장음표시 사용
31쪽
22 ELEMENTA ARITHMETICAE titatem multiplicetur. Ita I Rama s i a amaar Ra a a m a &c. In quantitatum compositarum multiplicatione scri benda est altera quantitas sub altera, tum tota prima quantitas multiplicanda per unum ex terminis secundae , scribendo productum in una linea, deinde tota prima quantitas per aliam & ita porro , scribendo singula producta in singulis lineis, ac notando similes terminos diversorum liuiusmodi productorum alios sub aliis, deinde omnium linearum colligenda sumnia . Omnium vero hujusmodi operationum patetraiio ; multiplicatio enim sit per partes non secus ac in quantitatibus simplicibus. Porro in multiplicatio ne quatuor operationis partes considerari debent, nempe signa , coeffcientes, litterae, & exponentes; hinc quatuor praescribuntur regulae . I. Si signa fuerint eadem , positiva scilicet, vel negativa ; productum fit positivum et contra autem si hac rint diversa , productum est negativum . Ita- -m
scientes in se invicem multiplicantur. 3.3 Litterae ordine alphabetico scribuntur, nullo interposito signo . . Si quantitas aliqua exponente assiciatur , eaque multiplicari debeat per eamdem litteram exponente itidem affectam , littera illa semelsin producto scribenda est; ita ut tamen hujus quantitatis exponens aequalis fiat exponentium summae. Operatio tota pa-
multiplicanda superiori loco scribitur . Deinde multiplicatur per a , &producta singula infra lineolam scribuntur. Postea fit multiplicatio peresa am--aa' c-3abc-bge- b, productaque infra apponuntur , & tandem productorum partes singulae, ut moris est, in summam collia
32쪽
ET ALGEBRAE CAPUT III. 23 colliguntur. Id vero pro majori additionis facilitate observandum est, ut scilicet similes productor uni partes aliae sub aliis scribantur & sibi invicem respondeant, ut in additione praescripsimus . Quod spectat
tres ultimas operationis partes, hae satis patent ex antea demonstratis , verum quod attinet signorum leges,
Siguorum multiplicatio, quae tyronibus dissiculi
tem afferre solet, ex ipsa quantitatum negativarum natura intelligi potest. Dum quantitas positiva m a multiplicatur per aliquem numerum positivum n, sensus est quantitatem -- a toties sumi, quoties unitas continetur in n, ac proinde productum fit na Si - a multiplicari debeat per n, sensus est a quantitatem negativam toties sumi, quoties unitas contianetur in n, ideoque productum est - na. Simili modo si multiplicetur -- a per -- n, sensus est qua titatem a , toties subtrahi quoties unitas continetur inn, ideoque productum est negativum seu - na. Si - a multiplicare oporteat per-n, sensus est astoties subtrahendum esse quoties unitas est in n ; sed subtractio quantitatis negativae - a, aequivalet additioni -- a , quare productum est -- na . Nemo non
videt productum ex quantitate positiva in positivam fieri positivum, sed alii casus hoc modo rursus illustrari potant. Cum sit in a amo, si multiplicetur a - a per n, productum debet esse o. Jam vero primus producti terminus est na, ergo terminus alter debet esse - na, qui destruat primum terminum M- na, ita ut productum sit in na - nam o . Quare - a - nm - na. Simili modo, si multiplicetur a - a per - n, primus producti terminus est na. Quare terminus alter est ua
alioqui termini duo sese mutuo non destruerent; quod tamen fieri debet cum sit a - a m o . Ergo se a N
33쪽
quantitates litterales dividere.
IV. C Ignum divisionis est lineola interposita, divi-- dendum separans a divisore, ira rum, designat adividi per b ; divisio etiam designatur interpositis binis Punctis hoc modo a: b. Uerum his signis utem dum est duntaxat, si divisio accurate fieri non possit , quod primum illustrabimus exemplo quantitatum, quae unico constant termino . Si proponatur dividenda quantitas a bc per a et , erit '--- m b , ac proinde
in Ita. In hoc sita est tota divisionis operatio ut ex dividendo & divisore expungantur litterae utrique a Communes, reliquae autem pro quoto habeantur . Si autem quantitates litterales coefficientibus afficiantur evidens est divisionem institui debere non secus ac in arithmetica vulgari. Porro licet in dividendo & diavisore deleantur litterae communes, non tamen putandum est quotum ex quantit te per seipsam divisa abeesse m o, ita - non est mo , delentur quidem litterae omnes, sed quantitati litterati praefixus semper intelligitur coefficiens I . sic;--m X is Et quidem dum dividitur abe per abc, quaeritur quoties abc continetur in abe. Sed quantitas quaelibet si, mel in seipsa continetur. Quare in hoc casia, quotus est semper unitas. Quod signorum leges spectat, ea dem omnino sunt quae pro multiplicatione, nempe fi -- dividatur perim, & - per - , quotus signo asscitur 1 contra autem si dividatur per - , vel se
34쪽
ET ALGEBRAE CAPUT III. et spers , quotus assicitur stigno- . Tota explicatae operationis ratio evidens est ex ipsi divisionis natura ;cum enim productum ex divisere in quotum dividendo aequale esse debeat, manifestum est quotum ex divisione quantitatis negativae per negativam, oportere esse positivum . Ponamus enim esse negativum a jam productum ex quoto negativo in divisorem negativum foret positivum , ac proinde non rediret quantitas dividenda quae ponitur negativa . Simili ratione demonstrantur aliae signorum leges.
Eodem plane modo operandum est in aliis divisimnibus utcumque compositis . Ita si dividi oporteat
Singuli termini ita disponi debent ut
sumatur divisionis initium ab illo termino , qui ad maximam evectus est i testatem , & ita per gradus progrediendo, ut hic factum vides . Itaque dividas Gai per Ia', prodit quo rus 3a , per quem divisor totus multiplicatur, productumque GaI-sa b subtrahas ex dividendo, residuum fit - 6a b cui addas sab*, dividere sergas ut aute, quotus est - 3b, productumque ex hoc quoto Sc divisore iterum auferas ex dividendo, nihilque remanet; quare accurata est divisio . Si autem peracta operatione aliquid supersit ita ut divisor & reliqua pars dividendi nullas communes habeant quantitates , jam divisio accurate fieri non potest, sed quoto invento jungenda est fractio: de fractionibus
autem tractabitur in proximo capite. Saepe contingit divisionem in insinitum continuari,& tune quotus fit, ut vhcant, series in ita . Exemplo sit unitas dividenda per i ,- a. Operatio est hu-
35쪽
Haec pauca exempla satis sint . Caeterum patet multiplicatioclem & divisionem in quantitatibus litteralibus non secus ac in numeris sibi mutuam probationem conferre , ita ut multiplicatio per divisionem& viceversa divisio per multiplicationem confirmetur. Schol. In hoc Capite frequens fuit mentio de quantitatibus negativis , . quarum genuinam notionem a paucis iterum explicare non abs re erit. Si duae quantitates magnitudine aequales, ad partes directe oppositas simul & in eodem subjecto conjunctae intelligantur, sese mutuo destruunt illarumque effectus nihilo aequalis est. Ita si potentiae duae aequales in partes directe oppositas agunt, virium illarum effectus nullus est. Pari modo si aliquis habeat roo nummos , totidemque alteri debeat, jam illi roo nummi, si ad hujus hominis possessionem referantur, pro nihilo considerari debent. Si autem quia Ioo nummoS haheat & am alteri debeat, jam possessio hujus hominis negativa est, &, ut ita dicam , nihilo minor. Si aliquis ad propositum locum iter facturus, ad partem. directe oppositam progrediatur, jam hujus hominis iter tanquam negativum & minus nihilo haberi debet , si ad finem propositum referatur. Igitur probe tenendum est quid intelligatur per quantitatem nega, uvam & nihilo, ut dicunt, minorem . Quantitas negativa non minus realis est, quam quantitas positiva; sed nihilo minor dic ur ratione effectus tantum &relam
36쪽
'ET ALGEBRAE CAPUT IV. a r At e , non autem at lute. Hunc loquendi modum a nonnullis usurpatum ita explicavimus ut nihil dissicultatis tyronibus facessere possit.
iisdem operationibus in numeris fractis. I. iri TVmeri fracti definitionem jam in primo capia . 13 te tradidimus . Si divitor excedat dividendum , duo numeri a se invicem , interposita lineola , separantur ita ut dividendus supra lineoIam & divisor infra scribantur in hunc modum - , - M. Similiter si quantitas aliqua litteratis per aliam dividenda proponatur, & divisio fieri non possit, eodem modo
scribuntur duae quantitates s ita significat quotumema perbs tales autem quoti fractiones vocantur. Quantitas superior dicitur uumerator , inferior autem denominator appellatur . Denominator exprimit numerum partium in quas totum aliquod divisium fingitur ; numerator autem designat quot ejusdem paries necipiantur , vel, quod idem est, quoties una eX illis partibus sumatur, ac proinde pars illa considerari potest tanquami unitas aliqua. E. G. hae io nihil est aliud quam pars quarta alicujus totius ter sumpta haec autem pars quarta tanquam unitas altera haberi etiam potest. ' . II. Ex fractionum natura intelligitur sua ratione numerus integer ad fractum reducatur, atque etiam ad denominatorem datum. Ita si numerus 3 reducendus proponatur ad fractionem cujus denominator g ; multiplicetur g per g, scribaturque et , erit haec fractio aequivalens ternario, ut patet , cum uu-merus 3 multiplicetur simulque dividatur per q. Sed tales fractiones in quibus numerator maior est denominatore pro veris tractionibus non habentur,
37쪽
OS ELEMENTA ARITΗMETICAE atque improprie duntaxat ita appellantur . .. Pari rati*ne si quantitas a reduci debeat in fractionem litter
lem cujus denominator sit b ; habebitur m a Ex his etiam patet quomodo fractiones, quae diversium habent denominatorem, ad eundem redigan-
tur . Sint fractiones duae ',' multiplicetur fractio.r ,
. per d simulque dividatur per d, erit ---- - - . Similie u No i M, si modo multiplicetur fractio - per b, simulque divida tur , erit et 2- et . Itaque generatim fractiones ad , o b a se et eundem denominatorem reducuntur, multiplietando Numeratorem unius per denominatorem alterius: &viceversa , scribendoque pro denominatoi e communi Productum ex utroque denominatore. Evidens est hanc operationem eandem esse pro quolibet fractio, num numero ; multiplicentur scilicet numeratores singuli seorsim sumpti per denominatores singulos, proprio excepto denominatore, producta singula dabunt numeratores singulos quaesitos. Deinde denominatores singuli in seipsos ducantur, habebitur denominator communis quaesitus 1 ita fractiones N, , . acd bbd ccd . . p. q. ureducuntur ad ,-- , , -- Patet rem perince lu
III. Hinc facile adduntur & subtrahuntur fracti nes, reducantur scilicet ad denominatorem communem , sumatur numeratorum summa vel differentia , di iubscribatur denomiuator communis. In I.' cas
38쪽
fractis compositae qualis est i a , appellantur mixtae. Ex his autem statim intelligitur quomodo numeri integri & fracti simul addi possint, vel a se invicem subtrahi s integri ad fractos reducautur & ad denominatorem communem, atque operatio fiat ut ante.
Quamvis autem additionis & subtractionis operationes ex dictis sint manifestae, demonstrari tamen post
iunt hoc modo . Sint fractiones duae V, d ad eumdena
est --: in et S. Simili modo patet esse - - m
IU. Nulla reductione opus est ubi ' fractiones multiplicare & dividere oportet; in multiplicatione satis est numeratores & denominatores inuleem ducere, habebitur numerator &. denominator fractionis quaesitae , quae erit productum ex datis fractionibus emergens . Contra vero si fractio per aliam fractionem dividenda sit, numerator dividendae per alterius dem
39쪽
go ELEMENTA ARITHMETICAE nominatorem est multiplicandus, & illius denomi. nator in hujus numeratorem ducendus est . Ita pr
ad a- - . Etenim ponatur g mm, erit, ut ante ambm. Similiter ponatur - m n , erit c-dn. Iam demon
o ac ad instrandum superest esse-- mn , &-- ; quod quidem facile patet, substituendo loco a & c, illorum valores bm & det, erit enim in primo casu R . a bdin m sed
stratio generalis est ac proinde in numeris quibuslibet hactis eadem est operatio. Sic productum ex - in
m - . sic quotus est per - met a m q. Manifesta
quoque est operandi ratio, si numerus fractus per integrum multiplicari aut dividi debeat , considerari enim debet numerus integer tanquani fractio impropria in qua denominator est unitas & reliqua peragenda ut ante. Quare patet in multiplicatione numerum integrum per numeratorem esse multiplicandum s contra autem in divisione per denominatorem. Nec mirum esse debet, si fractio per fractio. nem divisa praebeat numerum integrum s cum revera una fractio bis , ter, quater &c. in alia contineri posssit. Itaque fractionis valor per multiplicationem minuitur , augetur per divisionem , quod quidem paradoxum videtur iis qui multiplicaetionis & divisionis
Ex dictis etiam facile patet fractiones factionum ad multiplicationem referri; fractionemfractionis appellant hactionis alicujus partem . Ita si sumantur
40쪽
ET ALGEBRAE CAPUT IV. 3rfractionis - , operatio illa ad divisionem non pertinet, sed ad multiplicationem. Etenim si sumenda proponeretur duntaXat pars et fractionis - , multiplicandus esset denominator per 3 , habereturque . At sumi non debet duntaxat pars tertia, duae tertiae partes sumendae proponuntur, quare productum praecedens duplo majus fieri debet, hoc est,inumerator multiplicandus est per a . Eodem modo reduci debent aliae quotlibet fractiones fractionum, multiplicando numeratores singulos Se singulos denomin
. Ex fractionum doctrina colligi possunt operatio. num arithmeticarum compendia plurima, si de qua utitatibus variae speciei agatur. E. G. Quaeritur quauti constiterint 33 mensurae mercis alicujus, si mensurae unius pretium sit ad nummorum, & assium I s. Multiplicentur primo Js per a , erit productum B o. Quoad alteram multiplicationis partem, considerari potest esse Is m Io s. Jam si asses lo nummo aequivalerent, productum foret 3s . At sunt pars decima duntaxat nummi unius, quare 3s dividi debet per Io. Simili modo operandum est in ultima multiplicationis parte , atque emerget productum ex nummis nummorumque partibus compositum. Ille operandi modus dicitur operatio per partes aliqvotas. Partes autem aliquotae quantitatis alicujus appellantur, quae ipsam quantitatem accurate diuidunt ; secus autem
partes aliquantae vocantur. Caeterum exercitatio atque attentio multa docebunt, quae fusius explicare superfluum esset. v. Explicatis arithmeticae operationibus in numeris fractis, jam superest ut communes, si quos habeant , fractionum divisores inquiramus. Si numeri nullum habeant communem divisorem praeter unitatem, numeri illi inter se primi dicuntur, cujusimodi sunt i, S, T, o, Io ; quos solas unitas metitur. At numeri convocliti appellantur, quos praeter unitatem