장음표시 사용
21쪽
cumferentiam ducuntur; alia rectas, quae circulum ipsum tangunt; alia circulos sese invicem occurrentes; ac alia demum angulos, qui sive ad centra , sive ad circumferentias circulorum consti
III. Prioris generis theoremata sunt haec, quae sequuntur. I. Si in circuli diametro capiatur punctum quodvis , quod non sit centrum, & ex eo ducantur ad circumserentiam plures aliae rectae lineae; earum omnium maxima quidem erit illa, quae transit per centrum , minima vero reliqua portio diametri; aliarum autem, quae maximae propinquiores sunt, majores erunt semper remotioribus; & ab illo eodem puncto nonnisi duae rectae linere aequales duci poterunt si in . II. Si extra circulum sumatur pun-olum aliquod, ex quo ducantur plures rectae lineae, cum ad concavam , tum ad convexam circuli circumferentiam ς earum utique, quae pertingunt ad concavam , maxima quidem erit illa, quae transit per centrum, aliarum vero, quae maximae sunt propinquiores , majores erunt semper remotioribus; vicissim autem illarum, quae pertingunt ad convexam, minima quidem erit illae, quae producta transiit per centrum; aliarum vero , quae minimae sunt propinquiores , minores erunt semper remotioribus ς& ab illo eodem puncto, cum ad concavam, tum ad convexam
circuli circumferentiam , nonnili duae rectae lineae aequales duci poterunt sa) . III. Si e puncto intra circulum sumto cadant ad ejus circumferentiam plures, quam duae rectae lineae aequales; assumtum punctum erit centrum circuli s3). IV. Si in circuli ci cum serentia duo puncta sumantur, quae puncta ista conjungit recta linea, intra circulum cadet svi . V. Si recta linea per centrum ducta, aliam rectam lineam non ductam per centrum, bis riam secet, secabit ad angulos rectos; & si secet ad angulos re
ctos, secabit bifariam sue). Unde perspicuum est quoque , si in
circulo recta quaedam linea secet aliam rectam lineam bifariam,R ad angulos rectos, in secante esse circuli centrum. UI. In circulo
Prop. . lib. 3. Non solum hare prinpositio, verum & totum tertium elementum ab Euclide acceptum, omnes ferunt. 1 Prop.8. lib. 3. 33 Prop. q. lib. 3. 4 Prop. a. lib. 3. qua indigitat quoque Euclides , re tam quamvis circulum tan pentem in unico tantum puncto peris si ae Occurrere; alioquin caderet intra circinium , S non esset tangens , sed secans.
Euclides latenter indicat , cum in circulo rec a nna aliam non ductam per centrum lecaverit , tria evenire , & rectam secantem transire per circuli centrum ;
& aliam s.care & talariam, di ad angulos
22쪽
culo si duae rectae lineae sese in centro non lecent ς utraque bifariam non secabitur si in . VII. In circulo aequales rectae lineae aequaliter a centro distant ' Sc quae aequaliter a centro distant , inter se sunt aequales sa). VIII. In circulo maxima linearum in ipso ductarum est diameter, seu quae transit per centrum aliarum autem, quae centro sunt propinquiores, majores sunt semper remotioribus s3). IX. In circulis aequalibus aequales rectae lineae aequales arcus abscindunt, majorem quidem aequalem majori, minorem vero minori ). X. In circulis aequalibus aequales arcus,
aequales rectae lineae subtendunt sue). XI. Si in circulo duae rectae, lineae se mutuo secent , erit rectangulum sub segmentis unius, aequale rectangulo sub segmentis alterius sM . Quae proprietas obtinet, etiam ii duae rectae in circulo ductae sibi invicem extra
IV. Secundi generis theoremata; quae respiciunt rectas circulum tangentes , sunt . I. Si ex extremitate diametri perpendicularis ad eam erigatur , haec tota cadet extra circulum ; Sc in locum ipsa, & circuli circumferentia contentum nulla alia recta linea duci poterit θ). II. Si circulum recta contingat linea; quae centrum cum puncto contactus conjungit, pereendicularis erit ad tangentem s8). III. Si circulum recta contingat linea , & expuncto contactus perpendicularis ad tangentem erigatur ; haec transibit per centrum circuli s). IV. Si extra circulum sumatur
Σ Prop. r4. lib. I. Prop. as. lib. 344 Prop. 28. lib. 3.3 Prop. 2ς. I ih. 3. quae est praecedentis
7 Prop. x s. lib. 3. Per hoc theoreisma nos quoque Euclides docet S rectam lineam, quae ab extremitate diametri ducitur , circulum contingere, illumque tan Rere in uno tantum puncto : alias intra ipsum eaderet ; & anpulum contactus, hoc est a laticente, di ei reuli peripheria
Contentum minorem esse quocumque angu
lo tecti lineo acuto S angulum seniicirculi; hoc est diametro. & cireuli peripheria eo n-prehensum,quocumque angulo aeuto recti lineo esse maiorem ; etenim in locum tangente , & circuli circumferentia contentum , nulla alia recta ex puncto containctus duci potest.
Neque exinde eruitur, angulum contactus nulla proisus quantitate gaudere ;quia esto tam minor ut quocumque angulo
acuto, ut per nullam rectam minui possit: potest tamen augeri ἰ S esto minui nequeat per rectam lineam infinitesimum angulum ordinis primi capientem , mi qui
tamen potest per alias rectas divide tes hune angulum infinitesimum , nempe per aliam cireuli circumferentiam deis scriptam per punctum contactus,& misiore intervallo quam circuli centrum retenim n mine quantitatis apud mathematicos id omne intelligitur, quod plus mimisque suscipiens quocumque modo augeri potest, ac minui. g Prop. R. lib. 3. 9 Prop. I s. lib. 3. ex qua colli pitur: si intra circulum aliqua ponatur recta , at
que ex uno elus extremo alia extra ci
23쪽
punctum aliquod, & ex eo ducantur duae rectae lineae, quarum
una circulum contingat, altera eumdem utcumque secet rectaagulum sub secante tota,& portione extra circulum existente contentum , aequale erit quadrato , quod fit ex tangem
te I). U. Si extra circulum sumatur punctum aliquod, & ex eo ducantur duae rectae lineae , quarum una circulum secet, altera incidat in eum; sitque rectangulum sub secante tota, & porti
ne extra circulum existente contentum aequale quadrato incidentis; incidens ista recta linea tangens erit et . V. Tertii generis theoremata, quae circulos sibi invicem occurrentes spectant, sunt quae sequuntur. I. Circuli, qui se mutuo secant ; non possunt unum , idemque centrum habere 3). II. Circuli , qui sese intus contingunt , non polsunt unum , idemque centrum habere ). III. Circulus circulum in pluribus, quam duobus punctis non secat s). IV. Si duo circuli sese intus contingunt , recta conjungens centra ipsorum transibit perpunetum contactus sue). U. Si duo circuli sese extra contingant; recta conjungens centra ipsorum , transibit per punctum contactus θ). ULCirculus circulum in pluribus, quam in uno puncto non contingit, sive intra, sive extra eum contingat s8ὶ.VΙ. Quarti tandem generis theoremata, quae exponunt affectiones angulorum, qui sive ad centra, sive aci circumserentias ci culorum consistunt ς sunt . I. Angulus ad centrum duplus est anguli ad circumferentiam; cum super eodem arcu insiliunt sy).
III. Quadrilaterorum in circulo inscriptorum anguli oppositi duobus rectis sunt aequales so). IV. In eadem recta linea duae circulorum portiones similes, & inaequales constitui non possunt ad easdem
culum ducatur,ti ia evenire Dosse. I.Rectam lineam intra circulum positam e sse diametrum, seu per centrum transire . II.Duinctam extra centrum esse taneentem.II I. Unam alteri ad angulos rectos insilere, quorum si duo contigerint; tertium necessario eveniet. ab Prop. 36.lib. 3. Hoc theorema duo nos docet . I. Si ab eodem extra circulum puncto quotvis ducantur secanintes , omnia Lectangula inter se aequalia ense ; etenim sinuula quadrato tancentis sequantur. II. Quae ex eodem puncto circulum ranaunt aequales esse : earum qui'pe quadrata singula eidem aequantur qua drato ex Commandino. a Prop. 37. lib. 3 . qua C nvertitur praecedens . S in ea evi ucitur quoque, quae ex eodem puncto ad eirculum ducuntur rectae , aequales esse tangentes .
24쪽
partes i). V. In aequalibus rectis lineis similes circulorum porti nes constitutae, sunt etiam aequales sa). VI. In circulis aequalibus aequales anguli, aequalibus arcubus insistunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint positis 3). VII. In circulis aequalibus anguli , qui sive ad centra , sive ad circumserentias positi, aequalibus arcubus insistunt, sunt etiam aequales inter se s J. V ΙΙΙ.Angulus in semicirculo est rectus, qui vero est in portione majore est recto minor; & qui in portione minore, est recto major fue) . IX. Si circulum recta contingat linea , & ex puncto contactus alia utcumque circulum secans ducatur , anguli sub tangente,& secante contenti, aequales erunt iis, qui in alternis circuli portionibus constituuntur M.
VII. Per hujus Elementi problemata Euclides praxes exponit, quae sive ad circulum ipsum, sive ad ea, quae circulo adveniunt, pertinent; unde alia sunt, quae ad circulum in se inspectum attinent; alia ad tangentem ; alia denique ad angulum in circuli
VIII. Prima sunt . I. Dati circuli centrum invenire ). II. Cimculi portione data, invenire centrum circuli, cujus ea est por
tio, & circulum perficere s8). III. Datam circuli portionem bufariam dividere s9).
IX. Secundae classis unum tantum est problema nimirum . I. Ex dato extra circulum puncto, tangentem ad circulum duceres Ivi. X. Tertiae tandem classis problemata sunt. I. In data recta linea
describere portionem circuli , quae suscipiat angulum aequalem angulo dato fri). II Ex dato circulo abscindere portionem, quae suscipiat angulum aequalem angulo dato ra).
Q Prop. 23.lib. 3. . a Prop. .lib. 3. 3 Prop. 26. lib. 3. Quod in hoc theois remate de aequalibus eireulis demonstrat Euclides. multo fortius de itidem circulis
4) lyrop. 27. lib. 3. Quae conversa estraecedentis ; S eadem demonstratio erit, anguli aequalibus circumferent iis e Ddem circuli insistant. 1 Prop. a. lib. 3. ε Prop. 32. lib. 3. Prop. r. lib. 3. Ex hoe problemate est perspicuum , s in circulo recta quaedam linea rectam aliam quandam bifariam se-eahit. & ad angulos rectos , in secapta circuli centrum inesse. 8 Prop. as. lib.3. y Prop. 3o.lib. 3.cio Prop. 17.lib. 3. 13 Prop. 33. lib. 3. . . Laa Prop. 34. lib. D
25쪽
1 cumscriptione, sive figurarum regularium in circulo, sive circuli in figuris regularibus . Figurae autem regulares, quas potissimum prosequitur, sunt triangulum, quadratum, pentagonum, hexagonum, & quindecagonum s I). Omnes hujus elementi propositiones sunt problemata, quorum quatuor respiciunt triangulum, quatuor aliae quadratum, totidem aliae pentagonum, una hexagonum, & una quindecagonum & duae tandem sunt lemmata, figurarum construetioni inservientia; hoc igitur ordine omnia recensebimus : at prius lemmata ut simpliciora exponemus sa).
II. Problemata illa, quae velut lemmata inserviunt, sunt duo ista . I. In dato circulo aptare rectam lineam, quae alteri datae sit aequalis. Oportet autem, ut data recta linea non sit major diametro s3). ΙΙ. AEqui crure triangulum constituere, cujus uterque angulorum ad basim duplus iit anguli verticalis ). III. Quae respiciunt triangulum problemata, sunt. I. In dato circulo describere triangulum aequiangulum alteri triangulo dato s). II. Circa datum circulum describere triangulum aequi angulum alteri triangulo dato s 8. III. In dato triangulo circulum descri-
here θ). IV. Circa datum triangulum circulum describere s8). Quae
t Esto varia si 8t multiformis ei reum scriptionum & inscriptionum figurarum
contemplatio Euclides tamen non multum admodum progressus est: perveniens nam
que ad hexagonum, S postremo quindecatoni angulos tradens qui aurorum scientiam manis spectant finem dicendi fecit ; non quod alia , non fuit rima. tus . sed quod nullo negotio construi
queunt; ut Federicus Coin mandinus an iis madvertit.
1 Omnes huius elementi propositiones. ut inquit c uillelmus Whistonius, Trigonometriar magis inserviunt: earum namque ope spuratum & corporum magnitudines, in varios astrorum adspectus, Reirculi quadraturam, & circulorum dupli
catam rationem , dc non pauca alia non ab re perscrutamur.
3 Prop. I. lib. . Haec , Omnesque aliae quarti libri propostiones , Euclidi adseribuntur emtis solummodo quatuor illis , quae ad triannulum spes antrquae teste Andrea Taequet Thaleti Mile-so debentur; quarum inventione laetitia elatus bovem immolasse dicitur. 4 Prop. Io. lib. 4. 1 Prop. a. lib. q.
ε) Prop. 3. lib. q. Prop. 4. lib. 4. 8 Prop. s. lib. q.
26쪽
scribere si). ΙΙ. Circa datum circulum quadratum describere χ). III. In dato quadrato circulum describere s3). IV. Circa datum quadratum circulum describere u). . V. Circa pentagonum problemata sunt. I. In dato circulo pent,gonum sequi laterum , & aequiangulum dei cribere sue) . II. Circa datum circulum pentagonum aequi laterum, & aequi angulum describere so). III. In dato pentagono aequi latero , & inlut angulo circulum describere ) . IV. Circa datum pentagonum aequilaterum, & aequiangulum circulum describere s8j. VI. De hexagono,& quindecagono problemata sunt duo dumtaxat, nimirum. I. In dato circulo hexagonum aequi laterum, &aequi angulum describere sy). II. In dato circulo quindecagonum aequi laterum , & aequi angulum describere si o).
I. TN quinto Elemento exponit Euclides utilem , necessariamque doctrinam proportionum in genere, hoc est, magnitudines Seneratim inter se comparatas considerat, earumque analogiam perscrutatur sII). Quoniam autem proportionem ipsam Ope multiplicium ostendit; perinde propositiones omnes hujus Elementi, quae
' Prop. I4. lib. 4. ς Prop. et s. lib. 4. Post hoe problema Euclides tria alia pro suae doctrina ordine adnectere debuerat , alterum de descriptiona hexagoni ei rea datum circulum ; alterum de descriptione circuli in dato hexagono : alterum tandem de descriptione ei revji ei rea datum hexac num , atque alia de ei reum seriptione quindeca oni eirea ei reulum . & vieissim; at haec tacillima ,& nullius negotii ali xum studio commisit .ro Prop. . et s. lib. q. ret tum hoc quintum planorum elementum commune est Geometriae . Arithineticae , Musicae , Astronomiae, Stati-
omnes eae.& omni simplieiter Matheseos disciplinae ; quae enim in ipso demonstrantur
theoremata, non solum Gemmetriae con-nruunt ; verum ad ceterarum omn4um talus, ct contemplationes referunturοῦ quip-
ee quae proportionibus inter se connexistere totae nitantur , & modos de pi portionalibus ratiocinandi e libro hae mutuari solent ; speciatim vero Geodes a. seu practica Geometria, quae linearum , figurarum, atque e sporum mensuras, quas comple titur 4 e proporti num doctrina plerumque haurit; S Arithmetica . cuius omnes prapositiones, etiam sublatis septimo . octavo. nono, & de numeris ex proleta agentibus libris ex bis demonstrari commode possent ἔ & Statica, quae nonnisi per doctrinam proportionum corporum pondera perserutatur . Perinde tam utile est, & neeessarium , ut s ejus doctrina de medio auferretur, nihil praeelarum. aut egregium in mathesi relin
27쪽
omnes sunt num. et s. ab Euclide collectae s I in , omnesque theoremata, partim respiciunt quantitates aequemultiplices, partim quantitates proportionales ; atque argumentandi rationem e proportione petitam, etiam praestant sa).
spectant, sunt, quae sequuntur. I. Si fuerint quotcumque magnitudines quotcumque magnitudinum, aequalium numero, singulae singularum aequemultiplices; quotuplex est una 'unius , tot plices erunt & omnes omnium s3) . II. Si prima secundae tam multiplex fuerit, quam tertia quartae ; fuerit autem & quinta secundae tam multiplex, quam lex ta quartae; erit composita exprima , 8c quinta tam multiplex secundae, quam composita ex tertia,& sexta multiplex quartae svi. III. Si prima secundae tam multiplex fuerit, quam tertia quartae aequemultiplices primae, &tertiae erunt etiam sequemultiplices secundae, & quartae s s). IV. Si prima ad secundam eamdem habuerit rationem, quam tertia ad quartam; aequemultiplices primae, & tertiae ad aequemultiplices secundae, & quartae eamdem quoque rationem habebunt so). V. Si tota totius tam multiplex sit, quam ablata ablatae ; erit reliqua reliquae tam multiplex, quam tota totius sq). VI. Si duae magnitudines aequemultiplices fuerint duarum magnitudinum: Rex iis ablatae quaedam sint earumdem aeque multiplices; erunt Rreliquae vel eisdem aequales, vel earumdem aequemultiplices s8 . III. Ad quantitates vero proportionales theoremata ista spectant. I. AEquales ad eamdem, eamdem habent rationem ;& eadem adaequales ff. II. Inaequalium magnitudinum major ad eamdem
ci Esto propositiones omnes huius
elementi innumerae sint; Euclides tamen solum as. collegit . atque ceterae , quae v. libro adiectae reperiuntur . a Campano, The ne, aliisque fuerunt additae. α) Totum hoc elementum aiunt esse Eudoxii euiusdam, qui Platonis magisterfuit, teste Eudemo, Proclo , ct Comman. dino a 3 Prop. r. lib. I.
Prop..lib. s. s) Prop. 3. lib. I. Lo Prop. 4. lib. s. Hoc theorema prinpius spectat ad demonstrationem de initionis magnitudinum . quae sunt in ea dem proportione , ut est . quando aeque multiplices primae , ct tertiae , videlicet antecedentium , atque aequemultiplices secundae, Si quartae, hoe est, consequentium, vel una superant , vel una aequales sunt, vel una deficiunt; hie enim demonstrat,& ipsas inter se eamdem habere propo tionem. Ex Commandino.
ν Prop. s. lib. I. s) Prop. 6. lib. I. - ρ Prop. 7. lib. s.
28쪽
majorem habet rationem, & eadem ad minorem . si) III. Quae
ad eamdem eamdem habent rationem , inter se sunt aequales & ad quas eadem eamdem rationem habet , etiam inter se a , quales sunt sa). IV. Ad eamdem magnitudinem rationem habentium, quae majorem rationem habet, illa major est : ad quam vero eadem majorem habet rationem, illa est minor s3). V. Rationes , quae eidem sunt aequales, inter se sunt etiam aequales s 3. VI. Si fuerint quotcumque magnitudines proportionales erit ut
una antecedentium ad unam consequentium , ita omnes antecedentes ad omnes consequentes sue). , ΙΙ. Si prima habuerit ad
secundam eamdem rationem , quam tertia aa quartam ς tertia autem ad quartam habuerit rationem majorem , quam quinta
ad sextam ; & prima ad secundam majorem quoque rationem habebit, quam quinta ad sextam sG. VIII. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint; prima, & secunda erunt vel una aequales, vel una majores, vel una minores tertia,& quarta θ). IX. Partes cum suis aequemultiplicibus comparata: eamdem cum iis servant rationem s8). X. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint , ia permutando etiam proportionales erunt f. XI. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint , & dividendo etiam proportionales erunt s Io). XII. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint & componendo etiam proportionales erunt II) . XIII. Si fuerit, ut tota ad totam , ita ablata ad ablatam; erit & reliqua ad reliquam , ut tota ad totam si a). Unde colligere pronum est, quod si quatuor magnitudines proportionales fuerint ; convertendo etiam proportion tes erunt. XIV. Si tres magnitudines suerint in orainata rati ne cum aliis totidem; primae ipsarum erunt vel una aequales , vel una majores, vel una minores ultimis earumdem sig). XU. Si tres magnitudines fuerint in perturbata ratione cum aliis tribus magnitudinibus ; primae ipsarum quoque erunt , vel una aequales , vel una majores , vel una minores ultimis earumdem si ). XVI. Si tres magnitudines fuerint in ordinata ra-
i Prop. s. lib. I. x) Prop. q. lib. s.
33 Prop. ro. lib. I. Prop. II. lib. s.s Prop. 12. lib. I. 6 Prop. 23. lib. s. Prop. 34. lib. s. Hoe theorema Ie4nia eth sextideeimi theorematis .
it) Prop. I R. lib. s. ta Prop. x q. lib. I. x3 Prop. m. lib. s. Hoc theorema est Iemma vigesimi secundi . r Prop. ar. lib. s. Theorema istud est lemma vigesimi tertii.
29쪽
tione cum aliis tribus magnitudinibus; primae ipsarum ad ultimas ex aequali in eadem ratione erunt si). XVII. Si tres magnitudines fuerint in perturbata ratione cum aliis totidem magnitudinibus ς' primae ipsarum ad ultimas ex aequali in eadem ratione erunt sa). XVIII. Si prima ad secundam habuerit eamdem rationem , quam tertia ad quartam οῦ fuerit autem ut quinta ad secundam, ita sexta ad quartam; erit composita ex prima, & quinta ad secundam, ut compossita ex tertia, & sexta ad quartam 33. XIX. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint; maxima,& minima simul reliquis duabus majores erunt sq).
I. IN sexto tandem elemento Euclides proportionis doctrinam, I quam univertim in quinto elemento de omni generatim magnitudine exposuit; ulibus variis planarum figurarum applicare contendit; atque proportiones, quae in figuris ipsis occurrunt, Ostendit . Unde a triangulis figurarum simplicissimis exorsus , eorum latera, & areas, prout sibi invicem proportione correspondent, perscrutatur & lineas proportionales , atque figurarum augumenta,& decrementa proportionalia definit; & regulam auream, sive proportionalem totius arithmeticae fundamentum aperit; atque omnia, quae ad intime cognoscendam proportionem planorum expetebantur, recenset s). Hoc autem elementum triginta tribus propolitionibus comprehenditur, quarum tres & viginti sunt theoremata,& decem problemata; quae omnia per certas classes
II. Istiusmodi elementi theoremata juxta varias planorum prin
theoremata a sextadecima exordiendo exponuntur omnes ratiocinandi modi; quos tradit Euclides in definitionibus quinti elementi a definiti ne undecima usque ad p stremani; ut abunde Christophorus Ciavias planum facit. Totum hoe sextum elementum Euclidi inventori vulgo adscribitur ἰ attamen eomplures alii variis eiusdem propositionibus insudarunt; omnesque Greciae Geometrae summo itudio ipsis incumbuerunt ,. ut Plato. Architas Tare tinus . Menaechmus , Eratosthene Philo Hvetantius, Hero. Apollonius Perraeus, Nicomedes, Pareus, aliique, reste Eu-denio, Proclo, & Eutocio.
30쪽
portiones, quas demonstrant, partim respiciunt rectas, qu: bus figurae ipsae continentur ; partim figuras ipsas rectilineas, partim denique angulos , qui in aequalibus circulis ssive ad centra, sive ad circumferentias lunt positi ; atque sectores , qui ex eisdem
III. Rectarum igitur, quibus figurae ipsae continentur, proporti nes haec per theoremata Euclides demonstrat, nimirum. I. Si uni laterum trianguli parallela recta linea ducatur , ea secabit alia duo latera proportionaliter ς & vicissim si secet proportionaliter duo latera trianguli, ea tertio lateri parallela erit si) . II. Recta, quae secat angulum verticalem alicujus trianguli bifariam, sec hit basim in ratione laterum ;& vicissim reela, quae secat basim alicujus trianguli in ratione laterum, secabit angulum verticalem bifariam fr) . III. Triangula aequi angula habent latera circum aequales angulos proportionalia ς & homologa sunt latera illa , quae aequales angulos stib tendunt 3). IV. Triangula, quae latera habent proportionalia, erunt etiam aequiangula; & aequales habebunt eos angulos , quos homologa latera subtendunt s4 . U.
Triangula, quae unum angulum uni angulo aequalem habent, &latera circum istos angulos proportionalia , sunt etiam aequian
gula , & aequales habent angulos illos , quos homologa latera
subtendunt sue). VI. Triangula, quae unum angulum uni angulo aequalem habent; latera vero circum alios angulos proportionalia & reliquorum utrumque simul vel minorem , vel non minorem recto ; erunt etiam aequiangula & aequales habebunt angulosi illos, circa quos sunt latera proportionalia sin). VII. Si in triangulo rectangulo ex angulo recto ad halim herpendicularis demittatur ; haec dividet triangulum in duo alia triangula, quae cum
toti, tum inter se similia erunt Θ). IV.Quae
ci Prop. a. lib. 6. Hoe theorema nos 4 Prop. s. lib. 6. quoque docet, si ad unum trianguli la- s) Prop. 6. lib. 6.tus ductae fuerint plures parallelae ; fo- 6 Prop. . lib.ε. Ex hoe theoremate, re omnia laterum legmenta proportiona- & quatuor praee edentibus constat smilitia. tudinem triangulorum evinci posse ; s. a Prop. 3. lib. 6. Quod theorema in- habeant latera proportionalia ; si habeant dicat etiam, s recta , quae angulum triar - unum angulum uni angulo aequalem; Spuli bifariam secat , hi secabit etiam ha- latera circum aequales angulos proportio-sm , trianpulum fore Iso sceles , quia duo natia . S reliquos augulos ejuidem spe- latera habebit aequalia. S bisecans recta eiei inter se. et it perpendicularis basi . cet) Pro .R. lib. 6. Ex hoe theorema- 3 Prop. 4. lib. o. te est manifestum ; si in triangulo reis