P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

41쪽

inomam per propositionem 1s.c B ad Ag, eandem rationem obtinet, cum t tiom: GA ad EL, igitur&triangulum GCB ad BCΚ, est ut triangulum GE D ad EDL. stitit autem BR C, EDI. triangula ostensa aequalia ligitur BCG triangulum triangulo GD E est aequale. ae proinde totum triangulum Gn C toti triangulo D G L. Quod erat demonstrandum.

PRO Post Tio LXIV. Iudem positis ducatur CD occurrens GH asymptoto in M. Dico trapezia G B C M,G E D M esse inter se aequalia.

Demonstratio. IT HK ad HL, i, sie HC ad H Di igitur iuncta CD aequidistat L K siudi; RBE, siue asymptoto G I. unde CD 4 ici M hi seriam est diuisai & GC M.

Dico illas diametros esse coniugatas.

Dinon Iratio. Iuncta No occurrat sectionibus in P M Q. asymptoto GH in R. quoniam EB, CD, lineae aequi distant.& ED, BC productae .goccurrant HG asymptoto in uno eodemque puncto, recta NO bissecans BC, ED lineas etiam aequiti- stat ipsi EB: unde NR,R O lineae aequales: sunt autem de PR, i R Q aequales, residuet igitur NP, Qeo quoque aequales sunt: quare GN, c Ο diametti suae

coniugatae. Quod erat demonstrandum.

42쪽

inueris D B; eiusque coniugam E F. delatus rectum B G : c portet deii, onstrare itria b c esse in contii a proportione. M sumpto in asymptoto N L quouis puncto L durantur L Α, LM ordφatini ad dia. metros DB EF; producta deinde LA, occurrat cum recta D G, in Nire hapsuluigitur DI B ad EOF rectansulum est, ut DB . quadrata ad quadratiini EFf ad RoF rectingulo i, aequale est q-dratum AI, id est rectangulum B IKl il quia eum BG Iatu rectum est, ros ΒΙ, . .lIA, IK proportionales sunt igitur de DI B ad B IK re sulum est..ut DBquadratum ad quadratum EF: est autemve DI B rectangulum ad rectinsulum

B IK se DI linea 4 ad lineam Istest D B ad BG. igitur ut quadratum DB ad quadratum EF, sic DB linea aA Iineam B G: sed ratio quadrati D B ad PF , duplicata est rationis lineae DB ad

PF; igitur ratio lineae DB ad BG, duplicata est rationis DB lineae ad lineam EFrsant itaque D REF, BG continu proportionales. Qu erat demonstram

LIIne manifestὸ colligitur, si erigatur latus rectum ad punctum diametti xv. γε inest eoniugata diametri DB , quod exsurgent lineae quatuor in continua an logia, scilieet latus metiam ad punctum F erinum, cum reliquis tribus, de quibus p enti propositione mentio lacta est.

43쪽

HYOERBOLI.

IO in I Dem ratio.

',1 A ad diai et ros coniugatas HR e B , he sie nixuq ae lassumptuminatim I F, i A ad diali et eos coniugatas . BN latus rectum transuersi lateris . GB. Dico ut est GRad BN, sie FD quadratum ei; ta qua aristum ACi est enim ut G B ad BN, sica quadratum G B ad quadratiim HE: sed M GB quadra tim ad quia hum HE, si Ercth quadratum ad quadratum AC: igitur ut linea UB aq. BN lineam, sie F D quadratum ad Uuadratuἡ Ae:

Dico rectangulum. H EB aaeamdem habere rationem quam linea H Biad B L; latus scilicet transuersum aiu rectum. MVV

QVadrato ΑΕ aequale est rectangulum: I Gli

tur H EB rectangulum ad quadratum Α Ε' est veFG quadrarum ad quadratum AE: sed FG quadram est ad quadratum 4 AE vi ΠΗ tfansuersum adlatus,e ctum Bia rectangulum igitur H SB. ad Α Ε quadratum est ut HB linea ad lineam B L. Mod erat de monstraodum. i ' ridet

nes diametri coniugatae sunt axibus proportionales in quibusvis

Ponantur ABC, DEF oppositae sectiones,quatum Gli Iresiconiugasi et sintque axes earum E RΚ Η: & alia ququis assumatur diametrorum coniugatio FN, LΜ- . - ' πDieo FN ad LM 'eam proportionem habere , quamis EB ad ΗΚ. Positisemim AC: Io ad axes EB ordinarant, quaecum asymptoto in eodem puncto conueniam fiat 's N ad N R, ut EB ad B Υι& ut ΚΗ ad HX, sie LM ad MΤ : per R M T ordinatim ponantur RP, Τ titur erit LYB rectangulum ad rectangulum FRN, ut KXH rectangulum ad rectangulum L T M, ω permutando vi E Y B ad K X H. sic FRN ad LTN rectangulum sed E YB, ΚXH rectangula proportionalia sunt quadratis E B, ΗΚ, StFN, LM qiradratis proportionalia sunt rectangula F RN,ΣΤM . quadrata igitur FN, LM proportionalia suat quadratis axium E B, RH: le

44쪽

. erat demonstrandum.

tus rectum, id es 48de f. mulus h est quadrati A B ad quadratum CI . similiter ratio rectanguli EMFad quadratum OM eadem est cum ratione EF lateris transuersi, ad latus suum re-Dum , hoc est quadrati EF ad. GH quadratum:'sed ratio quadrati ΑΒ, ad CD eadem est cum ς ratione quadrati EF ad GH. Igitur etiam ratio rectanguli Α ΚBead quadratum KΙ eadem est cum ratione rectanguli EbIF ad MO quadratumiunde permutando constat veritas propositionis.

PROPOSITIO LXXI. Intoppositae sectiones D EF & diametri quaecunque EB, DG. D o inde ad alteram quae uis duae applicentur ordinatim, ΑΙ, Κ L ; & fiat ut EB ad BD, ita DG ad G M , & ut BL ad BI, ita G M ad G Pi denique ponantur MN, PC ordinatim ad diametrum D G. Dieo K L ad AI eandem rationem habere quam MN ad pC.

QVoniam EI, DP lineae proportionaliter in I, L, B, item P, M, G diuiset sunt, rectangulum E L B ad EI B , est ut L M G ad D P G, hoc est quadratum K L, ad AI quadratum, ut MN ad PC quadratum. unde patet veritas propositionis.

45쪽

Sint Α Β C, D EF opposi sectisnes,quarum Φmptoti ad angulos

rectos se decussant, ponatur autem A D aequidistam axi EB, iungan

tum D Hid est EG - ΕΗΒ rectanislo aequale in, rectangulum A G D , ouadrato igitur EG aequali in 1ectangulum AGDrmoetam EG ad AD, sitnbim us, patet angulum A ED ree nesse. Diuitigoo by Corale

46쪽

Abmptotos concauam contemplatur hperbolam ac bnearum Mei ea mptotuaquidstantium exhibe roponionem. ΡROPOSITIO LXXIII. ΗΥperbolam ABC inter asymptotos D I, FI constitutam , serent

aequales sunt anguli OH G, vi i . ΟLD , item o GH , LDM H ostensae sunt . autem L A , - vHO lineae aequales , similia igitur se aequalia sunt triangula ri . .

inter se M aequalia triangula . ' MERC FN; quia vero aequidi- xl l stant LO, MN, DA, E 3 simi- . t iolia quoque frunt triangula L AD,VEB, item AGO, CPN. Vnde 3e lateribu, constant proportionalibus, &-AD in ad BE, id est Go ad FN, ut HG ad CRQuod erat demonstrandum.

47쪽

PROPOSIT O LXX, V.

ctae in L & ex L ponatur LFC parallela AB. ' i Dico A G, ΛΗ, AC, in continua esse analogia. .

Demonstratio. Quoniam tam LC, DG.tquam DL, GC aequidistant, CL aequalis est D G,

tantautem v I G, Em DG proportionales, igitur de IG,EH, L. eandem quoque convinuanῖ rationem: quare M AG, ΑΗ, AC in continua sunt analogia. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO LXX ulli. iPositis denuo asymptotis AC, AB hyperbolae EG H. Fiant A D.

A p,A C proportionales,ducanturq; D E,F G,C H aequi distautes ΑΒ Dico E D, GF, H C in continua esse analogia & contra.

48쪽

fleve AF ad AC , sic HC ad GFised AD ,ΑF, AC proportionales sunt, igitur 3c UC, GP, BD eandem quoquc continuant rationem . sintiliter ostendetur si ED, GP,ΗC asymptoto atquidistaniates proportionales sint,esse Α D, A F,Α C quoque in continua analoma. Mod erant, demonstrandum.

Quoniam proportionales sunt AD, .l

AE, AC, rectae IC, GE. FD inh continua quoque sunt analogia; sed dc . . 1 GE,ΗC qumite sunto proportio. nales, aequales igitur sunt H C, FD. Gmiliter quia thm KD, GE, FD quam ΚD,G E,H C 4 sunt proportionales,pa- tet IC, R D lineas aequales esse. moderat demonstrandum.

Demonstrati se Gi

ponantur ΕΚ, GH aequidistan- res AB: Quoniam GH. DC, item D G, H C aequi distant , GI aestualis est DC . ac proinde PC,

E GH proportionales sunt. patet igitur & Α Γ, Α Ε, Α G eandem

49쪽

nuae pronortionales, quibus in I, K, L diameter occurrat M G. Dico AB, CD, EF, G H, L p,ΚΟ,l B in continua esse analogia. Demonstratio. CVm AB, CD, EF, GH pr

portionales sint , etiam ΜΒ. MD, MF,MHR eandem continuant rationem. unde& IB,KD. LF , GG in eadem sunt ratione, quam habent GH, EF, CD, AB. n quia vero & L F, G Η, EF sunt b μώ--, Ε 'ac , proportionales,patet omnes AB,

IMERGIup,ΚD, in eandem eontinuare rationem. Quod erat demonstra

PROPOSITIO L XXX II.

Sint AB, AC asymptoti hyperbolae DE, ponantur autem AB aequi- distantes I G H, E F, Ccontinuae proportionales,quibus Al di

meter occurrat in L M, N. .

. Dico D C, E F, G H, I K L H, M L N C in continua esse analogia. . .

proportionales sunt, ς erunt de AC, AF, AH. ΑΚ ac proinde MN MRLH, IK in continua analogia eiusdem rationis i cum I Κ, G H, EF, dcc. sunt autem L H. I K, G H d quoque proportionales, ri- dAἡ igitur continnant rationem I, EF, GH, Ir L H, MF,N Quod erat demonstrandum. 9 L 1 in o l e

Sint iterum Α MACasymptoti hyperbolae D F F ponantur autem di A B aequidistantes D E, F G. C H e andent coistinentes rationem;quibus AD, AH diametri occurrant in KI, I hI , . Diuo ΕΚ, GI, CH, FG. DE,

LG, MC candem continuarer tionem.

' Demonstrat D.

Vm DE, FG, H C ponantur Conti- -nuae, rectae K E. IG. HC eandem continuant rationem ς cum H C. F G. DE. sed hae quoque cum DE, L d C eandem continuant rationem, proportionales Digiti s in by Corale

50쪽

strandum.

p Ro Posi Tio LXXXIV. ΙNierasymptotos AB, AC cdnstituta sit hyperbola DEM,& iam, F C, DI parallelis A B, dinstat A D'ponatur media E Κ inter D L

AE , vi est AC ad AK. sunt autem ex constructione proportionales DI, ET , ΗC :.igituri etiam sunt, priaportionales AC, ΑΚ, AI. Igitur atio AC ad AI, hoc est AF ad A D. duplieata est rationis AC ad AK, hoc est AG ad ΑΕ. Qusdsuit demonstrandi i i

Posita denuo hyperbola vi prius, & DC, E K paralleli, asymptoto, ponatur Firiliatio ΕΚ ad Fa , duplicata sit rationia FI ad G C. Dico AFH in F distisam esse ut ratio AD ad Almam continet AH ad Ap. ' .

Dico GC, H C, L C, DC lineas eandem continuare rationem. Demonobatio.