장음표시 사용
21쪽
tamus in hujusmodi operatione, rem perinde se habere, ac si quaereretur, quota pars quantitatis alicuius singulis hominibus obveniret, si eam ex aequo tot hominibus distribui oporteret, quot uuitates continet divisor . Nam in tota operationis serie inquirimus , quot unitates, decades &e. singulis dari pocsint, iiique datis quae dari post uni, quot adhuc distribuendae supersint. Facile autem intelligitur post quamlibet subtractionem peractam, id quod relinquitur , antequam ulteriorem dividendi notam adjicias, divisore minorem esse oportere ; nam si residuum
aequale foret, vel majus, divisor in quantitate jam
diuisa pluries contineretur , quam indicet numerus in quotum relatus. Omnis dissicultas in eo sita est , quod in numeris majoribus statim non pateat, quo- 'ties diuiser in dividendi notis contineatur, & tentamine utendum est ; diviser nempe per numeros ab Iad y multiplicandus est, atque numeri ex hac mul. tiplicatione producti debent comparari cum dividendi notis, & explorandum est quinam ex illis numeris sit proxime minor , pones in quoto numerum , in quem ductus divisor hunc efficit numerum, ipsum vero numerum ex dividendi notis subduces Caeterum qui in arithmetica satis fuerit exercitptus , facile conjiciet ex primis utriusque numeri notis , dividendi scilicet & diviseris , ipsum numerum pro
quoto eligendum. Probe autem observari debet in quoto notarum valor , ut in aliis Arithmeticae operationibus jam aurea monuimus; at in praesenti operatione, quae est
omnium dissicillima rem brevi exemplo illustrabimus. Dividendus proponatur numerus qI 6 per a ;statim patet , in quoto contineri centenarios, decadas , & unitates . Dividatur jam si per a , quorus erit a , qui per a multiplicatus producit q, quo subtracto ex g fit o. Patet ergo, divisu in fuisse gooper a. Progredior deinde ad notam sequentem 1 ,
22쪽
ET ALGEBRAE C A P U T II. 13hoe est diuidi debet Io per a . Statim autem video a in io decies non contineri , quare scribitur o in quo-tor tum ut indicetur, quotum nullam decadem continere , tum ut primae quoti notae a suus servetur
centenarii valor . Tandem progrediendum ad si, qui numero praecedenti I apponitur, divitoque is per et, habetur quoius 8, ideoque quotus totus est m8. Hi ne generatim intelligitur , qua de causa in quoto scribatur cyphra, imo& plumes cyphras adiquando scribi oporteat. Hac divisione peracta , nulla relinquitur in dividendo nota, si autem aliquid residu i ex postrema subtractione supersit, quoto adjicienda est fractio . Ita si in exemplo praecedenti haberetur numerus gry per a dividendus, ita ut numerum gi ex aequo hominibus a partiri debeas, singuli acciperent nummos US , & dimidiam partem nummi,
Ex hactenus explicatis generatim etiam patet, satis esse primam dividendi notam per primam divitoris notam dividi, si in divisore & dividendo idem sit
notarum numerus. Uerum si dividendus plures contineat notas, persaepe necesse est duas primas dividendi notas primae divisoris notae subjici; idque fieri
debere evidens est, quoties datus notarum numerus in di visore majorem habet valorem, quam habeat aequalis notarum numerus tu dividendo e verum si
duae adhibeantur divideudi notae, per primam divisoris notam divisio semper fieri potest . Quare generatim ostenditur , sumptis in dividendo tot uotis
quot sunt in divisore, notatum numerum in quoto aequalem esse residuo notarum numero in dividendo . Si vero , quod saepe fieri necesium est, notarum num merus in divisore unitate minor sit quam in dividendo , unitate quoque minuatur notarum numerus in quoto . Hinc etiam patet nullum in quoto uumerum novenario majorem adhiberi posse; alioqui enim uo, larum numerus in quoto maior foret quam oPOricti
23쪽
Divisionis rite peractae argumentum habebis, si diviserem in quotum ducas, redeatque divisus numerus , nam si non redeat, manifestum est, alicubi erarorem esse admissum ; quod quidem paret ex ipsa
divisionis natura, cum dividendus toties contineat divisorem, quoties unitas continetur in quotor quare cum quotus exprimat quoties divisor contineatur
in dividendo ; si divisor per quotum multiplicetur,
dividendum ipsum restitui necesse est . Caeterum patet , si divisorem accuratum habere non licuit, facto ex divisore in quo tum addendum esse residuum ex ultima divisionis subtractione , ut redeat divisa quantitas. Contraria ratione evidens est multiplicationis rite peractae haberi argumentum, si productum dividatur per multiplicandum aut pcr numerum multiplicatorem ; in primo casu quotus fit multiplicator ; in casu autem altero quotus est multiplicandus. Cum enim divisio sit multiplicationi contraria , per divisionem resolvitur quod in multiplicatione componitur, & contra . Caeterum in multiplicatione & divisione compendia plurima usus docebit i hic monere satis erit, multiplicationis per plures cyphras faciendae eompendium haberi, si in producto scribantur tot cyphrae quot occurrunt in multiplicando & multiplicatore simul; multiplicatio autem aliarum notarum fiat secundum regulas praedictas. Item in divisione, si diuisor de dividendus cyphras contineant, in dividendo delendae sunt tot cy-Fhrae, quot occurrunt in divisore , quae etiam in ipso divisore deleri debent, & reliqua operatio peragei
da , ut autea. Notandum autem est compendium
illud valere duntaxat, si cyphrae fuerint ultimae tum divisoris tum diuidendi notae; quod quidem mani- .festum est ex cyphraru In natura .
Schobam . In praesenti capite sermonem habuimus
24쪽
. ET ALGEBRIE C A P U T II. 1s dioersae speci, absolvuntur operationes arithmeticae. Antequam vero operationes illas explicemus, desiniendum est quid per numerum concretum , quid per abstractum intelligaut Arithmetici . Numerust con cretus dicitur, quo res aliqua determinata designatur, ita si dicas tres homines, tres horas, tres pedes &c.
At si numerus 3 generatim enuntiaveris, nec rem aliquam designaveris 3 numerus vocatur abstractus.
Iam in numeris diversae speciei additio, & subtractio
facile intelliguntur. Probe tenenda est diversa numerorum species ; ita si addi debeant lineae , pollices , pedes, hexapedae ; sciendum est lineas Ia pollicem unum aequare; pollices Ia pedem unum, &hexapedam ex pedibus ci constare . Ubi autem iii linearum additione summa essicitur quae Ia excedit; tot unitates inter pollices referri debent. quot sunt numeri duodenarii s quod vero reliquum est, seu quod duodenario minus est, in linearum columna scribi debet: & ita deinceps de alia qualibet numcrorum specie . Similiter in subtractione tota patet operationis ratio I si quantitas subtrahenda, E. G. lineariam numerus, justo major sit; jam ex quanti ate Praecedenti, pollicum scilicet, mutuo accipienda est
unitas, quae duodenario numero aequivalet , atque ita reliqua operatio peragenda . Illud uuicum est discrimen inter operationes arithmeticas in numeris ab .stractis atque heterogeneis peragendas, quod scilicet
in numerorum abstractorum additione uel subtractione unitas mutuo accepta decadi aequivaleat; at innumeris heterogeneis unitas quae mutuo accipitur , eum retinet valorem, qui speciei suae respondeat.
Haec de additione, & subtractione . Quod multiplicatiouem spectat, improprie omnino a quibusdam arithmeticis proponi videntur concrctorum numerorum multiplicationes. Ita ineptum
est, quod faciunt aliqui, quaerere productum e X
25쪽
et 6 ELEMENTA ARITHMETICAE asses 3. Etenim in eo sita est multiplicatio ut data quaedam quantitas datis vicibus sumatur, ac proinde multiplicator debet esse numerus abstractus. Qua ratione autem quantitates diversae speciei per numerum abstractum multiplicentur facile patet . Si, E. G. productum ex lineis in numerum abstractum majussit numero duodenario , jam inter pollices rejici debent tot unitates, quot sunt numeri duodenarii, quod autem reliquum est inter lineas scribendum . Porro quamvis in multiplicatione numerus abstractus esse debeat multiplicator, res tamen aliter se habet in divisione, nam dividendus semper censetur numerus . concretus, diviser autem vel concretus vel abstractus
esse potest. Ita dividi possiunt nummi ci per nummos a, hoc est, investigari potest quoties a contineatur in f , quotus 3 erit numerus abstractus . Potest etiam dividi numerus concretus per numerum abstractum ; ita nummae si dividere possumus per 3, hoc est , investigare possumus tertiam partem nummmorum 6 , quotus erit numerus concretuS, Nempe
nummi a. Iam ut perspicua habeatur divisionis nitio, ad ipsam definitionem redeamus. In divisione scilicet dividendus est ad divisorem , ut quotus est ad unitatem, vel dividendus est ad quotum , ut divisor ad unitatem . Probe autem observari debent illae duae
proportiones, licet una eademque videantur . Dividendus tanquam numerus concretus semper habetur, Concretus autem vel abstractus esse potest numerus diviser. In I.' casu , quotus erit numerus abstractus,
S locum habet prima proportioo; in casu altero, ubi nempe divisor est numerus abstractus, quotus est numerus concretus & locum habet proportio altera , quae quidem omnia exemplo facile licebit intelligere .
Ei nummi ci , numerus concretus , dividantur per nummmos 2 , utimerum itidem concretum , quotus erit numerus abstractus I, hic enim non indicabit numerum numΠ1Oruna, sed exprimet quoties divisor con
26쪽
ET ALGEBRAE CAPUT II. Iptinetur in dividendo; erunt nempe nummi ad anummos, ut numerus abstractus et est ad unitatem abis
stractam I. Dici autem non posset, G nummi ( numerus. scilicet dividendus Sc concretus ) sunt ad quotum g si numerum abstractum), ut nummi a ( numerus disjor & eoneretus ) ad I ( numerum abstractum b. Talis proportio nullam in mente relinqueret distinctam notionem , cum enim num CrUS Coniseretus & numerus abstractus diversi sint generis, nul-Ia inter eos comparatio & ratio proprie dicta institui
Si diuisor sit numerus abstractus, ut in casu secumdo , quotus est numerus concretus, & secunda valet proportio . Ita si dividantur 6 nummi per numerum abstractum 3, quotus erit nummi a , c numerus scilicet concretus j, habebiturque haec proportio: numerus concretus nempe 6 nummi erit ad quotum nummos et, ut divisor 3 ad I . Id vero notandum est in utraque proportione unitatem esse semper nu merum abstractum. Quare divisio sub duplici ratione
considerari potest ; vel enim quaeritur quoties quantitas una in altera ejusdem generis quantitate continetur , & hic est primus casias . vel quaeritur quantitas quae certis vicibus in alia ejusdem generis quantitate contineatur, & hic est casus secundus. Facile autem patet ex demonstratis quomodo numeri concreti per abstractos dividantur, aut etiam concreti per Concremeos , etiamsi fuerint diversae speciei. Etenim si concreti per abstractos dividantur, initio sumpto ab iis qui majorem habent ualorem , divisio ex regulis pra scriptis instituatur ; si autem supersit aliquid , ad minorem ipeciem reducatur. E. G. Si residui fuerint pedes , reducantur in pollices, atque iterum diuisio de more fiat. Si concretos numeros diversae speciei per concretos itidem diversae speciei dividi oporteat, jam numeri tum dividendi tum diviseris ad minimam lpeciem deprimantur ; quod per multiplicationem fieri Aest.. B ma.
27쪽
manifestum est, atque divisio fiat eodem modo ae innumeris abstractis . Caeterum iu multiplicatione &divisione quantitatum diversis speciei, varia adhiberi possunt operandi compendia, quae sine fractionum die rina intelligi non possunt. Divisionis notionem ex genuinis principiis jam hausimus, in operationibus arithmeticis abstrahi selet a concretis abstractisque
numeris, an concreti sint vel abstracti, ad majorem operationum facilitatem i verum ad formandam earumdem operationum ideam distinctam , necesse est ut numeris sua deinde restituatur conveniens notio.
De quatuor praecedentibus operationibus in Arithmetica specios absolvendis.
I. Uantitatibus litteralibus praefiguntur signa, quorum significationem praemitti omnino necesium est . Signum additionis est . s sugnum autem subtractionis est - ; aequalitas duabus Ibneolis exprimi solet hoc modo se. Ita a m a, a -a - o cluantitas addenda dici solet quantitas positiva ; quantitas aurem subtrahenda vocatur negativa . Si quantitati litterati praefigatur numerus aliquis, hie eoumiens vocatur ; ita in quantitate litterati aa num rus a coefficiens appellatur. Si autem quantitas litteratis nullum numerum praefixum habeat, jam unitas tanquam illius coeficiens censeri debet: ita a - Ia, ut patet. Quantitates litterales dicuntur similes, si easdem contineant litteras, & eumdem earumdem litterarum numerum, etiamsi diversiis coeffcientibus notentur , ita---, &-Salaut quantitates similes e at dissimiles sunt quantitates a & b , atque etiam quantitates a & aa. Quantitas aliqua ex pluribus termiuir
28쪽
ET ALGEBRAE CAPUT III. rominis eomposita dicitur, quae plures habet litteras si- suo M , vel - connexas . Ita a -- b constat ex duo.
us terminis & b omium dicitur; a -- b inc ex tribus terminis componitur , & trinomiam vocatur. Quantitas ex unico termino composita dicitur quantiisaeas simplex , arque etiam monomiam i ita a , an, a
sunt quantitates simplices. His praemissis definitionibus, quantitatum litteralium additio jam explieanda est . Si quantitates simplices fuerint, tota operatio nis ratio statim patet. Ita si a & a addi debeant, habebitur Ia ; si addere oporteat a & aa, summa erit Sa,& ita deinceps; satis nempe est in hoc casu addi coenficientes , & coefficientium summam quantitatibus litteralibus praefigi , eodem servato signo vel - , si quantitates eodem signo assiciantur At si diversa fuerint signa, jam coefficiens minor a majori subtrahi debet, Se differentia cum majoris coefficientis signo
Id quidem evidens est ex negativarum, Sc φositivarum quantitatum natura . Etenim quantitates positivae quantitatibus negativis sunt directe contrariae. Quare si quantitates addendae similes sint, signisque contrariis affectae, vel se omnino destruunt, vel aliqua eX parte tantum; nempe si quantitas una sit altera major, destruitur in majori quantitate pars minori aequalis,& re
siduum est quantitatis utriusque disterentia , quae quidem differentia signo majori quantitati praefixo affiei debet. Ita evidens est, quantitates -- sdf&- Zds reduci ad madi; nam sds est quantitas ds quinquies sumpta , dc - 3dfest quantitas ds ter subtracta ; sed ea.
dem quantitas quinquies sumpta de ter subtracta reducitur ad quantitatem bis sumptam. Similiter M- sta&- cita reducitur ad - Iim, vel ad - - . Nam sta est quantitas ta sexies subtracta, &-s finest eadem quautitas quinquies addita, ae proinde luantitas ta semel subtrahitur, & remanet negativa, eu fit - - . Eadem ratione operandum est in aliis B a quav-
29쪽
positis . Quantitates addendae ita disponuntur, ut simi-Ies termini sibi invicem re- lm spondeant . Singulae puries i cs --s seorsim considerantur ut simplices, & additio fit ut modo praescriptum est summa autem inlia lineolam scribitur . Sub terminis , qui sese mutuo destruunt; scribi solet stψlula vel rero . Tota operatio patet ex praesenti exemplo. Si quantitates aliquae fuerint di miles, eas signo-vel se connectendas esse evidens est. Ita si addi oporteat a&b, vel a & - b, scribendum est a-b, a - b.
uantitates litterales subtralere. II. T N subtractione considerantur quantitates singuis I lae subtrahendae tanquam si haberent signum ei, quod habent, contrarium , & fiat summa ex legibus jam praescriptis , vempe in quantitate subtrahenda mutetur signum -- in - & - in , & additio de more fiat. Ita subtrahitur b ex a, scribendo a - b. Sib - c ex a-c subtrahi oporteat, seribitur a me se bis c - a - b--ac. Simili modo inquantitatibus utcumque compositis operandum est. Exemplum.
ab- abb ddab - be ddQuantitas subtrahenda inferiori loco scribitur, alia autem , ex qua subtractio fieri debet, supra apponitur ; deinde mutatis signis, ut jam dictum est' , tota quantitatum series seribitur postea reducitur
, ut lactum est in additione; habebitur quantitatum differentia intia lineolam scribenda . Quod autem in quantitate subtrahenda signum - mutetur in . ratio facile patet. Si ex asub-
30쪽
subtrahi debeat b - d , seribaturque primo a --b, subtractio justo major est ; subtrahenda, enim nouproponitur tota quantitas b, sed b mulctata quantietate d ; quare justo major est subtractio, & excessus est ipsa quantitas d , quae proinde cum signo positivo restitui debet, & scribendum est a - b-d . Id vero numerorum exemplo illustratur. Si ex numero 6 subtrahendus proponatur numerus S - S , ex praeseripia regula scribendum est 6 - 3 --. 3, hoe est d, reductione secta; quod evidens est. Si enim scriberes G - S - 3; subtraheres 8 ex is, quod quidem
faciendum non proponitur ; cum enim sit 3 -- 3 m a sex numero G subtrahi debet duntaxat numerus a. Caeterum patet in calculo litterati non secus ac in arithmetico , additionem, & subtractionem sibi mutuam probationem praebere, ita ut operatio uua per alte
siuantitates sitierales multiplicare.
Ignum multiplicationis est ri , quod tamen tumultiplicatione facta per litteras omitti soleta& sola conjunctio litterarum sine signo multiplicatio nem significat . Sit a in a, b m io , erit ab ina Iom 2O. Si eadem quantitas per seipsam multiplicet j , apponitur post ipsem paulo supra numerus, . qui exprimat quoties scribenda esset. Ita aama',
c a-- b m a -- b im m go , parenthesi autem ), vel lineola producta designat to iam quantitatem a-b in seipsam multiplicari. Numerus supra positus est index, seu exponens potentie sui vocaut , vel potestatis, seu devitatis qu utitatis ipsius, & exprimit quot vicibus uuitas per illam qu/q-B s rit