P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus secundus in quo linearum atque planorum symptomata demonstrantur

231쪽

c ORO L L A R I UM IROmnes eireuli sunt sbi mutuo similes. 313 Sequitur ex prmedenti.

Peripiariae duorum elaetitorwm fuat directe inter se,' ut eorundem radii.

is sint duo circuli ens , ENF, quorum radii sint mn, M N . Dico , peripheriam ens esse ad peripheriam EN F ,

ut est radius m n ad radium MN. -

Demonstratio.

Circuli ens, ENF sun. polygona regularia ejusdem g neris ροὶ , quorum perimetri sunt peripheriae ens, ENP.

Perimetri autem pol Nonorum rmularium ejusdem gene tis sunt directe inter se, ut eorundem radii cb . EGO p ripheriae quoque circulorum ens, EN F sunt directe, ut radii mn , Μ Ν . Itaque peripheriae circulorum &c. quia

erat ostendendum. d ia

cOROLLARIUM LPeripiariae elaeularam sunt, ut diametri. iss Diametri namque circulorum sunt , ut eorundem

232쪽

c OROLLARIUM AE . . similes duorum circulorum sunt inter se ,

ut eorundem radii.

Is6 Etenim arcus similes duorum circulorum sunt directe inter se , ut iplarum circulorum peripheriae a .c O R O L L-R I U M m. circuli elementa deerescunt in ratisne is uti radii. I 7 Elementa namque circuli EBD sunt peripheriae sibi mutuo concentricae EAD, FGH, 'MNo, ins produdue ariia punctis rotantis radii AB M. Est autem peripheria FGH ad peripheriam EBD, ut est radius, 'sive segmentum AF radii AB ad totum ipsum radium AB e . similiter peripheria MNO est ad peripheriam EBD; ut est se entum ΑΜ rvdii AB ad ipsum radium AB, atque ita deinceps. Ergo di COROLLARIUM IR cireularam diametri, σ semidiametri sunt inter se, ut eorundem peripheria , σ arcus semitis.

is3 Cum enim peripheriae, & arcus similes duorum ci culorum sint inter se, ut eorundem diametri, & semidiametri , erunt 'uoque diametri, & semidiametri duorum ci cularum, ut ipsorum peripheriae, di arcus similes. Ee , TH

233쪽

116 Elementorum THEO REM A XXVIII.

Perimetri duarum figurarum recti earum similium circulis inscriptarum sunt directe inter se , ut ipsorum eirculorum radii.

rys Circulis ΑCD, aed inscripta sint duo pentagona si- ,. milia ABCDE, ab ede, quorum homologa latera sint AE, I radii vero circulorum rectae FE, se . Dico, perime' 'trum ABCDE esse ad perimetrum ab ede, ut est radius FE ad radium se.

Demonstratio.

Qim enim latera G, ae sint homologa , similes erunt arcus ΑΕ, ae ca); eritque propterea latus ΑΕ ad latus ae , ut est radius BE ad radium s e b . Est autem perimeter ABCDE ad perimetruta a b ede, ut latus ΑΕ ad latus ae ex Ergo perimeter quoque ABCDE erit ad perimetrum abcde, ut radius FE ad radium se N . Itaque perimetri M. quod

erat ostendendum. i Vc OROLLARIUM. Permetri duarum figurarum rectilivirarum similium circuli inscriptarum sunt inter se, ut i orum circulorum peripheria. 16O Peripheriae namque duorum circulorum sunt directe inter se , ut eorundem radii e .

234쪽

. Liber M.

THEO REM A XXIX.

' , redem, vel aqualotis eireulis sectores sunt inter sit, ut arcus , quibus insessunt; eisque insuper eoru i quilibet ad totum eirculum, ut ipsius arcas ad totam peripheriam.

i si In circulo EBD duo spectentur sectores BAC,CAD. Fie. r. Dico, sectorem BAC esse ad sectorem CAD, ut eli arcus

BC ad arcum CD. -

Demonstratio.

Arcus BC, FG, MN, PR sint elementa sectoris BAC,&arcus CD, GH, NO, RS elementa sectoris CAD . Cum igitur arcus BC, FG , MN, PR sint sibi mutuo similes, quemadmodum etiam arcus CD, GH, NO, RS - , erit tam amas BC ad arcum FG, quam arcus CD ad arcum GH, ut radius AC ad radium AG b)s ac proinde habebitur M ad FG , ut CD ad GH o , & alteritimis FG ad GH , ut BC ad C D d . Eodem modo ostendam , esse tam Μ Nad NO , quam in ad M, ut est BC ad CD . Itaque aggregatum ex omnibus arcubus M , FG , MN, PR , sive sector BAC , erit ad aggregatum ex omnibus arcubus CD , GH, NO, RS, seu ad lectorem CAD, ut unus antecedemtium BC ad unum consequentium CD se); adeoque M. II. I 62 Dico secundo, sectorem BAC esse ad totum circulum EBD, ut est arcus BC ad totam periphetiam EBD.

235쪽

Periphetiae concentricae EBD, X FH, YΜΟ; ZPssint elementa circuli EBD, arcus vero BC, FG, MN, PRelementa sectoris B A C . Quoniam ergo arcus B C, F G , MN , PR sunt similes a , eandem omnes rationem habebunt ad integram sui circuli peripheriam b . Quamo, rem ut arcus BC ad peripheriam ita omnes simul a

eus BC , FG , ΜΝ , in , sive sector BAC, ad omnes semul periphetias GD, XFH, ΥΜΟ , Zri , sive ad int

grum circulum MD c . In eodem ergo, vel aequalibus circulis &α quod erat ostendendum. c OROLLARIUM Lse lares H dem , vel aptatium circulorum sunt inter se , ut ipse rum sectorum anguli , σ visissim anguli, ut sedlares.

io Sector nimirum BAC eam habet rationem ad se rem CAD , quam habet angulus BAC ad angulum CAD ,& vicissim angulus B AC est ad angulum C AD , ut sector C ad sectorem D. Anguli namque BAC, CAD sunt directe inter se , ut arcus BC, CD, quibus insistunt d . I . Sectores autem BAC , CAD sunt ut arcus BC, CD G. 8 Ergo erunt etiam , ut anguli BAC, CAD f) . Vicissim cum sectores BAC, CAD sint , ut arcus BC, CD, quemadmodam anguli BAC , CAD sunt , ut arcus BC , CD , quibus insistunt g , sta ipsi anguli erunt etiam, ut sinciores BAC , CAD b .

236쪽

Liber α.

si recta linea dividatur in paries aquales , atque ex pocto extra illam sumta dueantur ad se ala puncta disilinis recta linea , quarum una sit data recta perpendicularis , recta illa

linea , quo remotiores erunt a recta perpendiculari, eo minores a gulas eomprebendent.

19 Divisa nimirum recta BE in partes Muales BC, CD, DE , ductisque ex puncto A extra illam sumis rectis ΑΒ , AC , , ΑΕ, quarum ΑΒ fit ipsi BE perpendicularis, i I angulus C A D minor erit angulo B AC, & ansulus D A Eminos anguri D, atque ita deinceps. Etenim descripto ex centro A , intervallo M arcu FCG, & recta A B dii cte produia in F, angulus B AC erit ad angulum C AD, in sector FAC ad sectorem G sa Sectoe autem FAC major est sectore C AG s cum sector FAC sit major triangulo BAC V, adeoque etiam triangulo CAD ipsi B AC aequali e , sitque sector Cm minor triangulo GD est . Ergo angulus quoque BAC major erit angulo CAD dj .Ec em modo ostendam , angulum C AD majorem esse amfulo DAE. Quandoquidem descripto ex puncto A interval-o AD arcu MN , rectaque AC producta in M , sicuti eridens est , sectorem MD majorem esse sectore DAN , ita manifestum efficitur , angulum CAD majorem esse angulo DAE. Hinec OROLL.ARIUM III. 161 Si anguli BAC, CAD, D A E essent aequales inter se , segmentum BC minus esset segmento CD, & segmentum CD segmento DE. THEG

237쪽

ΤΗ EO REMA. XXX. . Triangula plana rectilinea semilia sunt in ratione duplaeua

suorum laterum homologorum . . i

ruei id. triangula plana rectilinea similia ABC, ab lib. o. quorum bases BC, bc sint latera ipsbrum homologa , alti-r i. ci. tudines vero rectae ΑΕ , ae. Dico triangulum ABC esse adri: ii. triangulum abe in ratione duplicata lateris BC ad latus be.

Tab. VI.

. Demonstratio. Τriangula ABC , ab e sunt inter se in ratione composita ea ratione basium BC , be , & altitudinum AE , ae a .

Ratio autem altitudinum AE , ae diversa non est a ratione basium BC , be b . Ergo triangula ABC, ab e sunt in ratione composita ex ratione basium BC, be ducta in seipsam. Haec autem ratio est duplieata ipsarum basium, si ve laterum homologorum BC , be c ). Ergo triangula ABC , ab ciunt inter se in ratione duplicata suorum laterum homolog rum BC, . Triangula itaque plana M. quod erat oste dendum. COROLLARIUM LTriauula plana rectilinea similia , quorum bases set latera forum bomolea , funt in ratione duplicata

suarum altitudinum.

I67 sunt enim altitudines, ut duo quaelibet homologa iplarum triangulorum latera d .

238쪽

168 omnia enim trianmla regularia sunt similia 6M, Sequodlibet latus unius est homologum cuilibet lateri alterius φ .c o R O L LA R I U M minitidines trianguoram similium, quorum bases set latera ipsorum homo a , sicuti etiam duo quaelibet homologa eorundem lare , sunt in ratione lisorum triaum laram subduplicata. xω sunt enim in ea ratione; ex qua ducta in seipsam ratio ipsorum triangulorum emeitur se . Haec autem est ratio ipsorum triangulorum με pG ira d . Ergo die.

THEO REM A XXXI.

Quadrilatera similia sunt in ratione duplicata suorum luterum homologorum. t o Sint duo quadrilatera similia ADBC, adb e, quorum latera homologa sint BC, bc . Dico, quadrilatera ADBC, ν. adbe esse in ratione ipsorum laterum BC, b c duplicata. ori.

Demonstratis.

Ductis rectis AB, ab , similia sint duo triangula ABD. abd, sicuti etiam duo Α , ab e sest, rectae vero AB, ab sint latera homologa tum triangulomm MD, ab d tum triangulorum in ,- 0, utpote opposita aequalibus eorunus dem

239쪽

dem angulis BDA, bda 'BCA, bea. Igitur tam duo triana gula ABC, abe, Para duo ABD, Obd erunt in duplieata

ratione laterum Mae proinde ratio trianguli ABC ad triangulum abe diverti ab non erit, quam hubet triangulum ABD ad triangaeum ab L . Positis autem pluribus magnitudinibus proportionalibus, constat, Omnes Miteoedentes esse ad omno consequentes, ut est una ante- caedent in ad unam consequentium b) . Ergo quiaritat rum ADBC erit ad quadrilaterum adbc, ut triangulum C ad triangulum abe. Triangulum autem ABC est. ad triangulum abe in ratione duplicata lateris BC ad latus sibi

Quadrilatera similia habent duo qualibet b-loga laura iis ratione ipsorum subduplicata. ITI Ex ratione enim laterum homologorum ducta in s

ipsam oritur ratio, quam habent ipsa qua rilatera d). Ergo latera homolcia sunt in ratione ipsorum subduplicata μ). c o E. O L L R I U M α Omnia qu-ata sist in rati ei plicata suo ram laterum I 72 Omma siquidem quadrata sint quianlatera similia in& quidem hujusmodi, ut quodlibet latus unius sit homota gum cuilibet lateri alterius g .

240쪽

Liber IX. T. HEOREM A XXXIL

x Sint duo penimna similia ABCDE, ab e de , quin etia. rum latera homologa sint AB, ab ' BC, be ' CD, ed ηDE, de EA, ea. Dico, pentagonum ABCDE esse ad penta- ii ' .gonum ab e de in ratione duplicata laterum homologorum Fig. . CD, cd. Der ininstratio.

Resolvatur utrumque pentagonum in triangula similiacm, emd DME,dme' EMA, ema ra, amb'- , bme M. Cum igitur duo triangula similia sint in ratione duplicita suorum laterum homologorum O, triangula ta D, emd erunt in ratione duplicata laterum cD ,ed , triangula DME, d me in ratione duplicata laterum DE, de, triangula Eme, ema in ratione duplicata laterum EA, ea, triangula AMR, amb in ratione laterum ab , de triangula BMC, b me in ratione laterum BC, be dupluata ; sunt enim haec omnia latera ipsorum homolora respective c). Eadem est autem ratio omnium latreum homologorum polygonorum similium c d . Ergo erit c MD . emd net D ME . me

amb-b me et cm. cmd e , sive pentagonum ABCDE ad pentagonum abcde, ut triansulum cMD ad triangulumem d. Sunt autem hujusmodi triangula in ratione duplicata suorum latinin hornologorum ed s . Ergo in eadem quoque ratione erat pentagonum BCDE ad pentagonum abcde. Itaque polygona &ci quod erat ostendendum. . . . Esa. cstac