장음표시 사용
21쪽
in. n. ,. bisecat easdem in O 8t H. ponebatur autem DB bisecta in F; puncta igitur F- η . M H, unum idemque sunt:& L H linea ea lem cum BF: diameter igitur quaesita est B F.
PROPOSITIO XX.Liametri omnes hyperbolae , in uno eodem conueniunt puncto. Demonstratio.
It AB Chyperbolae diameter DE, qua diuisa in bifariam in vi ponantur basymptoti FGF Η:&per F ducatur FB occurrens hyperbolet in Brponatur autem per B linea G H quae in B bissecta sit, illique aequiuis antes ponantur IAN , C- currentes PB lines in M : quoniam igitur H Gin B diuisa est bifariam, tectae 1Κ illi aequidistantes in Μ quoque bissecantur: aequales autem sunt cI A, CK, residuae igitur Α M, MC aequales quoque sunt; diameter igitur,sectionis est FB: -- currit autem ED diametro in F. constat ergo veritas propositionis. Corollarium. O Stensem est proposition. huius , rectas omnes, per F ductas, de oppositis sectioni- bus interceptas, in F bisaiam diuidi: punetu trivero illud, centrum eum Apollonio apellamus 3 quod diametros omnes hintiam diis uidit.
PROPOSITIO XXI. I JAxη hyperbolae centrum assignare.
CIt ABC hyperbola cuius centrum oportet assignaterponantur Α C,EFduς quaevis parallelς,' quarum diameter ducatur D B, ponantur autem Maliae binae aequidistantes C. LII; quihus, in N de Κ bisseetis , ponatur di meter N Κ , quae producta occurret DB diametro in puncto quodam D; manifestum est ex praecedenti propOsitione punctum D, seotionis centium esse. exhibuimus ergo, dcc. Quod erat de
PROPOSITIO XXII. I 6υς hyp bolae in em assignare.
22쪽
construmore demonsIratio. Ara sit hyperbola ABC cuias
axem oportet exhibere: inuento Centro D; describatur interuallo quo- iis , circulus AEC occurrens hyper
iolae in A dc C punctis, quibus iun- his , secetur AC bifariam in F,duca-ιrrqtae DB F: dico DF axem esse hy- , orbolae: cum enim D E semidiameter inciali A E C.bifariam diuidat rectam . C, in circulo applicatam, ad angulos illam secat rectos,adeoque & omnes illi pa- allelasi igitur cum e centro hyperbolae, quoque educta fit, recta DB axis in hy- ,erbolat AB C. fecimus igitur quod erat postulatum. Functa intersectionu- AOC Geomerine exhibe asparte ha-s fibri M.
PROPOSITIO XXIlI. AD datam diametrum in hyperbola ordinatim lineam ponere.
Ata sit hyperbola A BC, cuius diameter data sit DB, Opotiet illi ordinatim applicare in eam IK: diuisa D B biseriam in M, Mantur lyperbolae asymptoti h nn nri r actaque per A v erticem diametri, reoea E H, quae in B diuitait bifariam, ponatue ΕΗ, aequidistans FG, -- Drrens sectioni in I fle dico IK lineam om-aesque illi aequidistantes bifariam diuidi a diametro DB. Cum enim EH in B diuisa sit bifariam, ipsique E H aequi distet FG tit& illa in L hifitiam di instar Sunt autem MFL. ΚGκ- quales; igitue de reliquae LI,L K inter se quales sunt; igitur I K lines omne'; illi aequidistantes a DB diametto bissecantur. Applicuimus igitur ad diametrum DB ordinatim lineam IK.Quod
PROPOSITIO XXIV. DAxa hyperbola de diametro, applicare datam rectam ordinatim ad
23쪽
DAta sit A recta quam ad diametrum claram BC l1yperboIar DCE . ordinatim' oporteat applicare: ponatur per praecedentem recta quaevis D G, ordinatim ad diametrum B Cr quae eidem occurtat in puncto I: & fiat ut quadratum I G ad quadratu A ita BIC rectangulum ad BKC rectangulum;&per Κ ponatur KE parallela I G. Dico illam satisfacere petitioui ι est enim rectangulum B IC ad quadratum ordinatim positae I G, ut rectangulum ΒΚ C ad ordinatim positam ita puncto Κ: sta ex constructione virectangulum B IC ad rectangulum DK C, ita est IG quadratum ad A quadratu. Quadratum igitur ΚΕ, aequale est A quadratorqviaver4 XE aequissistat IG ordinatim positet , recta quoque KE ordinatim ad B C applicata est.perfecimus igitur quod postulatur.
OPorteat ex dato in diametro hyperbolae puncto
ordinatim lineam applicare. Constructio, onmatIo. Γ Αtum sit in diametro A B, punctum C , ex quo oporteat ζ clam ad eamdem diametrum ordinatim applicare e ponatur quaeui bordinatim DE, cui ex C aequidi- stans ducatur CF. patet CF satisfacere petitioni.
PROPOSITIO XXVI. Mnis linea per verticem diametri hyperbolae ducta, &ordinatim ad emadem diametrum positae aequi distans, sectio8em contingit.
24쪽
It ad ABC hyperbolae diametrum DB, ordinatim applicata AC, cui per B verticem diametri aeqii distans ponatur EB , dico illam contingere sectionem. si enim non contingat, DC currat denuo hyperbola: in quodam puncto P r diitidique FB bifariam in G, ponatur diameter GD: Cum igitur FB αqui distans AC, bicriam secetur a diametro D G, erit& AC ab eadem di metro bifariam quoque diuisar quod fieri non potest, clini ad DB diametrumordinatim ponatur applicatae igitur EB hyperbolam noti secat, sed contingiti Quod
AB contingat hyperbolam ACD in A. dico A B produciam utrinite asymptotorum occurrere. Sin vero, aequidistet AB aiymptoto BFi prasitaque per Aquavis thaea EAD, .duua- qvidistans Hi, quae AB lineae oecurrat in I, hymrbolae in G: quoniam igitur tam ΑI, E Huneri quam E A, H I aequi distane, rectet EA, HI, aeuuale sum: est φutem EA di maior HG, igitur& H I maior est H G.puctum igitueΙ cadit intra sectioneor, adeoque AB. recta hyperbolam non is conripsit a non igitur AB aequi distat asymptoto EFι utrique occultit. orollarium. .
buria Thhis T ''' a non sunt, sectioni in duobus tantum sue λι- i P0Dii a m sit, rectam omnem occurrentem.
ii ,Tiς - asymptotos interceptet,sime inter se aequales, nec posset di-
25쪽
gentem ducere Inuinto centro D, ponatur D B diameter, de ad illam ordinatim linea AC. cui per B parallela ponatur ER constat ex praecedente propositione B F contingere nyperbolam in B- ι
pROPO SITIO XX X Gnis contingens hyperbolam , & cum asymptoti innueniens, in
puncto contactus bifariam secatur. OCcurrat EBF . eontingens hyper lam ΑΒ C in B ι utrique asymptotomiti in Eae Fi Seo EF in B diuidi bitariam. Dum
4 diametro DB ponatur ad imordinatim AG Z .reique asymptotorrem occurrens in I re xr. v erit igitur AC in G bisa es diuisa e ostense autem sunt IA, C K a quoque aequales, tota A ,--ia G, adeoque EF illi a Rui distans. l in B secta est bifariam. Quod demonstrare o-
PROPOSITIO XXX. Ivlla linea, eontingens hyperbolam per centrum transibit. -- atio.
Ater,cem omnis contingens inique asymptotorum ostensa , sit occurrere in di uersis punctis.
Ndata hyperbola datae diametri latus rectum assignare. Diuiti eo by Gorale
26쪽
constructio m demonstratio. SIe hyperbolae ABC asgitata diametet DB, euius latus rectum oporteae
exhibere. Ponatur eontingens hyperbolam tecta BG, intextrimodatae diametri C. ponatur Mnldistans A C, diametro occurrens in Et Sr fiant tres lineae BE, EA EF proportionales, iuncta deinde recta Dp occurrat B G in Gquodam puncto, Dico tectam BG Aelatus rinum quod inseruit diametro B Di perficiantur elisin parallelogramma BII, EI citra diametriam DFς quadratum igitur ΑΕ p test tectangulum'FB, superatque rectangulum G rectangato F G simili tecta gulo GD, qu6d lineis DBG continetur et linea. inar BG latus rectum est exiliente Apollonij.
27쪽
Sectionum oppositarum acconiugata assectiones considerat. PROPOsITIO XXXII. SEctiones oppositae communes habent asymptotos. Semonstratio. Sint ABC hyperbolae asymptoti DE, DP
positoque axe D B , ducantur contingenti per B, ductae, aequi distantes GI, ΑΚ : pro
ductis deinde lineis EDFD BD,fiant D L,D RDT aequales ipsis DB, DI, DK, ponanturque per L, V, T lineae M L, NP, S parallelet liai Ineis EB, I G, HRν quoniam igitur aequales simii linea D L,D B, & anguli D L M, D B E ad axem ... recti; triangula D L M, D BE adeoque x latera L M, BE aequalia sunt: similiter ostenduntur la-i., ix MAEN, TQ aequalia lateribus αι Η Κι igitue i-LΜ quadrato aequalia rectangula NOP. ,:-S i puntia L, O, R , ad hyperbolam sunt.' cuius asymptoti DΜ, DPi NOP, Q RSς rectangula aequalia sunt rectangulis a G 3,HAR quia EB, LM quadrata aequantur; aequalia autem sunt quadrata NU, Q T quadratis αι. ΗΚ , reliqua igitur quadrata OU , RΤ aeqitalia sunt reliquis GI, A K: sunt autem per constructionem distantiae D L, D V, DT aequales distantiis D B. DI, DK,ς oimositet igitur sectiones sunt LOR. BGA; quet communibus gaudent asymptotis. moderat demonstrandum.
SEctiones oppositae latera recta habent aequalia, quae communi in sese
U Adem assumatur figura; sitque BZ laeus rectum hyperbolet ABC, de per Ζω centrum, recta ducatur, occurrens L M lineae in X: patet L X aequari Z B eam DB, D L lineae aequales sint, de anguli D LM, D B E aeqtiales, ob L M, B Eparallelas in dico autem LX latus rectum esse hyperbolet ROL t recta Z X prood icta, occurrat N V, αι lineis in Y Ac ω: quoniam igitur ZB latus rectum est, Mordinatim posita ad diametrum DB, proportionales sint i lineae BI. GI, ιω est . autem BI aequalis LV, per hypothesim, Ze ex demonstratione praecedenti, rectae I G, is aequales V Ο, V Y: rectet quoque L V, V Ο, v Y proportionales sunt: quare . nia. LX latus. rectum est hyperbolet LO R. sectiones tritur oppositς, dec. Quod erat demonstrandum.
28쪽
PROPOSITIO XXXIV. Sint Α Β C, D E F oppositae sectiones, quarum communis est diam
ter B Ercui aequi distantes ponantur quaevis Ao, occurrchiesco tingenti per B actae in G i ponantur* ordinatim AI: - Dico A G D rectangula aequari rectangulis BI E. tDemonstratio.
Ponantur ex D ordinatim' D H ad dIametrum . A BE. cum igitur tam AD, III, quam AI, G B, DII lineae a quidistent, erunt ΑΙ aequales D Hi , α HE aequales 1 B; rectangula igitur HBI id est iDGA, squalia nant rectangulis EIB. Qgod erat '
Dico A G D rectangula proportion Ita esse quadraris G B. i l l - ' t Demonstrario.
Est enim BIE rectangulum adrectangulum B in . ve . At quadratum ad qua- . x, dratum AI, ici est B G ad quadratum BGi sed AGD 4 rectangula aequalia sum rectangulis BIE i quadratis igitur B G, proportio alia quoque sum rectangula AGD, quod erat demoustrandum. 1
SInt sectiones oppositae A BC, D E R & diametro cuiuis Ell, ponantur parallelae G H, IK; occurrentes ΑC ordinatim positae ad EB, in punctis Κ & H. Dieo G HL rectangulum adrectangulum IK M, eandem haberer tionem, quam rectangulum ΑΗ C ad ΛΚ C rectangulum. Demonstratio.
Posii 1 AD aequi distante EB, eonstituantur ordinarim IQ, GP LN,MO, DR ad diametra E B: erit emoc RES rectangulum, aequale rectangulis RQ S,ma cum rectangulo QEO. Sin iliter rectangulum QTO aequale rectangulis VPO, PEN: quatiamin autem AS aequale est rectangulo AKtaynaeum ΚS quadrato i quemadmodum etiam quadratum M Oaequale est reliangulo M ZY, una eum Zo quadrator est autem re Mngulum RES ad quati tum AS, Vt , Q ΕΟ rectangulum ad quadratum Moidest Κ S.Igi- tur& reliquum rectangulum RQI est ad reliquum AK C, ut Eo rectangulum ad quadratum KS: &permutando R Q S rectangulum adrectanguluQEO, est ut rectangulum AK C, ad KS quadratum hoc est Aa a a 3 Μ
29쪽
MO. est autem R O S . rectangillum aequale IΚM rectangusta ligitur 5: N M rectangulum,est ad rectarie γ' gulum RO , ut rectangulum AK C ad xS qu 3 =dratum erat autem R Es rectangulum ad quadratum κι, A S , ut rectangulum QR o ad quadratum Μ Ο. Igni Z tur ut QEo rectati tum lioc est EO B vid quadra. i l Um M O, ita est RQ S rectansulum hoc est IKM,
ad AK C rectangulum. eodem δiscursit demonstratur rectangulum GHL ad A H C, eamdem rationem habere quam EN B rectangulum ad quadratum N L, hoc
est quam rectangulum E O B ad quadratum No. Jo- turrectangulum AKC ad 1ΚM , eamdem habeti ctionem , quam AHc , rectangulum GH L. MGHL 'te fatigulum ad rectangulum IKM eta et ii habet rationem, quam rectangulum AHC ad AT Ci rectangulum. Quod fuit demonstrandum.
Ponantur iterum oppositae se stiones AB C, DE K &ad diamettum FB collocentur ordinatim GH, IK, A C. Ponatur, BL conti gens de A l Q. G E aequidistent F B: denique G H, IK protractae c- Α D concurrant in M'& N. Dico rectangulum G M H ad INΚ, eamdem rationem obtinere, quam G P E rectangulum ad rectangulum i O Q.
. Iaiau i GH lx , eam habet rationem , huam ΑΡ Cis et angulum ad rectangulu AOC: sed rectangulo Ast aequatur GM H rectangulum ,&rectangulum AO C. . . έectangulo m. K. rectangulum igitur G ΜΗ ad IN Keamdem rationem obtinet, quam Io Q. rectangulum. oi md rectapsul Ira .GPE. fuerat demonstrandum.
It hyperbola ABC , oporteat illi oppositam
ΙNuento centro . hyperbolae ABC dimitum erit hoc commune etiam alteri ς hymmolet, quae inquiritur, ulterius, si asymptoti LiK; DI ponantur hyperbolae ABC, illae similiter'productae. uon mimis quam diametri a commuties erom. Diuisa iMsipet Ac ordinatim posita, ad quamlibet diame, tru D B, bifariam in F, si fiat DB adilualis DE, MD F a alis D G, & per G collocetur M G π κἀquidistans ACι fiant autem dc MG, GN linea aequales lineis AF, PC, & per M,E,N hyperbola describatur, patet illam satisfacere petitioni : tridenim rectangulum EF B aequale BGErecta gulo,& quadratu AF, quale GM quadrato: qu re similis erit & aequalis hyperbola ABC hyperbo-Iae
30쪽
ve. MEN, ω ad diameuos inimminaram stituta adeoque M. Opposira hyperbo. la: A BQ constituimus igitu dat hyperbolae alteram oppositam, quod laetM re. - qui situm.
PROPOSITIO XXXIX. SIr A B C: bE F oppositarum 1ectionum diameter trafisuersa Α Ε,
motrum G iustaque per E cmitin gente Hl, quae HG, i asymptotisoccurrat in H Sit, ponantur per i dc H parallelae di metro A S, hyperbolae occurrant in D&F, de per G ponarur Z G aequi- . I. Ande 'c urrat atyn proto I G io Κ': & per Κ ducatue aequi istan; AL, occurrens D EF hyperbolae in L puncto, per . . u . quod acta ordinatim L D occurrat s G in P , ex quo A E aequidi lians Donatur P RS: productae autem E l, DLFI occurrant lineis GO,ΚN,
Dico puncta 'illa esse ad hyperbolam coniugatam ipsi DEF, quam in X contin
FIane MK. PQ lineis aequales NΥ, S U. quoniam I G, KG, Pse parallelogramna sium, quadratum YF ad quadrarum YL, id est qua aratum EI d quadratum YΚ, est ut quadratum XI ad quadratum OK, id est OM quadratum ad quadratum R Q. sed ut quadratum YF ad qua- Aratum YL, sic b A ΥΕ rectangulum est ad re- ὸ bis M. ctangulum. AYE in F D, L D contingenti ae-q; Histent. id est Τ KM rectangulum ad rectangulum ae LM , id est FKD rectanguialom ad rectangulum Fin , id est rectangu-bun Zota 3d rectang*lum et R X, quadratum igitur Mo ad quadratum RQ est virectangulum Zox adreet angulum ZRX, puncta igitur φ ina X ad hyperbolam sunt, cuius diameter Z X de ordinatim ap- e sapiteat e MO,R quis sum aequi distet XI,erit XI 4 contingens de quia diametri d 7. A E , Z X, sibi mutuo parallelas bisecant, coniugatae sunt diametri A GE X, de-DEF, MXς sectiones Moque coniug . ri .
Oratarium inmm. π II paelex contingentes per vertices diametrorum coniugatatum ductas asym- -raptotiso urrere i. oes emque puncto.
Orplurium sicundam. FX dietis quoque sequitur coniugatas sectiones, communes habere a*mptotos.
PROPOSITIO XL. SEctiones coniugatae sint AB DEF, GH I, KL M, quarum centrum O: per quod ducta sit diameter B E, ad quam ordinatim appli