장음표시 사용
11쪽
mata seorsim exponere placet; ita ad certas quoque classes utra
III. Prioris Elementi theoremata partim respiciunt rectas, sive sibi mutuo occurrentes, sive inter se parallelas, partim triangula , & partim denique parallelogramma cum in se inspelta , tum inter se invicem collata . Unde sicuti ea ad tres classes commode revocari possunt, ita eodem hoc ordine hic a nobis exponentur .
IV. Et quidem circa rectas sibi mutuo occurrentes ,& angulum constituentes quatuor occurrunt theoremata. Nimirum I. Ad eamdem rectam lineam duabus eisdem rectis lineis non constituentur duae aliae rectae lineae aequales, altera alteri, ad aliud, atque aliud punctum, ad eamdem partem , eosdem , quos primae rectae lineae terminos habentes si). II. Cum recta linea insistens super alia recta linea angulos deinceps secerit; eos vel rectos , vel duobus rectis aequales efficiet sa) . I . Si ex puncto unius rectae lineae ducantur ad partes oppositas duae aliae rectae lineae, quae constituant cum illa angulos deinceps, duobus rectis aequales; indirectum erunt duae illae rectae lineae s3ὶ . IV. Si duae ae-ctae se mutuo secent, anguli, quos ad verticem faciunt, inter se erunt aequales s l. U. Circa rectas vero parallelas, seu aequi distantes haec ab Euclide demonstrantur. I. Si in duas rectas lineas in eodem plano jacentes tertia incidat recta linea, & efficiat angulos alternos aequales; parallelae erunt duae illae rectae lineae sue . II. Si in
et Prop. q. lib. t. Euelides teste Proisci I reperit theorema hoc, ut esset lemisma Octavae propositionis . non enim ad plura luam utilitatem extendit, nullumque alium usum apud Geometras habet. 2 Prop. I 3. lib. I. Hoc theorema ab Fuclide fuit proculam ; qui aiente Pro. clo maximam in eo diligentiam adhibuit: etenim per illud di exposuit modum , quo recta una super altera insistere debeat r nempe non in directum , sed ad angulum , ct quod anculus unus semper ducibus rectis sit minor; alias non esset anstulus, sed una recta. - Prop. I4. lib. a. Hoc theoremate Evelides convertit praeeedentem.& per immpossibile demonstrat: conversa enim the remmum per impossibile ostendi debent, ut inquit Proetus. 4 Prop. rs. lib. I. Theorema istud. teste Eudemo a Thalete Milesio fuit primum repertum, S ab Euclide deinceps demonstratum ; qua etiam demonstratione innuit. si plures rectae sese mutuo secent, has emeere angulos ad sectionem quatuor rectis aequales. 1 In hoe theoremate huelides aIis ternos angulos appellat ens . qui neque ad easdeni partes . neque deinceps sunt, sed ab incidente distinguuntur , quae v
12쪽
duas rectas lineas in eodem plano jacentes , tertia incidat recta linea, & efficiat vel angulum exteriorem aequalem interi ri, & opposito ad eamdem partem, Vel duos angulos interiores, ad eamdem partem positos , duobus rectis aequales ς parallelae erunt duae illae rectae lineae si). III. Si in duas rectas lineas parallelas tertia incidat recta linea ; haec efficiet & angulos alterno aequales, & angulum exteriorem aequalem interiori , D oppolito ad eamdem partem; δc duos angulos interiores ad eamdem partem positos auobus rectis aequales sa). IV. Quae eidem sunt parallelae, inter se sunt parallelae s3). V. Quae aequales, & p rallelas ad easdem partes conjungunt rectas lineas , sunt etiam
VI. Quantum ad triangula in se inspecta primo loco recensebi
mus theoremata , quae communes eorum proprietates continent.
Nimirum I. In omni triangulo duo latera simul majora sunt reliquo , quomodocumque lumia s s) . II. Si ex terminis unius lateris trianguli ducantur intra triangulum duae rectae lineae eae simul minores erunt duobus aliis lateribus trianguli ; angulum vero majorem continebunt ίM. III. In omni triangulo, uno latere producto, exterior angulus est major utroque interiore, Sc op- pqsito s7). IV. Omnis trianguli duo anguli simul , duobus rectis minores sunt, quomodocumque sumti s8) . V. Demum, cujuscumque trianguli uno latere producto angulus exterior est
trique inter parallelas existit ; & disse
runt , quod alter suriani , alter eseorsu inponatur. r) Prop. 28. lib. t. Hoe theorema reper
tum fuit ab Euelide; tamen a Ptolemaeo diversimode demonstratur . teste Proclo. χ Prop. x q. lib. i. Theoremate isto Euclides , ut inquit Proclus , utrasque praecedentes convertit; quod enim in utraque illa est quaesitum, positionem facit, de quae in illis data sunt, demonstrare proponit . 3 Prop. 3o. lib. I. Euclidis est hoe the rema , quo explicat respectum parallelarum; non autem hoc in omnibus semis per con instit; non enim . quae eiusdem
iunt dupla, inter se sunt dupla , ut inquit
4 Prop. 33. lib. I. Confinium parallelarum est theorema istud : unde ipso
paralleloaram morum ortum latenter train
dat Euclides; parallelograninium enim Et ab aequalibus .& parallelis . s) Prop. V. lib. i. Hoe theorema ab Euclide editum. ut scibit Proclus Epicurei impugnare consueverunt, & ipsum tam mani testum esse dixerunt , ut probati
ne non egeat; at non animadverterunt,
quod esto sensu sit notum : seientiam tamen nunquam pignere posset, nisi sui ias et demonstratione firmatum . 6 Ex lib. t. prop. a x. Euclidis. et Ex lib. r. prop. I 6. Euclidis. κ) En lib. I.prop. 17. Euelidis. Per hoe
theorema. ut inquit Proclus indeterminate demonstrat Euclides e duos quoslibet triannuli angulos duobus rectis minores esse ἰ at in propositione 32. determinabitur. quanto sint minores , nempe reliquo trianguli angulo. Tres enim ipsius auisculi duobus tectis aequales sunt : quare duo . tanto minores erunt duobus re ctis, quanto est reliquus angulus.
13쪽
aequalis duobus interioribus, & oppositis simul sumtis; & anguli omnes simul duobus rectis sunt aequales sa).
VII. Secundo loco theoremata illa a fleremus , quae cujusque trianguli in se inspecti affectiones nobis aperiunt ; cujusmodi sunt haec, quae sequuntur. I. Iloscelium triangulorum anguli ad basim inter se sunt aequales , Sc productis aequalibus lateribus, anguli infra basim etiam inter se aequales erunt sa) . Sicuti autem theorematis hujus pars prior illud nos docet , in omni triangulo aequalibus lateribas aequales angulo; opponi; ita exinde proprietas trianguli aequi lateri sponte sua descendit , nempe , quod sicuti tria ejus latera sunt aequalia , ita aequales sint tres ipsius anguli . II. Si trianguli duo anguli aequales fue- rint,& latera eos angulos subtendentia pariter aequalia erunt s3J. Unde colligere pronum est, si trianguli omnes anguli sint aequales , cuncta etiam ejus latera aequalia elle debere . III. Omnis trianguli majus latus majorem angulum subtendit ) : unde eruere licet, scuti in triangulo scaleno cuncta ejus latera sunt inaequalia , ita & omnes ejus angulos este pariter inaequales . IU. In omni vicissim triangulo majori angulo majus latuS OPponitur sue) : unde patet per contrarium, si omnes anguli trianguli sint inaequales, triangulum esse scalenum . Istiusmodi sunt proprietates cujuslibet trianguli quoad latera inspecti ; quoad angulos vero solum Euclides in primo libro proprietatem ostendit trianguli rectanguli , demonstraturus in secundo libro a flectiones trianguli obtusanguli,& acutanguli: ejus theoremata sunt. I. In triangulis rectangulis, quadratum, quod fit ex latere rectum angulum subtendente, quod Graece dicitur pothonusa, aequale est quadratis laterum rectum angulum continentium so). II. Si qua
ortum Pythagorae ad scribit Eudemus . ut Proetus tradit; qui etiam notat; ex hoc theoremate inalgitari ; quantum angulus exterior trianstuli sit maior utroque interiore , & opposito nempe reliquo: ci quantum duoquilibet anguli trianguli duobus
rectis sint minores . nempe uno. Unde hoc theorema complectitur cloctrinam propositionis ras.&x .di ex hoc etiam aperitur via ad reperiendum : omnium rectilineorum anpuli quot rectis sint aequales: omnis enim figura te lilinea in triangula resolvitur.
a Prop. s. lib. T. Thales Milesius
hoc theorema reperit , teste Proclo : is enim primus animadvertit aequi cruris an gulos ad basim esse aequales, S more an istiquorum similes appellavit.
3) Ex lib. x. prop. 6. Euclidis . qui
hoc theoremate convertit praecedentem .
4 Ex Lib. a. prop. 18. Euclidis. s) Ex Lib. i. pro p. x q. Euclidis, qua
ο) Prop. 4'. lib. t. Theorema istud te ite Laertio. & Proeso , Pythagorae ortum debet , qui ut ex Apallodoro apud eumdem Laertium , ob ejus inventionem ita
14쪽
dratum ex uno latere trianguli aequale sit quadratis , quae ex aliis lateribus fiunt; angulus sub iis lateribus contentus rectus e
VIII. Tertio loco recensebimus theoremata, quae relativas triangulorum aflectiones respiciunt , seu quae triangula exponunt inter
1e collata; hujusmodi autem theoremata circa aequalitatem , Scinaequalitatem potissimum versantur; & sunt. I. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, alterum alteri, Scangulos sub iis lateribus contentos aequales ; habebunt 3c basim bali aequalem, erunt reliqui anguli reliquis angulis aequales, alterum alteri , quibus aequalia latera subtenduntur, eritque triangulum aequale triangulo sa). II. Si duo triansula habeant duo latera duobus lateribus aequalia , alterum alteri , 8c basim basii aequalem ; 3c angulos sub aequalibus lateribus contentos pariter aequales habebunt sq). III. Si duo triangula habeant duo latera duobus lateribus aequalia alterum alteri, Sc angulum sub iis lateribus contentum angulo majorem , 8c basiam bali majorem pariter habebunt λ). IV. Si duo triangula habeant duo latera duobus lateribus aequalia, alterum alteri , Sc basim basi majorem; habebunt Sc angulum sub iis lateribus contentum , angulo quoque majorem sue . V. Si duo triangula habeant duos angulos duObus angulis aequales, alterum alteri, Sc unum latus uni lateri a quale, sive quod aequalibus adjacet angulis, sive quod uni aequalium angulorum opponitur ; omnia reliqua etiam aequalia habe
IX. Triangula inter parallelas constituta aliis communibus
it a laetitia fuit affectus , ut Hecatomis ben , hoe est , sacrificium centum bovuni Diis immolaverit. i Prop. 48. lib. I. Pythagorae etiam adscribitur theorema istud ; quo praece
a Proe . lib. r. Hoc theorema Euis elides reperit , qui in eo demonstrando utitur modo , qui fit per superimpositionem, qui maximo usui est apud Mathematicos : Κ Archimedes eum usurpavit non solum in libro de centro Rravi ratis planorum ; sed etiam in solidis , ut de Cono idibus , S de Sphaeroidibus . 3 Prop. R. lib. i. quae ad Euclidem re
fertur, qua ipse eonvertit praecedentem .
Prop. Μ. lib. 1. Hane propositionem Euelides opponit quartae . Per illam enim
angulos , qui sunt ad vertiees triangulorum aequales ponit, per hanc inaequales; er illam bases aequales demonstrat , perane inaequales. s) Proe. as. lib. I. Per tale theorema Euclides ipse , & oppositum octavae propositionis clemonstrat, A praecedentem convertit ; quae diversimode ab aliis demonstratur, ut tradit Proclus. 6 Prop. 26.lib. r. Theorema istud ad Thaletem Milesium refertur auctorem , ut Proesus ex Eudemo tradit. Isto autem stilis clides doctrinam omnem aequalitatis , &inaequalitatis triannulorum claudit . & ad parallelas, ct parallelogramma transit.
15쪽
gaudent affectionibus; quas talia theoremata continent. I. Triam
gula in eadem bali, & in iisdem parallelis constituta , inter se sunt aequalia sI). II. Triangula in aequalibus bassibus, & in ii dem parallelis constituta, inter se sunt aequalia sa). ΙΙΙ. Triangula aequalia in eadem basi, & ad eamdem partem constituta, iunt etiam in iisdem parallelis s3). IV. Triangula aequalia in aequalibus basibus, ac in directum jacentibus, ad eamdem partem constituta, sunt etiam in iisdem parallelis ).
X. Tandem circa parallelogramma primo loco affectiones exponemus eorumdem absolutas , quae quodpiam parallelogrammum in se inspectum sequuntur, quas haec theoremata Ostendunt. I. P, rallelogrammorum spatiorum latera , quae ex adverso sunt, imter se lunt aequalia; similiter autem & anguli; diagonalis vero ea bifariam dividit sue). II. Parallelogrammorum spatiorum e rum , quae circa diametrum sunt complementa , inter se sunt
XI. Postremo denique proprietates illas parallelogrammorum ostendemus, quae ipsa spediant tam inter se, quam cum triangulis collata, per haec theoremata. I. Parallelogramma in eadem ba
si, & in iisdem parallelis constituta, inter se sunt aequalia s7). II. Parallelogramma. in aequalibus basibus, & in iisdem parallelis constituta, sunt etiam inter se aequalia s8). III. Si parallelogrammum, & triangulum habeant eamdem basim, & lint inter
parallelogrammi cujuslibet dimensionem exposuit . Haec theoremata , ut Federicus Commandinus ex Proclo inquit , ex eorum numero sunt, quae in mathematicis diseiplinis admirabilia appellantur . Stupet enim vulgus statim, i longitudo multiplicatam spatiorum aequalitatem non destruitia tamen eadem existente basi, quantum parallelas producimus, tantum parallelogrammorum quoque longitudines
8 Ex lib. r. prop. 36. Euclidis . In praecedenti theoremate Euclides eas uena bases accepit , hic vero aequales : Commune autem in iisdem potuit, inter easdem es in se parallelas. Hoc theorema per bases s junctas demonstravit Euclides; attamen, ut inquit Proetus, a Theone demonstratio fuit ad meliorem redacta formam , ut O mnibus casibus congruere videatur.
ci Ex lib. r. pro p. 37. Euclidis .ca Ex lib. I. prop. 38. Euclidis. 3 Ex lib. I. prop. 3 ρ. Euclidis, qua
convertit 37. 4 Ex lib. I. prop. . Euclidis, qua convertit 38. s Ex lib. I. prop. 34. Euclidis . Quam hie de parallelogramniis demonstrat , aD sectio, circulo quoque convenit , S. ellipsi. 6 Ex r. lib. prop. 43. Euclidis , qui
unum tantum hujus theorematis casum exponit, esto eius tres sint ea sus. vel enim, quae circa diametrum sunt complemen ta se se in puncto tangunt, vel se secant, vel a se disjunguntur. Eadem autem leni per congruit demonstratio, quamquam non temper quadrilatera sint supplementa, ut doeet Commandinus.
Ex Lib. t. prop. 33. Euclidis, qui per hoc , & quae sequuntur theoremata
16쪽
easdem parallelas constituta, erit parallelogrammum duplum trianguli si). EIUSDEM PRIORIS ELEMENTI PROBLEMATA.
XII. Per ejusdem prioris Elementi problemata dein ortus, con
structionetque omnes rectilinearum figurarum nos docet Euclides. Quemadmodum autem ea partim ad rectas attinent, etiam per
pendiculares , & parallelas , partim ad angulos, partim ad triangula, & partim ad parallelogramma sive in se inspecta, sive
inter se collata; ita per has classes ea proferre lubet. XIII. Problemata, quae communem rectarum indicant praxim, sunt . I. R d datum punctum datae rectae linea: aequalem rectam
lineam ponere sa). II. Datis duabus rectis lineis inaequalibus, de majore minori portionem aequalem abscindere s3 . III. Datam rectam lineam terminatam bifariam dividere ). XIV. Circa rectas perpendiculares, & parallelas haec problemata,
ortum earum designant. I. Ex puncto in recta linea dato, perpendicularem rectam lineam excitare sue). II. Super rectam infinitam, ex puncto, quod in ea non est, perpendicularem rectam
lineam demittere sis. III. Per datum punctum datae rectae lineae parallelam rectam lineam ducere θ). XV. Quae ad angulos rectilineos cum in se, tum inter se inspectos
i Ex lib. t. pro p. r. Euclidis . Huius
theorematis demonstratio etiam valet, si parallelogrammum S triangulum habeant aequales has es ; nam eum triangula in basibus aequalibus sint aequalia . parallelo-yrammum , quod alterius est duplum, reliqui quoque duplum erit. Σ Ex lib. t. pro p. a. Euclidis ; qui in ipsa dedit quidem punctum sola positi,
ne, hoc enim tantum modo dari potest: lineam vero speete , de magnitudine . Simulsum sit punctum datum extra rectam da tam ; elio possit esse,& in eadem recta , ct in ejusdem rectae extremitate; in quo, calo eadem foret demonstratio, es odiversa constructio. 3 Ex lib. x .pro p. 3.Euclidis . 4 Ex lib. t.prop. io. Euclidis ς qui rectam terminatam ponit ; siquidem eri u rraque parte infinitam terminare non ponsumus, infinitae vero ex altera parte tan tum , ubicumque punctum aecipiatur, im qualis fiet secti . Apollonius Pergaeus rectam lineam terminatam diversmode ab Euclide bifariam seeat , ope duorum circulorum ad modum primae propositionis;
attamen in idem convenit, teste Commandino
s) Ex lib. i. prop. H. Euclidis , qui
punctum in medio lineae de sanat : es os unii etiam possit in altera eius extremitate : quo in casu eadem efformanda est constructio , recta tantum producta . 6 Prop. h. lib. . Hoc problema, ut refert Proetus. Oenopides primus inda Ravit, utile ipsum ad Astrologiam existi. mans: ct datur in eo recta infinita; eum punctum extra ipsam sumatur , ne cum linea data eonfundatur. 7 Prop. 3 r. lib. r. quae est Euclidis; qui per tale problema ortum parallel
17쪽
ctos constructiones spectant, subjecta problemata exponunt. I. Datum angulum rectilineum bifariam secare si) . ΙΙ. Ad datam rectam lineam, atque ad datum in ea punctum, angulum dato angulo rectilineo mi ualem constituere sa).
XVI. Quae vero ad triangula attinent problemata , sunt. I. In data recta linea terminata triangulum aequi laterum constituere s3ὶ. Unde deducitur quoque, quonam pacto in data recta terminata constituatur trias gulum cum is sceles, tum scalenum. II. Ex tribus rectis, quae tribus aliis datis sint aequales, triangulum constituere; oportet autem, ut ex tribus datis duce simul reliqua ma
jores sint, quomodocumque sumtae λ). XVII. Problemata denique quibus omnia parallelogramma, &praecipue quadratum construuntur, sunt. I. In data recta linea terminata quadratum constituere sue . II. Dato triangulo aequale paral
lelogrammum constituere in angulo rectilineo dato so). III. Addatam rectam lineam, dato triangulo, aequale parallelogrammum conitituere in dato ansulo sy). IV. Dato rectilineo, aequale parallelogrammum constituere in dato angulo 8).
Q Ex lib. r. Prop. o. Euclidis. Ex hoc
problemate annulus sol untinodo red i lineus secari valet ; quia aliorum sectio ad elementarem institutionem non arti net; angulus autem rectilineus hinc etiam secari potest , in quatuor angulos aequales, in octo, in sexdecim S e. semper procedendo per austumentum duplex: eoquod omnis pars sectionis semper bifariam secari poterit: in quamlibet vero
aliam proportionem eum secare praesentem constructionem transa reditur.
a) Prop. 23. lib. I. Hoc problema ab Oenopide inventum fuissse tradit Eudemus. 3) Ex lib. i. pro p. r. Quae est Evelidis, qui esto solum in ipsa modum recenseat, quo in data recta iii angulum aequi laterum valeat constitui : potest tamen in ipsa recta constitui . ct trianstulum isos eles, si accipiatur ipsa recta vel aeque maior, vel seque minor ;& triangulum lealenum; si non ex puncto, in cilici illi duci circuli se serant. sed ex alio in altera circulorum circumserentia quonicido libet despuato rectae ducantur; sic enim tres rectae trianguli in aequales oriuntur.
4 Prop. 22. lib. r. Hoc problema est Euclidis attamen eius demonstratio a Theone fuit immutata ; ut animadvertit Proetus. s Prop. 6. lib. r.Problema istud E elides procudit , Spraeeipue deservit constructioni propositionis 4 . lib. I.& ad to
si Ex lib. i. prop. 4 et . Euclidis . Prop. 44. lib. r. Antiqua sunt, ut
ait Eudemus , Pythagoreorum inventa istiusmodi spatiorum applicationes , e cessus, S delectus : eum enim ipsi pr. posita recta . datum spatium toti rectae cooptaverunt: tunc spatium illud linea applicare dixerunt: eum vero spatii longitudinem ipsa recta maiorem fecerunt; tunc
excedere e cum tandem minorem , tune
deficere . Euclides isto in problemate applicationem parallelogrammi ad rectam recenset; acturus dein de exeessu . & de- femi eum in secundo , tum in sexto elemento, ut Proclus animadδertit. 8) Prop. s. lib. i. Proh lema istud etiam est Euclidis, teste Proclo. Qui per hoc problema. doctrinam , quam in duobus praecedentibus tradiderat de constitutione,& applicatione aequalium dato triangulo parallelogrammorum, universaliorem reddit , applicationemque ad quemlibet rectilineum extendit.
18쪽
I. FN secundo Elemento pertractat Euclides de potentiis re-L Elarum; hoc est de quadratis, & rectangulis: comparatque rectangula , & quadrata, quae e reetarum sive bifariam, si vo utcumque lectarum partibus fiunt: eorumque theoriam ea potis ii-mum ratione prosequitur , ut proprietates trianguli obtus anguli ,& acutanguli , ostendere valeat. Occurrunt in hoc elemento propositiones quatuordecim , quarum duodecim sunt theoremata , Screliquae duae problemata; quae hoc ordine proferenda ducimus
II. Secundi hujus elementi theoremata partim varias quadrato rum , Sc rectangulorum compositionem, quae ex diversa rectarum sectione oritur; partim vero proprietates trianguli obtus anguli , Racutanguli respiciunt . Secundum igitur has classes illa recensebimus.
ΙΙΙ. Prioris classis theoremata sunt. I. Si fuerint duae rectae linearuna quidem secta in quotcumque partes, altera vero insecta; rectangulum, quod fit ex tota, & insecta a quale erit rectangulis , quae fiunt ex partibus totius,& eadem insecta si). II. Si recta linea secta fuerit utcumque, quadratum, quod fit a tota, aequale erit rectangulis, quae fiunt ex tota,& partibus sa).. III. Si recta linea secetur utcumque, rectangulum ex tota, & parte una aequale erit re
ctangulo sub partibus, una cum quadrato, quod fit ex parte praedicta sa). IV. Si recta linea secetur utcumque , quadratum, quod fit a tota, aequale erit quadratis partium, una cum rectangulo bis
quoties, ut lineae, dividuntur in partes;
etenim rei anaula quoque numerica ex multiplicatione duorum numerorum proinmarant , ct quadrata numerica ex mulis
tiplicatione numeri per se ipsum ; unde de numeris idem valet, quod de lineis. Ex hoe theoremate perspicue constat, in quadratis spatiis . parallelogramma cir ca diametrum, quadrata esse. , Prop. aaib.2. . 3 Prop. 3. lib. 2. Hoe , S duci praece dentia theoremata, dem nstrandae multi, plicationi plurimum deserviunt. 1 Prop. .lib. 2.Non solum hoe the rema, verum & omnes secundi elementi piopositiones iudicio omnium Euclidi adscribuntur , qui eas omnes direxit ad demonstrandas cum obtus anguli, tumaciat anguli proprietates ob quas totum secundum conscripsit librum. Illiusmodi fere
omnes propositiones demonstrantur axioismate illo. Totum est suis partibus simul sumtis aequale. Decem erima nutus elementi theoremata , quae spectant rectangula, ct quadrata ex linearum sectione oriun. da , vera etiam in numeris reperiuntur,
19쪽
sub partibus contento si . V. Si recta linea secetur bifariam, &
non bifariam; erit rectangulum ex partibus inaequalibus, una cum quadrato portionis, quae inter utramque sectionem interjicitur , aequale ei, quod a dimidia describitur quadrato sa). VI. Si recta linea secetur bifariam, eique alia in directum adjiciatur; erit rectangulum , quod fit ex tota , & adjecta, veluti ex unica linea in ipsam adjectam, una cum quadrato dimidiae, aequale quadrato, quod fit ex dimidia,& adjecta, similiter tamquam ex unica linea sa). VII. Si recta linea secetur utcumque quadrata , quae fiunt ex tota, & parte una, aequalia erunt rectangulo bis contento sub tota, & dicta parte, una cum quadrato partis alterius svi. VIII. Si recta linea secetur utcumque; quadratum, quod fit ex tota, & parte una , veluti ex unica linea, aequale erit rectangulo quater contento sub tota , & dicta parte , una cum quadrato partis alterius sue). IX. Si recta linea secetur hi-fariam , & non bifariam p quadrata partium inaequalium dupla erunt quadratorum , quae fiunt ex dimidia , & portione interutramque sectionem interjecta so). X. Si recta linea secetur bifariam, eique alia in directum adjiciatur; quadrata duo, unum ex tota, & adjecta, veluti ex unica linea, alterum ex ipsa ad
jecta, dupla erunt quadratorum, quae fiunt ex dimidia, & ea, quae componitur ex dimidia, & adjecta s j.
IV. Secundae vero clasIis theoremata, quibus trianguli obtusam
guli , & acutanguli aflectiones ostendit Euclides , duo sequentia
sunt. Ι. In triangulis. obtus angulis, quadratum, quod fit ex latere obtusum angulum subtendente, majus est quadratis, quae fiunt ex lateribus, Obtusum angulum continentibus , rectangulo his contento sub uno dictorum laterum, & portione, quam prope angulum obtusum adjungit ei perpendicularis ex opposito angulo demisia 8). II. In triangulis acutangulis quadratum, quod fit ex latere, acutum angulum subtendente, minus est quadratiss
i Propin. lib. a. Hoc theorema radiis tum quadraticaium extram ni non parum confert.
2 Prop. s.lib. a. Theorema istud eum tribus , quae sequuntur, ad Algebram multum conducunt.
3 Prop. 6. lib.2. Prop. . lib. a. π Prop.R. lib.2. 6 Prop. s. lib. a. Quae cum reliquis , quae sequuntur, Trigonometriae planae deis
Prop. Io. lib. L. 8 Prop. ix.lib. a. Ad hane .& seque tem propositionem totum diri uitur secundum ab Euclide elementum: S per haec duo theoremata demonstrat ipse proprietates illas triangulorum, quas in primo li bro reliquerat.
20쪽
tis, quae fiunt ex lateribus, acutum angulum continentibus, rectangulo bis contento sub uno dictorum laterum , & portione, quam prope angulum acutum abscindit ex eo perpendicularis ex
V. Secundi elementi problemata duo tantum sunt, quae etiam potentias rectarum spectant, nimirum I. Datam rectam lineam subinde dividere , ut rectangulum , quod fit ex tota , & parte una, a quale sit quadrato partis alterius sa). II. Dato rectilineo aequale quadratum constituere s3).
EX TERTIO ELEMENTO.L FN tertio elemento ostendit Euclides praecipuas circuli pro-I prietates; lineasque plurimas sive in circulo, sive ad circu
lum ductas sese inter comparat; circulorum etiam, & se mutuo interlhcantium , & se invicem, sive rectas tangentium aflectiones ex licat angulosve tandem , qui sive ad centra , sive ad circumserentias consistunt, sese inter componit. Continentur in hoc Elemento propositiones triginta septem, quarum una, & tri sinta sunt theoremata:& aliae sex problemata: quae omnia persuasclalles hoc ordine recensebimus.
II. Hujus elementi theoremata ad quatuor classes commode revocari poliunt ; nam alia spectant rectas, quae ad circuli ci
t Prop. r3. lib. a. Esto F uelides in
do initionibus lib. r. acu angulum trian-Lulum nuncupaverit illud , quod on nesacutos haheat angulos . Hic ramen omnia triangula appellat acutannulat piopterea quod omnia anuulum habeant acutum saltem unum . unde propositio hunc in m dum exponitur quoad sensum: omnis trianis culi latus, quod acutum subtendit anguintum, minus potest quam latera, acutum anRulum continentia. quod S de rectanis gulo, & de obtus angulo quoque valer. a Prop. I I.Iib. . Hoc problema soli geometrieae accidit medietati , non auis em numericae ; nullus enim numerus ita secari pote ist; ut productum ex toto in partem unam, aequale si quadrato partis reliquar. Hoc idem problema deinon- stat Euel ules in sexto librii: ubi diver so modo illud exprimit dicens : datam rediam extrema, di media ratione secari Hic autem, quoniam de proportione nihil tradiderat, non dicit media , Rc extrema ratione secari. ab Proe. 14.lib. .