장음표시 사용
31쪽
M .HYPERBOLA. Dr . ... Dico diametrum quae ΑC lineae aequidistat,
, . - et coniugatam esse diametro B E.
Donatur AD parallela BE , occurrens DEF liyρος- 'solae in D puncto , ex quo or linatim ponatur DE, DE diametrum i M pet O centrum ducatur L H, in quid istans AC occurrens AD lilaeae in P. quoniam
K C, D E in aes eis sectionibus, ad eandem diametrum 3rdinatiin positet sunt, aequi distant AC, Dp: *d & AD, d ae hi constructione parallelet sunt, parallat tammum igitui est D Qin quadrata ordinatim positarii A Q D Raequ/lia stat': igitur & O Q , . O R h lineae aequales , No es Mquid stat A C, recta quoque AD in P bis riam est diuisaisimiliter cum idem de reliquis, ipsi BL parallelis ostendatur: patet L H diametrum esse coniugatam ipsi B E. coralisium. Sin . . , ' i ,3
TTlae sequitur contingentes'ervertices coniugatarum ilia metrorum ductas, qDae idistare. patet, cum tam contingentes rillae quam diametri coniugatae, ordinatim pόsitim uidistMat. i - .s e. t ' i. ἰ i
Contingentes per vertices diametrorum io'iugatarum duistae, dii
un terminos contingentes aciae , pertingant ad asymptotos, dico I K, L K lineas aequari ipsis HE, GB : rectae I K. L R contingentes per vertices diametrorum coniugatarum ductae, ij Hem 4 aequidistant: αconueniunt cu una asymptotorum in . eodem puncto
quales itur siunt B R, Z Ei de ΚΕ, EB, adeoque & illarum duplae 1Κ. ΚL aequales G B. H E. Quod erat dem suauis
32쪽
Dyametri cohiugatae, sectionam coniugatariun quarum asymptoti, rectum constituunt angulum,aequales sunt. Demonseratis. HAbeant ABC, DEF
coniugatae hyperbolae, .i , NI asymptotos o Gin, GI angulum formantes rectum. . o Ponantur autem diametri ' ., Z , quaevis coniugari LG,GM, dico illas inter se aequari. i
torum in eodem . puncto P. Ilquoniam igitur angulus fodio G P, per hypothcsim re- , i - , Q P Ictus est, & O Dcontingens / Iin L bifariam diuiti; puncta - .i , - G, P ad eirculum sunt. ω rectae LG, P L aequales. - est autem LP aequalis GM .: ti per praecedentem, κquale in Nigitur sunt LG, G M adeo- i, i & illatum duplae.Quod o . in
erat demonstranaues. acina. s.
DAtae hyperbolae diametto, illitisconiugalim exhibere diametrum
Cli ABC hyperbolae diameter PB, Mabitariarn diuisa in E, ponanturςasymptoti GRhre,&'per Beontingens GH, perueniens ad symptotos inade i
H. postaque ex H Iinea HI, parallela DB, d i litur per E recta EF aequi distans GH , o in ins HI lineae in F. dico EF seu facere petit ni i 4 ir j fmonstratio manifesta est ex preteedenti propositione . I
33쪽
ns HYPERBOLA... Demonstratio. 'CIM A sc DyF sectiones coniugatae inter asym
Ototbs GH. GI constitutae , ponantur autem dimmetri coniugatae G B, GD. ilico iunctam DB aequivi- stare asymptoto KG: &si DB quaecunq; aequidistans ponatur asymptoto G H, dico rectas ex B de D ad G centrum ductas,diametros esse coriiugatas. agamur pG B&D contingentes I H, IKOccurrent illae asympi to G I in ivno eodemque puncto hexuntque in D, dc
B. bifariam diuisaea igitur ve KD d DI. sic HB ad BI, ergo Ze DB aequidistae KG asymptoto, quod erat primum. sit iam DR parallela K G , ω ex B & Drectae ducantur BG , D G ad centrum G. dico G B. GD diametros esse coniugatas. sin vero, ponatur GMdiameter coniugata DG. iuncta igitur DM, aequidistat ΚΗ, adeoque & ipsi D B. quod absurdum : non igit ut M G diameter coniugata est ipsi D G , sed ista B
ctionum D EF, GHI. p staque diametro AH, agatur per H contingens KB occurrens asymptoto in B. ponatur autem ex B contur gens, DEF hyperbolam in E.
Dico A E diametrum esse coniugatam ipsi AH. 'A O ia : Demonstratio.
a Iungant cHE. Quoniam B R,.' CB., contingestu sAsunt, erunt in H M E bifariam . di issae. Unde Finaequidistat Κ C; M.AE, AH diametri4 sunt conruga tae. Quod erat demon strandum.
AF, CRA I. Dico I A F re tangulum aequari rectangulo Κ C G.
quia AD, CE lineae aequales sium 2 igitur ερ Α E ad C E est. ve CG ad AL est autem ut AE ad C E , sic ΑΕ ad CD igitur ut C G ad AI, sie AF ad
34쪽
HYperbolam ABC inter asymptotos Eo, EF constitutam eonti gant duae quae uis lineae DA H. FBG quae triangula constituant
HED, FEG. . Dieo illa esse inter te aequalia. . ,
V punctis eontactuum A&B, ducantur rectae ΑΚ,A BM, BI parallelae astmptotis, de A L. BM quidem ipsi FE . BI vero M A L asymptoto D E. erunt igitur L K, MI parallelogramma inter se aequalia r sed H DE triangulum duplum est parallelogramini LΚ.de FGEbduplum F . Lipsus M I. tquia F G. D H lines in A de B diuine sunt bifariam 2 ui- ω triangula H D E, F GE inter se aequalia sunt. Quod erat demonstrandum.
minimi sunt omnium diametrorum coniugatarum, Demonstratio.
S ne AB C. DEF oppositae sectiones e axes Coniugati sine B D , H It ponatur autem alia quaevis diametrorum coniugatio AF,LK: dico BD, HI lineas minores esse lineis AF,L Κ. centrum hyperbolae sit G ; ponaturque per B . ratingens B M, erit illa ad angulos rectos mi AB D, cum ordinatim ad axem positis aequi sistet:/escribatur deinde centro G, interuallo G B, Arei rus B Noli quia igitur B M normalis est ad semidiametrum BG, recta ΜBe circulum contingit de tota extra illum cadit i quia vero eadem ΜΒ , hyperbolam quoque in eodem contingit puncto, tota etiam extra hyperbolam eUit, adeoque inter illam εe circulum sita est: ergo circulus BND, in uno tantum puncto Bhyperbolae occurrit, de sui reliquo extra secti nem cadit. ergo A G per G centrum transiens, de hyperbolae ABC occurrens in A, prius cireulo, M tangenti occurrit , quam hyperbolae, . ergo AG maior est BG. adeoque AF illius dupla maior est BD. similitet osten-- LK lineam maior esse H Ir quod erat demonstrandum.
erem se Hinc secuit ut uuadrata quoque axium simul sumpta minore esse quadratis euius.
35쪽
suoque diametrorum conivg tione* per squentes actae; onstituant duo quadrilatera F G HI, Dico illa esse aequalia inter se. ' . .
VIII Cunt enim . FEI,OEP triangula aequa- ν f V Qtia inter se, sed F EI triangulum quarta n . . f g ν pars est quadrilateri FGHI,&OEPiria, n 7 G I gulii quarta pars est quadrilateri O PQR.
Ectangulum quod fit a linteii ei
ta 1 trema axium coniugaturum . coniungentibus, aequale est illi quod, fit a lineis extrema alterius coniuga, uonis iungentibus parallelogrammo.
I eoi positis: I Dico quadrata linearum BC: D, extu Aativi,
iungentium, simul sumpta, misi omine P dratast linearum iis UM, M quae extremasterius conlutationis Coniungunt. . n
drata KN, L,LM, M K aequalia sunt quadratis NM, Κ L sed A CSBη dratae minora sunt quadratis N Μ, ΚΒi quadrata igitur BC, DC, DK AB smin sumpta minora sunt quadratis ΚN,NL,LM, ΜΚ. Quod erat demonstrandum.
36쪽
gatae,.quarum asymptoti G H,G liponatur. autem quam issE parallesiasymptoto G L iDico B E in diuisam esse bifa...
tur QK dupla est EM. simili ratione oste . detur GL duplam esse M B i tota igitur RL dupla es sis, est Mumni trianguli In GL H ς aequale triangulo GK Hi triangu
D E F inter asymptotos, eductis autem diametris coniugatis GH , Gl ponatur uae uis H I, asymptoto aeo uidistans; Guae iametris occurrat coniugatis iKR dili, in .ssT ui Histi, ira
M et sumantur autem partes aequales NI, LRiungantur Dieo H G, I G diametros esse coniugatas.
37쪽
SIn veris : ponatur EG diametro, coniiugata cG. aequalis igitur in L Κ , ipsi, MI , id est ex hypothesi HL: pars toti,quod absurdum.non igitur K diame ter coniugara est EG , sed sola H G . quod erat demonstrandum. .
' diametri vero coniugatae G B, G E. ad
ε demonstrandum. cantarium. o . F. tu
Ine patet iunctas AB, HI aequi. ire inter se, adeoque Masymptoto OG, -
deductae insit perduae coniugatae diametri G A,G E quas A smptotos, diductae insuperduae coniugatae diametri G A,G E quas in I de Κ, intersecet linea asymptoto parallelu i 'i I I ' Dico diametrorum partes intescentrum de parallelam, tas,i R '--.neptoportionaliter eue diuisas. i - 73
38쪽
HYPERBOLA. IMPROPOSITIO LVII. Sint asymptoti AB, AC, hyperbo DI E r &binae aequi distantes FG, B C, 6c B C quidem.
hyperbolae occurrat D & E , ponantum AD, A E occurrentes in Κ, H, rectae F G. Dico F Κ, H G aequales esse lineas. Demonstratio.
O Stendimus enim BD, EB aequales esse; igitur cum FG aequissistet v C, etiam sunt haequales F HG. A
PROPOSITIO LVIII. SIni hyperbolae coniugatae ABC, DEF, qua
rum centrum G, & diametri coniugatς H B, IE ad quas sint ordinatim positae AC , D F, oce rentes asymptoto
Dico rectangulo HKB, aequari quadratum L F : rectangulo vero I L E aequari quadratum A K. DemonΠratio.QVadratum GK aequale est quadratis G B,
BK, unae cum G ΒΚ rectangulo bis sumptor id est G Κ quadratum , aequatur H ΚΒ rectangulo, una cum quadrato G B id est EN, id est MF O rectangulo Sed Se GK, id . est L M quadratum, aequale est rectangulo MF Ο una cum quadrato LF ; aequalia igitur sunt, quadratum G B una cuin rectangulo HKB,& L p quadratum, una cum rectangulo MFo i demptis ergo aequalibus MFΟpectangulo Ac quadrato G B, aequalia remanent HKB rectangulum, dc quadratum L F. Similiter ostendetur ILE rectangulum , aequari quadrato ΑΚ: Quod fuit demonstrandum.
HKB rectangulum , cum G B quadrato, aequale est quadrato GK. est autem Vt GL quadratum g ad quase a tum GK, sc GE quadratum ad quadratum G B; igitur& ILE rectandisum est ad tectangulum' HRB tresiduum ad residuum ut GE quadratum ad quadρ 'um G B, id extra JE quadratum ad quadratum. HB:
39쪽
liarium primum. HIne sequitur: esse quadratuita ΑΚ ad LD , ut quadrarum GE ad G B. ea enim ut quadratum H B ad quadratum IE, sic HKB rectangulum adiectan. gulum ILE, id est per 18.huius) quadratum L D ad quadratum A Corollarium secundum.
OIne sequitur si OG, GN asymptoti, exhibeant angulum rectumi quod HKR, OILE rectangula sint inter se aequaliat ostendimus enim HB . IE a quadrata esse aequalia in hyperbolis quae interasymptotos statuuntur quae ad rectos angulos sedecusiant.
CInt A B, C D asymptoti angulum rectum continentes,& duae diame- O tri coniugatae sint E F, G H, ad quas rectae D L, DI assumpto quovis D puncto in asymptoto)constitutae sint ordinatim. Dico rectangulum E IF quadrato I Κ, & quadratum L M aequari HL G rectangulo. a Demonstratio. s a. tu quadratum ad quactatum G H . sic EIF rectangulum, est ad recta
. -- θ guIum GL Hi sed EF, GHς quadratasant aqualia, rectansulum igitur EI Retiam GL H rectangulo aequale eit : est autem EI P rectangulo aequale 4 qua-ι,. -- dratum LM, ω IN quadratum aequale rectangulo GL H ι rectangulum igitur. EI F, qu dra IK, dc GL H rectangulo aequale est quadratum LM. Quod erat demonstrandum.
HYperbolae ABC, DEF coniugatae iniarasymptotos GH, Gl positae,ncentur ab ordinatim politis H Α,H F aci diametros G Κ,G assumpto puncto H in asymptoto G Hr
40쪽
DH lineam. Demo iratio. UT quadratum ad qu*dea rem QE
quadratum GK ad quadra viri GL, HL ad KII, quadratumsed ut ad quadratum G E, sic L D quadrat uiri ad dratum KC: igitur ut quadraum Ludratum HK; sic LD quadrati, ad q ad tum CK, de L H linea ad HK linea, i vi L υ -- CK : quare permutando, diuidendo H D, sic KC ad CH. Quod erat sibivitianz
HInc sequitur iunctam CD, atqui distare asym- ' ptoto I G: cum enim HK, HL ex e m.
Iisdem positis, iungantur B A, B C, & ED, E F.
Dico triangula A B C, D E F esse inter se aequalia. . . Demonseratio. UT G B ad BK, se GE ad EL, de permutando ut G B ad G Ε, sic ΒΚ ad
EL, sed ut G B ad GE, sie DL.ad KQ r igitur ut BR ad EL , ita est L Dad KC, sunt autem anguli BKC, DLE in paradlelogrammo KL oppositi aeq-les; igitur trianguIa IKC,DLE aequalia sunt. .