장음표시 사용
11쪽
est quantitatem quamlibet cum alia eju sciem generis
quantitate comparatam, vel ea minorem esse, vel majorem , vel tandem ipsi aequalem , hoc est, magnitudinem aliquam uel in alia contineri, vel hanc aliam certo mocio continere ; hic autem modus, quo . magnitudo aliqua aliam continet, uel in ea continetur,ntimertis dicitur . E. G. numerus 3 exprimit rationem magnitudinis alicujus ad aliam minorem quae pro unitate assulantur , & in majori ter co a tinetur. Contra autem si quantitas major 3 , pro unitate adhibeatur , erit quantitas I tertia pars quantitatis maioris , quae tanquam unitas consideratur, sive i ter inquantitate majori continetur . Inde autem intelligitur quid sit numerus integer, quid numerus raditis. Integer dicitur quem unitas metitur; fractus qui est pars unitatis 3 ita i , a, 3 &c. sunt numeri integri; sed dimidia , tertia, quarta , &c. pars unitatiS sunt numeri fracti, ita autem exprimi solent numeri fracti
, , L, 2, a &c. Ratio quam modo definivimus, si
nempe consideretur , quomodo quantitas una alteram contineat, dicitur geometrica . Uocatur autEm arithmetica , si excessum tautum modo quantitatis unius supra aliam consideremus. Duarum rationum aequalitas proportio dicitur vel geometriea vel arithmetica pro diversia rationum qualitate . cluare ad habendam pro portionem quatuor quantitates requiruntur , & prima ad secundam esse dicitur ut tertia ad quartam . II. Numeri omnes in vulgari arithmetica decem notis sive characteribus designantur , sunt autem I, 2, 35 disso, , 8, O , O quorum ultimus Ophra sivetero appellatur . Harum notarum varia est significa.
tio non solum ex diversa illarum figura, sed etiam ex diverso quem occupant loco. Quae ad sinistram
postremae occurrunt designant unitates, quae proxime praecedunt unitatum decadas; exinde centenarii
sequuntur, millenarii & sic cleinceps per decades &ceutenarios progrediendo . Huic autem usui potissimum
12쪽
ET ALGERRAE CAPUT I. gmum cyphra destinatur; cum nempe ipsa nullum
designet nurnertim, auget tamen reliquarum uotarum significationem , longius illas ab extremo versus sinis tam numero removens; sic unitatis nota, quae sola unicam designaret unitatem , beneficio unius vel duplicis cyphrae in secundum aut tertium locum reisiecta , denas unitates aut centenas significabit. Brevi res numeri facile leguntur; ita agy , exprimunt ducentas quadraginta septem unitates; at in prolixioribus numeris aliquo opus est artificio, ita si legere
oporteat numerum S . 3, agrum i os , 6 l aqq, cloa . D: illum divide , quantum fieri potest, in classessis, quarum singulae tres nota' contineant, incipiendo
a dextra D, & progrediendo tersus sinistram S; quam. libet classem divide per virgulam singulis ternis notis interjectam . Deinde post duas primas classes, seu post sextam notam duc superius longiorem lineam verticalem A , quae sex notas sejungat; & rursus progrediendo versus sinistram S, linea verticali B, dividantur aliae sex notae , & ita porro quantum opus est. Manifestum est ex dictis, in prima classe goa , couetineri unitates duas, nihil decadum , & centenaria quatuor; quare classis illa legitur quadringenta duo et in a.' classe agg, continentur quatuor unitates,tres deis cades, & duo centenaria millium, hoc est, ducenta triginta quatuor millia . Quapropter in separatione sex
primarum notarum ab A ad D , continentur tantum unitates usque ad centena millia inclusive &tota illa separatio legenda est in hunc modum A. ag g a. D ; ducenta triginta quatuor millia quadringenta duo . Tertia classis soci pertinet ad milliones & legenda est sie et nongenti sex milliones. Nam eum in secundo hujus classis loco reperiatur O , indicium est nullam esse in hae classe decadem millionum . Quarta classis B. o Sy , continet septem &quinquaginta millia millionum; cum enim tu tertio
13쪽
. ELEMENTA ARITA METICAE ioco reperiaturo, nihil est centenariorum millium millionum ; & ideo classis ista quarta legitur os ', quinquaginta septem millia millionum , ac totus numerus ST, OO6, ag , a legetur: quinquaginta septem millia nongenti sex missiones, ducenta triginta quatuor millia, quadringenta duo . III. Uulgares explicavimus arithmeticae characteis res, quorum auctores feruntur astronomi Arabes ; aliis quid iam dicendum est de notis quae Romanae appellantur . Notae illae , quarum in physicis institutionibus usus recurret, majusculis alphabeti litteris exprimuntur . His characteribus Romanorum nomen fictum fuisse creditur, quod eos in monetis publicisque
monumentis usurpaverint, veteres Romani. Litterae quae numeros Romanos componunt sunt septem sequentes I, U, X, L, C, D, M. Harum notarum
haec est significatio, I unitas, v quinque, X decem , L quinquaginta, C centum, D quingenta, M mille . Si duo I scribantur in hunc modum II ,
aequivalent binario ; si tria scribantur, significant ternarium . Numerus quaternarius ita exprimitur , IV. &numerus novenarius hoc modo IX. nempe unitas numeris V, X praesixa eos mulctat unitate . Uerum ad exprimendos numeros vulgares Gy, 8 Icribi solet v I,
VII, VIII. Si numem L , vel C, praemittatur X , numeri illi decade minuuntur ; ita XL significat go,& XC oo ; contra autem si numerum L sequatur A, in hunc modum LX, numerus praecedens augetur decade significans sio &c. Aliquando numerus expressus fuit litteris CD, sed raro. Praeter litteram D, quae exprimit Sm, idem numerus significatur etiam hoc modo Io. Ita etiam loco M , aliquando scribitur Co . Eodem modo exprimi potest Coo per ioC ; & per IICC &c. Si litterae C& o, ante ocpost addantur,numerus CD augetur in ratione decupla; ita CCtoo significant Ioooo, CCCIGI, Ioo OHi erant communes arithmeticae characteres apud
14쪽
ET ALGERRAE CAPUT I. sveteres Romanos, qui etiam numerum millenarium designare solebant, adscripta numeris millenario minoribus lineola hoc modo . v significat Som, L . designat 6 oo . Similiter M aequivalet I OOoo.MM designat aOOoo ; a recentioribus nonnullis Seriptoribus variationes aliquae fuerunt adhibitae, ita litateris II X designat S , litteris IICI X exprimunt 8y.Qua ratione horum numerorum ope computationes suas in iverint veteres Romani nos omnino latet. Aliquam procul dubio habuerunt arithmeticam , quam quidem invenire problema est haud dissicile uariisque solvi posset modis; quaenam vero fuerit apud Romanos usitata , ignotum est omnino. IV. Quoniam numeri nihil aliud sunt quam rationes quaedam mente perceptae & certis signis distinctae , evidens est arithmeticam sive scientiam num rorum esse artem diversas illas rationes inter se combinandi illasque certis characteribus distinguendi .
Hinc nascuntur arithmeticae operationes praecipuae . Etenim diversae numerorum eombinationes huc revocari possunt, ut nempe mutuus eorum excessus, vel modus quo se invicem continent examinetur & assignetur. Ex his autem intelliguntur mox explicaudae quatuor vulgares arithmeticae operationes: Aia
tio , subtractio , multiplicatio , diviso . v. Additio vocatur illa arithmeticae operatio qua plures numeri simul colliguntur; subtractio autem dicitur operatio, qua numeri a se inuicem subtrahuntur. Ita si addantur a & 3 ut essiciantur 3 ; vel minor numerus a a majori 3 subtrahatur ut remaneat I ; in primo casu dicitur additio, in altero autem subtractio. Patet in additione & subtractione considerari
mutuum numerorum excessum s etenim in additione excessus summae ab alterutro numero innotescit,
in subtractione autem mutua numerorum dirieremia investigatur. Multiplicatio appellatur illa arithme bcie Oserati qua idem numerus sibimetipsit pluries ad-
15쪽
6 ELEMENTA ARITHMETICAEditur ; ita si et per g multiplicari debeat, idem estae si sibi ipsi ter addatur , vel 3 sibi ipsi quater adjungatur, prodibitque I a. Divisio est arithmeticae operatio in qua numerus unus ab alio subtrahitur , quantum fieri potest; ita numerus d ex Ia ter subtrahi potest . Itaque patet in multiplicatione & di bisone considerari modum, quo numeri sese mutuo continent. Ita in praecedenti multiplicatione innotescit numerum I a ter continere numerum g , per diuisionem autem demonstratur numerum g ter contineri in II . Ex his evidens est multiplicationem nihil aliud esse , quam additionem compositam s atque etiam diuisio nihil aliud est quam composita subtractio. Quare ad duas duntaxat revocari possunt quatuor vulgares arithmeticae operationes. Hinc arith meticae operationes accurate omnino desinivit Newtonus: Compositionem & resolutionem arithmeticam , quae quidem definitio eae ipsa arithmeticarum operationum natura derivatur . QVamvis autem numeri sint rationes geometricae , ex dictis tamen evidens est additionem & subtractionem proprie revocari ad rationem arithmeticam , multiplicationem vero & divisionem ad rationem geometricam referri. Caeterum praeter vulgares quatuor enumeratas operationes aliae sunt plurimae , sed hae omnes ad primas referuntur, ut ex dicendis manifestum fiet. Hic autem regulas arithmeticae generatim considerasse satis sit ; patet autem hanc quam tradidimus arithmeticae notionem, arithmeticae speciosae communem esse . Itaque licet arithmeticae nomen generatim usurpemus, illud tamen de arithmetica speciosa intelligi quoque volumus. Jam vero universam arithmeticae utriusque doctrinam breviter & distincte explicemus , quantum postulant nostrarum Iustitutionum necesiitas, atque injuncta brevitas. CA
16쪽
De quatuor primis arithmeticae operationibus in numeris integris.
I. TI Rima arithmeticae operatio dicitur additio, L quae ex praecedentibus satis intelligitur. Totam huius operationis praAim declarabimus atque de monitiabimus. A
Numeros integros addere, se in unam fimmam coctigere.
ADdendi proponantur numeri in hocatae Lexemplo expressi. uatuor numero- a et scirrum columnas ita alias aliis adscribe serie spadescendente, ut unitates unitatibus subjician- 8 6stur, decades decadibus, & sic de reliquis. dorarTum infra omnes numeros ducta lineola & postrema columna exorsus die x & s eff- - *-ciunt s, o & a eficiunt II, 3 I Se i essiciunt Ia. IIabes ergo in hac columna unam decadcm unitatum ae praeterea duas unitates. Quare scribe a in columna unitatum, & decadem rejice in sequentem decadum columnam dicens: a & a essiciunt g , 3 & 6 essiciunt O ; o & s effetunt 18.18 & 6 effetunt ad, hoc est, duas decadas decadum sive duo centenaria & decadas, scribe ergo quatuor in loco decadum, & duo centenaria in sequentem columnam rejice, eodemque pacto in hac & reliquis operare, & tandem iuvenies summam quaesitam 8ao a. Demonstratio ex tota operationis serie facile patet. Etenim in unaquaque columna numeri ita colliguntur tanquam si essent unitates, eR eaque summa tot unitates in columnam proxime sequentem rejiciuntur quot decades colle me sunt 3 quod quidem faciendum esse evidens est, cum tota quassibet ab unitatum co-
17쪽
s rLEMENTA ARITHMETICAElumna a d reliquas progrediendo , valorem habeat incolumna sequente decuplo majorem quam in praecedente . Igitur in hac operatione adduntur singulae unitates, decades, singula centenaria. Quare patet hujus operationis ratio ; quae quidem evidens est; cum totum aequale sit omnibus partibus simul sumptis, ex notissimo principio.
II. Ecunda arithmeticae operatio dicitur stibtractio,
o cujus totum hoc est artificium . Ut numerum datum a dato numero subtrahas, numerum subtrahendum alteri a quo subtrahi debet ita subjicies, ut unitates unitatibus respondeant, decades decadibus,& sic de reliquis. Tum ab unitatibus exorsus quam a libet inferiorem notam a superiori subtrahe & residuum scribe infra lineolam , habebis numerum qui sit datorum numerorum differentia. Si vero occurrat inferiorem notam superiori majorem esse, hane augebis decem unitatibus, easque mutuas accipies a proxime sequenti nota, quam proinde deinceps habebis tanquam unitate mulctatam . Subtrahendus Proponatur numerus gags a numero a38yp . Aus me L
rendo S ex v relinquitur numerus a, aus rendo ex s relinquitur S, a ex g remanet 6. At cum numerus ex g subduci nequeat , adjice huic denas unitates 8c auferendo ex is, residuum habebis s. Tum vero notam superiorem proxime sequentem unitatemule tabis; hanc enim ab ea mutuam accepisti ut denis unitatibus praecedentem augeres habebis ergo residuum i , ideoque residuum totum I&6Sa. Demonstratio satis per se constat, cum unitates ab initatibus auferantur, decades a deradibus &c. Nam quod in hoc exemplo numerus 3 decem augeatur
18쪽
E T ALOEBRAE CAPUT II. Punitatibus & numerus sequens et unitate mulctetur, ratio patet. Haec nempe unitas in numero g decadi suntiatum aequalis est, earum scilicet quibus constat idem numerus 3 s quare etiamsi unitatem duntaxat ille amittat , huic tamen decem accedunt . Simili modo si plures sequerentur cyphrae, eX quibus proinde nulla fieri potest subtractio, ex numero proxime antecedenti mutua accipienda est unitas, quae in cyphram sequentem translata decem unitatibus aeqv i valet . Rursus ex illa decade unitas in secundam cy- Phram transfertur atque ita deinceps. Quare patet cyphram ultimam decem unitatibus aequalem esse, eae
Eeras vero antecedentes aequari novenario . Itaquo
evidens est hujus operationis ratio. Ex additionis & subtractionis natura mani flumest duas illas operationes sibi mutuam probationem conferre & sese invicem confirmare . Etenim cum residuum in subtractione sit ipsa numerorum differentia, patet minorem numerum residito sive differentiae additum majori numero aequalem esse . Item cum additio sit plurium numerorum aggregarum ,
si ex aggregato alteruter numerus auferatur, numerum alterum remanere necessum est . Si igitur explorare velis utrum additio rite peracta sit , subtractione utendum est ; contra autem ad explorandam
subtractionem additio adhibenda .
Numeros integros multiplicare.
III. Ertia arithmeticae operatio vocatur multiplia I ratio , in qua, ut patet ex capite praecedenti , toties sumitur numerus multiplicandus, quoties unitas continetur in numero, per quem debet multiplicari . Singulae notae in singulas facile ducuntur , si numeri breviores sint. Sic nemo non videt g in qductum, sive A ter sumptum 1a efficere. At sinu
19쪽
Io ELEMENTA ARITE METICAE , meros pluribus notis constantes multiplicare oporteat , horum alterutrum infra alterum scribe ita ut unitates unitatibus subjiciantur. Deinde notas omnes
superioris numeri per singulas inferioris multiplica, initio a postremis facto . Decadas quae inter multiplicandum colliguntur sepone , adiiciendas producto ex eadem numeri inferioris nota in proxime sequentem superioris. Facta quae emergunt ex singulis notis inferioris in omnes superioris, infra lineolam seor. sim notentur, ita ut uniuscujusque unitates subiiciantur numero per quem multiplicatio peragitur . Si horum omnium summa colligatur, ea erit productum quaesitum. Multiplicandus proponatur numerus a Ss
per q3. Scribe qa subags; tum ducta lineola dic 3 in s efficiunt is , scribe s sub
numero multiplicante g, & unam decadem sepone adjiciendam facto sequenti ex g in S, quod est y, cui si addas i, habebis unam deeadem, & nullas praeterea unitates; scribe igitur o, & facto ex a in a adjiciens I , scribe p; rursus dic in s efficiunt V, scribe o, ita ut multiplicatori subjaceat s & facto sequenti gin 3 ; quod est 1a, adjiciens et, habebis i ; scribe igitur q , & seponens i, dic a in essiciunt 8, & adjecto I scribe p. Demum ducta linea, collige in unam
summam hos numeros ita dispositos, eritque IOIOS productum quaesitum . Demonstratio evidens est ex ipsa notarum arithmeticarum natura ; si nempe in memoriam revocetur numerorum characteres decuplo plus valere in locis anterioribus quam in posterioribus f illico enim manifestum fiet toties sumi in producto numerum multiplicandum , quoties unitas continetur in numero pere quem fit multiplicatio.
20쪽
Numeros integros dividere. IV. Uarta arithmeticae operatio vocatur Dionso. Cum numerus datus per alium datum dividendus proponitur, eo reducitur quaestio , ut inveniatur quoties in numero, dividendo contineatue divisor, totiesque auferatur , atque totidem unita istes scribantur in numero qui idcirco quotus dicitur. Haec ergo genuina est divisionis notio , nempe divudendus est ad divisorem , ut quotus est ad unitatem ,
vel dividendus est ad quotum , uc divisor est ad uni
Proponatur dividendus num rus IO IOS per q3. Numero dividendo divisorem praefige lineola interjecta, tum operationem instituens in primis notis dividendi, quae exhibeant quantitatem diu, lori aequalem vel proxime maj rem , dic quoties q3 continentur
in IOI , quotus erit a . Scribe ergo a , lineola pariter tuterjecta ex altera parte dividendi, & sectum ex et in 3 sive 86 aufer ex Ioi, & residuo Is notam appone quae in dividendo proxime sequitur quantitatem jam divisam Io I. Dic iterum, quoties q3 continentur in ISO , quotus est 3 quem scribe ut ante , & factum ex g in q3 seu Ias aufer ex Iso. Residuo a I adnecte sequentem notam dividendi S, & dic iterum, quoties δ continentur in ars , quotus erit S , quem scribe cum aliis quoti notis, & aufer eXII S. sectum ex S in q3 , sive ars ; cum nihil ex ea divisione su- Persit, Fatet numerunt, a 33 illum accurate esse qui oritur ex divisione Io I S per q3 Tota operatiouis ratio facile patet, si animadver