius est reistae G B. & consequenter erit FD latus maius lateis: FD quo parietunc D, remotius abest a puncto B ; ac proinde idem asi rendum detecta EPI, quae maiore interuallo distat a B , puncto, unde cum F E H rectangula sint inter se aequalia; igitur temotios 17 E est ad viciniorem lineam FE sicut vicinior EH. est ad remotiorem E I, igitur FE; remotius minus est latere FE. viciniore. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO Xl I. SEcetur conus ABC plano per axeni ABC triangulum exhibens in quo' ducatur qqaeuis recta D F concurrens cum C A producta in G extra conum : erecta denique D E normaliter ad CB, nat sectio secundum rectas GD, DE. tandem diuisa GF in id bifariam , fiat virectar gusum G M F ad redeangulum G MF una cum quadrato Id pira quadratum MN ad Moquadratum,& ducatur H Ο.. Dico H L lineam sectioni FDE nunquam occursuram Demonstratio.
ponatur MO aequidistans DLr ostensum est rectangulum G MFad. GDF rectangulum eam habere rationem quam M N quadratum ad quadratum DE, sed ut G MFrectanguIum ad rectangulum G MF με. na cum quadrato H F, hoe est verectangulum G MF ad Abi quadratum, ita est ex constructione MN quadfatum ad ΜΟ quadratum: igitur ve GH F rectangulum ad MN quadratum ita est quadratum ΗM, ad Mo quadratum hoc est H D quadratum ad D L quadratum sed per praecedentem propositionem ostensam est puractum E nunquam fore commuis ne cum puncto L; ergo H L sectioni non Oeeurret. Quod demonstrandum fuit. Coro a-DiuiligeU Dy . Ogle
16쪽
Gratarium. I II sis etra positis sequitur lineam H L. quo magis producetur,eo sectioni propinqui rem fieri. Ostensum est enim penultima propositione pu*stum L quo maiori inruallo distabit a puniato H , eo vicinius futurum sectioni FN E. Igitur linea HLio magis protrahetur, eo sectioni propinquἰor fiet.
Isdem positis: LDico hyperbolam productam ad asymptoton productam ita viciam fieri ut quouis interuallo dato di istantia inter haec minor sit futura. Demonstratio.
Atum sit interuallum inponatur FPiri termino diametri DF contingensatoriem FNE r erit haec par leIao. fiat autem rectangulunt sub R Si ae sit minor Q&alias Τ aequale qua-ato F P. de applicetur ad diametrum D Ordinatim pars eius S X. quae XTsiduum habeat aequale RS. Sitque il-EDV. igitur EL aequatri est XT, im ELU rectanguIum, hoc est R STt aequale quadrato F P. Quod si fiat te- angulum suner O , & Y, aequale qua- ato FP , etit S X maior Υ , nam lato teli quam sit RS quare si ponatur ordinatim . ad diametrum F D, cadet per rectam Uta sit igitur illa Zλ. ' inaeq talis λεα quod si itaque λει HL normales sint ad asymptotos alec propositio,cum λ μ posita sit, 's de nihilominils E L ostensa sit il- ,
i minor: a normalibus enim ad asympto-
bs ductis a se chione, desumitur asympto- o Iruma sectione distantia. Quodsi λ L non sint normales ad H L, ex λ de E
Cantur normales λis, Ex cumitaque
ρε de EL, item λβ, ω EY parallelae int, M anguli λ μ β, ELY aequales, dc tamen latus λμ ostensium sit maius esse la-ere EL, etiam reliqua latera reliquis lateribus, & λβ , latere EY maius erit, ergolistantia EY minor est data Q. Quod fuit demonstrandum.
Λ Ngulum ACB subtendat linea AB, qua bifariam in G diuisa, po-LAnantur AB aequidistantes DE, quae in F secentur , ut DF Erectangula aequalia sint quadrato A G. Dico G F F ad eandem esse hyperbolam.
17쪽
mRoducta GC in K, ut CK, sit aequalis CG, ponantur AL, BN aequidistan-Vtes GI : cum AB, DE aequi littent, de AB in G diuisa sit bifariam, erit & DE in I bitariam diuisa, quare DI quadrata, aequalia fiant quadratis L Iuna cum rectangulis DLE. sed& DI quadrata, aequantur etiam FI quadratis. una cum rectangulis D F E , aequalia igitur sunt quadrata LI, una cum re stangulis D L si, quadratis FI, una cum rectangulis DFE: sunt autem per hypothesim quadrata L IidesbΑG. rectangulis D FE aequalia, reliqua igitur DLE aequalia sunt quadratis FI. quia vero AL ipsi CG de DL ipsi AG aequi distat, ut DL ad LA, sie ΑGest ad G C , 8e ut D L ad AG , id est LI, sie A L hoc est GI , ad G C i ergo etiam ut DL ad LN, sic AL siue Ita ad GK: Mut DL ad LE, sic IGad IKrrectangula igitur DLE proportionalia sunt rectangulis G IK: sunt autem DLErectangula ostensa aequalia quadratis FI, igitur GIR sectangula proportionalia sunt quadratis FI: quare GFP ad heandem sent hyperbolam simili m o si quadrato G B aequalia fiant rectangula D M E , ostendentur puncta MMG esse ad hyperbolam: de quia quadrata Α GB, adeoque Serectangula DFE, D ME aequilia sunt, rectae FD, ME aequales quoque sunt: unde Ocresiduae F M in I. bis- sectae sunt, de FG M ad eandem hyperbolam.
18쪽
Ceurrant enim si fieri potest hyperbolae in punctis O S R. re fiat quadrato .
- AG, aequale rectangustam O TR. erit itaque punctum T , in ipsa sectionci; F F, adeoque & in recta A O. Hein igitur est punctum O M Τ, cum utrumque uarum linearum OT,A O, communis sit intersectici: quod est contra constru-hiciliem, qua O TR , rectangulum aequale fit quadrato A G: eodem modo oste letur punctum R commune non esse recta: CR, §ioni: igitur F G M hyperiola rectis A C, C B, nusquam occurrit. Quod vero semper magis ac magis ad hy- ,et bolathaeccdant, sic ostendo e cum DF rectangula per hypothesim aequalia int quadrato A G adeoque & inter se, ut DF ad DF, sic PE ad FE, recipi se i Led FE quae remotior est a vertice G maior est, FE viciniore, igitur & FD, ectae AG vicinior, maior est PD, remotiore ab AG e similiter ostendetur re-1as N E eo magis decrescere quo remotiores fiant a vertice Gr tectae igitur A C, IB magis semper magisque ad sectionem accedunt; de nusquam occultu .a-ptoti sunt igitur, hyperbolet GFF. Quod erat demonstrandum. rolgarium. Hinc sequitur rectas, inter asymptotos & hyperbolam interceptas aequales esse: - - Metilla sunt enim in propos. I . huius rectae DF, ME aequales. unde cum per Is. huius puncta D & E ad asymptotos sint, patet veritas Corollarij.
19쪽
Constructioinrimonstratio. Ie ABC hyperbola cuius asymptotos exhibere oportet: diametet sectionis sit G B, qua in Z bifariam diuisa ordinatim ad illam positae sint A DC: deinde fiat rectangulo GDB, aliud simile HL M. quod aequale quoque sit quadrato DA, tum H M, diuisa bifariam in di, fiant DE, DF, aequales NH dimidiae H M. ponanturque ex centro lineς ZE, Z F. Dico illas esse asymptotos hyperbolae Α B C. Posta enim B Κ, quae aequidistet D E , ponatur K O, parallela B D, & P S aequidi stans x B. Erit ergo ut EI ad I K, id est BD, se ΚΒ ad BZ siue ΚU, id est I Edupla ΚΒ ad GR duplam Z B,&permutando ut EI ad IY, sic BD ad BG, MEI ad 1 F, ut BD ad D G: unde EIF rectangulum simile est rectangulo GDB a
deoque&simile rectangulo HL M, de cum ED, H N ex construhione aequales sint, aequalia quoque sunt rectangula EI F, HLΜ: quare & EI F, rectangulum aequale quoque est quadrato A D. eodem modo ostenditur P O S rectangulum simile sectangulo GTB M aequale quadrato QT. Rursum cum quadratum ED, tam aequale sit quadrato Α D, una cum rectangulo E A F, qtiam E IF rectangulo cum quadrato ID, quadratum AD una cum rectangulo EAF aequale est quadrato ID Vna cum rectangulo EIF: demptis igitur aequalibus, A D quadrato 6d rectangulo EI F, manet E AF rectangulum aequale quadrato ID , id est KB: eodem modo ostenditur PQ S reetangulum aequari quadrato ΚΒ ; aequalia igitur sunt rectangu-u BAR PQb : unde LE, Z F asymptotiti sunt hyperbolae ABC. Exhibuimus
IInc sequitur, positis asiymptotis L Z,ZF: hyperbolae, A B C, de EΑFi ordina--λ- tim ad diametrum G B, &c. ut ante rectangula GDB similia esse rectangulis EIF: manifesta est demonstratio, ex discursu in priori demonstratione adhibito
20쪽
HYPERBOLA. PROPOSITIO XVII. REcta AB inter asymptotos AC, C B;hyperbolae FGN constituta in G vertite diametri ΚG diuisa sit bifariami dc AB quidem, ae qui distent o F Equas in i sedet recta AH, aequidistans CG diametro Dico L F quadratis aequasi rectangula DI E.
PH M proportionalia sunt quadra- - ,
rectangulum ad quadratum HO: ςqualia aute sunt ex construct.quaestatum H O id est A G, ω rectangulum PHM; Equantur igitur DIE rectangula quadratis F L. Quod erat demonstrandum. , '
vadratis DL aequalia sunt rectangula DI E una cum quadratis LI sed Luquadrata quoque aequalia sunt quadratis FL, una cum rectangulis 1 FE in diata igitur L F una cum rectangulis DPE, aequalia sunt quadratis L I una cusreetangulis DIEi sed F L quadratis, perpretcedentem aevalia fiunt rectangula DIE, igitur ac D FE rectangula reliqua. aequalia sunt qu dratis IL id est AG quadrato rundedi inter se qaoque sunt aequalia. Quod erat Aemonstrandum. OYperbolam ABC secet reeta quaevis AC, oportet illius assigna- - re diametrum, posita AC qquidistan- - : te DE,bisecetitur AC,DE in G&F punctis, per qui recta agatur BF. di co illam esse diametrum quaesitam: sim vero sit alia quaevis linea LII diameter, oc-e arratque D E rectae in II: quia igitur L H diameterest aequidastantium AC,DE,