장음표시 사용
261쪽
designet. At vero cum Archimedea proportio absque notabili errore in majoribus circulis adhiberi minime queat; quae Vero prolixis numeris traditur , multum in praxi, ut diximus , negotii facessat, ea in praxi adhiberi potest , quam supra tradidimus, videlicet quae fractione exprimitur , loquendo de circulis majoribus, quae vero fractione 'designatur , si res sit de circulis minoribus, nisi sorte ea invgis arrideat, quam a suo parente inventam, & demonstratam tradit Hadrianus Metius, quaque in terraquei orbis mugnitudine definienda, ut refert Purchotius, usi sunt Math matici Regii Parisiehses, peripheriam nempe circuli esse ad illius diametrum , ut 3II ad 113 .s c Η O L I O m. 39 Cum eadem si ratio peripheriae cujusvis circuli ad suam diametrum perspicuum est, quod alibi aliter demonstravimus a , peripherias duorum quorumcunque circulo rum esse directe inter se, ut ipsorum diametri M.
Data eirculi diametra , tutas peripteriam invenire. o Esto circulus abfe, cujus diametri as notus sit valor c VLInvenire oporteat valorem peripheriae in partibus diametri.
Fractio - exprimat rationem diametri ad peripheriam . valor autem diametri as sit x. Fiat ergo ut m ad r, ira x
ad quartum proportionalem, stilicet e e . Erit e v '
lor peripheriae abse quaesitus.
262쪽
ridem namque est ratio diametri omnium circulorum ad suam peripheriam.
Dasa eiseusi peripiaria , iuius diametris larmeniare. t Notus sit valde peripheriae circuli . Invenire Porteat valorem diametrias.
Ratio peripheriae ad diametrum exprimatur fractione Lsitque x valor peripheriae . Fiat ergo ut r ad vi , ira at ad
quartum terminum proportionalem H, nempe - . Erit valor diametri as quaesitus.s c Η O L I O. P Cognito valore diametri circuli, valor quoque semidia. ut innotescet, si nimirum di metri valor biseriam dividatur.
THEO REM A R,Dea eureali aqualis est trianati angulo , μνει alterum latus eorum , qua sunt circa mulum rectum , ad quas radium, alterum peripiariami as circuli. Esto utramlum rectangulum BCD, euius rectus an- FIg.xo.
gulus sit BCD. Latus autem BC sit aequale radio circuli Α τ η Π i latus
263쪽
Arςhini latus vero CD ejusdem peripheriam adaequet. Dico, aream circuli AC aequalem esse areae trianguli BCD.
circulus Α C est polygonum regulare infinitorum laterum a , cujus caretus in illius radio BC minime distingui. tur b) . Ergo circulus AC est triangulo BCD adiluale te .
Concipiatur area circuli AC uesuti consurgens ex peripheriis tot circulorum idem centrum B habentium, atque in eodem plano descriptorum , quot sunt minima punta in rudio BC; triangulum quoque MD veluti conflatum ex tot rectis parallelis basi CD , quot sunt minima puncta in latere , sive altitudine BC d ). Igitur tot erunt peripheriae
constituentes aream circuli AC, quot sunt rectae constitue tes aream trianguli BCD, nempe tot, quot in recta BC puncta reperiuntur. Elementa autem areae circularis AC ualia sunt elementis areae triangularis BCD, alterum alteri . mandoquidem spectetur peripheria ba, de recta ad eidem puncto a radii BC respondentes. Quoniam igitur re a d est parallela basi CD, erit a d ad CD, ut est B a ad BC o. Ea autem etiam peripheria ba ad per heriam AC , ut radius Ba ad radium BC c D. Ergo erit recta ad ad rectam CD, ut peripheria ba ad peripheriam M g . Est autemper hypothesim periphetia AC aequalis rectae CD. Ergo p ripheria ba aequalis erit rectae ad h . Idipsum eodem modo de omnibus aliis elementis circuli ΑC , & trianguli ACD demonstrabitur. Emo elementa circuli AC sunt numero, &magnitudine aequalia ciementis trianguli ACD; atque adeo area circuli AC aream Mariuat tuanguli ACD i . Igitur area circuli dici quod erat ostendendum. sc in
264쪽
S c Η O L I O N. Hinc aliter ostendi potest, quod alibi demonstravimus sa) , circulas nempe esse inter se in rati e taplicata suarum semidiametrorum . Facta namque hypothesi, ut circulus AC adaequet triangulum reditangulum BCD, & circulus batriangulum Bad simile triangulo BCD , cum triangula hujusinodi sint in ratione duplicata suorum laterum homologinrum , sive radiorum BC, B a circulorum AC, ba b , in ratione quoque eorundem duplicata erunt circuli AC, ba. COROLLARIUM LGreulus aequalis est rectangulo , eujus alterum latus adaqua ra dium , alterum semiperipheriam ipsus circuli.
1 Ut si latus Cerectanguli BCes aequale fuerit semiperi-mixo. pheriae circuli AC , & latus BC ejusdem radio, circulus ΑCerit rectangulo BCes aequalis . Est enim rectangulum BCessequale triangulo BCD c , quod circulus AC adaequat d).c OROLLARIUM ILCireulus est aqualis rectangulo emtento sis quarta parix diametri, o tota peripheria , sicuti etiam rectangulo eontento sub di metra , σ quarta parte peripheria ipsius eirculi. 46 Circulus nempe AC adaequat remngulum aCDn comtentum sub a C , quarta nimirum parte diametri AC, recta CD , quae sit aequalis integrae peripheriae ipsius cire Ii . Item rectangulum Mgm . quod sub recta Cg, quarta scilicet parte peripheriae totius circuli, & sub tota ejusdem diametro AC continetur. Est enim utrumque hujusmodi rectangulum aequale rectangulo BCes ce) , cui circulus ipse est aequalis t0.
265쪽
c OROLLARIUM III. Area eireuli aqualis est producto, quod sit ex ductu radii in sem
peripheriam , vel totius peripheria in quartam partem di metri , vel totius diametri in quartam partem peripheria. 7 Sequitur manifeste ex praecedentibus . .c OROLLARIUM IV. Quadratum elaeulo eircumsicriptum est ad ipsum cireulum , ut ipsius eireuli diameter ad quartam partem peripheria.
8 Videlicet quadratum EFGH circulo ABCD circumscri-YI i habζt proportionem ad ipsum circulum , quam ' habet ipsius circuli diameter AC ad quartam partem CD peripheriae ABCD. Super rectam enim CV , quae peripheriae ABCD quartam partem adaequet, & sub altitudine diametri AC constituatur rectangulum ACM L. Erit quadratum EFGH ad rectangulum Α - , ut est recta FG ad rectam CM, sive ut diameter ABCD ad quartam peripheriae partem sa). Circulus autem ABCD est aequalis rectangulo ACML b). Ergo quadratum EFGH erit ad circulum ABCD, ut est diameter M ad quartam peripheriae partem CD co .c OROLLARIUM R
Quadratum circulo inscriptum est ad ipsum circulum, ut diamet ter ejusdem eirculi εd semiperipheriam.
q9 Quadratum nempe ABCD inscriptum circulo ABCDya M est ad illum, ut diameter AC ad semiperipheriam ADC . Et nim , cuin quadrilaterum EFGH sit quadratum diagonalis AC quadrati ABCD circulo inscripti, & quadratum ABCD sit quadratum lateris AD ejusdem quadrati ABCD
266쪽
quadratum EFGH erit duplum quadrati ABCD in . Igitus . quadratum ABCD erit ad circulum ABCD, ut est semidiae meter ad quartam partem peripheriae ipsius circuli b . Est autem semidiaineter ΚC ad quartam peripheriae partem, ut diameter ad semiperipheriam Fc . Ergo quadratum ABCDerit ad circumseriptum sibi circulum ABCD, ut diameter AC ad semiperipheriam ipsius circuli d).c OROLLARIUM VI. circulus est ad quadratum mi circumscriptum , ut Icκκ ad 78s proxime. - quadroetum vero sti inscriptum, ut Is7o ad Iooo. o Sequitur ex praecedentibus, lacta nempe hypothesi, ut peripheria circuli sit proxime ad suam diametrum, ut 3I Iad imo e .s c Η O L I OD Cum vero iuxta calculum Archimedis peripheria circuli sit proxime ad suam diametrum , ut ΣΣ ad T , quadra-Atςhi- tum circulo circumscriptum erit Proxime ad ipsum circulum, ut I ad II. Quadratum vero circulo inscriptum erit ad ip-dim.eit sum circulum, ut T ad II proxime. GP 3.
Data eireuli diametro, illius aream is Ure. 31 Diameter AC circuli ABCD sit-m . Invenire Oporteat illius aream.
267쪽
Idipsum quoque obtinetur, si valor totius peripherbe per quartam diametri partem multiplicetur.
Patet ex L 7, PROBLEMA IX. Data circuli peripheria, illius aream invenire. 33 Valor peripheriae ABCD dati circuli sit m m . Determinare oporteat illius aream.
Fis.,t. peripheriae Valore eliciatur valor diametri AC μ). Tab vi.Τum fiat multiplicatio vel totius diametri in quartam partem peripheriae, vel totius peripheriae per quartam partem diametri. Quod enim hinc fit productum , erit area circuli
-ea sectinis circuli adaquas triangulum rectangulum, ex salterum latus eorum, qua sunt circa angulum rectum,
est aquale radio , alterum arcui ipsius sectoris. triangulum res gulum ACD, cujus latus AC τ sit aequale radio, & latus CD arcui CB sectoris BAC circuli FCB. Dico, aream se ris BAC aequare triangulum MD.
Super rectam CE, quae circuli BFC peripheriam adaequet, oc
268쪽
& sub eadem altitudine radii AC constituatur triangulum tedrangulum ME. Manifestum est, triangulum Αα esse ad triangulum ACD, ut est basis CE ad basim CD a); ae proinde per hypothesim, ut est peripheria circuli BFC ad areum G sectoris CAB. Est autem circulus BFC ad sectorem ΒΑ ut tota peripheria BFC ad arcum BC b . Ergo triangulum quoque Am erit ad triangulum ACD, ut est circulus B ad sectorem MC c); & altem do erit triangulum A ad se rem BAC, ut triangulum ACE ad circulum MC N, Triangulum autem ACE adaequat circulum B e . Ergo triangulum quoque MD sectorem inluabit BM sin. Itaque area sectoris M. quod erat ostendendum.
coR OLLARIUM LMaον elaeua est aqualis rectangula contento sub recta, quaest anui ipsius lectoris aquailis , σ sub dimidis radio , vel sub toto radio , o dimidia parte illius recta. ues Ut fi rina CD suerit aequalis arcui CB sectoris BAC, erit sector BAC mualis rectangulo nCDx contento sub ip- αν. sa CD, & sub dimidia parte Cn radii AC, sicuti etiam re ctangulo ACχm, quod sub medietate Cet rectae CD,& sub
toto radici AC continetur. Est enim tam rectangulum nCD
quam rectangulum Maem aequale triangula MD ae , cui
lector ipse BAC est aequalis ch .
c OROLLARIUM II. Area sectoris eireuli est aequalis producto , quod fit ex dactuareus ipsius sectoris in medietatem radii , vel ex damistegri radii in medietatem iam arcas. 16 sequitur praecedendi. PRO
269쪽
. Aream sectoris eireuli invenire. 17 Esto sector BAC circuli BFC, cujus aream invenire
,: Multiplic r valor arcus BC per valorem dimidii radii τ .H. AC, Vel totius radii AC per valorem dimidii arcus BC. Fuctum erit area sectoris BAC quaesita.
ineam segmenti eircularis invenire. Determinare Oporteat valorem segmenti elaeudirisAm
A centro B ipsius circuli ad extrema puncta A, C arcus,i ADC dati segmenti d ntur radii BA, BC. Tum per 3.37sectoris ABCD , cui subducatue valor areae triangularis ACB. Quod enim hinc relinquitur, erit Valor segmenti MD quaesitus.
Cognito enim: valore totius, & unius partis, valor qeo' que alteri partis per subductionem palam essicitur.