장음표시 사용
41쪽
32 ELEMENTA ARI TR METICAE alii quoque numeri metiuntur ; sic ra componitur ex a & o, itemque ex 3 & q. Quare a , S, , 6 metiuntur Ia, seu aliquoties sumpti ra adaequant ; illi autem numeri dicuntur actores ipsius numeri ia. Si igitur fractionis alicujus denominator sit numerus, compositus, & resolvi possit in alterius fractionis denominatorem, instituta divisione per numerum, qui sit etiam numeratoris divisor communis, iam licebit fractionem hane ad minimos terminos. deprimere, quod ita praestari potest. Dividatur major numerus per minorem ; si nihil ex divisione supersit, jam minor numerus est maximus divisor communis. Si autem residuum aliquod fuerit, divisor datus per hoc residuum dividatur; & si divisio accurate fiat, primum residuum erit maximus divisor communis. Si autem divisio non sit accurata , sed alterum maneat residuum , per hoc seeundum residuum dividatur primum ; si autem nullum supersit tertium residuum, jam residuum secundum pro maximo divisore communi haberi debet; atque ita progrediendum, donec nihil supersit, atque ultimus divisor erit maxima, ut
vocant, communis duorum numerorum mensura,
qua inventa, fractio ex his duobus numeris composita ad minimos terminos reducitur. Exemplo sit fractio. Dividatur apq per ser, neglectoque quoto S, as
residuum est Ir. Rursus dividatur sti per all, iterumque neglecto quoto q,residuum est'Tandem residuum primum at per alterum dividatur, habetur quotus 3,& divisio est accurata. Quare numerus p est maximus communis diviser, per quem divisis numerat re & denominatore, fractio praecedens in hancisimpliciorem abit --. aequales autem esse fra-- - qa ao mctiones illas, ex natura divisionis omnino patet. At si divisione instituta, ad unitatem tandem ultimum
42쪽
residuum perducatur, jam uulla est mensura communis praeter unitatem. Eadem plane est operatio inquantitatibus litteralibus ; hoe solum observandum est, nempe quantitates residuas per earum finiplieet didiisores esse dividendas, & quantitates secundum ejusdem litterae dignitatem semper esse ordinandas t
-- b' per a/ - b3, residuum fit - aab - ab', quod dividatur per -- ab, ut reducatur ad a - b. Iterum dividatur a/ b A per a-b; divisio accurate succedit, ac proinde maximus divisor communis est a - b. Tota hujus operationis ratio pendet ex hoc divisionis prineipio ; si nempe quantitas aliqua metiatur& divisorem & residuum , metiri quoque debet ipsum diuidendum ; est enim dividendus aequalis producto ex divisere in quotum , & ipsi residuo simul. Ita in exemplo praecedenti a - b metitur diviserema - b3 atque etiam residuum - 2ab -- ab A , quare metiri etiam debet summam a/ - aab - - b . Porro ubi residuum fit nullum , seu dum accurate
succedit divisio , evidens est divisorem haberi maximum cum enim dividendus aequalis iit producto
ex divisore in quotum de ipsi residuo simul; ubi residuum fit divisor accuratus, jam patet diviserem esse maximum; nulla enim quautitas habere potest diviserem seipsa majorem: ita sit-- -- R ; exprimit quotum , R residuum, erit A etet R. Iam dividatur B, per R , & divisio succedat accurate , pamtet esse R, maximum diviserem communem, dividit enim B, ex hypothesi ac proinde & BQ; praeterea dividit R; fieri autem non potest ut R, habeat divi cena seipso majorem. Quamvis in numeris & quant, ratibus litteralibus eadem sit operatio, ut tamen diviserper residuum possit dividi, sepe oportet primos rer- Arith. C minos
43쪽
3 ELEMENTA ARITHMETICAE minos ita praeparare, ut alter per alterum accurate
dividi possit sine fractione. Id autem fit observando in novi divisoris primo termino quantitates , quae nou habentur in primo termino dividendi; si autem pereas diuidi potest totus divisor, is totus dividatur , taminus, multiplicetur totus dividendus per illas quan.
titates, quae non occurrunt in dividendo ; atque ita faciendum in tota operationis serie, si necesse sit. Ita in praecedenti exemplo, ubi perventum est ad residuum -- Iab-ab' , residuum illud dividi praescripsimus per - ab. Haec autem praescripta praeparatio tota pendet ex hoc principio i nempe quantitates duae A , B communem retinebunt maximum divis rem, si multiplicetur, vel dividatur quantitas alterutra , puta A, per quantitatem , quae nullum cum quantitate B communem diviserem habeat. Illud autem principium ex ipsi diviseris communis notione
est omnino evidens, lIU. De fractionum eommuni divisere unum adis dendum est , quod deinde utilitatis maximae esse deo
bet . Si numeri duo primi fuerint, aut eorum alteruter duntaxat primus fuerit 3 evidens est ex ipsi nubmerorum primorum definitione , & ex communium divisorum regula , numeros illos nullum , praeter unitatem, divisorem communem habere . Quare
fractio ex duobus numeris primis composita, puta ad simpliciores terminos reduci non potest. Ergo productum, ac, ex duobus numeris primis ab ipso b diaversis non potest accurate dividi per b . Nam pona
tur - - m , erit i- ; quod fieri non potest ;
oporteret enim b & e habere divisorem communem , quod est contra hypothesim . Similiter ostendetur , fractionem in qua d est numerus primus, ad simplini
44쪽
... ET ALGEBRAE e Apur IUIli orem empressionem reduci non possie ataue 1,
dciuer si uemPe generatim productum eae n priuiis quibuscumque divisium per productum ex ut quibus eumque numeris itidem pretu id Tine 'res terminos reduci non potest. Quan si 2 fit fructio ad minimos terminos reducta , erunt quoque V , U& generatim mustiones ad simplicissimos terminos redactae ; ac proinde fractio quaelibet sive dura si mad poteutrum qu inliber evecta sem er manet
Selogium Praeter fractiones in hoc eam MANcatas considerari etiam debent males appellantur. Illae scilicet fractiones detriminatore habent unitatem cum tot sequentibus cυ Phrii, quot sunt numeri in numeruiis , ' 'my
ctionem ry - teribi solet ry, q. Ad exprimend mscribitur is, Og ; vphra numero gpraefixa indicat denominatorem esse ioo; Is ita
verum, sit divisio accurate fieri non possit. E. G Si dividendus proponatur numerus I Id g per aria
quotus invenitur eum residum'. et
45쪽
36 ELκMEN PA ARITHMETICAE iur o , dividaturque Igio per 36a, quotus erit 3 cum novo residuo gag, cui iterum addatur o, dividaturque Sago per Soa, quotus prodit S cum resi duo 3qq, cui addatur O; in nova tandem divisione quotus emergit O ; quod autem remanet I 8a, iterum
diuidi posset ; thd operationis ordinem exhibuisse satis sit. Quare quotus est I, 38s, quem quidem
accuratiorem esse evidens est .
Eadem methodo fractio vulgaris in fractionem decimalem reducitur. Si fractio in fractionem decia malem reducenda proponatur , numeratori 3 addatur o, dividaturque go per q, quotus est Z cum residuo et, cui addatur o, ruriusque ao per g dividatur quotus est 3 sine ullo residuo , quare in m o , Zs . Et requidem ipsa, cum sit as quarta pars numeri Im, numerus Is erit,ejusdem numeri Ioo. Ηinc generarim patet, quo artificio fractio vulgaris ad decimalem reduci possit ; multiplicetur nempe numerator fractionis datae per Ioo, vel IOSO &c., produmetum illud diuisum per denominatorem erit numerator fractionis decimalis, cujus denominator est Ioo , vel ioco &c. Saepe tamen contingit fractiones ad decimales accurate reduci non posse, etiamsi divisi num residuis plures utcumque cyphrae addantur. Sitia fractio vulgaris reducenda ad fractionem decima
lem , in qua n, exprimit cyphrarum numerum; erit r m . Sed Io m a s , ac proinde r m
LV. . L. Ut autem r fiat numerus integer, oportet
ut q, sit aequalis potestati alicui numeri a , vel s, vel producti a re S , vel etiam alicui potestati numeri a ,
per aliquam potestatem uumeri S, quas tamen potestates minores esse oportet, quam n , est euim , fractio
46쪽
ET ALGEBR AE CAPUT IT 3 ictio ad minimos terminos reducenda (ex hyp. b ideoque p, q, nullum habent divisorem communem ; in quolibet alio casu , fractio -- nunquam fieri poterit numerus integer r. At quo major erit numerus n, hoc est, quo plures erunt cyphrae in denominatore fractionis, eo propius ta accedet ad vat
rem fractionis - , ita ut error sit minor quam et . Etenim si dividatur pR Ion per q , quotus r, erit justo
minor i si vero augeatur unitate , fiet justo major .
are ita minor est quam S: major. Iline
patet utilissimum esse fractionum decimalium usum, cum earum ope fractionum valor accuratus quam proxime haberi possit. Quatuor Arithmeticae operationes in fractionibus decimalibus eadem omnino ratione qua in numeris integris tractantur ; sed habenda est maxime ratio virgulae qua fractiones ab integris dirimuntur. Haec virgula in eadem linea verticali jacere debet, si plures quantitates vel in unam summam colligendae sunt vel ab invicem subtrahendae . Si vero multiplieatio instituitur, eum locum in producto occupare debet virgula ut totidem post se notas relinquat quot erant in utraque fractione ; tandem si divisio peragitur, di, videndi numeri decimales notae probe observandae sunt; nam in quoto & divisere limul totidem esIedebent post virgulam notae quot erant in dividendo . Quatuor illarum operationum exempla exhibebimus. Additio .
47쪽
Unum autem in divisione notandum est; si nempe in divisore plures occurrant notae decimales quam indiuidendo, tunc decimalibus dividendi adjunges quot volueris cyphras , ita ut tamen notae decimales in dividendo plures sint, quam in divisore , ut nempe in quoto aliquae decimales notae haberi possint. Tota operationum illarum ratio statim manifesta fiet, si stactiones decimales vulgari modo exprimantur. Ita in exemplo divisionis praecedentis B, - m 3, ua m - . Itaque dividi debet fractio prior per se. cundam ; evidens autem est cyphram unam duntaxat in quoto adesse & hinc facile intelligetur cyphrarum numerum in quoto esse semper aequalem differentiae cyphrarum in divisere & dividendo. In aliis tribus regulis facilius patet operandi ratio.
I. Xplicavimus jam in capite a.' quid sit potesta- Ita tum formatio . Quantitatis alicujus potestar prima , vel primus gradus est quantitas ipsa selitarie spectata . Ita prima potestas ipsius a , est a . Productum ex quantitate aliqua in seipsam dicitur potestasseeunda , vel etiam quadratum , ita a ' est quadratum . Ipsa autem quantitas dicitur radiae quae vocatur qua
48쪽
ET ALGERRAE CAPUT V. sydrata ; si potestas sit secunda vel quadratum . Si quadratum in ipsam quautitatem ducatur, productum dicitur potestas tertia vel elibus, ita a 3 est cubus ipsus a ; quantitas autenI dicitur radix etitam . Et g neratim si quantitas evehatur ad potestatem cujus in index est n , habebitur potestas gradus u . In hoc autem capite praesertim considet abimus radicum quadratae & cubicae extractionem ; quod ut clare fiat, laesam quadrati & cubi formationem primum investigabimus, atque deinde ad operationes arithmeticas recto ordine progrediemur . Sit quantitas litteratis,a-b , ad quadratum evehenda , prodit a/-aab. bb. Iam vero quadrati hujus formationem, seu partes singulas expendamus . Quadratum binomii a -- b continet I Quadratum aa , primae partis a. I.o Productum Iab, ex duplo primae partis in secundam . 3.' Quadratum partis secundae nempe bb. Simili modo ii multiplicetur a in in b --c per a Maeb
M c--c' . In hoc quadrato rursus considerandae sunt partes singulae ; continent I.' Quadratum a ' --b - - b' ex duobus primis terminis a -- b. a.' Pro ductum ex duplo duorum priorum terminorum iu
tertium terminum - aam ab N c. Tandem conti,net quadratum c/, tertii termini . Simili modo progredi licet pro alia qualibet quantitate ex pluribus
quam tribus terminis composita ; tales vero quantitates magis compositae appellari solent onomia . Eadem omnino ratione intelligitur cubi sermatio. Binomium a -- b ad 3 . potestatem evehatur, mulitiplicetur nempe quadratum a 3 -- Iab -- b' , pera--b, prodit cubus a 3 -- saabis sab/--b' . Cubi
hujus partes singulae sint i S Cubus primi termiuia
nempe a 3. a.' Productum ex quadrato a 3 primi terna, ni in triplum terminum feeundum, scilicet ga' b. 8 ' Productum ex primo termino a , in triplum quadratum secundi termini, nempe et ab . 'Cubus
secundi termini scilicet b=. C Sir
49쪽
o ELEMENTA ARITHMETICAE Simili modo operandum est pro trinomio a- b c invenieturque cubus ai - - 3a 3b-hsab/ --b3-- 3R3e Gabc - 3b'c gac' 3bc c' . In hoe autem cubo praeter duorum primorum terminorum cubum nempe ai - - Sab -- Sab' -- bi , diligenter conliderari debent aliae partes. I.o Productum ex triplo quadrato duorum primorum terminorum in te tium terminum c , nempe Sapa - - Gabc - - 3b e ma - Iah -- bb κ δ C . a.' Tripla summa duorum primorum terminorum per tertii termini quadratum multiplicata , scilicet q- sac/ , 3 3 m a b g re c/. 3. Tandem tertii termini cubus,
II. Ex potestatum compositione facile colligitur illarum resolutio, sive radicum extractio. Sit quan-ritas litteratis X3-ax-- a' ex qua extrahenda sit radix quadrata . Sumatur primi termini radix quadrata A , cujus quadrato subtracto remanent termini duo- EX a/. Deinde sumatur duplum ipsius aerer quod dividatur secundus terminus - aX , quotus sit --a, qui multiplicetur per X . Tandem fiat quadratum quoti P a , atque producta illa ex residuo- aX -- -L a' subtrahantur, nihil remanet.
Quare radix quadrata est X- a. Tota operatio pateteX numero praecedenti . En typus calculi. Caeterum si radix plures liabu laea ,κ-ia ac x- Rrit quam duos termi-
nos , jam duo primi etermini post primamiax Pa) aT-- a.
Operationem velut u- κ- - a - RX-t anicus terminus consi- o oderari debent & reliqua peragenda ut ante, quod quidem patet ex demonstratas. Proponatur extrahenda radix cubica ex quantitate
litterati ci - sc y -- scy' - yi. Ex primo termi no eZtrahatur radiX cubica quae est c, cujus cubus c
50쪽
ET ALGEBRAE CAPUT U. a Iauferatur, remanent termini - Je y - - 3cyi -yx.
Jam quia notum est secundum terminum multiplicari per triplum quadrarum primi, sumatur termini c, triplum quadratum per quod dividatur secundus termisnus - Se AF , prodic quotus - y , qui erit secunda pars radicis. Uui vero cubus quilibet continet cu-hum ex duobus primis terminis radicis, sumatur cubus terminorum C - y , deinde a reliquis terminis auferiatur , quo facto nihil remanet, ac proinde radix accurata est e - y. Totus calculi typus ex praecedenti facile intelligitur . . III. Ex demonstrationibus praecedentibus facile patet radicum extractio in quantitatibus numericis. Ex-nem m.
trahenda sit radix quadrata, ut in praesenti exemplo . Numerum datum in classes divide quarum singulae duas notas contineant', initio apostremis facto; nihil autem
refert sive unica tantum nota constet prima classis sive notis duabus. Quaere radicem veram aut pro tuae veram numeri 38 , quae in Iaostro casu est 6 . Scribe si loco radicis & ejus quadratum Ss aufer ex 38 . Residuo a adjunge noras classis proxime sequentis, & hujus novi numeri postrema nota neglecta , quaere quoties du- opis , &c. plum radicis hactenus inventae sive Ia contineatur in Io, invenietur a , t cribe ergo a in radice,& ex as aufer productum ex et in i cta nempe aqq, remanet so i huic autem reliduo adnecte notas classis prinxi e sequentis . Rursus contempta novi numeri postrema uota, quaere quoties duplum radicis hactenus