장음표시 사용
251쪽
Oeam parallelogrammi determinare. Titivi parallelogrammum ABCD , cujus basis sit recta τι,.M. BC, & altitudo reia DE. Invenire oporteat illius aream.
Ponatur Media, & DEmb. Ducantur itaque in se mutuo valares hujusmodi. Factum ab erit valor areae quaesitus. Patet ex O. I s.
S c HO L IO22 Si partes, in quas divisa ponitur altitudo parallelogrami non sint muties partibus, in quas ponit divisa ipsius basis, quantitas areae ipsius parallelogrammi determinanda ν; ., i. quadrata, sis Per rectangula oblonM. Ut si pat-τ- vi tes BE, EF, FG, GC balis BC parallelogrammi ABCD sit rint pedalis longitudinis; palmaris vero partes CH, ΗΚ, ΚDaltitudinis DC, lacta multiplicatione, area parallelogrammi ABCD duodecim rectangula Oblonsa comprehendet , qu rum singulorum basis aenum pedem , altitudo vero inium paeninmmuabit. Hinc ut palam fiat, quot lateres ad cubiculi iuperficiem tegendam requiruntur, necesse est, ut in una linea .undum longitudinem, in altera vero, angulum rectum cum illa constituente, nisi quadrati fuerint, secundum latitudinem dise
Aria tria si nam rectilinei est aequalis prodam , quod .multiplicando dimidiam illias basim per Osem aeritia,nem , vel integram basim per dimidiam altitudinem. La3 Esto triangulum planum rectilineum ABC , cujus basis
252쪽
sa sit rem BC, altitudo recta AD. Dico primo, illius a- ω ream aequalem esse producto, quod fit multiplicando medie-2. diatem Bd basis BC per totam altitudinem AD.
Super basim Bd, & sub eadem altitudine AD, nempe edeonstitutum habeatur parallelograminum Dde. Erit triangulum ABC ari e parallalogrammo rade n. Aera autem parallelogrammira de est aequalis producto, quod fit ex ductu basis Bd in altitudinem ed, sive AD b . Ergo eidem Producto aequalis erit area trianguli ABC o. . - I LM Dieo secundo . arram rei guli ABC aequare productum ex ductu basis BC in medieratem Da altitudinis ΛD.
Constituto parallelogrammo a Dcb, cujus basis De sit in qualis lassi BC dati trianguli, & altitudo be medietati a Daltitudinis AD, area trianguli ABC aequalis erit areae parirallelogrammi aDcb d . Est autem area a Deb aequalis facto ex ductu i s Dc, sive BC, in altitudinem be, seu aD u. mo eidem pri ucto area quoque trianguli Amaequalis erit cs . Mea igitur trianguli M. quod Mat ostens
253쪽
Multiplicetur valor dimidiae basis BC per valorem altitu Fig.rs. dinis AD, vel valor dimidiae altitudinis per valorem basis. Vin νι Factum erit area trianguli ABC quaesita. Ut si medietas basis BC dinatur zaa, & altitudo AD valor area: erit m abo Similiter si valor totius basis sit m d , & valor dis diae altitudinis sit x, valor areae erit dx.b o Demonseratio . . .
a6 Cum triangulum quodcumque sit medietas parallelogrammi ejusdem, vel aequalis basis, & altitudinis se , area triansuli ha bitur, si factum ex ductu basis in altitudinem hilariam dividatur. Ut si basis a C trianguli MC ponatur
a, & altitudo metet b, area ipsius trianguli erit m .
27 1avenire oporteat .aream trapezii. ADBC. Ducta diagonali AB, divisqque proinde trape io in duo L . -ΑBD, MC, inveniatur valor areae utriusque true' unguli ABD, ABC M. Tum v lores hujus di simul coli, gantur. Haec summa erit area quaesita ipsius trapezii ADBC.
254쪽
Area namque trapezii ADBC assaequat areas duorum triangulorum ABD, ABC simul sumtas a . . -
Areum poremi invenire. 18 Datum sit pentagonum A m, cuius aream inveni
Sumto in illius area puncto a , ducantur ad apices singu- .larum angulorum ipsius pentagoni rectaea Α , aB, a C, a B, ut proinde divisum sit ipsum pentagonum in quinque triangula rectilinea . Horum deinde singulorum triangulorum area, methodo superius tradita in , inveniatur. Smm .ma ex hisce valoribus consurgens erit valor areae dati pentaqgoni MCDE.
Area siquidem pentagoni ABCDE adaequat areas omnium illorum triangulorum simul sumias o. THEO REMA III. .
Area eujuslibet mi goni regularis aequalis ' triangulo rectangula iesus alteram latus eorum, qua sunt elaea angulum rectum, si quale catero ipsius μὰoni, alterum ejusdem perimetro. 19 Esto hexagonum regulare ABCE, ex cujus centro a in . latus CD cadat caretus ad . Ducta autem recta Vperimetro: δ' ipsius hexagoni aequali, constituatur triangulum rectangulum adf. Dico, aream hexagoni ΑBE aequare aream trianguli adsH h Demo in
255쪽
Ductis namque a centro a ad apices singulorum angulo rum ipsius hexagoni rectis a F, d, visum erit totum hexagonum in sex triangula isoscelia aequalia μ)icumque recta ad ad perpendiculum lateri CD im cumbat b , si fiat segmentum' de 'aequale lateri CD, comstituaturque triangulum dae , erit triangulum dae aequale triangulo C aD eo; ac proinde 'singulis triangulis Ba C, AsB, Fa Α, Ea F, Da E d , cum ungula hujusincidi tris angula sint triangulo Ca D aequalia. Est autem basis de aequalis singulis lateribus ipsius hexagoni, basibus nempe triangulorum aequalium , i, quae hexagonum ipsum divisum est, quatenus omnia hujusmodi latera sunt lateri CD aequulia te 2. . Ergo triangulum dae erit ad sex triangula, in quae hexagonum est divisum , ut est basis de ad totum hexagoni Perimetrum. Constat autem, triangulum dae esse ad triangulum das sub eadem altitudine constitutum, ut basis de ad hasm ds f , quae perimetro ipsius hexagoni posita est aequutis . Ergo eadem est ratio trianguli dae ad triangulum das, ct ad hexagonum ABE; atque adeo area trianguli dasaream adaequat hexagoni ME L. Mea igitur polygoni occ. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM LArea eujuslibet pol Ioni regularis est aqualis rectingulo contrauo sub caleto, O dimidia parte perimetri iaipsius polygoni. 3o Area nimirum hexagoni regularis ACE adaequat rectangulum ad bin contentum sub cateis ad , & dimidia padite db ipsius perimetri. Est enim rectangulum adbm triangu
256쪽
area psami regularis est aequalis producto , quod fit ex ductu evicti in dimidiam partem perimetri. 3I Hujusinodi namque producto rectangulum illud aequule est, quod sub caleto, & dimidia perimetri parte contine
Aream pol goni regularis invenire. 32 Invenire oporteat aream hexagoni regularis ME.
Dimidia pars perimetri ipsius hexagoni multiplicetur per ejusdem caletum a d. Factum erit area quaesita. Ut si dim dia pars perimetri ACE fuerit ram , & caletus ad x , erit mx area hexagoni ME.
Ferimeter mi goni eirculo lascripti minor est; perimeter vero pol goni circulo circa eripti est major peripiaria ipsius circuli. circulo ab ede inscriptiun sit pentagonum abcde; circum Fle et . scriptum vero pentagonum MCDE. . - νι
33 Dico primo, perimetrum abe de pentagoni inscripti
257쪽
Quaevis chorda, seu latus pentagoni circulo inscripti abiblo arcu circuli deficit, cui subtenditur co . Ergo omnia latera pentagoni ab c de simul sumta niinora sunt integra per ripheria circumscripti circuli ab ede adeoque&e. II. Dico secundo, perimetrum pentagoni ABCDE circum' seripti circulo ab ede peripheriam excedere ipsius circuli.
Ducta namque a puncto contactus a ad punctum contuctus e recta ae, manifeste apparet, duo latera a Α, Αe triam guli a Ae arcum excedere a me, quemadmodum duo ipsa latera a A, Ae majora sunt duobus am, me M. Spectari enim potest arcus a me veluti crura trianguli eandem cum triangulo a Ae basim a e habentis. Ergo perimeter ABCDE circunse scripti pentagoni ABCDE major est integra peripheria inscripti circuli ab ede. Etenim sicuti lateraria, Ae excedunt ar cum a me , ita duo aB, Bb arcum superant an b , atque ita deinceps. Itaque perimeter Sc. quod erat ostendendum. LEMMA II. Perimeter polygoni tareulo inferini eo minus deficit ab illius prepheria, oe perimeter polygoni circulo circumscripti eo minussius peri eriam si rat, quo plura sunt ipsius moram latera. Minus nimirum deficit a peripheria ab ede circumis, .uipti circuli perimeter decagoni an boerduem, quam perime ter pentagoni ab ede eidem circulo inscripti. Id ipsum dicito. de selygonis circulo circumscriptis , eorum scilicet perim trum minus excedere periphetiam i pti circuli, quo Pl ra sunt ipsius polygoni latera.
258쪽
- Etenim quo plura sunt latera polygoni tam inscripti, quam eireumscripti circulo, eo magis polygonum ipsum ad circulum accedit. Circulus enim est polygonum infinitorum laterum M. Emo, quo plura sunt polygoni latera , eo minus perimeter inSipti a circuli peripheria deficit ; eo minus vero Perimeter circumscripti eandem superat.
. Peripiaria elaeuli est proxime ad diametrum, ut 3 I I. ad Iooo , sive ut 3I ad Ioo.. 36 Esto circulus abfe. Dico, peripheriam abfe eam proe kxime ad diametrum af rationem habere , quam habet 3i isti V ad imo, sive ut 3I ad Im.
, Ducatur recta e d, quae sit chorda arcus graduum , mis.', atque adeo latus polygoni regularis m laterum circulo inscripti, eamque ad angulos restias , ac proinde bifariam, dividat diameter af b) . Ductis quoque radiis Ac, Ad, ipsisque in directum extra circuli peripheriam productis, du-eatur recta tangens BC, quae erit latus polygoni regularis p slaterum eidem circulo abfe circumscripti. Cum igitur angulus BAC sit per hypothesim graduum i , min. 1 , ipsumquo bifariam dividat reia As, angulus BAferit unius gradus, &mis. L , fecund. 3o. Quamobrem recta e F erit sinus anguli grad. I, mi ys, secund. 3o recta vero Bferit anguli ejusdem valoris. Posita idcireo divisione diametri af in partes aequales 2O omo , valor rectae e F ex tabulis Maum inrit m 327 Iso a & valor rectae Bs erit m 3 2Πω ', ut 'prininde
259쪽
inde tota ed sit m V, & tota BC sit α-; ut enim recta ed a radio As, ita recta BC ab eodem radio bulariam dividitur. Est autem recta ed latus polygoni reguluris p6 laterum circulo abfe inscripti , & recta BC latus p lysoni itidem regularis m laterum eidem circulo circum αpti. Ergo multiplicato valore tam rectae ed, quam rectae BC per sis, factum dabit valorem integri perimetri utriusque polygoni in partibus diametri as , erit nempe perimeter pol goni circulo inscripti m 628xos76, & perimeter polygoni circulo circumscripti α-; cum sit 6s 38i m6181os 6, & 61 732κ96 6283 272; ataue adeo perimeter polysoni regularis 96 laterum circulo abfe circumscripti erit ad circuli diametrum af, ut 628s 72 ad 2 UXMO, Iive neglectis quatuor ultimis cyphris, ut 628s ad χωο, &perimeter polygoni regularis po laterum eidem circulo inscripti erit ad illius diametrum , ut 6282os 6 ad χω κμγ, seu ut 6282 ad 2 o, si quatuor itidem ultimae cyphrae neglisantur. Constat autem, petrimetrum polygoni circulo i scripti ab illius peripheria deficere , perimetrum vero pol goni circulo circumscripti illius peripheriam excedere a ). Ergo, spectata peripheria circuli veluti media proportionalis inter perimetrum polygoni regularis m laterum ipsi circulo circumscripti, & perimetrum ejusdem indolis eidem circulo inscripti, peripheria erit ad diametrum , ut 6282 ad 2 oo, seu ut 3I I ad Imo, sive ut 3I ad Ioo proxime . Cet rum vis hujus demonstrationis evidentius Atebit, cum ιι--um, secantium, atque tangentium doctrina, alibi trade da , percepta fuerit. sc HOLION L
37 Quoniam vero perimeter polygoni regularis circulo imscripti minus deficit a peripheria ipsius circuli, & eerimeter polygoni itidem regularis circulo circumstripti periphetiam ips' minus excedit, quo plura sunt, adeoque minoris mMgnitudinis , ipsoriis polygonorum latera b , perspicuum
260쪽
remanet, exactius determinari posse , quamnam ad suam diametrum circuli peripheria proportionem habeat, si loco polygoni 96 laterum, chilioran - , seu polygonum Iom laterum, vel myrtogon n, sive polygonum Io laterum, aut aliud pluribus adhue lateribus constans, assumatur . Hinc proportiones aliae peripheriae eirculi ad diametrum determinatae sunt ea accuratiores , quam supra exhibui. Inter has eminent duae a Viro Q. Ludolpho a Ceuten inventae, quarum altera eIehris 2I, altera 36 definitur Eas tamen pra tereo, quod in praxi multum negotii lacessant. sc HOLIO Via. 38 Circuli tetramimum per polygona regularia circulo imscripta, & circumscripta primus omnium tentavit Archimedes . me igitur usus methodo , determinavit vir summus, periphetiam circuli ' continere ejusdem diametrum minuaquam ter , & mam septimam illius partem ; plus vero quam ter , & decem ex illius partibus septussimis primis , videlicet posito valore diametrim I, peripheriam esse ad diametrum, ut 3 - ad I, & hanc proportionem esse majorem vera; p sito autem valore diametrim I, peripheriam esse ad diametrum , ut 223 ad II, & hanc pro rtionem esse veram min rem, ita nimirum ut posita divisione diametri in partes aequales 7 I, recta continens 223 ex hisce partibus sit minor peripheria ipsius circuli; posita vero divisione diametri in 7 pa res itidem Uuales, recta 12 ex hisce partibus complectens p ripheriam circuli excedat. Inito siquidem calculo, invenit,
Perimetrum polygoni regularis m laterum circulo inscripti esse ad circuli diametrum , ut 3 - ad I, perimetrum vero polygoni ejusdem indolis circulo circumscripti esse ad dia.
meMm, ut 3: ad x, ut proinde factio P exprimat
rationem peripheriae ad diametrum minorem vera , fractio